华东师大版数学八年级上14.2勾股定理的应用
甲
30× 2 =60(海里) 乙 40×2 =80 (海里)
C
B A
甲船以每小时30海里 的速度，从A处向正 北方向航行，同时乙 船从A处以每小时40 海里的速度向正西方 向航行，两小时后， 甲、乙两艘轮船相距 多少海里？
解：如图，在Rt∆ABC 中， BC2=AB2+AC2 BC= (30×2)2+(40×2)2
C D
· A· B
解析:现在如果我们把圆柱形的桶的侧面展开则得到 矩形，A、B两点就转化为平面的两点，如图，原问题 转化为在线段CD上找一点P，使PA+PB最短。作出B 点关于直线CD的对称点B1，连接AB1，交CD于点P， 由“两点之间线段最短”可知AB 最短，再由对称性 可得PB=PB1，因此，蚂蚁沿路线AP、BP所走路线最 短（即AB的距离）。过点B1作B1F⊥AC的延长线于 点F，可得AF=20，FB1=15，由勾股定理可得 AB1=25(cm).
C
A
O
D
在直角三角形OCD B 中，OC=1 OD=0.8
米
CD2=OC2-OD2=12-0.82 =0.36 ∴CD=0.6 CH=2.3+0.6=2.9
H
2.3
∵2.9＞2.5∴能通过
练 习 2
A
3.6米
D
一辆高３米，宽2.4 米的卡车要通过一 个半径为3.6 米的 半圆形隧道，它能 顺利通过吗？
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为
a，b，斜边为c，那么a² +b ² =c² 。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,
a2+b2=c2.
A
c
b
C
B
a
逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
a² + b² =c² ，那么这个三角形是直角三角形。
∵ △ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2,
=100(海里)
答：甲乙两船相距100 C 海里。
B A
例6.
1、已知：等边△ ABC的边长是6cm (1) 求高AD的长. (2) 求S △ ABC.
A
B
D
C
例
解： （1）∵ △ ABC是等边三角形，AD是高，
A
在Rt △ ABD中，AB=6，BD=3， 根据勾股定理，
1 BD B是直角三角形) A.
c
b
C
B
a
例1 ： 解：在Rt△ABC中，AB=4cm ,BC=10cm
一圆柱体的底面周长为20cm, 高AB为4cm, BC是 根据勾股定理得： 上底面的直径 .一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的 2 2 ACC, 试求出爬行的最短路程．（精确 AB BC 侧面爬行到点 到0.01cm） 4 2 102
B １.２米O
C
AB2=3.62-1.22=12.96-1.44= 11.52 ∵11.52＞32 所以能通过
例4如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的 边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： (1) 从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点Ｂ在 格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2 2 ； (2) 画出所有的以(1)中的ＡＢ为边的等腰三角形,使另 一个顶点在格点上,且另两边的长度都是无理数．
练习1、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 （ ）. （A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
B C C
2
B
1
A A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
一辆装满货物的卡车,其外形高2.5 米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工 厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
B D C
∵ AD2=AB2 - BD2
∴ AD AB2 BD2 36 9 27cm (2) S △ ABC＝ 1 BC AD = 1 ×6 × 3 3
2
2
=
9 3
(cm2)
等腰三角形底边上的高为8，周长 为32，求这个三角形的面积。 解：作∆ABC的高AD，设BD 为X，则AB为（16-X）， 由勾股定理得：
作业1： 在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？ D B. C A
2：如图一只蚂蚁想从圆柱形的桶外A点爬到桶内B点
去寻找食物，已知A点到桶口的距离AC12cm,B点桶 口的距离BD为8cm,狐CD的长为15cm,若蚂蚁爬行的 是最短路线，应该怎样走？最短距离是多少？
F C
P
B1 D
A·
· B
分析 只需利用勾股定理看哪一 个矩形的对角线满足要求． 解 (1) 图1中AB长度为2 2． (2) 图2中△ABC、△ABD就 是所要画的等腰三角形．
D
A B 图1
C A B 图2
例5：甲船以每小时 30海里的速度，从A 处向正北方向航行， 同时乙船从A处以每 小时40海里的速度向 正西方向航行，两小 时后，甲、乙两艘轮 船相距多少海里？
例7.
