圆锥曲线中的对称问题
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率在圆锥曲线解题中，对称性是一种常用的技巧，可以用来简化计算和证明过程，提高解题效率。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有不同的对称性质，可以通过利用这些对称性质来解题。
1. 椭圆的对称性利用椭圆是一种闭合曲线，具有中心对称性质。
利用椭圆的对称性，可以简化计算和证明过程。
例如，在求解椭圆的焦点坐标时，可以利用对称性质来减少计算量。
假设椭圆的中心为原点，主轴在x轴上，次轴在y轴上。
设椭圆上一点的坐标为(x, y)，则椭圆上对称的另一点的坐标为(-x, -y)。
通过利用对称性，可以避免重复计算，简化求解过程。
2. 双曲线的对称性利用双曲线是一种开口曲线，具有轴对称性质。
在利用双曲线的对称性解题时，可以根据曲线的性质进行推导。
例如，在求解双曲线的渐近线方程时，可以利用双曲线的轴对称性质来简化证明过程。
双曲线的轴对称性可以使得我们只需要证明其中一条渐近线的方程，然后通过对称性得到另一条渐近线的方程。
3. 抛物线的对称性利用抛物线是一种开口方向确定的曲线，具有顶点对称性质。
在利用抛物线的对称性解题时，可以利用顶点对称性来简化计算和证明过程。
例如，在求解抛物线的焦点坐标时，可以利用抛物线的顶点对称性质简化计算，将问题转化为求解顶点的坐标。
通过利用对称性，可以减少计算量，提高解题效率。
综上所述，对称性是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。
通过利用椭圆的中心对称性、双曲线的轴对称性和抛物线的顶点对称性，可以简化计算和证明过程，提高解题效率。
在解题过程中，我们应当充分利用圆锥曲线的对称性质，并善于将问题转化为利用对称性质求解对应的简化问题，从而更加高效地解决圆锥曲线问题。
(完整版)圆锥曲线中的一类对称问题
圆锥曲线中的一类对称问题大庆实验中学 郝明泉圆锥曲线上存在两点关于直线对称问题是高考中的一类热点问题，该问题集直线与圆锥曲线位置关系，点与圆锥曲线的位置关系，中点弦，方程与不等式等数学知识于一体，经常在知识网络交汇处、思想方法的交汇线和能力层次的交叉区设置问题，一般问题的综合性较强，但难度不是很大，具有很好的选拔功能，对学生的知识和能力的考察情况也较好。
下面本文就这一类问题的解决方法，结合下面的例题，谈一下自己的看法。
例：已知椭圆22:143x y C +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+，椭圆C 上有不同的两点关于这条直线对称。
法一：利用判别式及韦达定理来求解两点,A B 关于直线l 对称，对称中体现的两要点：垂直和两点连线中点在对称直线l 上，因此使用这种方法求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。
解:椭圆上存在两点,A B 关于直线:4l y x m =+对称设直线AB 为:n x y +-=41 (确保垂直). 则直线AB 与椭圆有两个不同的交点22221413816480143y x n x nx n x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩ 2192(413)0b ∆=--> (确保存在)即：22n -<< ① 12881313n n x x -+=-= ,A B 两点的中点的横坐标为124,213x x n +=纵坐标为141241313n n n -⨯+= 则点412,1313n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线:4l y x m =+上,12441313n n m =⨯+. (确保平分) 413m n ⇒=-把上式代入①中,得：1313m -<< 法二：点差法点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，过程如下 解:设椭圆上关于l 对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，代入椭圆方程后作差，得0121203144x y y x x y -=-=-- ① 由点00(,)M x y 在直线:4l y x m =+上，得004y x m =+ ②由①②解得00,3x m y m =-=-因为点00(,)M x y 在椭圆的内部所以 22()(3)143m m --+<解得1313m -<<法三：利用根的分布求解C 上存在不同的两点关于直线l 对称，等价于C 上存在被l 垂直平分的弦，即等价于C 的适合条件的弦所在的直线方程，与曲线C 的方程组成的方程组在某确定的区间上有两不同的解，因此可利用一元二次方程根的分布来求解，过程如下。
