2013矩阵论_2_期末考试试卷
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
矩阵论研究生考试题(2012-2013)-推荐下载
证明:1) E 1;2) A 1时， E A 可逆，且 1 E A1 1 .
3. A 为秩为 r 的半正定 Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵 P ,
使得
A
P
（其中 Ir 为 r 阶单位矩阵）
P
H
,其中
1
r
(i
1 A
0, i
1.
A
是
n
阶方阵，
则 A 的最小多项式 m
2.矩阵
3.矩阵
4.设
A
A
0 2 1
2
1 2 0
a1
a2
a3
1 3
E
0
4 5
2
A
的标准型为
的
的谱半径
为给定的常向量，
1
1
范数（列和范数）
X
，
.
则
总分
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
矩阵论复习题
矩阵论复习题矩阵论是数学的一个重要分支，在许多领域都有着广泛的应用，如工程、物理、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的复习题，希望能帮助大家巩固所学知识。
一、矩阵的基本运算1、已知矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，求 A ＋ B，A B，A B。
2、计算矩阵 C ＝ 2 －1; 3 0 的逆矩阵。
3、设矩阵 D ＝ 1 0 0; 0 2 0; 0 0 3，求 D 的行列式。
二、矩阵的秩1、求矩阵 E ＝ 1 2 3; 2 4 6; 3 6 9 的秩。
2、已知矩阵 F 的秩为 2，且 F ＝ a b c; d e f; g h i，其中 a ＝ 1，b＝ 2，c ＝ 3，d ＝ 2，e ＝ 4，f ＝ 6，求 g，h，i 满足的条件。
三、线性方程组1、求解线性方程组：x ＋ 2y z ＝ 1，2x y ＋ 3z ＝ 2，3x ＋ y 2z＝ 3。
2、讨论线性方程组：x ＋ y ＋ z ＝ 1，2x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 2，3x ＋3y ＋ 3z ＝ 3 的解的情况。
四、向量空间1、证明向量组 a1 ＝ 1 2 3，a2 ＝ 2 4 6，a3 ＝ 3 6 9 线性相关。
2、已知向量空间 V ＝｛（x, y, z) ｜ x ＋ y ＋ z ＝ 0}，求 V 的一组基和维数。
五、特征值与特征向量1、求矩阵 G ＝ 2 1; 1 2 的特征值和特征向量。
2、已知矩阵 H 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量分别为 p1 ＝1 0，p2 ＝ 0 1，p3 ＝ 1 1，求矩阵 H。
六、相似矩阵1、判定矩阵 I ＝ 1 2; 0 3 和矩阵 J ＝ 3 0; 0 1 是否相似。
2、若矩阵 K 和矩阵 L 相似，且矩阵 K 的特征值为 2，3，矩阵 L 的特征值为 4，5，求矩阵 K 和矩阵 L 之间的相似变换矩阵。
七、矩阵的分解1、对矩阵 M ＝ 4 2; 2 1 进行 LU 分解。
2、把矩阵 N ＝ 1 2 3; 2 4 6; 3 6 9 分解为 QR 分解。
矩阵论试题及答案
一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。
矩阵期末试题及答案
