平方差公式课件
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平方差公式(共10张PPT)
遵义学练考 数学 8上【R】
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
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《平方差公式》PPT课件
= y2 - 22 - (y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -4y+1
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20
1、 口答随：堂练习
(1)(a+3)(a−3)； (2)(2a +3b)(2a−3b) ;
(3)(1+2c)(1−2c) ; (4)(−1+5m)(−1−5m)
(5)(−2x+3y)(2x+3y) ; (6)(a−2b)(a−2b) .
第二数b
平方
=25− 36x2 ;
(2) (x+22yy) (x−22yy)
= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
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注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整 个括起来，再平方;
(3)(a+b)(a-c) 否 (4)(2+a)(a-2) 是
（5）(1x2y) (1x2y)
4
4
是
（6） (1-x)(-x-1) 是
（7 ）(-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
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10
【例1】运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)
猜想:(a+b)(a-b)= a2-b2 ?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2
=a -b 2 2完整版ppt
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20
1、 口答随：堂练习
(1)(a+3)(a−3)； (2)(2a +3b)(2a−3b) ;
(3)(1+2c)(1−2c) ; (4)(−1+5m)(−1−5m)
(5)(−2x+3y)(2x+3y) ; (6)(a−2b)(a−2b) .
第二数b
平方
=25− 36x2 ;
(2) (x+22yy) (x−22yy)
= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
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注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母的乘积 要时用, 括号把这个数整 个括起来，再平方;
(3)(a+b)(a-c) 否 (4)(2+a)(a-2) 是
（5）(1x2y) (1x2y)
4
4
是
（6） (1-x)(-x-1) 是
（7 ）(-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
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10
【例1】运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)
猜想:(a+b)(a-b)= a2-b2 ?
(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2
=a -b 2 2完整版ppt
八年级数学《平方差公式》课件图文详解
知2－导
利用这个公式， 可以直接计算 两数和乘以这 两数的差.
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁:
(a + b) (a－b)=a2 －b2.
这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称 为平方差公式.
知2－讲
平方差公式： 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差． 用式子表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
-2 0192 =2 0192-1-2 0192=-1.
总结
知3－讲
本题运用转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘 积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个 数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与这两数 的差的积的形式，利用平方差公式可求解．
知3－练
1 计算2 0162－2 015×2 017的结果是( )
项的平方 减去相反项的平方 . 3. 理解字母a,b的意义，平 方差公式中的a,b既
可代 表一个单项式，也可代表 一个多项式 .
知1－讲
知1－练
1 下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D.
2 3
m2
3 4
解: (1) (a+3)(a-3)=a2-32=a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (3) (1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2. (4)(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.
n3
《14.2.1平方差公式》课件(3套)
(4)(－3x＋2y)(－3x－2y)＝_9_x_2_－__4_y_2_.
4．填空：(－12x＋2y)(__－__12_x_－__2_y__)＝14x2－4y2； (－4a－1)(_－_1_＋__4_a__)＝1－16a2.
5．运用平方差公式计算： (1)(9s＋11t)(11t－9s)； 解：121t2－81s2
14．2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运 算．
重点 平方差公式的推导和应用． 难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与 结果有什么规律吗？ (1)(x＋1)(x－1)； (2)(m＋2)(m－2)； (3)(2x＋1)(2x－1)． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括． 二、举例分析 再举几个这样的运算例子． 让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)， 然后由其中一个小组的代表来汇报．
项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列
多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
你能将发现的规律用式子表示出来吗？ （a+b）（a-b）=a 2 -b2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b）（a-b） =a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2
理解平方差公式
前面探究所得的式子（a+b）（a-b）=a2-b2 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
4．填空：(－12x＋2y)(__－__12_x_－__2_y__)＝14x2－4y2； (－4a－1)(_－_1_＋__4_a__)＝1－16a2.