圆锥曲线 对称与中垂线 求解思路
圆锥曲线对称与中垂线求解思路圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学和几何学中有着重要的应用和意义。
在本文中，我们将深入探讨圆锥曲线的对称性和中垂线的求解思路，帮助读者更深入地理解这一主题。
一、圆锥曲线的对称性圆锥曲线的对称性是指曲线相对于某一直线或点的对称性质。
常见的圆锥曲线对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
对称性的性质在数学和物理等领域有着广泛的应用，对于研究曲线的性质和方程的求解都具有重要意义。
1.1 对称性的定义对称性是指图形、曲线或物体在某一直线、点或平面上的对称性质。
圆锥曲线的对称性可以通过关于坐标轴的对称性表达出来，如：- 关于x轴对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(x, -y)。
- 关于y轴对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(-x, y)。
- 关于原点对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(-x, -y)。
1.2 对称性的应用圆锥曲线的对称性在数学、几何学和工程学中有着广泛的应用。
在解析几何中，通过利用曲线的对称性可以简化方程的求解过程。
在工程学中，对称性可以帮助设计出更加美观和稳定的结构。
对称性是研究圆锥曲线的重要性质之一。
二、中垂线的求解思路中垂线是两点之间的垂直平分线，它在几何学和三角学中具有重要的应用。
在本节中，我们将讨论中垂线的求解思路，并探讨其在圆锥曲线中的应用。
2.1 中垂线的定义中垂线是连接两点并且垂直平分这两点之间距离的直线。
在平面几何中，中垂线可以通过已知两点的坐标求解出来，其斜率为这两点连线的负倒数。
在三角学中，中垂线可以通过作垂直平分线的方法求解出来。
2.2 中垂线的应用中垂线在圆锥曲线的研究中有着重要的应用。
在椭圆曲线的研究中，利用中垂线可以求解出椭圆的焦点和方程的参数。
在双曲线中，中垂线可以帮助求解出双曲线的渐近线和离心率等重要性质。
三、个人观点和理解在我看来，对称性和中垂线是研究圆锥曲线时非常重要的性质和工具。
圆锥曲线的对称性与轴线位置
圆锥曲线的对称性与轴线位置圆锥曲线是解析几何中重要的概念之一，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在讨论圆锥曲线的性质时，对称性和轴线位置是不可忽视的重要因素。
1. 椭圆的对称性与轴线位置椭圆是圆锥曲线中的一种，具有许多独特的性质。
首先，椭圆具有中心对称性，即椭圆关于其中心对称。
这意味着任何一点关于椭圆的中心，都可以找到对称的点，使得两点关于中心对称。
此外，椭圆还具有轴对称性，即椭圆关于其两个坐标轴对称。
因此，从椭圆的定义可以看出，其轴线位置在其两个坐标轴的交点处。
2. 双曲线的对称性与轴线位置双曲线也是圆锥曲线的一种，与椭圆相似，具有对称性和特定的轴线位置。
双曲线具有两种类型，分别为双曲线的横轴为长轴和双曲线的纵轴为长轴。
对于双曲线的横轴为长轴的情况，其具有中心对称性，即双曲线关于其中心对称。
而对于双曲线的纵轴为长轴的情况，其则具有轴对称性，即双曲线关于其两个坐标轴对称。
因此，双曲线的轴线位置取决于其类型，可以是横轴或纵轴。
3. 抛物线的对称性与轴线位置抛物线是圆锥曲线中常见的一种，也具有独特的对称性和轴线位置。
抛物线具有中心对称性，即抛物线关于其焦点对称。
此外，抛物线还具有轴对称性，即抛物线关于其准线对称。
因此，抛物线的轴线位置在其焦点和准线的交点处。
通过以上论述可以看出，圆锥曲线的对称性和轴线位置是紧密相关的，对于理解和研究圆锥曲线的性质具有重要意义。
深入探讨圆锥曲线的对称性和轴线位置，有助于揭示其几何特征和数学规律，对于数学教学和科学研究都具有重要意义。
苏教选修1-1圆锥曲线中的对称问题ppt1
2 y0
(
y1
y2 )
0
1 a2
1 b2
y0 x0
y1 x1
y2 x2
0
kOP
kAB
b2 a2
即1 a2
1 b2
kOP
kAB 0
问
题
3.若L是椭圆的任意一条弦,则椭圆上一定存在两点A、B关于L对
称吗?
