考虑原子纵向位移单原子链横向振动压电控制
一维单原子链晶格振动解析步骤
一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
高等固体物理第五章晶格振动与晶体热学性质
一维单原子链模型的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振
动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。 一个
一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。并满足三个假设，
（1）假定原子质量为m；
（2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用μn, μn+1…
表示；
（3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2
xb)
k m(xa
xb
)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
Beihang University
2021/3/9
* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
)q2
qq12
在理想情况下，不能脱离晶体格点平衡位置，晶格振动是在平衡位 置附近的微小振动。
Beihang University
2021/3/9
§5。2 一维单原子链
前面给出的简正坐标和简谐近似仅仅是解决问题的总的思 路，但真正求解晶格的振动模是很复杂的事。比如：要了解晶 格振动的物理模型、特征等。真正从微观结构导出力常数是固 体理论的内容，现在我们给出一种最简单的情况来讨论：一维 单原子链模型。
2021/3/9
原子的运动方程
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
固体物理（胡安）课后答案（可编辑）
固体物理(胡安)课后答案第一章晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构,试问它是简单还是复式格子。
为什么?作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解:石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A和点B的格点在晶格结构中所处的地位不同,并不完全等价,平移A→B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中,若矢量,,,为单位向量。
为整数。
问下列情况属于什么点阵?(a)当为全奇或全偶时;(b)当之和为偶数时。
解:当为全奇或全偶时为面心立方结构点阵,当之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若奇数位上有负离子,偶数位上有正离子,问这一离子晶体属于什么结构?解:是离子晶体,属于氯化钠结构。
1.4 (a)分别证明,面心立方(fcc)和体心立方(bcc)点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等,对fcc为,对bcc为(b)在金刚石结构中,作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为解:(1)对于面心立方 (2)对于体心立方 (3)对于金刚石晶胞1.5 证明:在六角晶系中密勒指数为(h,k,l)的晶面族间距为证明:元胞基矢的体积倒格子基矢倒格矢:晶面间距1.6 证明:底心正交的倒点阵仍为底心正交的。
证明:简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体底心正交点阵的惯用晶胞如图: 初级晶胞体积: 倒易点阵的基矢: 这组基矢确定的面是正交底心点阵1.7 证明:正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。
证明:倒易点阵初级元胞的体积:是初基元胞的体积而由于而或:现在证明: 又令又:代入同理 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。
解: 1.9 试解释为什么:(a)四角(四方)晶系中没有底心四角和面心四角点阵。
(b)立方晶系中没有底心立方点阵。
(c)六角晶中只有简单六角点阵。
解:(a)因为四方晶系加底心,会失去4次轴。
(b)因为立方晶系加底心,将失去3次轴。
固体物理学第三章
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
固体物理第7课晶格振动一维单原子链_OK
m
d 2xn dt2
(xn1
xn1 2xn )
xn Aei(tqna)
将xn代入上式若发现如果有下式成立
m 2 2 1 cos(qa) 4 sin 2 qa
2
(q) 2 sin qa 则满足振动方程
m 2 ω 和q的这种关系称为色散关系或色散曲线.
当
q
2
a
l： (q)min
0
：物质的线密度
16
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长已 不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则ω 是q的正弦函数．周期为２π/a。
17
3.1.4 周期性边界条件
波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 xN 1 Aei(tqa) Aei[tq( N 1)a] eiqNa 1
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
15
长波近似
(q) 2 sin qa
m 2
当q 0，即 时：
(q) q a (q) a 常数 即波速u 常数
m
q
m
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速：
u
Y 常数
Y：杨氏模量
的平面波，称之为格波。
10
比较
弹簧振子的简谐振动：
F
Kx
m
d2x dt 2
Kx
令2＝K
m
d2x dt 2
2x
0，其解为：x
Acos(t
)
（简谐振动）
连续介质中的简谐平面 波：
Ae i (t x )
A cos t
x u
Acost
x
(完整版)第四章晶格振动
➢研究的意义：利用晶格振动的理论解释晶
体的热学性质
➢研究的方法：
一维 格波 原子链 声子
三维 晶格
晶格振动与热 学性质之间的 关系
§1 一维原子链的振动
简谐近似：假设原子间的相互作用力仅存在于最近 邻原子之间，在简谐近似下，我们可以用 一个力 常数为k 的弹簧表示最紧邻原子间的相互作用。一 维情况下，原子的振动是纵向的。 一 独立简谐振动 二 简谐振动的耦合 （一）一维单原子链的振动 （二）一维双原子链的振动
—— 一维复式格子存在两种独立的格波
5 分析讨论
振动状态的传递
波矢q的取值
色散关系 两种格波的振幅 长波极限下的两种格波
1)振动状态的传递
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
轻原子(质量为m)之间相互传递振动状态，相邻轻原 子之间的最小空间位相差为2qa。同样，相邻重原子 (质量为M)之间相互传递振动状态，其最小空间位相 差也是2qa。
