高等数学2答案

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高等数学(二)考试题答案

高等数学(二)考试题答案

1单选(3分)已知,复合函数对的导数为,则等于().得分/总分•A.2•B.1•C.•D.正确答案:D你没选择任何选项2单选(3分)定积分的值为().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:B你没选择任何选项3单选(3分)设函数在内连续,且满足,则().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:B你没选择任何选项4单选(3分)极限的值为().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:D你没选择任何选项5单选(3分)设函数,则的值为().得分/总分•A.-48•B.48•C.2•D.-2设是的一个原函数,则().得分/总分A.B.C.D.设函数在区间上连续,其图形如下图所示,,则().第28题图得分/总分•A.函数的图形在内无拐点•B.函数在内取到极小值•C.函数在内取到极大值•D.函数在上单调增加正确答案:B你没选择任何选项8单选(3分)极限的值为().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:D你没选择任何选项9单选(3分)函数的单调增加区间为().得分/总分•A.•B.与•C.•D.正确答案:B你没选择任何选项10单选(3分)已知二阶可导,且,是它的反函数,则等于().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:B你没选择任何选项11单选(3分)曲线的渐近线条数为().得分/总分•A.3•B.1•C.4•D.2正确答案:A你没选择任何选项12单选(3分)曲线的拐点个数为().得分/总分•A.4•B.1•C.3•D.2正确答案:A你没选择任何选项13单选(3分)若不定积分的结果中不含反正切函数,则().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:D你没选择任何选项14单选(3分)定积分的值为().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:B你没选择任何选项15单选(3分)设函数在内连续,则函数的导数为().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:A你没选择任何选项16单选(3分)反常积分的值为().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:B你没选择任何选项17单选(3分)设函数在点的某邻域内有定义,则在点处可导的充分条件是().得分/总分•A.存在•B.存在•C.存在•D.存在正确答案:B你没选择任何选项18单选(3分)已知,则的值为().得分/总分•A.1•B.-2•C.-1•D.正确答案:B你没选择任何选项19单选(3分)设函数由方程确定,则的值为().得分/总分•A.-2•B.1•C.-1•D.2正确答案:D你没选择任何选项20单选(3分)设函数二阶可导,其图形在处的曲率圆的方程为,则函数的二阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:B你没选择任何选项21多选(4分)设函数是闭区间上可导的偶函数,则下列函数中在上一定为奇函数的是().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:C、D你没选择任何选项22多选(4分)设函数在点处可导,在点处连续但不可导,则().得分/总分•A.函数点处连续•B.函数点处不可导•C.是函数点处可导的充分条件•D.是函数点处可导的必要条件正确答案:A、C、D你没选择任何选项23多选(4分)设,则().得分/总分•A.•B.该参数方程确定的曲线在原点的曲率半径为•C.•D.正确答案:A、B、C你没选择任何选项24多选(4分)下列定积分(或反常积分)中,其值为0的有().得分/总分•A.•B.•C.•D.正确答案:A、B、C你没选择任何选项25多选(4分)已知函数在上连续,在内可导,且,则().得分/总分•A.存在,使得•B.存在,使得•C.对任意正数,在内存在相异的两点,使得•D.存在,使得正确答案:B、C、D你没选择任何选项26判断(2分)若函数在点处不可导,则函数在点处也不可导.得分/总分•A.•B.正确答案:B你没选择任何选项27判断(2分)设函数在内可导,,则.得分/总分A.设函数在上可积,且,则在上恒等于零.A.若函数在点处可导,则曲线在点处存在切线.得分/总分设函数在点处二阶可导,且在点处取极小值,则必有,.得分/总分A.对任何正整数,方程至多只有一个实数根.得分/总分A.设函数连续,且满足,则.得分/总分A..得分/总分•A.•B.正确答案:A你没选择任何选项34判断(2分)设函数在内具有一阶连续导数,且在内单调增加,则曲线在内是向下凸的.得分/总分•A.•B.正确答案:A你没选择任何选项35判断(2分)反常积分收敛的充分必要条件是.得分/总分•A.•B.正确答案:A你没选择任何选项。