矩阵期末试题及答案一、选择题1. 矩阵的主对角线元素是指：A. 矩阵的第一行元素B. 矩阵的第一列元素C. 矩阵的第一行和第一列元素D. 矩阵从左上角到右下角的元素答案：D2. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则矩阵A的转置矩阵为：A. [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B. [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]C. [1 2 3; 7 8 9; 4 5 6]D. [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]答案：B3. 若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵A乘以矩阵B得到的矩阵维度为：A. m×pB. n×pD. n×n答案：A4. 若矩阵A = [2 4; 6 8; 10 12]，则矩阵A的行数和列数分别为：A. 3，2B. 2，3C. 3，3D. 2，2答案：A5. 矩阵的逆矩阵存在的条件是：A. 矩阵可逆B. 矩阵为零矩阵C. 矩阵是方阵D. 矩阵不存在逆矩阵答案：C二、填空题1. 一个3×4矩阵由36个元素构成，其中每个元素都是实数。
则该矩阵共有________个元素。
2. 若矩阵A = [1 0; 0 -1]，则矩阵A的特征值为________。
答案：1，-13. 以矩阵A = [1 2; 3 4; 5 6]为被乘矩阵，矩阵B = [7 8; 9 10]为乘矩阵，两矩阵相乘的结果为矩阵C = ________。
答案：[25 28; 57 64; 89 100]4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的转置矩阵为矩阵______。
答案：[1 3; 2 4]5. 设矩阵A = [2 4; 6 8]，矩阵B = [1 2; 3 4]，则矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵______。
答案：[14 20; 30 44]三、计算题1. 计算矩阵A = [2 1; -3 4; 5 6]的转置矩阵。
2013矩阵论试卷
中国计量学院研究生2013 ~ 2014学年第1学期《 矩阵论 》课程考试试卷开课二级学院： 理学院 ，开课教师： 王航平 考试时间： 2013 年 12 月 2 日 18 时，考试地点： 考试形式：闭卷□、开卷■，允许带 教材 入场考生姓名： 序号： 学科： 年级：1、 (10分)设3100410031213110A ⎛⎫⎪-- ⎪=⎪⎪---⎝⎭，试求矩阵A 的Jordan 标准开J ，并求变换矩阵P ，使得1P AP J -=。
装 订 线2、 (10分)解微分方程组：112212313432dx x x dt dx x x dt dx x x dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩3、 (10分)设m nA ⨯∈C，定义实数,max ij i jA a =是m n ⨯C 中的范数。
4、 (10分)证明：矩阵C m nA ⨯∈的范数,,max{,}max ij Gi ji jAi j a =⋅与向量范数x ∞相容。
5、 (10分)已知2000011000100002J -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求,,cos Je simJ J 。
6、(10分)证明：（1）若A为反对称矩阵，则A e为正交阵；（2）若A为Hermite矩阵，则iA e为酉矩阵。
7、(10分)设2151130602121476A-⎛⎫⎪--⎪=⎪-⎪-⎝⎭，求A的三角分解。
8、(10分)设21121221A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，求A的奇异值分解。
9、(10分)设110100111110110A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求A+.10、 (10分)用广义逆的方法求下面方程组的通解：123232122x x x x x +-=⎧⎨-+=⎩。
上海交通大学矩阵理论2009-2013年期末考试真题
, . 1. ( 3 , 15
100 )
.
A∗
A
.
R3 U = {(x, y, z )T ∈ R3 | x + y + z = 0}, W = {(x, y, z )T ∈ R3 | x = y = ) (C) 2 . (D) 3 :
z − 2 }.
