微积分第2版-朱文莉第2章极限与连续习题祥解

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微积分2

(12)
1 dx arcsin x C 1 x2
1
(13) 1 x2 dx arctan x C
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利用公式直接计算
例
求
( x 1)3 x2 dx.
解
( x 1)3
x3 3x2 3x 1
x2 dx
x2
dx
(x
3
3 x
1 x2
)dx
dx dx
xdx 3 dx 3 x x2
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例
求
(
x5 x 1)2
dx.
解
(
x5 x 1)2
dx
(
x 1) 6 ( x 1)2
dx
1
6
[ x 1 ( x 1)2 ]dx
1
6
x 1 dx ( x 1)2 dx
ln x 1 6 C x1
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定积分定义定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界,今取n-1个分点:
性质4 如果在区间[a,b]上f(x)≡1,则
b
a f ( x )dx b a
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性质5 如果区间[a, b]上, f ( x) 0,则
b
a f ( x)dx 0 (a b)
推论（可比性）如果在区间[a,b] 上f(x)≥g(x),则
推论性质6
b
b
a f ( x )dx a g ( x )dx
因此改取u x , v e x , 则
xe xdx xde x xe x e xdx xe x e x C
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下面几类不定积分都可以利用分部积分公式直接求出

经济管理类微积分龚德恩第二版参考答案第二章极限与连续

第二章　极限与连续习　题　二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n；（２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解　（１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０；（２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２＝１（a为常数）．证　（１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε　（∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４；（２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解　（１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５；（２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证　（１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解　（１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２；（２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解　（１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４；（２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解　（１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）；（２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解　（１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］；（２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解　（１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）；（２）ｌｉｍx →１f （x ）；（３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解　令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ；（２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解　（１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx；（２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）；（２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解　（１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以　ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ；（４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解　（１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解　（１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝，k＝；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是．答　（１）０；（２）１a；（３）１２a；（４）２００８，１２００８；（５）等价；（６）可去；（７）跳跃；（８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解　（１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的．（Ａ）必要条件；（Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝．（Ａ）０；（Ｂ）１；（Ｃ）不存在；（Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则．（Ａ）a ＝－５，b ＝６；（Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时，．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０；（Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３；（Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）；（Ｂ）［a ，b ］；（Ｃ）［a ，b ）；（Ｄ）（a ，b ］．答　（１）Ｄ；　（２）Ｄ；　（３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ；　（６）Ｄ；　（７）Ｃ；　（８）Ｂ．解　（１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞，　ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为ｌｉｍx →１f （x ）g （x ）＝ｌｉｍx →１１－x １＋x ·１１－３x＝ｌｉｍx →１（１－３x ）（１＋３x ＋３x ２）（１＋x ）（１－３x ）＝ｌｉｍx →１１＋３x ＋３x２１＋x ＝３２≠１所以，应选（Ｄ）．（６）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）均在x ＝０处不连续．因为（Ａ）f （０－０）＝１≠f （０＋０）＝０；（Ｂ）f （０－０）＝０，f （０＋０）＝＋∞；（Ｃ）f （０－０）＝１≠f （０＋０）＝－１；因为ｌｉｍx →０（１－ｅ－１／x ２）＝ｌｉｍx →０１－１ｅ１／x ２＝１－０＝１＝f （０）故（Ｄ）中f （x ）在x ＝０处连续；在x ≠０处为初等函数，连续．因此，在定义域（－∞，＋∞）内连续．故应选（Ｄ）．（７）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｄ）均不符合要求．