弧长和扇形面积(练习2)

弧长和扇形面积（练习2）第1题. 如图10，扇形O D E 的圆心角为120 ，正三角形ABC 的中心恰好为扇形O D E 的圆心，且点B 在扇形O D E 内（１） 请连接O A O B 、，并证明A O F B O G △≌△； （２） 求证：A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13．答案：（1）连结O A O B 、（如图） O 是正三角形ABC 的中心． O A O B ∴=．O A F O B ∠=∠．3601203AO B ∠==又120DOE ∠=A OB D O ∴∠=∠ A O B B O D D O E ∴∠-∠=∠-∠ 即A O F B O G ∠=∠故AO F BO G △≌△ （2）BO G BO F BG O F S S S =+ △△四边形而AO F BO G △≌△． 有BOG AOF S S =△△ AO FB O FBGOF S S SS ∴=+=△△△四边形又O 是正三角形ABC 的中心． 13AOBAB CS S ∴=△△BG OFS ∴四边形13A B C S =△即A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13．DAE第2题. 如图，两个半径为1，圆心角是90的扇形O A B 和扇 形O A B '''叠放在一起，点O '在 AB 上，四边形OPO Q '是正方 形，则阴影部分的面积等于 ． 答案：12-π第3题. 下图是一纸杯，它的母线A C 和E F 延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形O A B ．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm ，下底面直径为4cm ，母线长8E F =cm ．求扇形O A B 的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）．答案：解：由题意可知：6AB =π， 4C D =π 设AOB n ∠=，A O R =，则8C O R =-由弧长公式得：6180n R =ππ，(8)4180n R -=ππ解方程组618041808nR nR n⨯=⎧⎨⨯=-⎩得4524n R =⎧⎨=⎩答：扇形O A B 的圆心角是45∵24R = 816R -= 1AA BB '(第2题图)Ｏ1624722OABS =⨯⨯=扇形ππ 7232O A B O CD S S S =-=-纸杯侧面积扇形扇形ππ 40=π224S =⋅=纸杯底面积ππ．40444S =+=纸杯表面积πππ．第4题. 半径为R 的圆弧 AB 的长为12R π，则AB 所对的圆心角为 ，弦A B 的长为 ．答案：90第5题. 半径为5的圆的弧长等于半径为2的圆的周长，则在半径为5的圆中，这条弧所对的圆心角的度数为 ．答案：144第6题. 在半径为4cm 的圆中，弧长为2cm 3π的弧所对的圆周角的度数为 ．答案：15第7题. 一个扇形的圆心角为30，半径为12cm ，则这个扇形的面积为 ．答案：212cm π第8题. 如图，1O 和2O 是半径为6的两个等圆，且互过圆心，则图中阴影部分的面积为．答案：24π-第9题. 如图，△ABC 内接于O ，4cm AB BC C A ===，则图中阴影部分的面积为 ．答案：216)93π-第10题. 如图，O A 是O 的半径，A B 是以O A 为直径的O ' 的弦，O B '的延长线交O 于C 点，且4O A =，45OAB ∠= ，则由 AB ，A C 和线段BC 所围成的图形（影阴部分）的面积是 ．答案：53π-第11题. 已知扇形的圆心角为60，半径为5，则扇形周长为（ ）Ａ．53πＢ．53π+10 Ｃ．56π Ｄ．5106π+答案：Ｂ第12题. 如果扇形的圆心角为150 ，半径是6，那么扇形的面积为（ ）Ａ．5π Ｂ．10π Ｃ．15π Ｄ．30π答案：Ｃ第13题. 如图，1O ，与2O 外切于点C ，M 与1O ，2O 都相内切，切点分别为A ，B ，1O 与2O 的半径均为2，M 的半径为6，求图中阴影部分的面积．答案：连结12O O ，1M O ，2M O 并延长，则1M O ，2M O 分别过点A ，B ．124O O = ，124O M O M ==，1212O O O M O M ∴==，122160M M O O M O O ∴∠=∠=∠=，12120AO C BO C ∴∠=∠=．12160112024423602236081063M O O M AB O AC S S S S 22⎛π⨯6π⨯2=--=-⨯⨯⨯-⨯ ⎝⎭π=π-=π-3 阴影扇形扇形第14题. 如图，正方形A B C D 的边长为2，分别以B ，D 为圆心，2为半径画弧，求图中阴影部分的面积．答案：2909022360360ABCD BAC DAC S S S S 22π⨯2π⨯2=+-=+-=π-4阴影正方形扇形扇形．Ｄ第15题. 