金融计量学平稳金融时间序列AR模型
金融计量学平稳金融时间序列AR模型
2 1 0 -1 -2 -3
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
3 2 ALPHA=0.6 1 0 -1 -2 -3
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
8 ALPHA=0.9
4
0
-4
-8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y 1 ,y 2 , ,y T ,y t N (0 , 2 )
就是一个典型的样本为T的白噪音过程。
3.2 一阶自回归模型（AR（1）process） 3.2.1 AR（1）过程的基本定义和性质
AR（1）模型可以写成：
yt c yt1 t t iid (0, 2 )
c是常数项或截距项。
用无限阶移动平均来表示AR（1）移动平均 过程：
8 ALPHA=1.0
4
0
-4
-8 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
3.3 二阶自回归模型（AR（2）process） 3.3.1 AR（2）过程的基本定义和性质
ytc1yt 12yt 2t
t iid(0,2)
yt c 1L yt1 2 L yt2 t (1 1 L 2 L ) yt c yt t
j 1 j1 2 j2
根据自相关函数的定义，得关系式
j 1 j1 2 j2
因此， 1 10 21
2 11 20
又因为自相关函数具有以下性质 可得自相j 关函j 数，在0 前200期1的解析表达式
1
1
1
2
2
2 1
2 2
12
2
进而可推导出平稳AR（2）模型的 方差解析表达式：
平稳AR模型知识点总结
平稳AR模型知识点总结一、AR模型的定义AR模型是一种描述时间序列数据动态特征的模型，它假设当前时刻的观测值可以由之前时刻的观测值线性组合得到。
具体来说，平稳AR(p)模型可以表示为：\[X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + ... + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t\]其中，\(X_t\)是当前时刻的观测值，\(c\)是常数项，\(\phi_1, \phi_2, ..., \phi_p\)是模型的参数，\(X_{t-1}, X_{t-2}, ..., X_{t-p}\)是之前时刻的观测值，\(\varepsilon_t\)是一个白噪声误差项。
这里的p代表了模型的阶数，即模型考虑了之前p个时刻的观测值。
二、平稳AR模型的特性平稳AR模型有一些重要的特性，对于理解和分析AR模型非常有帮助。
1. 平稳性：AR模型的平稳性是一个重要的性质，它要求模型的参数要满足一定的条件才能保证模型是平稳的。
平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内是相似的，不随时间变化而发生明显的变化。
对于AR模型来说，要求其参数满足的条件是其特征根要在单位圆内，即\(|\phi_1| < 1, |\phi_2| < 1, ..., |\phi_p| < 1\)。
只有当这个条件满足时，AR 模型才具有平稳性，否则就会出现时间序列数据的不稳定性。
2. 自回归结构：AR模型的自回归结构是模型的核心特性，它描述了当前时刻的观测值与之前时刻的观测值之间的关系。
这种自回归的结构可以帮助我们理解时间序列数据的动态特性，进行预测和分析。
3. 白噪声残差：AR模型的误差项\(\varepsilon_t\)通常假设是服从均值为0、方差为\(\sigma^2\)的白噪声分布。
这意味着模型的残差是独立同分布的，没有自相关性和序列相关性，对于模型的有效性和预测性能至关重要。
《金融计量学》题集