探 椭圆 x2 y2 1 上是否存在两点A、B关于直线
A(x1, y1), B(x2 , y2 )两点在y 2x2上,
L是AB的垂直平分线.当L的斜率为2时,
求L在y轴上截距的取值范围.
y
L
A
B
O
x
谢谢！
y
点差法: 设A(x1,y1),B(x2,y2 ),P(x0 , y0 )
x12
则
a2 x22
a2
y12 b2
y22 b2
1 1
A
O
x
P
B
两式相减:
1 a2
(x1
x2
)(x1 x2
)
1 b2
(y1
y2
)(y1y2
)
0
1 a2
2x0
( x1
x2 )
1 b2
究
2
L: y=2x-1对称? 若ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在求出两点的坐标;若不存在
实 说明理由.
例 探
Ay
究
L: y=2x
A
L: y=2x-1
O
专题51-圆锥曲线中的对称问题(解析版)
【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1. 已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解得：－213 13 <m<213 13. 【点评】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生.例2、在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，-3）为OAB ∆的直角顶点，已知OA AB 2=，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围. 【解析】（1）设),(v u AB =→，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=→→→→2OA AB OAAB ，得⎩⎨⎧=-=+03410022v u v u .解得⎩⎨⎧==86v u ， 或⎩⎨⎧-=-=86v u .∵，∴，得，故.（3）设),(),,(2211y x Q y x P 为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则：， 整理得：，即21,x x 为方程0225222=-++aa x a x 的两个相异实根. 于是由02254422>-⋅-=∆aaa ，得23>a . 故当23>a 时，抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两点. 【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB 的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a 的取值范围.【变式演练1】在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+对称，求k 的取值范围．【变式演练2】求证：抛物线y =12x 2－1上不存在关于直线y =x 对称的两点。
巧用点差法解决圆锥曲线中的对称问题高二上学期数学北师大版选择性必修第一册
圆锥曲线中的直线对称问题
已知椭圆E：x2 y2 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m， 23
椭圆E上有不同的两点关于这条直线对称.
y
O
x
金题精讲
圆锥曲线中的点对称问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
F2 (
3, 0)
，且经过点 (
3, 1) . 2
x2 a2
y2 b2
设点、作差、求斜率.
注意事项
如果是曲线的存在性问题，判断点的位置至关重要，如果点在曲线外，中点弦将 不存在.
金题精讲
圆锥曲线中的直线对称问题
已知椭圆E：x2 y2 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m， 23
椭圆E上有不同的两点关于这条直线对称.
y
【思路分析】
O
x
金题精讲
【解】假设这样的直线存在，不妨
设Q1(x1,y1) ,Q2(x2,y2) ,则
2x12 y12 2 ①
2
x22
y22
2
②
x1
x2
1③
2
y1
y2
1④
2
①–②得：2(x12 – x22)=y12 – y22
即：2(x1 + x2) (x1 – x2)=(y1 + y2)(y1 – y2)
即：2×2(x1 – x2)=2(y1 – y2)
考情分析
圆锥曲线中的 对称问题
基本方法 基本类型
韦达定理法 点差法 关于点对称 关于直线对称
金题精讲
应用点差法解决中点弦问题
已知双曲线方程2x2－y2＝2. （1）求以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程.
