方差分析中的交互作用分析
带交互作用的双因素方差分析的线性回归建模
统计与决策2021年第1期·总第565期摘要：文章引入虚拟变量，将带交互作用的双因素方差分析进行了线性回归模型重构，给出了模型的参数估计，证明了回归分析的误差分解与方差分析的离差分解是一致的，得出方差分析的因素显著性F 检验与回归模型的显著性检验的等价性。
同时对方差分析的多重比较t 检验和线性模型的回归系数检验做了比较，指出了他们之间的联系和差异性，分析了差异来源是由于样本的选择差异，最后通过实例给出了两种方法的具体实现。
关键词：方差分析；多元线性回归；虚拟变量；多重比较中图分类号：O212.1文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2021）01-0010-05带交互作用的双因素方差分析的线性回归建模黄伯强1，李启才2（1.南京师范大学中北学院；2.南京师范大学数学科学学院，南京210023）基金项目：国家自然科学基金资助项目（11701288）；南京师范大学青蓝工程项目（2016）；南京师范大学中北学院优秀教学团队建设项目（2018jxtd007）作者简介：黄伯强（1981—），男，江苏宜兴人，硕士，讲师，研究方向：概率论与数理统计。
李启才（1979—），男，安徽东至人，博士，副教授，研究方向：随机控制理论及其应用。
0引言方差分析与回归分析是数理统计中重要的两种统计方法，方差分析主要用来讨论不同试验因素对结果的影响是否存在差异性，分为单因素方差分析与双因素方差分析；回归分析是研究自变量与因变量之间函数关系的模型，比较常见的是线性回归模型。
一般的统计学教材都是单独介绍这两个内容，但这两种统计方法存在一定的相互关系。
许多学者对此做过研究，如刘晓华等（2012）讨论了单因素方差分析与虚拟变量回归，研究了这两种方法下显著性差异检验的等价性，但没有给出双因素方差分析下的回归建模；傅莺莺等（2019）将单因素方差分析纳入线性回归的理论体系，给出了回归系数的几何解释，并比较了单因素方差分析方法下两种统计方法的t 检验基本一致，但也只有单因素方差分析的讨论，缺乏双因素方差分析下回归模型的重构。
方差分析
标的观察值，列于表 1-2。
上一张 下一张
表1-2
因素 B 因素 A
A1 A2
B1 x1 1 x 21
B2 x1 2 x 22
Bj
Bb x1b x2b
x i x 1 x 2
x1 j x2 j
Ai
x i1
xi 2
x ij
x ib
xi
Aa
2 2
X i 1 , X i 2 , , X in ，它们来自具有相同方差 ，均 i
2
i , 均为未知，并且不同水平 Ai 下的样本之间相
互独立。 取下面的线性统计模型：
x ij i ij , 2 ij ~ N ( 0 , ), i 1, 2 , , a , j 1, 2 , , n i (1 .1)
处理 未切去胚乳 切去一半胚乳 切去全部胚乳 每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26
问：每株粒重是否受到切胚乳的影响？（ 0.05 ）
上一张 下一张
解：设每株粒重为
x i j i ,i
上一张 下一张
二、单因素试验的方差分析
设单因素 A 有 a 个水平 A1 , A2 , , Aa ，在水平 Ai ( i 1, 2, , a ) 下，进行 n i 次独立试验，得到试验 指标的观察值列于表 1-1。
表１-１
1
A1 A2 Ai Aa x1 1 x 21 x i1 x a1
6-2交互作用双因子方差分析解读
三、离差平方和的分解
记
1 r s t x xijk rst i 1 j 1 k 1
称为样本总平均；
1 t xij xijk t k 1
xi 1 s t xijk st j 1 k 1
称为水平组合 Ai , B j 下的样本均值； 称为水平 Ai 下的样本均值； 称为水平 B j 下的样本均值。
r r r i 1
s
0
i 1
s
i 1
s
ij uij ui u j u uij ui su i su i 0
j 1 j 1 j 1
所以，如果 H 02 成立，那么因素 B 各效应的水平皆为零； 如果 H 03 成立，那么 ij 0
2 i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1 r s t
i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1
可以验证上式右边所有的交叉乘积项皆为零 记
SE
SA
2
xijk xij
r s t
2
2
xi x
i 1 j 1 k 1 r s t i 1 j 1 k 1 r s t
rs t 1 2 S A B r 1s 1 ~ F r 1s 1, rs t 1 2 S E rs t 1
2
SB
s 1
，可得 若控制犯第一类错误的概率不超过
x 2 s1 , x 2 s 2 , , x 2 st
……
x r11 , x r12 , , x r1t