5．运用平方差公式计算： (1)(9s＋11t)(11t－9s)； 解：121t2－81s2
14．2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运 算．
重点 平方差公式的推导和应用． 难点 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
一、设问引入 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与 结果有什么规律吗？ (1)(x＋1)(x－1)； (2)(m＋2)(m－2)； (3)(2x＋1)(2x－1)． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括． 二、举例分析 再举几个这样的运算例子． 让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)， 然后由其中一个小组的代表来汇报．
项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列
多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x-1）=
x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2）= m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1）= 4x2 -1 ．
你能将发现的规律用式子表示出来吗？ （a+b）（a-b）=a 2 -b2
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（a+b）（a-b） =a2 -ab+ab-b2 =a2 -b2
理解平方差公式
前面探究所得的式子（a+b）（a-b）=a2-b2 为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
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2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
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2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
平方差公式因式分解课件
平方差公式的证明
以几何解释和代数推导的方式，详细介绍平方差公式的证明，并提供一些实例来巩固理解。
平方差公式的应用
展示平方差公式在解决实际数学问题中的应用，包括面积计算、数列求和和方程式的变形等。
因式分解实例1：4x^2 - 9y^2
通过实际例子演示如何应用平方差公式进行因式分解，帮助学生更好地理解 和掌握这一概念。
平方差公式的探究
发掘更深层次的平方差公式相关概念，讨论剩余和约分等概念，并展示它们 是如何相互影响的。
平方差公式的历史背景
介绍平方差公式的历史渊源和相关数学家，帮助学生了解数学知识的发展和演变。
平方差公式在实际生活中的应用
探索平方差公式在实际生活中的实际应用，如建筑设计、物理力学和经济分析等领域。
平方差公式因式分解ppt 课件
本课件将带您了解平方差公式因式分解的概念、应用和推广。深入浅出，轻 松掌握这一数学难题，让您的数学技巧更上一层楼！
平方差公式介绍
通过直观的示意图，了解平方差公式是什么，并掌握其重要性以及在因式分解中的作用。
பைடு நூலகம்
什么是因式分解？
深入分析因式分解的定义，展示因式分解在数学中的重要性，以及为什么它 是数学解决难题的基础。
因式分解实例5：9a^2 - 16b^2
最后一个实例将帮助学生巩固平方差公式因式分解的知识，并解决更具挑战 性的方程式问题。
平方差公式的推广
探讨平方差公式的推广应用，如立方差公式和高次幂差公式，并帮助学生扩 展他们的数学思维。
平方差公式的变形1：(a+b)^3
了解如何将平方差公式应用于(a+b)^ 3的展开，并解决更复杂的代数问题。
平方差公式的变形2：(a+b)^4
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
1.平方差公式课件
能力提升
1.已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值为___．
2.若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值
为( )
A．14 B．－14
C．45
D．－45
3.已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值．
4.计算 3 (22 1)(24 1)...( 232 1) 1 ．
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) .
解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
4.下列运算正确的是( C ) A．3x＋2y＝5xy B．(m2)3＝m5 C．(a＋1)(a－1)＝a2－1
b2 D. b ＝2
5.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( B ) A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6.如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方 形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利 用这两个图形的面积，可以验证的公式是( B ) A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
注：利用平方差公式的关键是，认准公式里的a和b; 符号相同的为a,符号相反的为b.
例2 视察下面两幅图，你能根据此图从几何 的角度推导出平方差公式吗？
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（2）(3+2a)(－3+2a)= (2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9；
=(9x2－16) - (6x2+5x -6) =3x2－5x+10
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（1）(a+3b)(a - 3b)= (a)2－(3b)2 =a2－9b2 ； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)= (-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）51×49= (50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
§15.2 乘法公式
平方差公式
某同学去商店买了单价是9.8元/千克的 糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，他就 说出应付99.96元，结果与售货员计算出的 结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象 是个神童，怎么算得这么快？”王敏捷同学 说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的 一个公式。”
你知道他是怎么计算的吗?
例1 运用平方差公式计算： (3) (-x+2y)(-x-2y). 解：原式= (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
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检验成果:
1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ；
(3) (1+2c)(1-2c).
挑战自我
3、利用平方差公式计算： 1998×2002；
（1）解：1998×2002 =（2000－2）（2000+2） =2000 －22 =4000000-4 =3999996
2
1、计算：1996×2004 解：原式=（2000-4）×（2000+4）
=2000 2 - 4 2 =4000000-16 = 3999984
4a 1 (4a 原式 变成公式的形式 1) 4a 1 4a 1
16 a 1
4a 1
2 2
2
= 1−16a2
注意
①计算时千万别忘了你提出的“”号、添括号； ②运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“项”和符号相反的“项”， 然后应用公式．
拓 展 练 习
计算：(4a1)(4a1)．
方法一：利用加法交换律， 变成公式的形式
解：原式= ( 4a−1 ) ×( 4a −1 ) = （−1 −4a） ×（−1 +4a = =
(1)2 −(4a)2 1−16a2
）
计算：(4a1)(4a1)．
方法二：提取两“−”号中的“−” 号
(不能)
(2) (a−b)(b−a) ;
(3) (a+2b)(2b+a);
(不能)
(不能) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (不能)
(4) (a−b)(a+b) ;
(5) (2x+y)(y−2x).
2、计算：
(1)(a+3)(a−3)； (2)(2a +3b)(2a −3b ) ;
a
b
a
b
如图：在边长为a的大正方形的一角剪去
一个边长为b的小正方形。
a b （1）图中的红色部分部分面积是__________ （2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？ (a b )( a b) 你拼出的长方形的面积是________________
2 2
平方元/千克的 糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，他就 说出应付99.96元，结果与售货员计算出的 结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象 是个神童，怎么算得这么快？”王敏捷同学 说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的 一个公式。”
你知道他是怎么计算的吗?
利用平方差公式计算：
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) 2－22 =(3x) =(2a)2－b2 2－4； =9x =4a2－b2.
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