圆锥曲线中关于直线的对称问题解法探究
例谈圆锥曲线中存在点关于直线的对称问题解法探究崇信县第一中学尹军民我们先看一道例题：（2010年云南省第二次质检）已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线是双曲线S的一条渐近线，而且原点O，点A（a，0）和点B（0，-b）使等式·成立.（I）求双曲线S的方程；（II）若双曲线S上存在两个点关于直线对称，求实数k的取值范围.解：（I）根据题意设双曲线S的方程为且解方程组得所求双曲线的方程为解法一（设而不求法）：（II）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线当时，设又曲线S上的两点M、N关于直线对称，由直线MN的方程为则M、N两点的坐标满足方程组消去y得显然即设线段MN中点为则在直线即即的取值范围是【评注】由此解题过程不难归纳出步骤如下：1．假设这样的对称点M、N存在，利用对称中的垂直关系设出两点M、N所在的直线方程.2．联立MN所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点P的坐标.3．把P的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.解法二（点差法）：当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线当时，设两式相减整理得的取值范围是【评注】这种解法的步骤是：1o设出两点和中点坐标（x，y）；2o用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；3o联立直线方程，求出交点，即中点；4o由中点位置及对应范围求出参数取值范围.另外，这里还需要说明两个问题：1o弦中点位置问题椭圆双曲线抛物线弦中点在内部弦中点在Ⅰ（交点在同一支上）弦中点在抛物线“内部”或Ⅱ（交点不在同一支上）2o范围问题椭圆＋=1 双曲线抛物线M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则＋<1 － >1或－<0 y2－2px<0 (p>0(焦点在x轴上 y2＋2px<0 (p>0－>1或－<0 x2－2py<0 (p>0（焦点在y轴上） x2＋2py<0 (p>0对于此类问题有一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生。
圆锥曲线中对称性找定点
圆锥曲线中对称性找定点
一、什么是圆锥曲线
圆锥曲线是用曲线表示平面或位面中物体形状的几何图形。
半径
以原点O为圆心，沿直线OH由点O至点H（称作焦点H）为半径，
从原点处沿直线OH旋转而得，这样旋转而来的曲线就称为圆锥曲线。
圆锥曲线的特点是其凸端（焦点H处）、凹端（原点O处）均对称。
二、圆锥曲线的对称性
1、沿着中轴线对称
圆锥曲线的焦距为f，半径为R，焦点在点H，原点在O处。
从焦
点H出发，原点O处向相反方向左右镜像，可组成一条定点对称的线
段把圆锥曲线对称地分割为两部分。
这一线段的端点分别是H和O，
这里的O是曲线的对称点，也是曲线的中心。
2、旋转对称
圆锥曲线可以绕着原点O作旋转，把整个圆锥曲线旋转 180°，使
另一部分与第一部分位置完全相等，从而产生旋转对称。
整个曲线把
圆锥曲线对称地分割为两部分，其一部分是原圆锥曲线右侧，另外一
部分是旋转后出现的左侧，这里旋转180°的点O也是曲线的对称点。
3、组镜像组合对称
圆锥曲线也可以以镜像的方式分割为四部分，其中垂直轴的原点O是四份的对称点，将这四部分组合在一起，会发现它们各自之间是组合对称的，有可以交换位置不变形的性质。
三、对称性找定点
圆锥曲线具有对称特征，只要找到一个对称点，就可以根据其构图规律来确定圆锥曲线上其余点的位置。
根据经过构图分析可以确定圆锥曲线上各点位置，先画出圆心O和焦点H，再将OH线段分成若干份，如按半径RL分出N份，就可以根据对称性迅速确定出圆锥曲线上的任意点坐标。
例谈圆锥曲线中的中点和对称问题