A 8 D X C
X2+82=(16-X)2 即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6
B
∴ S∆ABC=BC•AD÷2=2 •6 •8÷2=48
小
结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路： １、立体图形中路线最短的问题，往往是把 立体图形展开，得到平面图形．根据“两点 之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股 定理计算出最短距离． ２、在解决实际问题时，首先要画出适当的 示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构 建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实 际问题．
116 10.77(cm)
B
C
B
C
A
D
A
D
例2、
如图，在棱长为10厘 米的正方体的一个顶点A处 有一只蚂蚁，现要向顶点 B处爬行，已知蚂蚁爬行的 速度是1厘米/秒，且速度 保持不变，问蚂蚁能否在 20秒内从A爬到B？
蛋糕
B
A
B c B
A 解：如图，在 Rt△ABC中， AC=10，BC=20 ∴AB2=AC2+BC2=102+202=500， ∴AB=10 5 ∴1 5 ＞20 0
合集下载
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用优秀教学案例
2.培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力和创新能力。
3.通过对勾股定理的应用，培养学生独立思考、解决问题的习惯，培养学生的团队合作精神。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱，树立学生的自信心。
2.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，共同解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力，例如：分组讨论如何运用勾股定理测量建筑物的高度。
2.教师给予适当的指导和支持，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ助学生克服困难，例如：在学生解决问题过程中，教师提供必要的数学知识和方法。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足，例如：让学生反思自己在解决勾股定理应用问题时，哪些方法有效，哪些需要改进。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的场景为导入，例如测量房间的高度，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，例如：“如果已知直角三角形的两条直角边，如何求斜边的长度？”
3.操作情境：让学生动手操作，亲自体验勾股定理的应用，例如：用硬纸板制作直角三角形，测量其边长，验证勾股定理。
考虑到学生的年龄特点和认知水平，本节课通过设计丰富的教学活动，引导学生运用勾股定理解决实际问题。在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、合作交流意识和创新能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握勾股定理的应用。
为了提高教学效果，教师在课前充分准备，搜集了与勾股定理相关的实际问题，设计了多样化的教学活动。同时，注重与学生的互动，引导他们积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.通过对勾股定理的应用，培养学生独立思考、解决问题的习惯，培养学生的团队合作精神。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生对数学的热爱，树立学生的自信心。
2.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，共同解决问题，培养学生的团队合作意识和沟通能力，例如：分组讨论如何运用勾股定理测量建筑物的高度。
2.教师给予适当的指导和支持，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ助学生克服困难，例如：在学生解决问题过程中，教师提供必要的数学知识和方法。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足，例如：让学生反思自己在解决勾股定理应用问题时，哪些方法有效，哪些需要改进。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的场景为导入，例如测量房间的高度，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计具有挑战性和启发性的问题，引发学生的思考，例如：“如果已知直角三角形的两条直角边，如何求斜边的长度？”
3.操作情境：让学生动手操作，亲自体验勾股定理的应用，例如：用硬纸板制作直角三角形，测量其边长，验证勾股定理。
考虑到学生的年龄特点和认知水平，本节课通过设计丰富的教学活动，引导学生运用勾股定理解决实际问题。在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、合作交流意识和创新能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握勾股定理的应用。
为了提高教学效果，教师在课前充分准备，搜集了与勾股定理相关的实际问题，设计了多样化的教学活动。同时，注重与学生的互动，引导他们积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
14.2勾股定理的应用-华东师大版八年级数学上册教案
14.2 勾股定理的应用-华东师大版八年级数学上册教案一、教学目标1.掌握勾股定理的应用；2.能够解决与直角三角形有关的问题；3.能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点1.勾股定理的应用；2.直角三角形相关问题的解决方法。
三、教学过程1. 导入通过导师简单介绍直角三角形和勾股定理，检查学生的预习情况，确保学生对知识点有一定的了解。
2. 学习过程2.1 勾股定理的证明1.讲解勾股定理的证明过程，通过板书方式梳理思路；2.引导学生自己思考证明过程，以此来提高他们的思维能力。
2.2 直角三角形的三条边及其应用1.讲解直角三角形中的三条边，并强调斜边为直角三角形中最长的一条边；2.引导学生将勾股定理进行变形，以便更好地应用到实际问题中。
2.3 勾股定理的应用1.讲解勾股定理的应用，通过各种例题来演示；2.引导学生根据题目提供的信息，确定所需使用的知识点，依据勾股定理进行计算。
3. 练习1.分发实际问题练习题，鼓励学生独立完成；2.引导学生交流解题思路，纠正错误，互相帮助。
4. 总结1.回顾勾股定理及直角三角形的相关知识点；2.强调勾股定理是解决实际问题的有力工具。
四、作业1.完成教师分发的作业；2.总结本节课的内容，巩固所学知识点。
五、教学反思通过本节课的教学，学生对勾股定理的应用及直角三角形相关知识点有了更深入的了解。
但是，在教学过程中还需要更多地引导学生思考，让他们积极参与到学习中，并在实际问题中运用所学知识解决问题。
此外，在教学后还需要对学生的掌握情况进行检查，对薄弱环节进行有针对性的辅导和强化，提高学生的学习效果。
14.2 勾股定理的应用 华东师大版八年级数学上册导学课件
感悟新知
解：设水深CB＝x cm，则AC＝(x＋10) cm， 即CD＝(x＋10) cm. 在Rt△BCD中，由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2， 解得x＝75. 答：水深75 cm.
本节小结
勾股定理的应用
勾股 建模 定理 解决问题
实际问题 数学问题
作业提升
请完成教材课后习题
感悟新知
解：将圆柱体的侧面展开如图14.2-2，连结AB、A′B.
