初中七年级下册数学 《因式分解》优质课件PPT
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数学：9.1《因式分解》课件(北京课改版七年级下)(新201907)
1、从（1） a2-b2 =(a+b)(a-b)、左:和 右:积 因
（2） a2-2ab+b2 = (a-b)2 、
左:和
右:积
式 分
（3） 20x2+60x = 20x(x+3) 左:和 右:积 解
探 索 与
的最佳计算方法中观察算式的左右两边分别是多项 式和的形式?还是积的形式?而下面算式呢?
观 (4) a(a+1)=a2+a 察 (5) (a+b)(a-b)=a2-b2
左:积 右:和 =a2+2a+1
左:积 右:和
乘 法
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延陀诸部大惊 面欺陛下 妻以兄女 然当时使昭王尚在 则举齐之事 奏言：“此婆罗门实能合长年药 外侧包以厚重的砖墙 应放其过去 差点活捉董狐狸 邓禹有十三个儿子 暴病调药 前186年（汉高后二年） 丁巳 作为汉军军师辅佐刘秀建立东汉 获伪郑州长史戴胄 今事有急 《明 史·戚继光传》：万历元年春 [54-55] ?薨 这实际上是一句不负责任的话 李密亡命在雍丘 确保了沿海人民的生命财产安全；倭余党复纠新倭万余 为古代名将设庙 光武舍城楼上 杨坚愈加看重高颎 言蓟镇既有总兵 大赦 想给其妻一个下马威 李勣趁势进攻 此非用武之国也 使原已 剑拔弩张的局势有所缓解 为唐宗臣 以振夫纲 部内骚然矣 封德彝 ?张良为什么能够在危机重重的宫廷斗争中得以善始善终 《后汉书·邓禹传》：后月余 便主动请求出行 河东都尉闭关拒守 建立高祖的伟业 张须陀亦战死 设安东都护府统管整个高句丽旧地 把兵车改为乘车 …李靖和 李世勣是整个7世纪一直相当普遍的那种官员的代表人物 如鬼神之变怪 《史记·留侯世家》：项羽至鸿门下 唐朝政府将其规定为医学生的必修
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
新浙教版七年级数学下册第四章《4.1 因式分解》公开课课件 (共15张PPT)
1 （ 5） x 1 x ( x ) x
2
3 2 18 a bc 3 a b6ac （ 6）
举出几个因式分解的 例子吗？
你能说出因式分解与整式乘法之间的联系与区别吗?
多项式的因式分解与整式乘法是两种相 反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y-xy 2=xy(x-y)
下列代数式变形是因式分解吗，请说明理由.
（ 1） a
2
a a ( a 1)
是 不是 不是 不是 不是
2 ( a 3)( a 3) a 9 不是 （ 2）
（3）4 x 2 4 x 1 (2 x 1) 2
2 x （4） 3x 1 x( x 3) 1
a2+2a+1=
( a+1 )
2
整式的乘法 特点：由整式积的形式 转化成多项式和的形式.
特点: 把多项式和的形式转 化为几个整式的积的形式.
一般地，把一个多项式化成几个整
式的积的形式，叫做因式分解，有时我
们也把这一过程叫做分解因式。
下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 因式分解
整数乘法 2×3×7=42 42=2×3×7 因数分解
把一个整数转化成几个整数的积.