因为（Ａ）应有x ２＋２x －３＝（x －１）（x ＋３）≥０痴x ≤－３或x ≥１；（Ｂ）应有x ２－２x －３＝（x ＋１）（x －３）≥０痴x ≤－１或x ≥３；（Ｃ）应有x ２－４x ＋３＝（x －１）（x －３）≥０痴x ≤１或x ≥３；（Ｄ）应有x ２＋４x ＋３＝（x ＋１）（x ＋３）≥０痴x ≤－３或x ≥－１．由此可知，应选（Ｃ）．（８）选（Ｂ）．３．证明：若ｌｉｍx →x ０f （x ）＝a ，则ｌｉｍx →x０f （x ）＝a ；举例说明，反之不一定成立．证　因ｌｉｍx →x０f （x ）＝a ，所以对任意给定的ε＞０，存在δ＞０，使当０＜x －x ０＜δ时，恒有f （x ）－a＜ε于是有｜｜f （x ）｜－｜a ｜｜≤｜f （x ）－a ｜＜ε因此有ｌｉｍx →x ０｜f （x ）｜＝｜a ｜反之不一定成立．例如，设f （x ）＝－１，x ＜０１x ＞０则ｌｉｍx →０｜f （x ）｜＝ｌｉｍx →０１＝１而ｌｉｍx →０－f （x ）＝－１，ｌｉｍx →０＋f （x ）＝１，左、右极限存在，但不相等，故ｌｉｍx →０f （x ）不存在．４畅求下列极限：（１）ｌｉｍn →∞３１２·２２＋５２２·３２＋…＋２n ＋１n ２（n ＋１）２；（２）ｌｉｍn →∞１n ２＋n ＋１＋２n ２·n ＋２＋…＋nn ２＋n ＋n；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n ）１／n ；（４）ｌｉｍn →∞３n ｓｉｎx３n ．解　（１）因为２n ＋１n ２（n ＋１）２＝１n ２－１（n ＋１）２，n ＝１，２，３，…所以原式＝ｌｉｍn→∞１１２－１２２＋１２２－１３２＋…＋１n ２－１（n ＋１）２＝ｌｉｍn →∞１－１（n ＋１）２＝１（２）因为１n ２＋n ＋n ＋２n ２＋n ＋n ＋…＋n n ２＋n ＋n ＝１＋２＋…＋n n ２＋２n＝n ＋１２（n ＋２）＜１n ２＋n １＋１＋２n ２＋n ＋２＋…＋nn ２＋n ＋n＜１n ２＋n ＋１＋２n ２＋n ＋１＋…＋n n ２＋n ＋１＝１＋２＋…＋n n ２＋n ＋１＝n （n ＋１）２（n ２＋n ＋１）而ｌｉｍn→∞n ＋１２（n ＋２）＝１２，　ｌｉｍn →∞n ＋１２（n ２＋n ＋１）＝１２所以，由夹逼定理得原式＝１２（３）原式＝ｌｉｍn →∞２n１＋１２n １／n＝２ｌｉｍn →∞１＋１２n １／n ＝２×１０＝２（４）原式＝ｌｉｍn →∞１x ３n ·ｓｉｎx ３n ·x ＝x ．５畅设x １＝１，x n ＝１＋x n －１１＋x n －１（n ＝２，３，…）．求ｌｉｍn →∞x n ．解　显然，０＜x n ＜２（n ＝１，２，…），即x n 有界．另一方面，显然有x １＜x ２，设x n －１＜x n ，则x n ＋１－x n ＝１＋x n １＋x n －１＋x n －１１＋x n －１＝x n －x n －１（１＋x n ）（１＋x n －１）＞０即x n ＜x n ＋１．因此，x n 单调增加．由于x n 单调有界，故极限存在．设ｌｉｍn →∞x n ＝a则由x n ＝１＋x n －１１＋x n －１两边同时取极限，得a ＝１－a１＋a由此解得ｌｉｍn →∞x n ＝a ＝１２（１＋５）　（舍去负值）．６畅求下列极限：（１）ｌｉｍx →０１xｌｎ１＋８x ；（２）ｌｉｍx →x ０a x－a x０x －x ０（０＜a ≠１）；（３）ｌｉｍx →∞９x ２＋x －８－１x ２＋ｓｉｎx；（４）ｌｉｍx →０ｌｎ（ｃｏｓ２x ＋１－x ２）ｅx ＋ｓｉｎx＋（１＋x ）２／x ；（５）ｌｉｍx →π／２１ｓｉｎx －１ｓｉｎx ＋ｓｉｎ２＋…＋ｓｉｎn x －n ；（６）ｌｉｍx →∞１－５xx；（７）ｌｉｍx →∞１＋３x ＋２x２x；（８）ｌｉｍx →∞ｓｉｎ１x ＋ｃｏｓ１x x；（９）ｌｉｍx →＋∞１xｌｎ（１＋x ）－ｌｎx ；（１０）ｌｉｍx →＋∞x a １／x－b１／x　（a ＞０，b ＞０）解（１）原式＝４ｌｉｍx →０１８xｌｎ（１＋８x ）＝４ｌｉｍx →０ｌｎ（１＋８x ）１／８x＝４×１＝４．（２）令u ＝x －x ０，则x →x ０时，u →０，于是原式＝ｌｉｍu →０au ＋x ０－a x０u ＝a x ０ｌｉｍu →０a u－１u由式（２畅２４）知，a u－１～u ｌｎa ．从而有原式＝a x０ｌｉｍu →０u ｌｎa u＝a x ０ｌｎa ．（３）原式＝ｌｉｍx→∞｜x ｜q ＋１x －８x２－１｜x ｜１＋（ｓｉｎx ）／x２＝ｌｉｍx →∞q ＋１x －１x ２－１｜x ｜１＋（ｓｉｎx ）／x２＝３１＝３（４）因为ｌｉｍx →０ｌｎ（ｃｏｓ２x ＋１－x ２）＝ｌｎｌｉｍx →０（ｃｏｓ２x ＋１－x ２）＝ｌｎ２，ｌｉｍx →０（ｅx＋ｓｉｎx ）＝ｅｌｉｍx →０x＋ｌｉｍx →０ｓｉｎx ＝１≠０，ｌｉｍx →０（１＋x ）２／x＝ｌｉｍx →０（１＋x ）１／x２＝ｅ２．所以原式＝ｌｉｍx →０ｌｎ（ｃｏｓ２x ＋１－x ２）ｌｉｍx →０（ｅx＋ｓｉｎx ）＋ｌｉｍx →０（１＋x ）２／x＝ｌｎ２１＋ｅ２＝ｌｎ２＋ｅ２（５）因为　ｓｉｎx ＋ｓｉｎ２x ＋…＋ｓｉｎnx －n ＝（ｓｉｎx －１）＋（ｓｉｎ２x －１）＋…＋（ｓｉｎnx －１）＝（ｓｉｎx －１）［１＋（ｓｉｎx ＋１）＋＋（ｓｉｎn －１x ＋…＋ｓｉｎx ＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →π／２［１＋（ｓｉｎx ＋１）＋…＋（ｓｉｎn －１x ＋…＋ｓｉｎx ＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）（６）原式＝ｌｉｍx →∞１＋－５x（－５／x ）－５＝ｅ－５（７）原式＝ｌｉｍx →∞１＋３x ＋２x２x＝ｌｉｍx →∞１＋３x ＋２x２x ２／（３x ＋２）（３x ＋２）／x＝ｅ３（８）令u ＝１x，则x →∞时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）１／u ＝ｌｉｍu →０（ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）２１／２u＝ｌｉｍu →０（１＋ｓｉｎ２u ）１／２u＝ｌｉｍu →０［（１＋ｓｉｎ２u ）１／ｓｉｎ２u］ｓｉｎ２u ／２u＝ｅ１＝ｅ．（９）原式＝ｌｉｍx →＋∞ｌｎ１＋１x１／x＝ｌｎｌｉｍx →＋∞１＋１x１／x＝ｌｎ１＝０（１０）令u ＝１x，则x →＋∞时，u →０＋．于是原式＝ｌｉｍu →０＋a u－b uu ＝ｌｉｍu →０＋（a u－１）－（b u－１）u＝ｌｉｍu →０＋u ｌｎa －u ｌｎb u ＝ｌｎa －ｌｎb ＝ｌｎa b７畅设f （x ）＝ｌｉｍu →＋∞１uｌｎ（ｅu ＋x u ），（x ＞０）：（１）求f （x ）；（２）讨论f （x ）的连续性．解（１）x ＝ｅ时，f （ｅ）＝ｌｉｍu →＋∞１uｌｎ（２ｅu ）＝ｌｉｍu →＋∞１u （ｌｎ２＋u ）＝１；０＜x ＜ｅ时，f （x ）＝ｌｉｍu →＋∞１u ｌｎｅu １＋x ｅu＝１＋ｌｉｍu →＋∞１u ｌｎ１＋x ｅu＝１x ＞ｅ时，f （x ）＝ｌｉｍu →＋∞１u ｌｎx u １＋ｅxu＝ｌｉｍu →＋∞ｌｎx ＋１u ｌｎ１＋ｅx u＝ｌｎx所以f （x ）＝１，０＜x ≤ｅｌｎx ，x ＞ｅ（２）因为f （ｅ－０）＝１，f （ｅ＋０）＝ｌｉｍx ＞ｅ＋ｌｎx ＝１，f （ｅ）＝１可见f （x ）在x ＝ｅ处连续．又因在（０，ｅ）内f （x ）≡１，连续；在（ｅ，＋∞）内f （x ）＝ｌｎx ，连续．综上所述，f （x ）在（０，＋∞）内连续．８畅证明下列方程在给定区间内至少存在的一个根：（１）x ·３x＝１，x ∈［０，１］；（２）x ３＋px ＋q ＝０（p ＞０），x ∈（－∞，＋∞）；（３）x ＝a ｓｉｎx ＋b （a ＞０，b ＞０），x ∈［０，a ＋b ］．证　（１）令f （x ）＝x ·３x－１则f （x ）为初等函数，在［０，１］上连续，且f （０）＝－１＜０，f （１）＝２＞０所以，由零值定理可知，方程f （x ）＝x ·３x－１＝０在（０，１）内至少有一实根，即存在ξ∈（０，１），使得f （ξ）＝０，即ξ·３ξ＝１（２）令f （x ）＝x ３＋px ＋８因为ｌｉｍx →－∞f （x ）＝－∞，所以，存在x １∈（－∞，０），使得f （x １）＜０类似地，因为ｌｉｍx →＋∞f （x ）＝＋∞，故存x ２∈（０，＋∞），使得f （x ２）＞０因f （x ）为多项式函数，在闭区间［x １，x ２］上连续，故由零值定理可知，f （x ）＝x ３＋px ＋q ＝０在（x １，x ２）炒（－∞，＋∞）内至少有一个实根．（３）令f （x ）＝a ｓｉｎx ＋b －x则f （x ）在［０，a ＋b ］上连续，且有f （０）＝b ＞０，f （a ＋b ）＝a ｓｉｎ（a ＋b ）＋b －（a ＋b ）＝a ［ｓｉｎ（a ＋b ）－１］若ｓｉｎ（a ＋b ）＝１，则f （a ＋b ）＝０，x ＝a ＋b 为所求，若ｓｉｎ（a ＋b ）＜１，则f （a ＋b ）＜０，f （x ）＝０在（０，a ＋b ）内至少有一实根．。