務虫例谈圆锥曲线中的中点和对称问题■浙江省吴兴高级中学杨金军解析几何是高中数学的重点内容之一，直线和圆锥曲线构成了解析几何的核心部分。
圆锥曲线中的中点弦问题、对称问题一直是高考数学试题中的常考问题之一，这类问题常涉及直线与圆锥曲线的位置关系、方程与函数等重要的数学知识。
纵观近几年各地的高考模拟试题和高考真题，我们会发现这类试题既注重对数学基础知识的全面考査，又注重对数学思想和思维方法的考查，而且试题综合性强、题目新颖、灵活多样，对同学们的解题能力要求比较高。
解析几何是高考数学的热点更是难点，所以有“得解几者得数学”之说，本文对解几中的中点弦及对称问题的求解策略进行探究，为同学们高考助力O一、中点问题直线和圆锥曲线相交弦的中点有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题，在高考选择题、填空题、解答题中时有出现，属于中档偏难题型。
解决这类问题的常用策略有数形结合法、消元法、点差法、公式法等，具体选用哪种方法视问题实际背景而定。
151!f（2020年衢丽湖三地市教学质量2检测）已知椭圆丁：脊+b=l,抛物线M：录=2i>a的焦点为F,且动点在抛物线M的准线上。
（1）当点G在椭圆T上时，求|GF|的值；（2）如图1,过点G的直线Zi与椭圆丁交于P,Q两点，与抛物线M交于A,B两点，且G是线段PQ的中点，过点F的直线12交抛物线M于C,D两点，若AC//BD,求直线l i的斜率k的取值范围。
图1解析：（1）因为点G（-1,O在椭圆上，所12以忑+『=1，解得/=忑。
又因为点在抛物线的准线上，所以p=2,则所以|GF|=A+F/19—2°（2）由题意知点G在椭圆内，所以#+护VI,解得i2<—Ob2由椭圆的中点弦公式可得k x=-—・空=_丄._1=1yc4Z所以直线ty—e=£（h+1）。
设直线乙：工=加夕+1（皿工0）。
联立直线厶和抛物线M的方程任=4丈（》一i）—1,9消去工整理得y2~16tyL=仏，+16/+4=0。
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圆锥曲线中的对称问题上海西南位育中学 叶春怡我们常常会遇到这样的问题：第一类是整个曲线关于某点（或直线）对称，第二类是圆锥曲线上的两点关于某直线对称。
这就是本文讨论的“圆锥曲线中的对称问题”。
例1． 求椭圆1422=+y x 关于点M （3，5）对称的曲线方程。
1-1解：设所求曲线上任一点),(y x P ，如图1-1，根据中心对称的性质，P 、P /关于M （3，5）对称，得)10,6('yx P --的坐标是，它应在椭圆1422=+y x 上，于是有1)10(4)6(22=-+-y x ， 即P 点坐标需满足的方程是1)10(4)6(22=-+-y x 。
本例是圆锥曲线对称问题中一类非常典型的问题，即求某一曲线关于定点的对称曲线的方程。
这一类型问题的基本解法和结论：求曲线0),(=y x f 关于点M ),(b a 第一步，设所求曲线上任一点),(y x P ；第二步，易得P 点关于M 的对称点为,2('x a P -第三步，)2,2('y b x a P --在已知曲线上，满足已知曲线方程，代入得0)2,2(=--y b x a f ；第四步，作结论0)2,2(=--y b x a f 即为所求曲线方程。
事实上对其它曲线方程，上面的步骤和结论同样成立。
例2． 求曲线C ：2x y =关于直线l ：x+y-1=0对称的曲线C ’的方程。
解：在曲线C ’任取一点P （x,y ）.设其关于直线l 对称的点P /（x /,y /），则点P /在曲线C ：2x y =上。
由对称的性质知直线l 垂直平分线段PP /，即线段PP /的中点（2/x x +，2/y y +）在直线l 上，且直线PP /的斜率xx yy --//与直线l 的斜率-1之积为-1。
通过解方程组xx yy --//（-1）=-1 2/x x ++2/y y +-1=0得x /=1+-y y /=-1+-x将P /（x /,y /）的坐标代入曲线C ：2x y =中即得曲线C ’的方程为022=+-y y x 。
