人教版数学八上15.2《乘法公式》(平方差公式)ppt课件
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《平方差公式说》课件
围。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差 公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛 的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多 其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推 的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命 题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出 ，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将 每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式 形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以 更好地理解和应用数学中的一些基本 概念和原理，从而更好地解决实际问 题。
这些公式可以用来解决一些特定的问 题，例如求解某些数学问题和证明某 些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于 因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某 些图形的面积和周长。
人教版八年级上册数学《平方差公式》整式的乘法与因式分解研讨复习说课教学课件
总结
这节课我们学到了什么？
1．平方差公式： (a+b)(a-b)=
2．平方差公式的结构特点：
结构
两数之和 两数之差 两数的平方差
（a+b）（a-b）= -
细节
相同项
相反项
平方差公式
什么是平方差公式？ 平方差公式的结构有什么特点？ 证明利用平方差公式计算？
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
（3）(2x+1)(2x-1)=_______________.
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？ 都是两项之和乘以两项之差
探究
计算下列多项式的积： （1）(x+1)(x-1)=_______________；
（2）(m+2)(m-2)=_______________；
（2）102×98 = （100＋2）(100－2) = 1002-22 = 10 000 – 4 =9996.
新课讲解
不符合平方差公 式运算条件的 乘法，按乘法 法则进行运算.
通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算.
新课讲解
【练习】计算：
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) . 解： (1) 原式=（50＋1）(50－1)
在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
随堂即练
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
乘法公式ppt课件
感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知2－练
2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
感悟新知
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲
2
2
2
(6)ab＝ ［(a＋b) －(a ＋b )］＝
［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
感悟新知
知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
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1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
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②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
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= × × × × ⋯×
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人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
新人教版八年级数学上册《乘法公式》精品课件
如图（2）中，大正方形的边长 是a，它的面积是a2；矩形 DCGE与矩形BCHF是全等图形， 长都是a，宽都是b，所以它们 的面积都是a•b；正方形HCGM 的边长是b，其面积就是b2；
正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(ab)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再 加上正方形HCGM的面积． 也就是：(a-b)2=a22ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公 式吗？
先看图（1），可以看出大正方 形的边长是a+b．还可以看出大 正方形是由两个小正方形和两 个矩形组成， 所以大正方形的
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加（或减）它们的积的2倍 用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
面积等于这四个图形的面积之 和．阴影部分的正方形边长是a， 所以它的面积是a2；
另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另 外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面 积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是 (a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正 好符合完全平方公式．
《平方差公式》教学课件
14.2 乘法公式
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.
人教版八年级上册1.乘法公式课件
14. ［2x2－(x+y)(x－y)］［(z－x)(x+z)+(y－z)(y+z)］；
15. 已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试 判断△ABC的形状.
16. 利用乘法公式进行简便运算： ①20042； ②999.82； ③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
9. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．(−2b−5)(2b−5) B．(b2+2x2)(2x2−b2) C．(−1− 4a)(1− 4a) D．(−m2n+2)(m2n−2)
10. 若x2-y2=100， x+y= -25，则x-y的值是（ ） A.5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
5. 用简便方法计算： 503×497=_______；1.02×0.98=______
6. 计算： （1）(3a-2b)(9a+6b) （2）(2y-1)(4y2+1)(2y+1)
7. 已知a2-b2=8，a+b=4，求a、b的值
8. 下列计算正确的是（ ） A．( 2a+b)( 2a−b) = 2a2−b2 B．(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) = 0.9x2−0.4 C．(a2+3b3)(3b3−a2) = a4−9b6 D．( 3a−bc)(−bc− 3a) = − 9a2+b 2c2
15. 已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试 判断△ABC的形状.