dim (U + W ) − dim U =( (A) 0 (B) 1 2. U, W V ⊥ ⊥ . (U + W ) = U + W ⊥ ; . (U + W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ ; . (U ∩ W )⊥ = U ⊥ + W ⊥ ; . (U ∩ W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ . ( ) (A) (B) A B
)
2.下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( ) (A) 次数等于m(m 1)的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的 通常乘法. (B) Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； (C) 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算k · x = x0 ，k 是实数, x0 是某一取定向量. (D) 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； 3.线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) (A) 保持向量的长度不变; (B) 将标准正交基变为标准正交基； (C) 保 持 任 意 两 个 向 量 的 夹 角 不 变 ； 阵. 4.设A是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) (A) A与对角矩阵相似； (B) A的特征值只可能是1或者0； (D) 幂级数
∗,
D=
Λ O O O
)
m×n
2013年(春)重庆大学研究生矩阵理论试题及答案
重庆大学硕士研究生《矩阵论》课程试卷2012 ~2013 学年 第 二 学期（春）开课学院： 数学与统计 课程编号： 考试日期：考试方式： 考试时间： 120 分钟一、判断题。
(每题3分，共30分)(1) 平面上全体向量构成的集合，按通常的向量加法及如下定义的数乘运算0k α⋅=，在实数域上构成线性空间。
（×） (2) 全体正实数构成的集合，其加法和数乘定义为αβαβ⊕=，0kα=，则该集合在实数域上构成的线性空间是1维的。
（v ） (3)若12x u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12y v y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1112(,)1u v x y x y =++是2R 中的内积。
( ×) (4) 在矩阵空间n nR ⨯中，定义 X BXC =其中B,C 为给定的矩阵，则 是线性变换。
（v ）(5) 平面上逆时针旋转θ角的线性变换在基(1,0),(0,1)之下的矩阵表示为cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫⎪⎝⎭。
（v ） (6) 任何一种矩阵范数必有与之相容的向量范数。
( v )(7) A 为方阵，则21112!!A n e A A A n =+++++。
（×）(8)设矩阵()12,,,n A ααα=，A 经过有限次行初等变换变为()12,,,n B βββ=, 则123,,k k k ααα与123,,k k k βββ有相同的线性相关性，其中{1,2,,}i k n ∈。
( v )(9) 当A 为列满秩实矩阵时，则1()T T A A AA +-=。
(× ) (10) 若n 阶矩阵A 有n 个两两不相交的圆盘，则A 可相似对角化。
( v) 二、计算题（共45分）1. （10分）设3[]K x 的两基为：(I)2231234()1,()1,()1,()1f x f x x f x x x f x x x x ==+=++=+++(II) 2323231234()1,(),()1,()1g x x x g x x x x g x x x g x x x =++=++=++=++ 求(1) 由基(I)到基(II)的过渡矩阵；(2) 求基(I)和基(II)下有相同坐标的全体多项式。
矩阵论第二套
①利用 Hamilton-Cayley 定理（ ������2 + ������ = 0 满足������������和 A 之间存在一定的关系时可用此
定理）
②相似对角化(若矩阵能够相似对角化时可用)
③待定系数(需要求得矩阵的最小多项式)
解：
求得：det（λI − A）=((������ − 1)2
设：R(λ) = ������1������ + ������0
{
������(1) = ������1 + ������0 = ������������ ������(1)′ = ������1 = ������������������
3������������ − 4������2������
3 1 −1 A = [1 3 −1]
3 3 −1
五、涉及知识点：满秩分解(A=FG)、矩阵 A 求广逆矩阵的公式：������+ = ������������(������������������)−1(������������������)−1������������ 推论 1：设A ∈ ������������∗������,则 rank(A)=m 时；有������+ = ������������(������������������)−1 当 rank(A)=n 时；有������+ = (������������������)−1������������
矩阵论期末试题及答案
矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。
B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。
C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。
D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。
题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。
B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。
C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。
D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。
题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。
B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。
C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。
D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。
题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。
B. A的所有特征值都是实数。
C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。
D. A一定可以对角化。
2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。
对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。
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（2） cos A =
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A
矩阵论（2） 期末试题 120 分钟
期
――――――――――――――――――――装
Tm O
O （ 是 n 阶 Givens 矩阵． I nm
m´n
） ）
7．矩阵 A Î
有唯一的 {1} -逆的充要条件是 A 为可逆方阵． （ ）
8．方阵 A 有唯一的 LDU 分解的充要条件是 A 可逆． （
学号
得分
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
姓名
1 0 0 1 1 1 ． 中由基 e1 0 ， e2 1 ， e3 0 到基 x1 1 ， x2 0 ， 0 0 1 0 1
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A
矩阵论（2） 期末试题 120 分钟
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B
4.