如图，阴影部分是某一个广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm ，10cm ，120AOB ∠=，求这个广告标志的周长（精确到0.1cm ）．答案：设半径为20cm ，10cm 的圆弧长分别为1l 和2l ．124080(cm )180l π20π==3，224040(cm )180l π10π==3．广告标志的周长为128040(2010)240cm l l A C B D ππ+++=++-⨯=π+20≈145.6()33．第16题. 如图，1O 与2O 相外切于C 点，A B 切1O 于A 点，切2O 于B 点，21O O 的延长线交1O 于点D ，与B A 的延长线交于点P ． （1）求证：2221P O P C P AP O =；（2）若AB =，6cm P C =，求图中阴影部分的面积．答案：（1）连结1O A ，2O B ，B C ，A C ，则12O A O B ∥，12180AO C BO C ∴∠+∠=．11O A O C = ，11O AC O C A ∴∠=∠，同理22O CB O BC∠=．112212360()180O AC O C A O C B O BC AO C BO C ∠+∠+∠+∠=-∠+∠=，1290AC O BC O ∴∠+∠= ，90ACB ∴∠= ，90CAB CBA ∴∠+∠=，11C BA O AC O C A ∠=∠=∠．Ｐ又C PA BPC ∠=∠ ，∴△PAC ∽△P C B ，P C P B P AP C∴=，2PC PA PB = ．222PC PA PB PB PAPAPA∴==．12O A O B ∥，21PO PB PAPO ∴=，2221P O P C P AP O ∴=．（2）设P A x =，由2PC PA PB =，得(36x x +=，解得x =2PA PD PC =，226PAPD PC∴===，4C D ∴=，14PO =，11sin 2PA PO A PO ∠==160PO A ∴∠= ，1120AO C ∴∠= ，260B O C ∠=．1213AO PA BO PB==，26O B =，121221422(26)cm 233OA B O OA COB CS S S S =--=+⨯π-6π=π()阴影梯形扇形扇形第17题. 如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫以相同速度，同时从A 点到B 点，甲虫沿 1ADA ， 12A EA ， 23A FA ， 3A GB 路线爬行；乙虫沿A CB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）Ａ．甲先到达B 点 Ｂ．乙先到达B 点 Ｃ．甲、乙同时到达B 点 Ｄ．无法确定答案：Ｃ第18题. 如图，正方形A B C D 的边长为2，以C D 为直径在正方形内画半圆，再以D 为圆心，2为半径画弧A C ，则图中阴影部分的面积为（） Ａ．π Ｂ．23π Ｃ．32π Ｄ．2πＤ ＥＦＧＣ1A2A3A答案：Ｄ第19题. 如图，半圆O 的弦A B 平行直径C D ，已知24AB =，半圆E F 与A B 相切，求圆中阴影部分的面积．答案：如图所示，将小半圆沿C D 平行移动，使其圆心与点O 重合，这样所求阴影部分的面积不变．设平移后，小圆与线段A B 相切于G 点，连O G ，O B ，O G A B ∴⊥，且11241222B G A B ==⨯=．在Rt △O BG 中，222212144OB OG GB -===．2222211112222S S S O B O G O B O G G B 1=-=π-π=π(-)=π=π⨯144=72π2阴影大半圆小半圆．第20题. 已知一圆的周长为8cm π，其圆周上一段弧长为3cm π，则该弧所对的圆周角为 ．答案：67.5第21题. 如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为 ．答案：180n r l π=第22题. 如果设圆心角是n 的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为 ．答案：2360n rS π=或12S lr =第23题. 圆心角为30 ，半径为R 的弧长为 ． 答案：6R π第24题. 圆周长为6π，则60 圆心角所对应的弧长为 ．答案：π第25题. 在半径为1cm 的圆中，弧长为23π的弧所对应的圆周角为 ．答案：60第26题. 在O 中，如果120的圆心角所对应的弧长为43π，则O 的半径为 ．答案：2第27题. 如果O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为 ．答案：第28题. 圆心角是180 ，占整个周角的180360，因此它所对的弧长是圆周长的 ．答案：12第29题. 圆心角是n ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：360n ，360n第30题. 扇形的面积为34cm 2，扇形所在圆的半径32cm ，求扇形的圆心角．答案：120。