微积分教学课件第2章极限与连续第5节极限存在性定理与两个重要极限

2. lim(1 1 )n e
n
n
16
lim(1 1 )n e
n
n
记
un
(1
1 )n n
，先证明 {un }
单调增加:
u1 2 ,
u2
( 3)2 2
9 4
2
u1
,
当n 2时,
un
(1
1 )n n
1
C
1 n
1 n
C
2 n
1 n2
Cn3
1 n3
C
n n
1 nn
2
1 2!
n(n n2
1)
n2 n
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x0 的某空心邻域内恒有
g( x) f ( x) h( x)
且有 lim g( x) lim h( x) A ，
x x0
x x0
则极限 lim f ( x) 存在，且也等于 A. x x0
证略.
3
如果数列 un满足条件 x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
解当 x 0 时, 1 cos x ~ 1 x2 ,
2
原式
lim
x0
x2 2x2
1. 2
x sin x ~ x2.
例6 求极限 lim tan 2 2x . x0 1 cos x
解当 x 0 时, 1 cos x ~ 1 x2 , tan2x ~ 2x. 2
原式
(2x)2
lim
x0
1
/
1 3!
n(n
1)( n n3
2)
1 n!
n(n
1)1 nn

微积分第二版课后习题答案

微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。

20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。

朱明zhubob经济数学基础第1编微分学2章极限、导数与微分

P64
定理2.1
x0
实数轴
左极限：
右极限：
lim
xx0-
f
(x)

A（1 唯一存在）；
lim
xx0+
f
(x)

A（2 唯一存在）
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
x x0-
xx0+
2、求极限的方法：（请同学们做笔记，你可以的！）
（1）常数的极限等于常数本身
lim c c(c为常数)
xx0
（2）
lim f (x) ?
xx0

当将x x0代入f (x)，f (x0 )有意义时，极限值等于f (x0 )
即 lim x x0
f (x)
f (x0 )
当将x x0代入f (x)，f (x0 )无意义时，先将f (x)化简，再代值
（2）
0 ,问：
sin x , x 0
x
（1）当a, b为何值时，f (x)在x 0处有极限
（3）当a, b为何值时，f (x)在x 0处有连续
4. 函数的间断点 P74
如果函数f (x)在点x0处不连续，则称f (x)在点x0
处间断，x0称为间断点。
间断点x0通常出现在以下情况：
掌握
p83例5，求曲线 y ex在x 1处切线的斜率
lim f (x) ?
xx0
化简
1.分解因式，分子分母约分
lim x1
x2 1 x 1

lim (x x1
1)( x 1) x 1

lim(x x1
1)

文科微积分2习题册_答案

1
y 0
1 lim 不存在 sin y
cos(x 2 ) 2z 2z 2z 6. 求下列函数的 2 , 2 和：（3） z ; x y x y y
2 z sin x 2 x 解： , x y
z cos x 2 x y2
2z 1 2sin x 2 4 x 2 cos x 2 2sin x 2 2 2 ( cos x ) 4 x x 2 y y y 2 z 2 x sin x 2 , xy y2 2 z 2 cos x 2 y 2 y3
1 1
左边 x
2
得证.
2 ( x y ) sin 4. 设 f ( x, y ) 0,
1 x y
2 2
, x2 y2 0 x2 y2 0
x 2 sin x 1
，求 f x (0,0), f y (0,0) 。
'
'
解： f x lim
x 0
f x, 0 f 0, 0 lim x 0 x0
x 2 lim x sin 1 0 x 0 x2
5
班级
学号
姓名
f y( 0 , 0 )
y2 f ( 0 ,y ) f (0, 0) lim lim y 0 y 0 y 0 y
y s i n
8. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：（1） x 2 ；（3） x y 4 ；
2 2
（2） y x 1 ；（4） x y 2 x （补充题）
2 2
解：见下表方程平面解析几何中平行于 y 轴的直线直线圆（曲线）双曲线空间解析几何中平行于 y0z 面的平面平行于 z 轴的平面圆柱面（母线平行 z 轴）双曲柱面（母线平行 z 轴）

微积分2总复习

作降变阶换
全微分方程
积分因子
可分离
常数变易法方程法数数法
高阶方程
法
区域（1）邻域）
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点，δ 是某一平面上的一个点，正数，与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全正数，邻域，体，称为点 P0 的δ 邻域，记为U ( P0 , δ ) ，
极限的运算
f 设 P → P0 时， ( P ) → A, f ( P ) → B, 则 (1). f ( P ) ± g( P ) → A ± B; ( 2). f ( P ) ⋅ g( P ) → A ⋅ B; ( 3). f ( P ) g( P ) → A B ( B ≠ 0).
多元函数的连续性
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时， n 元函数统称为多元函数
多元函数的极限
定义设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点，其聚点，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正数 δ ，使得对于适合不等式 0 <| PP0 |= ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 的一切点，都有 | f ( x , y ) − A |< ε 成立，则称 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 x → x0 ， y → y0 时的极限，时的极限，记为 lim f ( x, y ) = A
全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 、的函数，它的全微分形式是一样的. 的函数，它的全微分形式是一样的

微积分(二)_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

微积分（二）_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在点处下列陈述正确的是（）。

答案:在点处可微，则在点处一阶偏导存在。

2.函数在点（1，0，1有最大方向导数，请问该方向及其方向导数值分别为（）。

答案:3.设区域,是在第一象限部分，在上连续，等式成立的条件是( ).答案:4.请交换二重积分的次序:，其中二元函数为连续函数。

答案:5.设，其中分别是n阶与m在点（）。

答案:6.设，则=（）。

答案:7.设由方程确定隐函数,其中具有连续的一阶偏导数，则（）。

答案:8.已知为某一函数的全微分，则和（）。

答案:和9.设，则( )，其中答案:10.设，请判断级数的敛散性（）。

答案:对收敛11.设向量与不平行，，则. 答案:-612.已知,则答案:13.设向量且平行于,则为 . 答案:14.设，则的值为答案:15.级数的和为答案:16.答案:117.已知两条直线的方程是则过且平行于的平面方程是( ) 答案:18.二元函数在点处可微的一个充分条件是( )答案:19.如下图，正方形被其对角线划分为四个区域,则答案:20.设区域由曲线围成，则答案:。