16. 利用乘法公式进行简便运算： ①20042； ②999.82； ③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
9. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A．(−2b−5)(2b−5) B．(b2+2x2)(2x2−b2) C．(−1− 4a)(1− 4a) D．(−m2n+2)(m2n−2)
10. 若x2-y2=100， x+y= -25，则x-y的值是（ ） A.5 B. 4 C. -4 D. 以上都不对
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
5. 用简便方法计算： 503×497=_______；1.02×0.98=______
6. 计算： （1）(3a-2b)(9a+6b) （2）(2y-1)(4y2+1)(2y+1)
7. 已知a2-b2=8，a+b=4，求a、b的值
8. 下列计算正确的是（ ） A．( 2a+b)( 2a−b) = 2a2−b2 B．(0.3x+0.2)(0.3x−0.2) = 0.9x2−0.4 C．(a2+3b3)(3b3−a2) = a4−9b6 D．( 3a−bc)(−bc− 3a) = − 9a2+b 2c2
人教版八年级数学上册《公式法》整式的乘法与因式分解PPT精品课件
1
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
-1
1
-2
1×(-2)+1×(-1)=-3
(2)
1
-2
1
5
1×5+1×(-2)=3
解：(1) x2-3x+2=(x-1)(x-2)； (2) x2+3x-10=(x-2)(x+5).
随堂练习
x(x+2)(x+3)
1.（2019·淄博）分解因式：x3+5x2+6x=___________.
分析：x3+5x2+6x
(1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当
多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若
符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解
因式；
(2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可
根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用
公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公
因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式
的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指
数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因
式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
1
2
=x(x2+5x+6)
1
3
=x(x+2)(x+3).
1×3+1×2=5
2.（2019·威海）分解因式：2x2-6x+4=__________.
2(x-1)(x-2)
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• (x+1)(x-1) =x2-x+x-1 =x2-1 • (m+2)(m-2) =m2-2m+2m-22 =m2-22 =m2-4 • (2x+1)(2x-1) =(2x) 2-2x+2x-1 =(2x) 2-1 =4x 2-1
2-b2 (a+b)(a-b)=a
两个数的和与这两个数 的差的积等于这两个数的平 方差。
从边长为a的大正方形底板上挖去一个边 长为b的小正方形（如图甲），然后将其 裁成两个矩形（如图乙），通过计算阴 影的面积可以验证公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
a a
a-b a-b
b a-b
a
b
b
快乐学习1：
运用平方差公式计算
• ( 3x+2 )( 3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4 • (b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2 • ( -x+2y )(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2
下列各式计算对不对？若不对应怎样改正？
(1)(x+2)(x-2)= x2-2 x2-4 (2)(-3a-2)(3a-2)= 9a2-4 4-9a2
快乐学习2：
计算
• (y+2 )( y-2)-(y-1)(y+5) = y2-22-(y2+5y-y-5) • 102×98 = y2-4-y2-4y+5 =(100+2)(100-2) = -4y+1 =1002-22
=9996
试一试：
• • • • ( a+b)(-b+a) (3a+2b)(3a-2b) (a5-b2)(a5+b2) (a+b)(a-b)(a2+b2)
a2-b2 9a2-4b2 a10-b4 a4-b4
• 算一算： 5x2-2y2 • （x+y )( x-y)+(2x+y )( 2x-y） -3x+49 • x(x-3)-(x+7)(x-7) 填一填: a a • （__+__）（__-__）= -9 23 23 • （a+2b+2c）（a+2b-2c）写成平方差公 (a+2b)2-(2c)2 式形式：_______________
老师们: 同学们:
下午好!
你能用简单方法计算下列问题吗？
(1)、1002×998 =(1000+2)(1000-2) =10002+2×1000-2×1000-22 = 10002-22 =999996 (2)、 200004×199996
《乘法公式──平方差公式》
观察下列多项式，并进行计算，你 能发现什么规律？
• 200004×6 =（200000+4）（200000-4） = 2000002 - 42 = 40000000000 - 16 = 39999999984
(a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两 个数的平方差。
平方差公式中字母 a、b可代表一个数、一个单 项式或多项式。