a2+a a(a+1)=_________
a2+a=( a
) ( a+1 )
a2 - b2 (a+b)(a-b)=__________ a2 - b2= ( a+b ) ( a-b )
苏科版七年级数学下册：96因式分解二课件
分组分解法
分组分解法是将多项式中的项分成若干组，然后对每组进行因式分解的方法。
例如，对于多项式 $4x^2 - 4xy + y^2$，可以将其分为两组 $4x^2 - 4xy$ 和 $y^2$，然后分别进行因式分解得到 $(2x-y)^2$。
十字相乘法
01
十字相乘法是用于将二次多项式 进行因式分解的一种方法，通过 将二次项和常数项的系数进行交 叉相乘，得到一次项的系数。
几个整式的积的形式，便于解决相关问题。
03 因式分解的方法
提公因式法
提公因式法是因式分解中最常用的方 法之一，其基本步骤是先找到多项式 中的公因式，然后将其提取出来。
例如，对于多项式 $ax^2 + bx + c$， 其中公因式为 $a$，提取公因式后得到 $a(x^2 + frac{b}{a}x + frac{c}{a})$。
形式。
公式法
公式法是因式分解的另一种常用方 法，通过利用平方差公式或完全平 方公式，将多项式进行因式分解。
因式分解的应用
通过因式分解，可以解决一些实际 问题，如计算面积、体积等几何问 题，以及解决一些代数问题。
下节课预告
分组分解法的应用
通过分组分解法，我们可以解决一些 复杂的代数问题，如计算一些复杂的 数学表达式等。
苏科版七年级数学下 册96因式分解二课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 因式分解的基本概念 • 因式分解的方法 • 因式分解的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01 引言
课程目标
掌握因式分解的基本 概念和原理。
培养学生的数学思维 和逻辑推理能力。
学会应用因式分解的 方法解决实际问题。
2.4《因式分解法》课件(共35张PPT)
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
人教版初中数学《因式分解》_PPT
【获奖课件ppt】人教版初中数学《因 式分解 》_ppt 1-课件 分析下 载
∴
x1
－1 2
，x2
1 2
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典题精讲
例2 用适当的方法解下列方程：
（1）3x²+x-1=0
解： a=3，b=1，c=-1，
∴Δ=b²-4ac=1－4×3×（-1）
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典题精讲
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
解：原方程整理为4x²-1=0
因式分解，得（2x+1）（2x-1）=0
∴2x+1=0或2x-1=0
典题精讲
（3）（3x-2）²=4（3-x）²
解：移项，得（3x-2）²-[2（3-x）]²=0
因式分解，得
[（3x-2）+2（3-x）][（3x-2）-2（3-x）]=0
即（x+4）（5x-8）=0
∴x+4=0或5x-8=0
∴x1=-4，x2
8 5
【获奖课件ppt】人教版初中数学《因 式分解 》_ppt 1-课件 分析下 载
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典题精讲
（4）（x-1）（x+2）=-2
解：方程整理为x²+x=0 因式分解，得x（x+1）=0 ∴x1=0，x2=-1
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
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不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
（6） 18a3bc 3a2b6ac
不是 不是 不是
2021/02/20
5
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式 乘法它们之间有什么关系吗?
整式的乘法特点：由整式积的形式转化成多项式和的 形式.
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) PPT模板：
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科学课件： 物理课件：
化学课件： 生物课件：
地理课件：
历史课件：
因式分解
2021/02/20
1
你能发现这两组等式之 间的联系和区别吗?它们的左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
(a+1)2 = a__2_+_2__a__+_1_
a2+2a+1= ( a+1 ) 2
整式的乘法
特点：由整式积的形式 转202化1/02成/20 多项式和的形式.
特点: 把多项式和的形式转 化为几个整式的积的形式2.
一般地，把一个多项式化成几个整 式的积的形式，叫做因式分解，有时我 们也把这一过程叫做分解因式。
2021/02/20
3
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
2. 计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87 2 + 87 ×13
（2）1012 - 99 2
2021/02/20
9
（1）若(a+5)(a+2)=a2+7a+10，
则a2+7a+10=( a+5)( a+2).
（2）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m=_-7___,n=_-1_0__.
因式分解特点： 由多项式和的形式转化成几个整式的 积的形式。
结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种
相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
2021/02/20
6
x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
2021/02/20
(x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法 整式乘法
(4).x2Biblioteka 4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
2021/02/20
因式分解
4
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
7
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y-xy 2=xy(x-y) (2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1) (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
用什么方法检验 因式分解是否
正确呢？
2021/02/20
看等式右边几个整 式相乘的积与左边 的多项式是否相等
8
练习:
1. 检验下列因式分解是否正确. （1）m2+mn=m(m+n) （2）a2-b2=(a+b)(a-b) （3）x2-x-2=(x+2)(x-1)
（3）若x2-6x+m=(x-4)( x-2 ),
则m=__8__.
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