微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)

微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)题10.1(A)1.指出下列微分方程的阶数：1) x(y')-2yy'+x=；2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x；3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S；4) 2d^2S/dt^2+S=0.解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。

2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）；2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe；3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）；4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。

解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。

3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。

解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x-C2xe^-x。

将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以C1=2C2.所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。

将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为y=(4+2x)e^-x。

4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。

解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。

经济数学微积分第二版第二章第一节数列的极限ppt课件

n 1 ( 1 ) 当 n 无限增大时 ,x 1 无限接近 1 . n n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.
x 1 (1 ) n
n1
1 1 n n
1 1 1 1 由 , x 1 , 只要 n 100 时 ,有给定 , n n 100 100 100
1. 定义 : 以正整数集 N 为定义域的函数 f ( n) 按
f (1) , f ( 2) , , f ( n) ,排列的一列数称为数列，
通常用 x1 , x2 ,, xn ,表示，其中 xn f ( n)，
x n 称为通项
例如
2 , 4 , 8 , , 2, ; {2 n }
4. 子数列 (subsequence)
定义：将数列 x 在保持原有顺序情，任 n
列，简称子列．
, x , , x , x , 例如， x 1 2 i n
取其中无穷多项构成的新数列称为 x 的子数 n
x , x , , x , n n n 1 2 k
注意：在子数列 x 中，一般项 x 是第 k 项， n n k k
2. 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和为 X 2 2; 2 2

1 1 1 第 n 天截下的杖长总和为 X n; n 2 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
二、数列(sequence)的有关概念
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 , x , , x , . 动点在数轴上依次取 x 1 2 n
x3
x1
x2 x4
xn