《金融计量学》题集一、选择题（每题10分，共100分）1.金融计量学主要应用于以下哪些领域？A. 金融市场预测B. 风险管理评估C. 文学作品分析D. 宏观经济政策制定2.在时间序列分析中，AR模型主要描述的是？A. 自回归过程B. 移动平均过程C. 季节性变动D. 长期趋势3.以下哪个统计量常用于衡量时间序列的平稳性？A. 均值B. 方差C. 自相关系数D. 偏度4.对金融数据进行对数变换的主要目的是？A. 简化计算B. 消除异方差性C. 提高数据的正态性D. 增加数据的波动性5.GARCH模型主要用于分析金融时间序列的哪种特性？A. 平稳性B. 季节性C. 波动性D. 趋势性6.VaR（Value at Risk）模型的核心思想是什么？A. 用历史数据来预测未来风险B. 用数学模型来量化潜在损失C. 用专家判断来评估风险D. 用模拟方法来估计风险7.在多元回归分析中，如果解释变量之间存在高度相关性，会导致什么问题？A. 模型拟合度提高B. 参数估计不稳定C. 残差增大D. 模型解释能力增强8.以下哪个不是金融计量模型的常见检验方法？A. 残差检验B. 稳定性检验C. 显著性检验D. 一致性检验9.在金融时间序列分析中，ADF检验主要用于检验什么？A. 序列的平稳性B. 序列的自相关性C. 序列的异方差性D. 序列的周期性10.以下哪个软件不是常用的金融计量学分析工具？A. EViewsB. R语言C. PythonD. Excel（基本功能）二、填空题（每题10分，共50分）1.金融计量学是研究__________________的学科，它运用统计和数学方法来分析和预测金融市场行为。
2.在进行时间序列分析时，如果序列不平稳，通常需要进行__________________处理，以使其满足建模要求。
3.GARCH模型中的“G”代表__________________，它用于描述时间序列的波动性聚集现象。
平稳时间序列模型
（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此
金融时间序列预测中的ARIMA模型及改进
金融时间序列预测中的ARIMA模型及改进随着金融市场的日益复杂和全球化程度的不断提高，金融时间序列的预测成为了金融领域中非常重要的一个问题。
准确地预测金融时间序列可以帮助投资者制定有效的投资策略，降低风险并提高收益。
ARIMA（自回归综合移动平均）模型作为一种经典的时间序列预测模型，被广泛应用于金融市场的预测和分析中。
本文将重点介绍ARIMA模型及其改进。
1. ARIMA模型ARIMA模型是由自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）组成的。
AR模型用于描述当前时刻的观测值与前一时刻观测值之间的线性关系，而MA模型用于描述当前时刻的观测值与随机误差项之间的线性关系。
ARIMA模型的核心理念是将时间序列数据进行平稳化处理，然后利用自回归和移动平均的方法建立模型，最后通过对模型进行参数估计和拟合来进行预测。
2. ARIMA模型的改进尽管ARIMA模型在金融时间序列预测中表现出了较好的效果，但是它仍然存在一些局限性。
首先，ARIMA模型只适用于线性时间序列数据的预测，并不能很好地捕捉到非线性的特征。
其次，ARIMA模型对于长期依赖的时间序列数据的预测效果较差。
为了克服这些问题，研究者们提出了一系列的ARIMA改进模型，如ARIMA-GARCH模型、ARIMA-EGARCH模型等。
3. ARIMA-GARCH模型ARIMA-GARCH模型是ARIMA模型与广义自回归条件异方差模型（GARCH）的结合。
GARCH模型能够对时间序列数据中的异方差进行建模，并可以较好地捕捉到金融市场中的风险特征。
ARIMA-GARCH模型在预测金融时间序列数据时，首先利用ARIMA模型对序列数据进行平稳化处理，然后使用GARCH模型对平稳化后的序列拟合，最后利用模型得到的结果进行预测。
4. ARIMA-EGARCH模型ARIMA-EGARCH模型是ARIMA模型与指数广义自回归条件异方差模型（EGARCH）的结合。
与GARCH模型不同的是，EGARCH模型不仅能够对异方差进行建模，还可以捕捉到金融时间序列中的杠杆效应。
金融计量学时间序列模型
第2章时间序列模型时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 年提出。
它适用于各种领域的时间序列分析。
时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是：⑴这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。
⑵明确考虑时间序列的非平稳性。
如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。
1．随机过程、时间序列定义2．时间序列模型的分类3．自相关函数与偏自相关函数4．建模步骤（识别、参数估计、诊断检验）5．乘积季节模型（略）6．案例分析2.1随机过程、时间序列为什么在研究时间序列之前先要介绍随机过程？就是要把时间序列的研究提高到理论高度来认识。
时间序列不是无源之水。
它是由相应随机过程产生的。
只有从随机过程的高度认识了它的一般规律。
对时间序列的研究才会有指导意义。