……
x r 21 , x r 22 , , x r 2 t
……
x rs 1 , x rs 2 , , x rst
交互作用的r语言结果解读
交互作用的r语言结果解读在统计学和数据分析中，交互作用（Interaction）是指不同变量之间的相互影响程度。
在R语言中，可以使用线性回归模型（lm函数）和方差分析模型（aov函数）来探索和解释交互作用。
当我们使用lm函数来分析交互作用时，首先需要在模型中添加交互项。
交互项由两个或多个自变量相乘组成，并用冒号（:）连接。
例如，假设我们的数据集包含两个自变量x和y，我们可以用以下代码建立一个包含交互项的线性模型：```model <- lm(y ~ x + x:y, data = dataset)```在模型拟合之后，可以使用summary函数来查看交互作用的结果。
具体地，我们关注的是交互项（x:y）的系数估计值和显著性水平。
如果交互项的系数显著不为零，则表明存在交互作用。
另一种分析交互作用的方法是使用aov函数进行方差分析。
与lm函数类似，我们需要在模型中添加交互项。
例如：```model <- aov(y ~ x + x:y, data = dataset)```然后，我们可以使用summary函数查看结果。
在方差分析表中，我们关注的是交互项（x:y）的显著性水平（Pr(>F)）。
如果交互项的显著性水平小于设定的阈值（通常为0.05），则表示存在交互作用。
在解读交互作用的结果时，除了关注交互项的显著性，还需要考虑各自变量的主效应。
主效应是指自变量对因变量的独立贡献。
如果存在交互作用，那么自变量的主效应可能会受到交互作用的调节。
交互作用的R语言结果解读包括两个方面：首先，我们需要关注交互项的显著性水平，以确定是否存在交互作用；其次，我们还需要考虑各自变量的主效应，以综合分析交互作用的影响。
在实际应用中，可以结合可视化方法来更好地理解和展示交互作用的结果。
报告中如何有效分析实验结果的影响因素与交互作用
报告中如何有效分析实验结果的影响因素与交互作用导言实验是科学研究的重要手段之一，通过实验可以直接观察和控制因素，以验证或推翻假设。
然而，在实验结果分析过程中，仅仅通过简单的单因素分析可能无法全面认识因素对结果的影响，更不能准确把握各因素之间的交互作用。
本文将从统计学的角度出发，介绍如何有效地分析实验结果的影响因素与交互作用。
一、控制实验设计良好的实验设计是可靠分析实验结果的前提。
在设计实验时，应注意控制除研究因素外的其他因素，并将实验样本尽可能随机分配到不同处理组中，以减少干扰因素的影响。
二、单因素分析单因素分析是最常见的实验结果分析方法，通过对各因素的独立效应进行比较，确定其对实验结果影响的强弱。
在单因素分析时，可以使用t检验、方差分析等方法，对不同处理组之间的差异进行比较。
三、因素交互作用的概念因素交互作用是指不同因素之间相互作用产生的效应，其效果不能简单地由各因素的独立效应累加而得。
因素交互作用的存在增加了实验结果分析的复杂性，需要采用一些特定的统计方法进行分析。
四、因素交互作用的检验为了验证因素交互作用的存在，可以使用方差分析中的交叉效应分析方法。
该方法可以比较不同组别之间的差异，并判断此差异是否来源于不同因素之间的交互作用。
另外，还可以通过建立线性回归模型，引入交互项，来检验因素交互作用的存在。
五、因素间的交互作用模式除了检验因素交互作用的存在外，了解因素之间的交互作用模式也是实验结果分析的重要内容。
常见的交互作用模型包括加性模型、乘性模型和混合效应模型等。
在建立模型时，需要根据实验设计的具体情况选择适合的模型。
六、结果解释与应用在得到实验结果后，需要对其进行解释和应用。
在解释结果时，应尽量对影响因素和交互作用进行全面分析，同时注意将结果与实际问题联系起来，提出合理的解释。
在应用结果时，可以根据对影响因素和交互作用的认识，对现有问题进行进一步研究，并为相关决策提供科学依据。
结语实验结果的分析是科学研究中的重要环节，只有通过有效的分析方法，才能全面、准确地认识各因素对实验结果的影响和交互作用。
方差分析
多重比较的字母标记法： 多重比较的字母标记法：
队别 二 四 三 一 年度 1979 843.5 1978 830 1977 663.25 1976 561.25 754.5 731.25 724.25 688 P0.05 a ab b c P0.05 a a b c P0.01 A AB B C P0.01 A A B C
308025 21609 79021 15317
270400 329476 929510 69076 83454 246868
(一)求总变异 一 求总变异 SST=∑∑Xij2-C=246868-3922/16 = 237264 C=∑(X ij)2/ab=2922/16 = 9604 d f T= n – 1 = 16-1=15
温度B 温度 35 73 150 184 407 40 72 62 108 242
商务统计学课件-有交互作用双因素方差分析问题描述