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微积分第2版-朱文莉第2章极限与连续习题祥解第二章极限与连续习题 2.1(A)1. 观察下列数列{}n x ，当n →∞时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.(1) {}(1)1n n x n ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭； (2) {}1sin n x n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；(3) {}1(1)2n n x ⎧⎫+-=⎨⎬⎩⎭； (4) {}11n n x n -⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭；(5) {}{}(1)nn x n =-； (6) {}21n n x n ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭.解 (1) 当n →∞时，极限为1；(2) 当n →∞时，极限为0； (3) 当n →∞时，极限不存在； (4) 当n →∞时，极限为1； (5) 当n →∞时，极限不存在； (6) 当n →∞时，极限不存在. 2. 对于数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=1n n x n ),2,1( =n ，给定 (1) 1.0=ε，(2) 01.0=ε， (3) 001.0=ε时，分别取怎样的N ，才能使当N n >时，不等式ε<-1n x 成立? 并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解 (1) 要使1.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要101.011=>+n ，9n >，故取9=N 即可.(2) 要使01.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要10001.011=>+n ，99n >，故99=N 即可.(3) 要使001.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要1000001.011=>+n ，999n >，故取999=N 即可.对于任意给定的0>ε，要使ε<+=-+=-11111n n n x n ，即ε11>+n ，11->εn .取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN ，则当N n >时，恒有ε<-+=-111n nx n ，故lim 11n nn →∞=+. 习题 2.1 (B)1. 用数列极限的定义证明下列极限：(1) 1(1)lim 01nn n →∞+-=+； (2) 1lim313n n n →∞=+. 证明 (1) 对于任意给定的0ε>，要使不等式n x a -=1(1)22011n n n nε+--≤<<++成立，只需2n ε>成立. 取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，恒有ε.所以 1(1)lim 01nn n →∞+-=+.(2) 对于任意给定的0ε>，要使不等式n x a -=1113133(31)9n n n nε--=<<++ 成立，只需19n ε>成立. 取19N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，恒有 1313n n ε-<+. 所以 1lim313n n n →∞=+.2. 利用数列极限的定义证明：0n →∞=. 证明对于任意给定的0ε>，要使不等式=-a xn 0ε-=<<成立，只需21n ε>成立. 取112+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当n N >时，恒有0ε-<.所以 )0n →∞=.3. 若数列{}n x 有界，且lim 0n n y →∞=，证明lim 0n n n x y →∞=.证明因为数列{}n x 有界，所以存在0M >，对所有的n x 都有n x M ≤，对于任意给定的0ε>，要使不等式0n n x y -=n n n x y M y ε≤<成立，只需n y M ε<，又因为lim 0n n y →∞=，所以对于给定的0Mεε'=>，存在N ，则当n N>时，恒有n y Mεε'<=. 取},max{N M K =，则当K n >时，恒有εε=<MMy x n n .所以lim 0n n n x y →∞=.4.对于数列}{n x ，若a x k →-12 )(∞→k ，a x k →2)(∞→k ，证明：a x n →)(∞→n .证明因为a x k →-12 )(∞→k ，所以0>∀ε，1k ∃0>，当1k k >时，有ε<--a x k 12；又因为a x k →2)(∞→k ，所以对上述0>ε，2k ∃0>，当2k k >时，有ε<-a x k 2. 记},max{21k k K =，取K N 2=，则当N n >时，若12-=k n ，则121k K k >+>，得ε<-=--a x a x k n 12，若k n 2=，则2k K k ≥>，得ε<-=-a x a x k n 2. 从而只要N n >，就有ε<-a x n ，即lim n n x a →∞=.习题2.2(A)1. 对下图中所示函数)(x f ，求下列极限，如果极限不存在，说明理由．(1) 2lim ()x f x →-； (2) 1lim ()x f x →-； (3)0lim ()x f x →．解 (1) 2lim ()0x f x →-=；(2)1lim ()1x f x →-=-；(3)0lim ()x f x →不存在，因为)0()0(+-≠f f .2. 对下图中所示函数)(x f ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？(1) 0lim ()x f x →不存在； (2) 0lim ()0x f x →=；(3) 0lim ()1x f x →=； (4)1lim ()0x f x →=；(5) 1lim ()x f x →不存在； (6) 对每个)1,1(0-∈x ， 0lim ()x x f x →存在．解 (1) 错，因为0lim ()x f x →存在与否，与)0(f 的值无关.(2) 对，因为0)0()0(==+-f f .(3) 错，因为0lim ()x f x →的值与)0(f 的值无关.(4) 错，0)01(=+f ，1)01(-=-f ，故1lim ()x f x →不存在.(5) 对，因为)01()01(-≠+f f . (6) 对.3. 用极限定义证明：(1) 1lim(21)1x x →-=； (2) 224lim 42x x x →--=-+；(3) 23lim2x x x →∞+=； (4) lim 0x =.证明 (1)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -(21)121x x ε=--=-<成立，只需12x ε-<成立. 取2εδ=，则当01x δ<-<时，恒有(21)1x ε--<.所以 1lim(21)1x x →-=.(2)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -24(2)(2)(4)4222x x x x x x ε--+=--=+=+<++成立，只需取δε=即可. 则当0x δ<+<时，恒有24(2x x ε--+. 所以224lim 42x x x →--=-+.(3)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -2332x x xε+=-=< 成立，只需3x ε>成立. 取3M ε=，则当x M >时，恒有232x xε+-<. 所以 23lim2x x x →∞+=.(4)对于任意给定的0ε>，要使不等式()0f x A ε-=<< 成立，只需⎥⎦⎤⎢⎣⎡>21εx 成立. 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21εM ，则当x M >时，恒有0ε-<. 所以lim0x =.习题2.2 (B)1. 当2→x 时，4)(2→=x x f ，问δ等于多少，使当δ<-2x 时，001.04)(<-x f ？解由于2→x ，02→-x ，不妨设12<-x ，即31<<x . 要使25)2)(2(42-<-+=-x x x x0002.02=-x ，取0002.0=δ，则当δ<-<20x 时，就有001.04)(<-x f .2. 当∞→x 时，2312)(22→++=x x x f ，问X 等于多少，使当X x >时，01.02)(<-x f ？解因为222253523122)(x x x x x f <+=-++=-. 要使01.0231222<-++x x ，只要01.052<x，即510>x ，取510=X ，则当X x >时，就有01.02)(<-x f . 3. 讨论0x →时，下列函数的极限是否存在.(1) 1,0()0, 01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩； (2) ⎩⎨⎧<<<<-=10 ,0,sin )(x x x x x f π. 解 (1)由于 0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=-， 00lim ()lim (1)1x x f x x ++→→=+=，故 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以 0lim ()x f x →不存在.(2)由于0lim ()lim sin 0x x f x x --→→==，0lim ()lim 0x x f x x ++→→==. 故0lim ()x f x -→0lim ()x f x +→=. 所以0lim ()0x f x →=. 4. 设函数3()53x x f x x x+=-，求：(1) lim ()x f x →+∞； (2) lim ()x f x →-∞；(3) 0lim ()x f x +→； (4) 0lim ()x f x -→.解 34(1)lim ()limlim2532x x x x x xf x x xx→+∞→+∞→+∞+===-.321(2)lim ()limlim5384x x x x x x f x x x x →-∞→-∞→-∞+===-.3(3)lim ()lim 253x x x x x f x x x ++→→→+==-. 0321(4)lim ()lim lim 5384x x x x x x f x x xx ---→→→+===-. 5. 设函数212()22x x f x x a x ⎧+≥=⎨+<⎩，问当a 取何值时，函数)(x f 在2→x 时的极限存在.解因为 22lim ()lim (2)4x x f x x a a --→→=+=+， 222lim ()lim (1)5x x f x x ++→→=+=. 由极限存在的条件，有 2lim ()x f x -→2lim ()x f x +→=，得1a =.习题2.3(A)1. 下列变量在何种情况下为无穷小，又在何种情况下为无穷大？ (1)11x -； (2) 211x x --； (3) ln(1)x -.解 (1)由于1lim 01x x →∞=-，故x →∞时，变量11x-为无穷小. 由于11lim 1x x →=∞-，故1x →时，变量11x-为无穷大. (2) 由于21lim01x x x →∞-=-，故x →∞时，变量211x x --为无穷小. 由于211lim 1x x x →--=∞-，故1x →-时，变量211x x --为无穷大.