第十二章线性规划基本概念与基本定理

第十二章 线性规划的基本概念和基本定理

12.1线性规划的基本概念

12.1.1可行解，可行域

定义12.1.1：称满足全部约束条件的向量为可行解或可行点。

例如： SLP

m a x ..0

f CZ

AZ b s t Z ==⎧⎨

≥⎩ 如果0Z 满足这些约束，即0AZ b =且00Z ≥，则0Z 就是SLP 的可行解。 定义12.1.2：称所有可行解（点）构成的集合为可行集或可行域。也称为可行解集。

例如：上面 SLP 的可行域为{,0}R AZ b Z ==≥

定义12.1.3：若一个线性规划问题的可行集为空集时，则称这一线性规划无可行解。这时线性规划的约束条件不相容。

由上一章的分析可以看到：一个线性规划的可行解集可以是空集，有界非空集和无界非空集。

12.1.2最优解，无界解

定义12.1.4：称使目标函数值达到最优值的可行解为线性规划问题的最优解

定义12.1.5：对于极大化目标函数的标准线性规划问题，定义其无界解如下：对于任何给定的正数M ，存在可行解 X 满足,0AX b X =≥，使CX M >。那么称该线性规划问题有无界解。

由定义可知，无界解的意思是：若是极大化目标函数，则在可行域上目标函数值无上界；若是极小化目标函数，则在可行域上目标函数值无下界。那么，有无界解的线性规划问题一定没有最优解。

例12.1.1 考虑线性规划问题： 12max()x x +

12121

21

10,0

x x st

x x x x -≤⎧⎪

-+≤⎨⎪≥≥⎩

图12.1.1

解：问题的可行域是上图所示的无界凸多边形区域，在此无界可行域上，目标函数值无上界，所以这个线性规划问题有无界解。

12x x -

例12.1.2 12

max f x x =-12121

2110,0

x x st

x x x x -≤⎧⎪

-+≤⎨⎪≥≥⎩ 解：此问题的可行域如上图，是一个无界的多边形。但极大化目标函数却以

1为上界。因此这个线性规划问题没有无界解，而且事实上，此问题目标函数最优值max f=1在可行域射线121x x -=上均可达到。

12.1.3. 基本可行解

定义12.1.6：对于约束条件Ax=b ，设A 是秩m 的m ｘn 矩阵，用(j P , j =1 ~n) 表示A 的第j 列向量。即A =(1....n p p )。由A 的m 个列向量构成的m 阶方阵 B=( 12,...m j j j p p p )

若B 是非奇异的，即detB ≠0，则称B 为一个基或称为一个基矩阵。

因为SLP 问题中含有约束条件Ax=b ，因此也通常称B 为线性规划SLP 的一个基。

由上面定义可知，B 中m 个列向量是线性无关的，并且它是A 的列向量组的一个最大无关组。

按定义，A 中m 个列向量，只要是线性无关的就可以构成一个基。

定义12.1.7：若变量j x 对应A 中列向量j p 包含在基B 中，则称j x 为B 的基变量；若变量k x 对应A 中的列向量k p 不包含在基B 中， 则称k x 为B 中的非基变量。

例12.1.3 求15~x x 满足123124

1255262210,1~5

i x x x x x x x x x x i ++=⎧⎪-++=-⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩ 使122f x x =+

解： 111001101062001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则100010001B ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭的列是线性无关的，即

5001p ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

是线性无关，因此{}3

4

5x x x 是一组基。而12111,102p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，不在

这个基中，所以12,x x 为非基变量。

定义12.1.8 ：设Ax=b, x ≥0一个基()1...m

j j B p p =，其对应的基变量构

成的m 维列向量记为1(...)m T B j j x x x =这时若全非基变量等0，则 Ax=b ⇒B Bx b =,

得唯一解1B x B b -=.记为1

1(...)T m B b b b --

-=于是得到方程组Ax=b 的一个解

1212,...m j j j m

x b x b x b ---

===，

非基变量1,0,(1,2....,)j m x j n i j j ==≠称之为对应于基B 的基本解。这个定义也告诉我们怎样找一个基本解）

如：上面例12.1.2中，非基变量120x x ==。则可得3455,4,21x x x ===。所以0(0,0,5,2,21)x =-是对应于基B 的一个基本解，但由于4x =-2<0.不能满足约束条件，所以这个基本解不是原问题的可行解。（为什么？）

这是因为，按照定义，基本解中的 n-m 个非基变量必须取0值只有m 个基变量取值才可能不等于0。但可以取负值。因此基本解不一定满足SLP 的非负要求。

定义12.1.9：对应于基B 的基本解，若基变量取非负值，即1B x B b -=，b>0，则称它为满足约束 Ax=b, x>o 的基本可行解。

对应地称B 为可行基，因SLP 中具有此约束条件。也通常 称为SLP 的基本可行解。

定义12.1.10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基本最优值。 例12.1.4：（SLP)如例12.1.3，试找一个基本可行解。

解：110100601B ⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

是其一个基矩阵. 135,,p p p 是一个基。则135,,x x x 为基变

量。24,x x 为非基变量。令240x x ==.得1352,3,9x x x ===. 故1(2,0,3,0,9)x =是原问题的一个基本可行解，1B 为基可行基。

上面我们讲到基本解中有n-m 个分量必须取零值，而只有m 个基变量取非

零值。而基本可行解，它一方面是基本解，另一方面又是可行解，因为它是基本解，所以n-m 个非基变量取0值；它是可行解，则m 个基变量取非负值，从而基本可行解正分量是个数不超过m.

那么满足Ax=b,x ≥0的正分量个数不超过m 的可行解。()m n Rank A m ⨯=是否一定是基本可行解呢？

我们举例说明这个问题。

例12.1.5.已知约束条件为：1231241

23442280,0,0,0

x x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪≥≥≥≥⎩