对时间序列的认识才会更深刻。
自然界中事物变化的过程可以分成两类。
一类是确定型过程，一类是非确定型过程。
确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。
例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。
非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t的确定性函数描述的过程。
换句话说，对同一事物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。
例如，对河流水位的测量。
其中每一时刻的水位值都是一个随机变量。
如果以一年的水位纪录作为实验结果，便得到一个水位关于时间的函数x t。
这个水位函数是预先不可确知的。
只有通过测量才能得到。
而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。
随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为{x (s, t) , s∈S , t∈T }。
其中S表示样本空间，T表示序数集。
对于每一个t, t∈T, x(·, t ) 是样本空间S中的一个随机变量。
对于每一个s, s∈S , x (s, ·) 是随机过程在序数集T中的一次实现。
ARDL模型介绍
ARDL模型介绍ARDL模型（Autoregressive Distributed Lag Model）是一种用于分析时间序列数据的计量经济学模型。
它可以用于研究变量之间的长期和短期关系，并通过引入滞后变量和变量差分来考虑变量之间的动态调整机制。
ARDL模型以均衡模型为理论基础，通过引入滞后变量，可以捕捉到变量之间的长期关系。
与其他时间序列模型相比，它具有以下特点：可以同时考虑内生变量的滞后效应和外生变量的短期效应；可以处理非平稳时间序列数据；可以估计长期关系和短期动态调整参数；适用于小样本和大样本。
具体来说，ARDL模型可以用如下形式表示：$$Y_t = \alpha + \sum_{i=1}^{p}\beta_iY_{t-i} +\sum_{j=0}^{q}\delta_jX_{t-j} + \epsilon_t$$其中， $Y_t$ 是内生变量， $X_t$ 是外生变量， $p$ 和 $q$ 分别表示内生变量和外生变量的滞后阶数， $\alpha$ 是截距项，$\beta_i$ 和 $\delta_j$ 是系数， $\epsilon_t$ 是误差项。
在进行ARDL协整检验时，首先需要检验内生变量和外生变量是否存在协整关系。
常用的检验方法有Bounds检验和统一平稳性检验。
Bounds 检验是通过比较两个阈值来判断协整关系是否存在，而统一平稳性检验则是通过引入滞后变量和差分项来构建F统计量，判断协整关系是否显著。
如果ARDL协整检验结果表明存在协整关系，那么可以建立ARDL误差修正模型。
该模型可以解释长期和短期关系之间的调整速度。
用如下形式表示：$$\Delta Y_t = \gamma_0 + \sum_{i=1}^{p}\gamma_i(Y_{t-i} -\beta Y_{t-i}) + \sum_{j=0}^{q}\lambda_j\Delta X_{t-j} +\theta_1 ECM_{t-1} + \epsilon_t$$其中， $\Delta$ 表示变量的一阶差分， $ECM_{t-1}$ 是误差修正项， $\gamma_i$ 和 $\lambda_j$ 是系数， $\theta_1$ 是误差修正系数，反映了短期变量调整到长期均衡的速度。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
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张成思
第三章 平稳金融时间序列：AR模型
3.1
3.2 3.3 3.4
基本概念
一阶自回归模型（AR（ess） p阶自回归模型（AR（p）process）
2
3.1 基本概念 3.1.1 随机过程与数据生成过程 随机过程： 从随机概率论的概念出发，随机过 程是一系列或一组随机变量的集合，用 来描绘随机现象在接连不断地观测过程 中的实现结果。对于每一次观测，得到 一个观测到的随机变量。
数据生成过程: 利用下面的回归模型来说明，即：
2 0
yt 0 xt t , t : i.i.d.(0, ), t 1,2,L , T