(3) 由于2lim ln(1)0x x →-=，故2x →时，变量为ln(1)x -无穷小.由于lim ln(1)x x →+∞-=+∞，或 1lim ln(1)x x +→-=-∞，故x →+∞或1x +→时变量ln(1)x -为无穷大.2. 根据定义证明：(1) 1-=x y 为当1→x 时的无穷小； (2) xxy sin =为当∞→x 时的无穷小. 解 (1) 因为0)1(-=--x x ，所以0>∀ε，取εδ=，则当δ-<10x 时，就有ε<--0)1(x ，即1-=x y 为当1→x 时的无穷小.(2) 因为xx x 10cos ≤-，所以0>∀ε，取ε1=X ，则当X x >时，恒有ε<-0cos xx， xxy cos =为当∞→x 时的无穷小. 3. 求下列极限.(1) sin lim x x x→∞； (2) 221lim 56x x x x →+-+； (3) 224lim 2x x x →--.解 (1)因为sin x 是有界函数，x →∞时，1x为无穷小. 所以 sin lim0x xx→∞=.(2)当2x →时，1x +有界，256x x -+为无穷小. 所以221lim56x x x x →+=∞-+.(3) 22224(2)(2)lim lim lim(2)422x x x x x x x x x →→→-+-==+=--.习题2.3 (B)1. 举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.解 (1) 例如 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 21=-→x x ，但2)1(lim 11lim 121=+=--→→x x x x x . 不是无穷小.(2) 例如 0)1(lim 1=-→x x ，∞=-→11lim21x x ，但是2111lim 11lim 11)1(lim 12121=+=--=--→→→x x x x x x x x 不是无穷小.2. 函数x x y cos =在),(+∞-∞内是否有界？这个函数是否为+∞→x 时的无穷大？解因为0>∀M ，总有),(0+∞∈M x ，使得1cos 0=x ，从而M x x x y >==000cos ，所以，函数x x y cos =在),(+∞-∞内无界.又存在00>N ，0>∀X ，总有),(0+∞∈X x ，0cos 0=x ，从而0000cos N x x y <==，所以，函数x x y cos =不是当+∞→x 时的无穷大.3. 根据定义证明：函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大. 问x 应满足什么条件，能使410>y ？证明因为212121-≥+=+x x x x ，要使M x x >+21，只要M x>-21，即21+<M x . 所以0>∀M ，取21+=M δ，当δ<-<00x 时，就有M xx>+21，即函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大. 令410=M ，取21014+=δ，当2101004+<-<x 时，就能使41021>+xx. 习题2.4(A)1. 简要回答下列问题.(1) 若数列{}n x 收敛，而数列{}n y 发散，则数列{}n n x y ±及数列{}n n x y 是否收敛？ (2) 若数列{}n x ，{}n y 均发散，则数列{}n n x y ±及数列{}n n x y 是否发散？解 (1) 数列{}n n x y ±发散. 如果{}n n x y ±收敛，那么()n n n n y x x y =--或()n n n n y x y x =+-也收敛.数列{}n n x y 不一定收敛. 例如：数列1n x n=收敛，(1)nn y =-发散， 1(1)n n n x y n =-收敛；又数列1n x n=收敛，2n y n =发散， n n x y n =发散. (2) {}n n x y ±及数列{}n n x y 不一定发散. 2. 求下列函数的极限.(1) 322042lim 32x x x x x x→-++； (2) 22132lim 43x x x x x →-+-+；(3) 4x →(4) )limx x →+∞；(5) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； (6) ()()()2030502332lim 21x x x x →∞-++；(7) 332lim 1x x x x →∞+-+ ； (8) 220()lim h x h x h→+-.解 (1) 322200424211limlim 32322x x x x x x x x x x →→-+-+==++. (2) 2211132(1)(2)(2)1lim lim lim 43(1)(3)(3)2x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) x x →→=4x x →→===322.(4) 1lim )limlim2x x x x →+∞===. (5) 3211312lim lim 1111x x x x x x x →→+⎛⎫-==⎪--++⎝⎭.(6) 203030203050503223(23)(32)3lim lim (21)212x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎛⎫⎝⎭⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (7) 3333232322lim 112lim lim 1111111lim 1x x x x x x x x x x x xx →∞→∞→∞→∞⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(8) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h→→→+-++-==+=. 3. 求下列极限.(1) 1123lim 23n nn n n ++→∞++；(2)2n n(3) n →∞； (4) 1111242lim1111393n n n →∞++++++++； (5) 11lim 1335(21)(2n n →∞⎛+++⋅⋅-⎝.解 (1) 11212313lim lim 2332323nn nn n n n n ++→∞→∞⎛⎫+⎪+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(2) 2214n n n⎫⎪===. (3) lim n →∞0n ==.(4) 111121111112422lim lim 1111113933113n n n n n n ++→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭++++-==⎛⎫++++- ⎪⎝⎭-43. (5) 由于1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，有1111323(21)(21)n n +++⋅⋅-+111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 于是111111lim lim 11323(21)(21)2212n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=-= ⎪ ⎪⋅⋅-++⎝⎭⎝⎭.习题2.4 (B)1. 设222lim 22x x ax bx x →++=--，求常数a ，b 的值.解因为222lim 22x x ax bx x →++=--，推得b ax x ++2含有因式2x -，否则与已知矛盾.设2x ax b ++(2)()x x c =--，得2,(2)b c a c ==-+.又因为 22222(2)()2lim lim lim 22(2)(1)13x x x x ax b x x c x c cx x x x x →→→++----====---++，得4-=c ，从而得到2a =，8b =-.2. 设511lim 2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---∞→b ax x x x ，求常数a ，b 的值. 解因为511)()1(lim 11lim 22-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x ，推得105a ab -=⎧⎨+=-⎩，得1a =，6b =-.3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤+=,1,2,10,1,0,23)(2x xx x x x x f 分别讨论0→x 及1→x 的极限是否存在.解 (1) 由于 0lim ()lim (32)2x x f x x --→→=+=，200lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=. 由于 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以 0lim ()x f x →不存在. (2) 由于 211lim ()lim(1)2x x f x x --→→=+=， 112lim ()lim 2x x f x x++→→==， 111lim ()lim ()lim ()2x x x f x f x f x -+→→→===，所以 1lim ()x f x →存在.4. 设1lim ()x f x →存在，且21()2lim ()x f x x x f x →=+，求1lim ()x f x →和()f x .解设1lim ()x f x A →=，则2()2f x x Ax =+，于是211lim ()lim(2)12x x A f x x Ax A →→==+=+，得1A =-，2()2f x x x =-.习题2.5(A)1. 求下列极限： (1) 0tan 2limsin 5x x x →；(2) 0lim x +→； (3) 02arcsin lim3x x x →； (4) lim 2sin (0)2nnn x x →∞≠；(5) 202lim sin 3x x x→； (6) 0tan sin limx x xx→-.解 (1) 00tan 22tan 222lim lim sin 5sin 5555x x xxx x x x xx→→==.(2) 00022lim limlim 2x x x x x+++→→→===(3) 令t x =arcsin ，则002arcsin 22limlim 33sin 3x t x t x t →→==.(4) sin 22lim 2sin lim sin lim 222nn n n n n n n nx x x x xx x x →∞→∞→∞===. (5) 22002293lim lim 9sin sin 33x x x x x x →→⎛⎫ ⎪⎝⎭==.(6) 0tan sin lim x x x x x →→-= 00sin (1lim lim cos x x x x x→→-=⋅2. 求下列极限：(1) 51lim 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2) lim 1xx x x →∞⎛⎫⎪+⎝⎭； (3) 21lim 23xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭； (4) 22lim 2xx x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (5) ()1lim 12sin xx x →+； (6) ()3sec 2lim 1cos xx x π→+.