高等数学2第九章答案_37700

高等数学2第九章答案_37700

习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域: (1)ln(z y x =-(2)u =2.求下列各极限: (1)(,)(0,0)limx y →;(2)(,)(2,0)tan()limx y xy y →.(3)2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+令22u x y =+,原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===(4)()(,0,0limx y →令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数: (1)2sin()cos ()z xy xy =+;(2)(1)y z xy =+;(3)arctan()z u x y =-.(4)设()23y z xy x ϕ=+,其中()u ϕ可导,证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 解 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂,22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.(1)arctany z x=;(2)x z y =.习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分: (1)y xz e =;(2)yzu x =.(3)sin2yz yu x e =++. 解11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂,所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭‘(4)()222tanz y x u ++=解 u x ∂=∂, u y ∂=∂u z ∂=∂)du xdx ydy zdz =++2.求函数yz x=,当2x =,1y =,0.1x ∆=,0.2y ∆=-时的全增量和全微分。

高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,若23(,)f x x x =,224(,)2x f x x x x =-,则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ; (B) 2422x x + ; (C) 25x x + ; (D) 222x x + 。

解:选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导:222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=,将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ,故 23(,)y f x x x x =+ 。

2.已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分,则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2; (B) –3和3;(C)2和–2; (D) 3和–3;解:选C 。

x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2-(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分,则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ; ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ; ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ; ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。

解:选D 。

()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩,曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏,则直线L 与平面∏的位置关系是: [ C ](A) L ⊂∏; (B) //L ∏; (C) L ⊥∏; (D) L 与∏斜交 。

高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题:1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34.设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2 + )的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =; ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧,则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题: 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 ()(上下求导)A .2,B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是( D )A. {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D. {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = ( B )A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ,且 F 具有导数,则∂z + ∂z= (D )∂x ∂yA. 2x + 2 y ;B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ;C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ;D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t , y = a sin t , z = amt ,在 t = 处的切向量是 ( D )4A . (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ,原点(0,0)( A )A .是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8.设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy , 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域, 则必有( ) A .I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零,但符号不能确定。

高等数学二(含答案)

高等数学二(含答案)