假设模型中所有系数已知或者是已 经设立了的，那么给定解释变量 xt 的一 组观测值，回归模型就可以生成对应的 一组 yt 值，则模型就是一个数据生成过 程。
yt c yt 1 t
t : iid (0, )
3.1.4白噪音过程（white noise process） 一个随机过程如被称为白噪音过程， 则组成该过程的所有随机序列彼此互相独 立，并且均值为0，方差为恒定不变值。 yt 如果满足下列条件 即对于所有时间t， (i) E( yt ) 0 (ii) Cov( yt , yt j ) 0, j 0 2 (iii) Var ( yt ) 0 则 yt 是白噪音过程。
0, j 0
如果一个白噪音过程还满足正态分 布的条件，即服从正态分布，这样的 过程称为高斯白噪音过程。例如： 2 y1, y2 ,L , yT , yt : N (0, ) 就是一个典型的样本为T的白噪音过程。
3.2 一阶自回归模型（AR（1）process） 3.2.1 AR（1）过程的基本定义和性质 AR（1）模型可以写成：
弱平稳的定义： 对于随机时间序列 yt ，如果其期 望值、方差以及自协方差均不随时间t 变化而变化，则称 yt 为弱平稳随机变 yt 必须满足以下 量，即对于所有时间t， 条件： (i) E ( yt ) 为不变的常数； 2 Var ( y ) (ii) 为不变的常数； t (iii) j E yt yt- j , j 0, 1, 2, L
平稳还暗示着：
j j , j 1, 2,L
对于一个弱平稳过程 yt ，自相关函数
j j , j 0, 1, 2,L Var ( yt ) Var ( yt- j ) 0
Cov( yt , yt- j )
并且：
0 0 1 0 j j
图3-3 白噪音过程的 自相关图
1.0 ACF 0.5
0.0
-0.5
-1.0 4 8 12 j
对于白噪音过程，总有如下等式成立： 2 , j 0 j 0, j 0 1, j 0 以及 j 白噪音过程中的观测值彼此之间互相 独立，白噪音过程不能由其以前的信息 来预测，至少从线性角度看是这样的。
如果使用数学语言来定义随机函 数，给定一个时间域T，对于T中每一 个参数t，都有一个取值于确定集合W 的随机变量Yt (s) ，其中s属于一个特定 的样本区间。所以对于一个给定的t， Yt ( s) 是一个随机变量。对于一个确定的 Yt ( s) 就是在s上的一组实现值,而 样本s， {Yt ( s), t T } 就是一个随机过程。 集合
对于均值保持不变的随机过程来说，
j E yt y , j 0, 1, 2, L tj
j 0 时，即为方差：
0 Var( yt ) E yt yt-0
随机变量x和y的相关系数模型为：
Cov( x, y ) Var ( x) Var ( y)
严平稳的定义：
如果对于任何 j1, j2 ,L , jk ，随机变 量的集合 ( yt , yt j1 , yt j2 ,L ,t jk ) 只依赖 于不同期之间的间隔距离 ( j1 , j2 ,L , jk ) 而不依赖于时间t，那么这样的集合称 为严格平稳过程或简称为严平稳过程， 对应的随机变量称为严平稳随机变量。
自相关函数，即 yt 与 yt- j 的自相关 函数定义为：
j
Cov( yt , yt- j ) Var ( yt ) Var ( yt- j ) , j 0, 1, 2, L
一般将 j相对于滞后期数j绘制出的 图示称为自相关图。
3.1.3 弱平稳与严平稳的定义 弱平稳（weakly stationary） 有时也叫协方差平稳（covariancestationary） 或二阶平稳（ secondorder stationary）。
4 0 -4 -8 -12
3.1.2 自协方差与自相关函数 假定 yt 是一个随机变量，自协方差 定义的是 yt 与其自身滞后期之间的协方 差，即“自身的协方差”。常见的协方 差的基本定义是：
Cov( X , Y ) E X E ( X ) Y E (Y )
yt E[ ] 表示期望。从而可以知道， 其中： 与其自身滞后j期 yt j 之间的协方差定义 j E yt E ( yt ) 为： yt- j E ( yt- j ) , j 0, 1, 2, L
DGP适用于理论上的问题与真实世 界的事例之间的比较。 例如:中国国际股票指数和随机游走 过程看上去相似吗？股票的收益率序列 符合白噪音过程吗？
160 120 80 40 0 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006
DGP: Y(t)=Y(t-1)+e China International Stock Price