解 (1) 55111lim 1lim 11n nn n e n n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2) 11lim lim 111xx x x x x e x →∞→∞⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (3) 令423t x -=+，则214lim lim 12323x xx x x x x →∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2231322220lim(1)lim (1)lim(1)1t tt t t t t t e e ------→→→⎡⎤=+=++=⋅=⎢⎥⎣⎦. (4) 1221002lim lim 122xxx x x x e ---→→⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. (5) 012sin lim20lim(12sin )x xxx x ee →→+==.(6) 3cos 3sec 322lim(1cos )lim(1cos )x xx x x x e ππ→→+=+=.3. 设 21001lim 5xc x x e x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求c . 解 222012lim 2012510011006lim lim 155x xxxc x x x x e e e x x →∞-→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2012=c .习题2.5 (B)1. 利用极限存在准则，计算下列各题.(1) 222111lim (1)()n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦； (2) n →∞. 解 (1)由于222221111()(1)()n n n n n n n n n n<+++<=+++，又因为 1lim0n n →∞=，2lim 0()n nn n →∞=+，由夹逼准则，有 222111lim 0(1)()n n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥++⎣⎦. (2) 因为1sin 1n -<<，所以有223311n nn n -<<++，此时23lim 01nn n →∞-=+，23lim 01n n n →∞=+，由夹逼准则，有 0n →∞=. 2. 利用极限存在准则证明：数列2，22+，222++，…的极限存在，并求出该极限.解归纳证明这个数列是严格单调增加的，并以2为上界.2<，假设1n n a a -<，那么1n n a a +=<=，可见数列是单调增加的. 2<，2n a <，可推出12n a +=<=，所以数列以2为上界. 由准则Ⅱ知，此数列是收敛数列，记极限为a .由在递推公式1n a +1lim n n a +→∞=即a =2a =.3. 某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？解设发行时每份债券的价格应定为0A 元，则65.0010%5.601000e A e A ==⨯，所以05.522100065.00≈⋅=-e A （元）.4. 设本金为p 元，年利率为r . 若一年分n 期，存期t 年，若以复利方式结算，则本金与利息之和是多少？现某人将1000p =元存入某银行，年利率为0.06r =，2t =；请按单利、季度、月利及连续复利等结算方式计算本利和.解按单利计算：本利和为=00.1120206.010001000=⨯⨯+（元）. 由复利公式有ntn r p ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1，按季度结算方式计算：4n =，利和为49.1126406.011000124≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯nt n r p (元)，按月结算方式计算：12n =，本利和为.1511271206.0110001212≈⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯nt n r p (元)，连续复利结算方式计算：本利和为 1000rt rtpe e =1127.49≈(元).5. 根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I '.证明仅就0x x →的情形证明准则I '，∞→x 的情形类似证明.0>∀ε，因为A x g x x =→)(lim 0，01>∃δ，当100δ<-<x x ，有ε<-A x g )(，即εε+<<-A x g A )(， (3)又A x h x x =→)(lim 0，对于上面的0>ε，02>∃δ，当200δ<-<x x ，有ε<-A x h )(，即εε+<<-A x h A )(. (4)取},min{21δδδ=，则当δ<-<00x x ，假设(1)及式(3)、(4)同时成立，从而有εε+<≤≤<-A x h x f x g A )()()(，即ε<-A x f )(.因此，0lim ()x x f x →存在，且等于A .习题2.6(A)1. 当0→x 时，下列各函数都是无穷小，试确定哪些是x 的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？(1) x x +2； (2) x x sin +;(3) x x sin -； (4) x 2cos 1-； (5) x arctan ; (6) x 2tan .解 (1) 因为200lim lim(1)1x x x xx x→→+=+=，所以x x +2是与x 等价的无穷小.(2) 因为00sin sin limlim 1112x x x x x x x →→+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以x x sin +是与x 同价的无穷小. (3) 因为00sin sin limlim 10x x x x x x x →→-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以x x sin -是比x 高价的无穷小. (4) 因为20001sin 1cos 2sin 2lim lim lim sin 02x x x xx x x x x x →→→-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以x 2cos 1-是比x 高价的无穷小.(5) 因为00arctan limlim 1x x x xx x →→==，所以x arctan 是与x 等价的无穷小.(6) 因为00tan 22limlim 2x x x xxx →→==，所以x 2tan 是与x 同价的无穷小. 2. 当1x →时，无穷小111xx-+是否为等价的无穷小？解1111x x x→→-=. 故11xx -+与1.3. 当1x →时，无穷小1x -与下列无穷小是否同阶，是否等价?(1) 1 (2)2(1.解 (1) 由于11113x x x →→→===故1x -与1.(2) 由于112(1lim11x x x →→==-，故1x -与2(1等价.4. 利用等价无穷小代换原理求下列极限.(1) 0arctan 3lim sin 2x x x →； (2) 0sin lim (,)(sin )mn x x m n x →正数；(3) 201lim 1cos x x e x→--； (4) 201lim 3x x e x x →-+；(5) 21arcsin(1)lim (1)ln(21)x x x x →---； (6) 30tan sin lim ln(1)x x xx →-+；(7) 0x →； (8) 2330235lim 42tan x x x x x x →+-+.解 (1) 00arctan 333limlim sin 222x x x x x x →→==.(2) 00sin lim lim (sin )mmn n x x x x x x→→==0,1,,m n m n m n >⎧⎪=⎨⎪∞<⎩. (3) 222001limlim 21cos 2x x x e x xx →→-==-. (4) 22000111lim lim lim 3333x x x x e x x x x x x →→→-===+++. (5) 2211arcsin(1)(1)1lim lim (1)ln(21)(1)(22)2x x x x x x x x →→--==----.(6) 2333000tan sin tan (1cos )12limlim lim ln(1)ln(1)2x x x x x x x x x x x x →→→⋅--===++.(7) 22lim42x x xx x →→==+.(8) 2330235lim 42tan x x x x x x →+-+2200220lim(235)2352lim 1tan tan 242lim 42x x x x x x x x x x x x x →→→+-+-====⎛⎫++ ⎪⎝⎭.习题2.6 (B)1. 证明当0→x 时，有如下结论：(1) x x ~arctan ； (2) 221~1sec x x -； (3)221~1sin 1x x x -+； (4) 222~11x x x --+. 证明 (1) 令x t arctan =，则t x tan =，当0→x 时，0→t . 于是000arctan cos limlim lim 1sin tan x t t x t tt x tt →→→===，故x x ~arctan .(2) 因为200002222111sec 11cos cos 2lim lim lim lim 11111cos cos 2222x x x x xx x x x x x x x x →→→→---====⋅⋅，所以，221~1sec x x -.(3)因为0022sin lim 111)22x x x x x x x →→→===，所以，221~1sin 1x x x -+. (4) 因为20001x x x →→→===，所以222~11x x x --+.2. 证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1) αα~（自反性）； (2) 若βα~，则αβ~（对称性）； (3) 若βα~，γβ~，则γα~（传递性）.证明 (1) 因为1lim=αα，所以αα~. (2) 因为βα~，即1lim=βα，所以1lim =αβ，即αβ~.(3) 因为βα~，γβ~，即1lim=βα，1lim =γβ，所以 1lim lim lim lim=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=γββαγββαγα，即γα~. 3. 当0x →时，变量122(1)1kx +-与变量cos 1x -为等价无穷小，求常数k 的值.解 2122200(1)12lim lim 1cos 12x x kx kx k x x →→+-==-=--. 即 1k =-.解其中x 习题2.7(A)1. 讨论下列函数的连续性.(1) ⎩⎨⎧>≤=0 ,0 ,sin )(2x x x x x f ； (2) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=1 ,111 ,1,1)(2x x x x x f .解 (1) 因为，当0<x 时，x x f sin )(=是连续的；当0>x 时，2)(x x f =是连续的，由于lim sin 0x x -→=，20lim 0x x +→=，00sin )0(==f ，故()f x 在0x =处连续. 从而函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.(2) 因为)(x f 为分函数，当1-<x ，11<<-x ，1>x 时，函数)(x f 均是连续的.