有交互作用双因素方差分析问题描述
因素B 因素A
B1
A1
X111, X112 ,
..., X11t
… Bj
… X1 j1, X1 j2 , ..., X1 jt
…
…
…
…
Ai
X i11, X i12 , ..., X i1t
… X ij1, X ij2 , ..., X ijt
…
…
…
…
X k11, X k12 ,
ij
ijs
ijs ~ N (0, 2 ), 各 ijs独立
i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,..., t
X ij
ij ai bj (ab)ij ijs
ijs ~ N (0, 2 ), 各 ijs独立
i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,..., t
… ..., X krt
… Tr
… Xr
…
Ti
Xi
…
…
Tk
Xk
总和 总均值
TX
有交互作用双因素方差分析问题描述
所考察的因素记为 A、B
因素 A共有 k个水平 因素B 共有 r个水平
Xijs ~ N ( ij , 2 )(i 1, 2,..., k; j 1, 2,..., r; s 1, 2,...,t) 其中，ij , 2 均未知
1r
i
r ij j1
1k
k j
ij
i1
ai
i
bj
j
i 1, 2,..., k
j 1, 2,..., r i 1, 2,..., k j 1, 2,..., r
交互作用双因子方差分析
st
xijk
j1 k 1
称为水平 Ai 下的样本均值；
x• j•
1 rt
r i1
t
xijk
k 1
称为水平 B j 下的样本均值。
r s t
考虑总变差平方和 ST 2 xijk x 2 的如下分解：
i1 j1 k 1
r s t
ST 2
xijk x 2
i1 j1 k1 rst
若 H01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然 不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于 SE
2
来说一定不应太大，倘若
SA2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
2
=
xijk xij• xi•• x x• j• x xij• xi•• x• j• x
i1 j 1 k 1
r s t
rst
rst
xijk xij• 2 xi•• x 2 x• j• x 2
i1 j1 k 1
i 1 j 1 k 1
商务统计学 8.10有交互作用双因素方差分析假设检验
i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合
下的样本均值
邋 ? k r t
交互作用离差平方和 SSAB =
( X ij鬃- X i 鬃- X j? + X )2
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
令T=
X ijt = krtX
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
总离差平方和 SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
邋 ? 其中，X
=
1 krt
k i =1
rt j=1 s=1
Xijs 是数据的总平均
组间离差平方和
邋 ? 邋 k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
其中，X
i鬃 =
1 rt
rt
X ijs
j=1 s=1
为水平
邋 ? 邋 1 k
X = X SSB =
r
t ( X鬃j - X )2 其中， 鬃j
kt i=1 j=1 s=1
kt i=1 s=1
ijs 为水平
下的样本均值 下的样本均值
构建检验统计量
邋 ? 随机误差平方和 SSE = k
r
t
( X ijs -
X
)2
ij×
T2 krt
邋 ? å k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
=1 rt
k
Ti鬃2 -
i =1
T2 krt
方差分析
4
5 平均
42
44 42
28
32 30
48
50 44
单因子方差分析
我们要研究的指标是电池的寿命，工艺是影响寿命 的一个因素，三种工艺分别是该因素的三个水平. 在 试验中我们假设其它因素都处于相同的状态. 这里我 们希望利用上面得到的数据来考察“工艺”的不同 是否对“寿命”这个指标有影响？
单因子方差分析
双因子方差分析
第一张表给出两因子交互作用的方差分析模型是显著的， F值为7.87，P值为0.0001。第二张表给出两个因子以及交 互作用的检验结果。因素A、B、A*B的P值分为0.0001、 0.1363、0.0006，说明因素A 和因素A*B对Y的影响是显 著的，因素B对Y的影响不显著。