高等数学(二)一、选择题1函数1ln xy x-=的定义域是 ( D ) ](0,1) B (0,1)(1,4)C (0,4) D (0,1)(1,4A ⋃⋃2 设2,0,(x)sin ,0a bx x f bx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在x=0处连续,则常数a ,b 应满足的关系是 ( C )A a<bB a>bC a=bD a ≠b3 设(sin )cos 21f x x =+ 则(sin )(cos )f x f x += ( D ) A 1 B -1 C -2 D 24 若(x)xln(2x)f = 在0x 处可导,且'00()2,()f x f x ==则 ( B )221 B C D e 2e A e5 设(x)f 的一个原函数为xlnx ,则(x)dx xf =⎰ ( B )22221111x (lnx)C B x (lnx)C24421111C x (lnx)CD x (lnx)C4224A ++++-+-+6 设'(x)(x 1)(2x 1),x (,)f =-+∈-∞+∞ ,则在(12,1)内,f (x )单调( B ) A 增加,曲线y=f (x )为凹的 B 减少,曲线y=f (x )为凹的 C 减少,曲线y=f (x )为凸的 D 增加,曲线y=f (x )为凸的 7 设(0,0)z(x y)e ,xy z y ∂=+=∂则( C ) A -1 B 1 C 0 D 2 8 设2239k x dx =⎰ ,则k= ( 0 )9 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭( B ) A 0 B 1 C 2 D +∞ 10 {A ,B ,C 三个事件中至少有一个发生}这一事件可以用事件的关系表示为( A )A A ⋃B ⋃C B A ⋂B ⋃C C A ⋃B ⋂CD A ⋂B ⋂C 二 填空题11 设21(x)x f x=+ 则"(1)f =____4_____12 与曲线3235y x x =+- 相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程__y=-3x-6__ 13()sin x x dx +=⎰21cos 2x x C -+ 14 设ln ,z y x dz ==则 _y/x*dx+lnxdy_________ 15 0sin 2lim3x xx→= __2/3_______16函数z = 的定义域为__{(x,y)|x 2+y 2≤1}______ 17 设函数y=xcosx ,则y ’=_cosx-xsinx____18 设函数332,0(x),0x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则f (0)=____2__________19 曲线32113y x x =-+ 的拐点是__(1,1/3)_________20 若2n x y x e =+ 则(n)y = ___22n n x n A e + _____ 三、计算题 21 求极限02sin 2lim sin 3x x xx x→+-解:原式=00224lim lim 232x x x x xx x x→→+==---22计算lim x x →+∞22 lim limlimx x x x →+∞====解:原式 1=23 计算sin x xdx ⎰cos cos cos cosx sinx xd x x x xdx x =-=-+=-+⎰⎰解:原式24 计算4211xdx xπ++⎰442200424021=dx dx 1+x 1+x 1 =arctan ln(1x )21 =arctan ln(1)4216x x ππππππ+++++⎰⎰解:原式25 设z (x ,y )是由方程2224x y z z ++= 所确定的隐函数,求dz222(x,y,z)x 42,2,242242224222F y z z F F Fx y z x y z F z x x x F x z z z F z x y y F y z z z z z x y dz dx dy dx dyx y z z=++-∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∴=+=+∂∂--解:设则有:26 设sin x y e x =,证明"'220y y y -+='""'sin cos sin cos cos sin 2cos 222cos 2(sin cos )2sin =0x x x x x x x xxxxy e x e xy e x e x e x e x e x y y y e x e x e x e x =+=++-=∴-+=-++解:27 (1)求曲线x y e = 及直线x=1,x=0,y=0所围成的图形D 的面积S (2)求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V110011222001e e 1e =ee 222xx x xx x dx ee y e dx ππππ===-==-⎰⎰解:由题知曲线直线的交点:(1,) 则(1) (2))和(28 讨论函数21x y x=+ 的单调区间和凹凸区间,并求出极值和拐点的坐标。

高数二下练习题答案完整版全部

高数二下练习题答案完整版全部

高等数学II 练习题________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______反常积分、定积分应用(一) 1、求无穷限积分0ax e dx +∞-⎰(0>a )。

1ax e dx a+∞-=⎰(过程略)2、求瑕积分21⎰。

()()()2211021023/21/2013/21/20lim lim 12lim 1213828= lim 2333d x x x εεεεεεεεε+++++→+→→+→==-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰3、求由曲线22y x =与4x y +=所围成图形的面积。

22232244282244(4)d (4)18226x x y x y y x y y y yS y y y --==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩∴=--=--=⎰解:或是两交点 4、求由曲线1=xy 和直线x y =,2=x 所围成的平面图形的面积。

2113ln 22S x dx x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰或120111322ln 222S xdx dx x ⎛⎫=⨯⨯-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰(请自己画草图,体会两种不同的求法)5、抛物线342-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。

解:过点)3,0(-的切线方程为 34y x +=,而过)0,3(处的切线方程为 ()23y x =-- 故求的两切线交点为 )3,23(,则所要求图形的面为:()()()()3/23221203/29434326434S S S x x x dx x x x dx ⎡⎤⎡⎤=+=---+-+-+--+-=⎣⎦⎣⎦⎰⎰6、设椭圆的参数方程为2cos ,x t y t ==,求椭圆的面积。

解:由椭圆的对称性,椭圆的面积可表示为:()2020/2442cos sin S ydx td t tdt ππ===-=⎰⎰(简单的计算过程略,希望同学们自行补充完成)7、在]1,0[上给定函数2x y =,问t 取何值时,右图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小?何时最大?222331220322()22()(1()3341331()42,()0,021[0,]()021[,1]()021112(0),(),(1)32431t t t OACO ADBA A t A t y y y y y t t A t t t A t t t t A t t A t A A A t ∴=+=+-=-+''∴=-=∴=='∈<'∈>====⎰⎰解:设曲边三角形和的面积之和为令或当时,,函数单调减少当时,,函数单调增加所以当时,12t =面积之和最大,当时,面积之和最小。