这是“求曲线0),(=y x f 关于直线l :Ax+By+C=0对称的曲线方程”的问题，其基本解法和结论是：设),(y x P ，则)','('y x P 应满足 ： 0)'()'(=-+-y y B x x A022'/=++++C y y B x x A 从中可解出'P 的坐标（用y x ,表示）但计算较为繁琐，不做重点要求。
下面有一些特殊情况的结论，可作参考，有兴趣的读者不妨自行验证一下。
（1） 曲线f （x ，y ）=0关于x 轴对称的曲线的方程是 f （x ，-y ）=0； （2） 曲线f （x ，y ）=0 关于y 轴对称的曲线的方程是f （-x ，y ）=0；（3） 曲线 f （x ，y ）=0关于直线 x-y+c=0对称的曲线的方程是f （y-c ，x+c ）=0； （4） 曲线 f （x ，y ）=0 关于直线x+y+c=0对称的曲线的方程是f （-y-c ，-x-c ）=0. 例3． 已知抛物线22x y =，（1） 若抛物线和直线y=-x+1相交得两个交点，求使这两点对称的直线。
（2） 抛物线与直线l 的两个交点A ，B 关于直线23+=x y 对称，求直线l 的方程。
解：（1）设抛物线和直线y=-x+1相交得两个交点P ),(11y x ，Q ),(22y x ，由对称性易得若P 、Q 两点关于直线l 对称，则直线l 与直线y=-x+1垂直，因些l 的斜率为1又由⎩⎨⎧+-==122x y x y 消去y 得0122=-+x x∴x 1+x 2=21-∴PQ 中点横坐标为41-显然PQ 中点在直线y=-x+1上 代入直线y=-x+1得中点纵坐标为y =45，即中点为)45,41(- 又PQ 中点必在对称轴直线l 上∴l 斜率为1且过)45,41(-，易得l 的方程为23+=x y （2）由对称性可设直线l 的方程为b x y +-=，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由 ⎩⎨⎧=+-=22xy b x y消去y ,得022=-+b x x∴x 1+x 2=21-∴AB 中点横坐标为41-又AB 中点必在对称轴直线23+=x y 上 代入直线23+=x y 得中点纵坐标为y =45，即中点为)45,41(-代入直线l 的方程得1=b∴直线l 的方程为1+-=x y这是直线与圆锥曲线的位置关系中常出现的一类问题:一个圆锥曲线上存在两点关于直线对称,从这一条件出发解决相关问题.和本文讨论的第一类问题不同，第一类问题是“求”一条曲线关于某点（或直线）的对称曲线，这里讨论的第二类对称问题，对称常常只是作为“条件”。
要利用好这个条件,就要牢牢抓住两点关于某直线对称的性质: 对称点的连线段都被对称轴垂直平分.这一性质可分解为两个重要条件 (1)两对称点连线与对称轴垂直；(2)两对称点连线段的中点是两对称点连线和对称轴的交点． 它们的实质都是等量关系:条件对称点连线与对称轴的斜率之积等于-1(或它们一个斜率为0,另一个斜率不存在)条件. 因此在利用这个条件时，要始终扣住这两个等量关系.例4.试问双曲线3x 2-y 2=1上是否存在A 、B 两点关于直线421-=x y 对称?若存在,求出AB直线方程;若不存在,说明理由.解: 假设双曲线3x 2-y 2=1上存在A 、B 关于421-=x y 对称,则直线AB 与421-=x y 垂直,不妨设x y l AB +-=2:A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎨⎧=-+-=13,222y x b x y消去y ,得1422++-b bx x 依题意⎩⎨⎧=+-=∆bx x b 4412212得 312>b ①且AB 中点)3,2(b b -将中点坐标代入对称轴方程，得43-=-b b得1=b ，满足①.∴存在A 、B 关于421-=x y 对称,12:+-=x y l AB在“一个圆锥曲线上存在两点关于直线对称”的问题中,不仅包含着两个等量关系，还隐含着一个不等关系即由过对称点的直线与圆锥曲线交于不同的两点引出的联立消元后方程（1）二次项系数不为0；（2）0>∆.现在我们可以将这类问题的解决策略归纳为紧紧抓住”一两个不等关系和两个等量关系”.即不等关系: 联立消元后方程（1）二次项系数不为0；（2）0>∆等量关系:条件-1(或它们一个斜率为0,另一个斜率不存在)条件两对称点连线段的中点坐标同时满足对称点连线和对称轴直线方程.例5. 已知椭圆C 的方程x y 22431+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线y x m =+4，椭圆C 上有不同两点关于该直线对称。