5 讨论
un Aeiqnat
1） 格波与连续介质中弹性波的差别与联系
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代 替较复杂的格波。
i[t (2n1)aq]
m2 A k(eiaq eiaq )B 2kA
M2B
k (eiaq
eiaq
)A
2kB
(2k m2 )A (2k cos aq)B 0
固体物理学_答案(黄昆)
《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率，VcnV x =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ，V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34ar 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒=n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342ar342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r344ar344x 3333≈π=π⨯=π⨯=（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯=（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r338r 348ar348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
三交互扩散系数达肯方程
⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-==Γ=RT G a RT G a RT G ZP a ZP a a D m m m exp exp 22612exp 6161612020222νννωνν自扩散系数：不依赖于浓度梯度的扩散所定义的扩散系数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=→∂∂*x C J D x C lim 0 考虑对于fcc 结构的纯金属的原子自扩散（空位机构），则要考虑P ν。
实际上P ν就等于系统平衡空位缺陷的浓度N ν：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=RTG N fexp ν。
所以自扩散系数表为：⎪⎭⎫⎝⎛∆-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=*RT G RTG Z a D m f exp exp 612ν。
它也是基于无序游动扩散过程。
(二)偏扩散系数偏扩散系数：几种离子同时进行扩散的多元系统中每个组元的扩散系数，严格说这儿扩散是处在化学位梯度条件下进行的。
偏扩散系数的热力学分析：例如CoO 和NiO 二元系统的扩散。
A 、令μ1、μ2表示1、2两点的化学位。
设μ1>μ2，且x∂∂μ是力的单位，也称化学位梯度，故作用在一个第i 组元粒子上的扩散力作用下粒子平均迁移速度v i 为：x N B v ii i ∂∂-=μ，式中B i 是在单位作用力作用下粒子的平均迁移速度，称绝对迁移率；N 是阿佛加德罗常数；B 、若i 组元的粒子浓度为C i ，则扩散通量J i 为：xN B C J i i i i ∂∂-=μ。
C 、对理想溶液系统有：i i i a RT ln 0μμ=。
式中μi0是i 组元折合到一摩尔纯物质的自由焓。
a i 是i 组元的活度。
因为活度系数γi =a i /C i，代入得：x C CkT B J i i ii i ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-=ln ln 1γ。
D 、与菲克第一定律比较得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=i i i i CkT B D ln ln 1γ，其中括号部分称为扩散系数的热力学因子。
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考虑原子纵向位移单原子链横向振动压电控制
刘灿昌 巩庆梅 马驰骋 周继磊 姜瑞瑞 周长城
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压量子极限 考虑原子链的边界条件与振动结构的对称性利用非线性方程组的迭代方法得到原子的纵向位移 研究
发现纳米线轴向张力与链的长度是影响单原子链纳米线的固有角频率和共振频率的主要因素通过控制单原子链两端
的压电块轴向位移可以改变原子链的轴向张力和单原子链的长度从而改变原子链的固有频率 研究为单原子链谐振
器和滤波器等分子器件研发制造提供理论基础和计算方法
关键词 单原子链压电控制量子极限迭代方法
中图分类号 '"$:'"$#!!!文献标志码 +
2'/:%9:"=>< DE9FGHI9EJK9$%:;9$%9%$%
Hale Waihona Puke I)'V"'('.$7).."*$7"("-(,$'7,(E)#7,$)"*-"7%"*,$"%)..0,)*/ ."*/)&'7'&,$"%).("*+)$F&)*,(&)/G(,.'%'*$
基 金 项 目 国 家 自 然 科 学 基 金 <:<#<"$< 山 东 省 自 然 科 学 基 金 h)$%:#,+%%=
收稿日期 $%:# ?%= ?:$!修改稿收到日期 $%:# ?%; ?$% 第一作者 刘灿昌 男博士副教授:@#% 出生
高频 纳 电 子 机 械 系 统 *QG7AS8TFOU7PTFLQGIFQ8 3XKOTP*SB3 振荡器 的 制 备 是 十 余 年 来 极 为 活 跃 的研究课题 )7NHT课题 组= 制 备 出 超 过 十 亿 赫 兹 的 *SB3 振荡器 5LQKOT等< 制成的碳纳 米 管 谐 振 器基频达到了千兆赫兹 随着碳纳米管等新结构出 现碳纳米管振荡器的基频得到较大提高由于碳纳 米管在生长上无法控制难以批量制备阻碍了在实 际电路中的应用> 目前高频振荡器的核心部件 纳米结构因存在尺寸效应量子效应# 和材料缺陷 等原因限制了振荡器性能的提高制约电子技术的 发展因而迫切需要一种新结构以满足高基频高
8'9 :"7&/ P7GQO7PIFFLQIGK YITW7T8TFOUIFF7GOU78 fNQGONP8IPIO IOTUQOIJTPTOL7R
!!近年来随着电子材料制造由二维降至一维单原 子链作为一种理想的一维导体具有亚纳米尺寸量子化 电导高长宽比和弹性模量特殊的光学和电磁响应等特 点广泛应用于光学和电子学等纳米器件的制造 单原 子链还具有终极大的比表面积电导开关和负微分电阻 等特性: ?$ 是纳米电子器件的重要组成部分"
山东理工大学!交通与车辆工程学院山东!淄博!$<<%=@
!!摘!要 近年来随着纳米制造业的发展一维材料因其优异的物理性能广泛应用于各类力电光热纳米器件 基
于弦振动理论研究了考虑原子纵向位移的单原子链纳米线横向振动控制方法针对单原子链类弦结构采用模态叠加法
建立了单原子链横向振动的动力学方程提出了一种单原子链横向振动固有角频率的计算方法并得到了轴向力控制电
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