2022年新疆成人高考专升本高等数学(二)真题及答案

2022年新疆成人高考专升本高等数学(二)真题及答案

2022年新疆成人高考专升本高等数学(二)真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间150分钟.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(1~10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设函数2()sin ,(),f x x g x x ==则(())f g x =( )A .是奇函数但不是周期函数B .是偶函数但不是周期函数C .既是奇函数又是周期函数D. 既是偶函数又是周期函数2. 若20(1)1lim2x ax x→+−=,则a =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.设函数()f x 在0x =处连续,()g x 在0x =处不连续,则在0x =处( ) A. ()()f x g x 连续 B. ()()f x g x 不连续 C. ()()f x g x +连续 D. ()()f x g x +不连续4. 设arccos y x =,则'y =( )A.B. C.D.5.设ln()xy x e −=+,则'y =( )A. 1x x e x e −−++B. 1x x e x e −−−+C. 11x e −−D. 1xx e−+6.设(2)2sin n yx x −=+,则()n y =( )A. 2sin x −B. 2cos x −C. 2sin x +D. 2cos x + 7.若函数()f x 的导数'()1f x x =−+,则( ) A. ()f x 在(,)−∞+∞单调递减 B. ()f x 在(,)−∞+∞单调递增 C. ()f x 在(,1)−∞单调递增 D. ()f x 在(1,)+∞单调递增8.曲线21xy x =−的水平渐近线方程为( ) A. 0y = B. 1y = C. 2y = D. 3y = 9.设函数()arctan f x x =,则'()f x dx =⎰( )A. arctan x C +B. arctan x C −+C.211C x ++ D. 211C x−++ 10.设x yz e+=,则(1,1)dz = ( )A. dx dy +B. dx edy +C. edx dy +D. 22e dx e dy +第II 卷(非选择题,共110分)二、填空题(11-20小题,每题4分,共40分)11. lim2x x x e xe x→−∞+=− .12.当0x → 时,函数()f x 是x 的高阶无穷小量,则0()limx f x x→= . 13. 设23ln 3y x =+,则'y = .14.曲线y x x =1,2)处的法线方程为 . 15.2cos 1x xdx x ππ−=+⎰ . 16.121dx x =+⎰. 17. 设函数0()tan xf x u udu =⎰,则'4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 18.设33,z x y xy =+则2zx y∂=∂∂ .19.设函数(,)z f u v =具有连续偏导数,,,u x y v xy =+=则zx∂=∂ . 20.设A ,B 为两个随机事件,且()0.5,()0.4,P A P AB ==则(|)P B A = .三、解答题(21-28题,共70分。

高等数学二试题及答案

高等数学二试题及答案

高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为:A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案:A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为:A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案:A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为:A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案:A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为:A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案:A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。

答案:12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。

答案:e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。

答案:y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。

答案:10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。

答案:1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数,并证明其在定义域内是单调的。

解:首先找到反函数的定义域,由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0,解得x^2>4,因此x<-2或x>2。