解法一：假设椭圆C 上存在不同两点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)关于直线y x m =+4对称,设PQ 直线的方程为由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=134,4122y x n x y消去y ,得即 13x 2－8nx ＋16n 2－48=0． 由 △=64n 2－4×13×(16n 2－48)＞0得213213<<-n又∴PQ 中点坐标为)1312,134(n n ,代入对称轴方程∴要椭圆C 上有不同两点关于直线y x m =+4对称,m 的范围1313解法二：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)是椭圆上关于直线l:y x m =+4对称的两点，PQ 的中点M 的坐标为(x 0,y 0)，则，相减得：，∴3x 0=y 0，又中点(x 0,y 0)在直线l: y x m =+4上， ∴y 0=4x 0＋m ，∴x 0=－m ，y 0=－3m ．而M(－m,－3m)在椭圆内，本例的解法中,方法一即用我们前面归纳的一个不等关系和两个等量关系;方法二看似与方法一完全不同,仔细分析就会发现仍不离一个不等关系和两个等量关系,让我们把这些关系拎出来:中点(x0,y 0)在直线l: y x m =+4上M(－m,－3m)在椭圆内，比较发现,这一解法最大的特点是绕过了联立消元的步骤,利用设点作差的方法(也就是我们常说的点差法),结合两个等量关系把PQ 中点M 的坐标表示了出来(实质跟方法一中得到的413mn -=是一样的).但设点作差的方法有一个”死穴”:它是假设P,Q 两点存在的情况下研究它们坐标满足的关系,但对P,Q 两点的存在性并不能保证.为了解决这一问题,而又避免回到联立消元的老路,因此在这一解法中很好的利用了椭圆图形的性质,以一个等价命题:已知椭圆12222=+b y a x ,以M(x 0,y 0)为中点的PQ 存在的充要条件是M(x 0,y 0)在椭圆内,即122220<+b y a x成功地替代了方法一中的那个不等关系.说到这里,大家也一定发现了,方法二虽然计算量上有一定优势,但最后这个不等关系的得出是利用了椭圆图形的封闭性质,如果换成双曲线就行不通了.所以这种方法有一定的局限性.不过通过这两种方法的比较,相信大家对我们前面归纳的一个不等关系和两个等量关系印象一定也更深刻了。
例6．已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x 轴上，且右焦点到直线的距离为3，若斜率不为0的直线l 与椭圆交于不同两点M 、N ，使M 、N 关于过A 点的直线对称，求直线l 的斜率取值范围。
分析：这是一道综合题，需先求解椭圆方程 解：设右焦点F(c,0)，则由又b ＝1，∴∴椭圆方程为①设直线l 的方程为y ＝kx ＋m （0≠k ）②将②代入①得由题意且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+13331362221221k m x x k km x x ∴∴点P 坐标为又根据题意知M 、N 关于直线AP 对称，故有代入③得解得 1k 001<<<<-或k因此可知，所求k 的取值范围为.与之前的例题相比，本例的难点在于对条件“使M 、N 关于过A 点的直线对称”的解读，首先要分清哪条是对称轴：是过A 点的直线；接下来会发现由于对称轴直线的的斜率未知，因此过M 、N 两点的直线设出来含有两个参数。
后面只要用好“一个不等关系，两个等量关系”来求解就好了。