æ-1 -2 6ö ÷ ç ÷ ç ç-1 0 3÷ ÷ 的 Jordan 标准形．(6 分) 求矩阵 A = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è-1 -1 4÷ ø
5.
æ 0 1 1ö ÷ ç ÷ ç ç ÷ 求矩阵 A = ç1 1 0÷ 的 QR 分解．(8 分) ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è1 0 1ø
3
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A
矩阵论（2） 期末试题 120 分钟
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B
0 x3 1 的过渡矩阵为： 1
2. 设A
3
． ．
1 1 ，则 A 1 1
F
3 ． 中 ， 设 x (1 , 2 , 3 ) ， 定 义 Tx (21 2 , 2 3 , 1 ) ， 则 T 在 基
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B
中国民航大学 2013－2014 学年第一学期
线―――――――――――――――――――――――――――――――――
研究生《矩阵论 2》期末考试试卷
题目
学院： 专业： 姓名： 学号： 院名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________学号___________ 座位号
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矩阵论（2） 期末试题 120 分钟
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B
2.
设 AÎ （1） e
jA
n´n
， j = -1 ，证明：(9 分)
= cos A + j sin A ；
1 jA 1 e + e- jA ) ； sin A = (e jA - e- jA ) ． ( 2 2j
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A
矩阵论（2） 期末试题 120 分钟
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B
6.
æ0 ç ç ç ç1 设 A=ç ç ç 2 ç ç ç ç è1
1 -1ö ÷ ÷ ÷ 0 0÷ + ÷ ÷ ，求（1） A 的满秩分解； （2） A ．(12 分) ÷ 1 -1÷ ÷ ÷ ÷ 0 0÷ ø
1 0 0 e1 0 ， e2 1 ， e3 0 下的矩阵为 0 0 1 1 0 1 4．矩阵 A 0 1 1 的全部奇异值为 0 0 0 1 1 5． 中，设单位向量 x 与 1 和 0 都正交，则 x 0 1
得分
四、证明题（2 小题，共 18 分）
1 n 4 1 n 能够相似于 1 2n n 1 n 1 n 1 n 1 n
1.
2 1 证明： 用盖尔圆定理证明 n 级矩阵 A n 1 n
对角矩阵，且其特征值都是实数．(9 分)
一
序号 得分 评阅人 签字
二
三
四
合计 总分
审核人签字
得分
一、判断题（每小题 2 分，共 16 分）
1． 设 V 是 n 维线性空间， 若 x1 , x2 , , xn V 线性无关， 则 x1 , x2 , , xn 是 V 的 一组基． （ ） ） ）
2．线性变换在不同的基下的矩阵合同． （
3
．
．
．
æ0 c c ö ÷ ç ÷ ç ç ÷ 6．设 A = çc 0 c ÷ ( c )，则当 c 满足 ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ çc c 0ø è
时 A是
收敛矩阵．
得分
三、解答题（6 小题，共 48 分）
T
1.
设 x = (1, 2, 2) ，用 Householder 变换化 x 为与 e1 同方向的向量．(6 分)
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A
矩阵论（2） 期末试题 120 分钟
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B
2.
æp 0 ç ç ç ç 0 -p 设 A=ç ç ç 0 0 ç ç ç ç è0 0
0 0 0 0
0ö ÷ ÷ ÷ 0÷ ÷ ÷ ，求 sinபைடு நூலகம்A ．(8 分) ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ 0÷ ø
3.
æ1 1 0ö ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ 设 A=ç ，求 x ¢ (t ) = A ⋅ x (t ) 的通解．(8 分) 1 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2÷ è ø
3．任意一种矩阵范数与任意一种向量范数相容． （ 4. 设 A Î 阵． （
n´n
，则 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 为正规矩
） （ ( A) ． ）
5．设 A 为方阵，则对任意矩阵范数 ，都有 A 订
6 ．设 Tm 是 m 阶 Givens 矩阵， I n m 是 n m （ n m ）阶单位矩阵，则