设y=ln(x^2-4),则x^2-4=e^y,解得x=±√(e^y+4)。

由于x<-2或x>2,我们选择x=√(e^y+4)作为反函数,定义域为y>ln(4)。

显然,当y>ln(4)时,函数√(e^y+4)是单调递增的,因此反函数也是单调的。

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习题11-1对弧长的曲线积分
1.计算下列对弧长的曲线积分:
(1) ,其中 为圆周 ,直线 及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;
(2) ,其中 为折线 ,这里 、 、 、 依次为点 、 、 、 ;
(3) ,其中 为摆线的一拱 , .
2.有一段铁丝成半圆形 ,其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,求其质量。
复习题十一
1.计算下列曲线积分:
(1) ,其中 为圆周 .
(2) ,其中 为摆线 , 上对应 从 到 的一段弧.
(3) ,其中 为上半圆周 , 沿逆时针方向.
2.计算下列曲面积分:
(1) ,其中 是界于平面 及 之间的圆柱面 ;
(2) ,其中 为锥面
的外侧.
(3) ,其中 为半球面 上侧.
3.证明: 在整个 平面除去 的负半轴及原点的区域 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数。
(3)沿上半圆周 从点 到点 .
4.设 为曲线 , , 上相应于 从 变到 的曲线弧,把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分。
习题11-3格林公式及其应用
1.利用曲线积分,求星形线 , 所围成的图形的面积。
2.计算曲线积分 ,其中 为圆周 , 的方向为逆时针方向。
3.证明曲线积分 在整个 面内与路径无关,并计算积分值。.
(1) ;
(2)
6.计算 ,其中 为由点 到点 的曲线弧

原积分与路径无关, 故原式
习题11-4对面积的曲面积分
1.计算曲面积分 ,其中 为抛物面 在 面上方的部分。
2.计算下列对面积的曲面积分:
(1) ,其中 为平面 在第一卦限中的部分;
(2) ,其中 为球面 上 的部分;
3.求抛物面壳 的质量,此壳的面密度为 .
(1) 是平面 在第一卦限的部分的上侧;
(2) 是抛物面 在 面上方的部分的上侧;
习题11-6高斯公式
1.利用高斯公式计算曲面积分:
(1) ,其中 为平面 , , , , , 所围成的立体的表面的外侧.
(2) ,其中 是界于 和 之间的圆柱体 的整个表面的外侧;
(3) ,其中 为平面 , , , , , 所围成的立方体的全表面的外侧;
2.计算 ,其中 是:
(1)抛物线 上从点 到点 的一段弧;
(2)从点 到点 的直线段;
(3)先沿直线从点 到点 ,然后再沿直线到 的折线;
(4)曲线 , 上从点 到点 的一段弧。
3.把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分,其中 为:
(1)在 面内沿直线从点 到点 ;
(2)沿抛物线 从点 到点 ;
4.计算曲线积分 ,其中 是边长为4,原点为中心的正方形边界,方向为逆时针方向。
解法一
在 内作一圆 : ,方向逆时针
由格林公式有
=

法二:由参数法将得积分代入四部分之和
2.计算曲面积分 ,其中 是曲面 的外侧.
解 添加平面 ,取上侧,使 构成封闭,应用高斯公式地
习题11-7斯托克斯公式
1.利用斯托克公式,计算下列曲线积分:
(1) ,其中 为圆周 , ,若从 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向;
(2) ,其中 为圆周 , ,若从 轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;
(3) ,其中 为圆周 , ,若从 轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;
4.计算 ,其中 为锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面.
解 , ,在 上,
, 在 面的投影为
在 上, ,计算下列对坐标的曲面积分:
(1) ,其中 为球面 的下半部分的下侧.
(2) ,其中 为连续函数, 是平面 在第四卦限部分的上侧.
2.把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分,其中
解曲线 的参数方程为
依题意 ,所求质量
习题11-2对坐标的曲线积分
1.计算下列对坐标的曲线积分:
(1) ,其中 是抛物线 上从点 到点 的一段弧;
(2) ,其中 为圆周 (按逆时针方向绕行);
(3) ,其中 是从点 到点 的一段直线;
(4) ,其中 为有向闭折线 ,这里 、 、 依次为点 、 、 ;
解:积分与路径无关,取路径 ,则有
4.利用格林公式,计算下列曲线积分:
(1) ,其中 为三顶点分别为 、 和 的三角形正向边界;
(2) ,其中 是从 沿 到点 的一段弧.
解:原式

,所以上述第一个积分与路径无关,取点 到点
的直线积分得:
又 的参数方程为 从 变到 ,所以
于是,原式
5.验证下列 在整个 平面内是某一函数 的全微分,并求这样的一个 :
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