方差分析的基本原理
4.方差的分解 假设：某一影响因子A有a（a≥3）个水平的 处理，在每一水平上有m个重复观测值，则该 资料共有am个观测值，试分析因子A的各个 水飞平之间有无显著差异。
方差分析的基本原理
总平方和分解为组间平方和和误差平方和。
组间平方和:
误差平方和:
单因子方差分析
1.单因素方差分析过程 2.SAS实现过程
双因子方差分析
程序如下：Data new;
Do a='a1', 'a2', 'a3', 'a4'; Do b='b1','b2','b3'; Input y@@; Output; End; End; Cards; 164 172 174 155 157 147 159 166 158 158 157 153 ; Proc print data=new; Run; Proc anova; Class a b; Model y=a b; Run;
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XX xxxxxxx
一、实验室名称
心理统计学实验室
二、实验目的及要求
实验目的：运用Word 95.sav中的数据演示两因素方差分析中交互作用的分析。
（用log_gdp做因变量）
实验要求：熟悉SPSS两因素方差分析的过程，能整理两因素方差分析的过程方法，掌握两因素方差分析的相关标准；能够从方差分析的结果中分析出，两因素方差分析中的交互作用。
三、实验内容
（一）实验器材
1. 安装有SPSS16.0版本的电脑1台。
2. “Word95.sav” SPSS数据库.
（二）实验步骤
1. 用SPSS16.0打开“ Word95.sav”数据库。
2. 选择菜单Analyze---Desriptive Statistics---Frequencies
选择“ People who read ”至U Variable（s）框中，单击Statistics 按钮，在页面中选择Precentile（s）选项，并在框中输入50,单击按钮Add---Continue---Ok ，得中位数88.
3. 重复步骤2,但将“ People who read ” 改为“ People living in cities ” ,得中位数60。
4. 选择菜单Transform---Recode in to Differe nt Variable
选择“ People who read ”至U Numeric Variable->Output Variable 框中，在Output Variable 处的name处输入“ pwr” ,并单击Change按钮确认，单击Old and New Values按钮进行分组区间定义，选择
Range,LOERSThrough value,填入88,在value 处输入1,单击Add 按钮，选择Range,value through HIGHEST,填入88，在value 处输入2，单击Add按钮---Continue---Ok 。
5. 重复步骤4，但将“ People who read” 改为“ People living in cities ” , “ pwr” 改为“ plic ” ,88 改为60.
6. 选择菜单Analyze---Gen eral li naer modle---Uni variate, 选择“ log_gdp”i至Dependent Variable ，选择“ pwr” 和“ plic ” 至U Fixed Factor中，单击Ok,得表。
四、实验数据及结果分析
(一)实验结果：
Statistics
P EOD I E who re旨d (%)
Statistics
Tests of Between-Subjects Effects
Denendent Variab eiLoa fbase 101 of GDP CAP
（二）结果分析
由上表可知，校正模型的df=3 , F=51.783，均方为8.241 , sig=0 ; pwr 的df=1,F=37.611,均方为5.986 ,sig=0 ;plic 的df=1,F=46.408 , 均方为7.386 , sig=0 ; pwr*plic 的df=1,F=3.487,均方为0.555 ,
sig=0.065 ;
由此可知，“ People who read ”与“ People living in cities ”在方差分析中的交互作用不显著，但每个因素的主效应显著，这需要进行事后检验。
五、实验结论
本实验采用方案采用方差分析的方法，选用两种因素作为自变
量，研究它们对某一因变量的影响，结果显示两因素得主效应显著，
两因素在方差分析中的交互作用不显著，需要事后检验。
六、对本实验过程及方法、手段的改进建议
1. 对于有很多缺失值的被试的数据应当弃掉，不予采用。
2. 对于录入错误的数据，将其当做缺失值处理带来的误差比较大。
3. 最好应该查找原始数据，找出其正确数值。