在1-=x 处，由于1lim (1)1x -→--=-，21lim 1x x +→-=，所以1-=x 是跳跃间断点；在1=x 处，由于21lim 1x x -→=，1lim11x +→=，且1)1(=f ，所以，函数在1=x 处连续. 综上所述：函数)(x f 在区间) ,1()1 ,(∞+---∞ 内连续.2. 确定常数a ，b 使下列函数连续.(1) ⎩⎨⎧>+≤=0 ,0 ,)(x a x x e x f x ； (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,sin 0 ,20 ,)31ln()(x x axx x bx x x f .解 (1) 当0<x 与0>x 时，函数)(x f 为初等函数，它是连续的. 要使函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续，只需要函数)(x f 在0=x 处连续即可.因为1)0(0==e f ，0lim 1x x e -→=，0lim ()x x a a +→+=，所以当1=a 时，即有 00lim ()lim ()(0)1x x f x f x f -+→→===，即当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续. 故当取1=a 时，函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.(2) 当0<x 与0>x 时，函数)(x f 为初等函数，故它是连续的. 要使函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续，只需要函数)(x f 在0=x 处连续即可.因为00033lim ()lim lim x x x x f x bx b---→→→-==-，000sin lim ()x x x a axf x a x ax +→+→+→==.由函数)(x f 在0=x 处连续知，00lim ()lim ()(0)2x x f x f x f -+→→===，即得，23=-=ba . 故当2=a ，23-=b 时，函数)(x f 在0=x 处连续. 也即函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.3. 考察下列函数在指定点的连续性. 如果是间断点，指出其属于哪一类；如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其成为函数的连续点.(1) 23122+--=x x x y ，1=x ，2=x ；(2) xxy sin =， πk x =，),2 ,1 ,0( ±±=k ； (3) xy 1cos 2=，0=x ；(4) ⎩⎨⎧>-≤-=1,31,12x x x x y ，1=x .解 (1) 因为)2)(1()1)(1(23122--+-=+--=x x x x x x x y ，函数在1=x ，2=x 处无定义，所以都是间断点.又因为221lim )2)(1()1)(1(lim 231lim 11221-=-+=--+-=+--→→→x x x x x x x x x x x x ， ∞=+--→231lim 222x x x x ，所以，1=x 为第一类间断点（可去间断点），重新定义，当1=x 时，令2-=y ，则函数在1=x 处连续.2=x 为第二类间断点（无穷间断点）.(2) 函数xxy sin =在 πk x =，),2 ,1 ,0( ±±=k 处无定义，所以它们都是间断点. 因为1sin lim0=→xxx ，故0=x 是函数y 的第一类间断点（可去间断点）.若令1)0(=y ，则函数在0=x 处连续；若0≠k ，则∞=→xxk x sin lim π，故 πk x =),2 ,1( ±±=k 为函数y 的第二类间断点（无穷间断点）.(3) 对0=x ，因为21lim cos x x -→及201lim cos x x+→均不存在，所以0=x 为函数的第二类间断点.(4) 对1=x ，因为11lim ()lim(21)1x x f x x --→→=-=，11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-=，所以 1=x 第一类间断点(跳跃间断点).4. 求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求0lim ()x f x →，3lim ()x f x →-，2lim ()x f x →.解由于323223333()6(3)(2)x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-，得()f x 的定义域为()()(),33,22,-∞--+∞. 由于初等函数在其定义区间内连续，故函数()f x 的连续区间为()()(),33,22,-∞--+∞.01lim ()(0)2x f x f →==，22333(3)(3)18lim ()lim lim (3)(2)25x x x x x x x f x x x x →-→-→-+-+-===-+--，由于0)3)(1()2)(3(lim )(1lim222=+--+=→→x x x x x f x x ，故 222(3)(3)lim ()lim (3)(2)x x x x x f x x x →→+-+==∞+-.5. 求下列极限(1) 52lim 20+-→x x x ； (2) 34)2(sin lim x x π→;(3) sin 0lim xx x e→；(4) 145lim1---→x xx x .解 (1) 5502052lim 220=+⨯-=+-→x x x .(2) 142sin )2(sin lim 334=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→ππx x . (3) e e eex x xxx x ===→→1sin limsin 00lim .(4) )45)(1()1(4lim145lim11x x x x x x x x x +---=---→→21==→x .习题2.7 (B)1. 设2,01()2,1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩， a ，b 为何值时，()f x 在1x =处连续？解由于211lim ()lim()x x f x ax b a b --→→=+=+，11lim ()lim ln(1)ln(1)x x f x bx b ++→→=+=+. 要使()f x 在1x =处连续，须有ln(1)2,2b a b +=+=.解之得 23a e =-，21b e =-. 2. 讨论下列函数的连续性.(1) 1()lim(0)1n n f x x x →∞=≥+； (2) 221()lim 1nnn x f x x x →∞-=+.解 (1) 1, 0111()lim , 1120, 1nn x f x x x x →∞≤<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩，由于 11lim ()lim11x x f x --→→==，11lim ()lim 00x x f x ++→→==，故1x =为间断点. (2) 22, ||11()lim 0, 11,||1n nn x x x f x x x x x x →∞<⎧-⎪===±⎨+⎪>⎩-，由于 11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-. 故1x =为间断点. 同理1x =-也为间断点. 3. 求下列极限.(1) 21limcos ln 1x x x →∞⎡-⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； (2) sin 0lim xxx e →；(3) 01limarctan x x e x →⎛⎫- ⎪⎝⎭； (4) ()110lim 2x x x x e -→+. 解 (1) 2121limcos ln(1)cos ln lim(1)cosln 3x x x x x x →∞→∞--⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(2) 0sin sin limlim x x xxxx eee →→==.(3) 0011limarctan arctan lim arctan14x x x x e e x x π→→⎛⎫⎛⎫--=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4) ()()11ln 2ln 2111lim 2lim 2x x e xx x x x x eee +---→→+===. 4. 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例.(1) 如果函数)(x f 在点0x 连续，那么)(x f 也在点0x 连续； (2) 如果函数)(x f 在点0x 连续，那么函数)(x f 也在点0x 连续. 解 (1) 对. 因为0)()()()(00→-≤-x f x f x f x f )(0x x →，所以)(x f 也在点0x 连续. (2) 错. 例如⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则)(x f 在点00=x 连续，但函数)(x f 在点00=x 不连续.习题2.8(A)1. 证明方程3310x x --=在区间(1,2)内至少有一个实根.证明因为函数3()31f x x x =--在闭区间[1, 2]上连续，又(1)30f =-<，(2)10f =>，根据零点定理，在开区间(1, 2)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即3310ξξ--=.故方程3310x x --=在区间(1,2)内至少有一个实根ξ.2. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>，证明：至少有一个(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明构造辅助函数x x f x g -=)()(.因为函数()f x 在闭区间[, b]a 上连续，且(),()f a a f b b <>，所以x x f x g -=)()(在闭区间[, b]a 上也连续，且0)()(<-=a a f a g ，0)()(>-=b b f b g . 根据零点定理，x x f x g -=)()(在开区间(, b)a 内至少有一点ξ，使得()()0g f ξξξ=-=，即 ()f ξξ=.3. 设函数()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，证明：在[0,]a 至少存在一点ξ，使()()f f a ξξ=+.证明构造辅助函数：)()()(x f a x f x g -+=.因为函数()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，所以)()()(x f a x f x g -+=在闭区间[0,]a 上也连续，且()()0)()2()2()()()0(≤--=a f a f a f a f a g g .根据零点定理，)()()(x f a x f x g -+=在开区间(0,)a 内至少有一点ξ，使得()()()0g f a f ξξξ=+-=，即()()f f a ξξ=+.4. 证明方程 sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一正根，并且不超过a b +. 证明令()sin ,f x a x b x =+-[]0,x a b ∈+，()f x 在[]0,a b +上连续，又(0)0f b =>，()sin()()[sin()1]0f a b a a b b a b a a b +=++-+=+-≤。