在Rt △ ABC 中，BC=40 cm，AC= 1 AA′= 60 =30(cm)，
2
2
由勾股定理得AB= AC2＋BC2 302＋402 =50(cm).
同理可得A′B=50 cm，则最短路线的长度为
AB+A′B=50+50=100(cm).
感悟新知
例4 一架长5 m 的梯子，斜靠在一竖直墙上，这时梯子的 底端距墙脚3 m，若梯子的顶端下滑1 m，则梯子的底 端将滑动( B ) A.0 m B.1 m C.2 m D.3 m 解题秘方：将实际应用问题通过建模转化为直角三角 形的问题求解.
感悟新知
解：根据题意，建立如图14.2-5 的模型， BB1 的长即为所求. 在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AB=5 m，BC=3 m，
∴ AC= AC2－BC2 52－32 =4(m).
在Rt △ A1B1C 中，∠ A1CB1=90°， A1C=AC－AA1=4－1=3(m)，A1B1=5 m，
∴ B1C= A1B12－A1C 2 52－32 =4(m).
∴ BB1=B1C－BC=4－3=1(m).
感悟新知
4-1. 古诗赞美荷花“竹色溪下绿， 荷花镜里香”. 平静的 湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见 它随风斜倚，花朵恰好浸入水面， 仔细观察，发现荷花偏离原地 40 cm(如图). 请问： 水深多少？
华师大版八年级数学上册14.2 勾股定理的应用(课件)【新版】
解： (1)图14.2.6中，AB、AC、AE、AD的长度 均为 5.
(2)图 14.2.6 中，△ABC、 △ABE 、 △ABD 、 △ACE、 △ACD、 △AED就是所要画的等 腰三角形.
知3－讲
例6 如图 14. 2. 7，已知 CD= 6 m，AD= 8 m， ∠ADC= 90°，BC = 24 m, AB= 26 m.求图 中着色部分 的面积.
知3－练
2 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方 形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的 点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是( ) A．7 B．8 C．9 D．10
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：将实际 问题转化为数学模型，然后利用勾股定理列出方程， 再解方程求解．由于勾股定理反映了直角三角形三边 之间的关系，因此往往与方程进行联系．即应用时要 注意两点：(1)在解决实际问题时，注意从“形”到 “数”的转化；(2)在解决实际问题时，注意构造直角 三角形模型，结合方程进行求解．
知2－练
2 如图(单位：m)，一个三级台阶，它的每一级的长、 宽和高分别为20 m，3 m，2 m，A和B是这个台阶 两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可 口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程 是________．
知识点 3 勾股定理的其他应用
知3－讲
1.在一些求高度、宽度、长度、距离等量的问题中， 首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就 是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看 成直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求 解．
解： 在 Rt △ADC中，
知3－讲
∵AC2 = AD2 + CD2 (勾股定理）
=82 + 62 = 100,
(2)图 14.2.6 中，△ABC、 △ABE 、 △ABD 、 △ACE、 △ACD、 △AED就是所要画的等 腰三角形.
知3－讲
例6 如图 14. 2. 7，已知 CD= 6 m，AD= 8 m， ∠ADC= 90°，BC = 24 m, AB= 26 m.求图 中着色部分 的面积.
知3－练
2 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方 形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的 点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是( ) A．7 B．8 C．9 D．10
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：将实际 问题转化为数学模型，然后利用勾股定理列出方程， 再解方程求解．由于勾股定理反映了直角三角形三边 之间的关系，因此往往与方程进行联系．即应用时要 注意两点：(1)在解决实际问题时，注意从“形”到 “数”的转化；(2)在解决实际问题时，注意构造直角 三角形模型，结合方程进行求解．
知2－练
2 如图(单位：m)，一个三级台阶，它的每一级的长、 宽和高分别为20 m，3 m，2 m，A和B是这个台阶 两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可 口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程 是________．
知识点 3 勾股定理的其他应用
知3－讲
1.在一些求高度、宽度、长度、距离等量的问题中， 首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就 是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看 成直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求 解．
解： 在 Rt △ADC中，
知3－讲
∵AC2 = AD2 + CD2 (勾股定理）
=82 + 62 = 100,
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计
2.新课讲解：
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
初中数学华东师大版八年级上册14.2 勾股定理的应用
14.2(2) 勾股定理的应用
课前三分钟
1.在下列网格中连结格点，
能画出哪些长度的线段？
A
例题:如图，在4×4的正方形网格中，每个小正
方形的边长都是1，△ABC三个顶点分别在正方
形网格的格点上，(1) 求△ ABC的周长.
A
(2)请说明△ABC的形状.
B
(3)求△ ABC的面积.
(4)求BC边上的高.
C
ห้องสมุดไป่ตู้
练习：小明想将一根总长度12.8cm的温度计放在 盒子里保管，他找到一个长方体纸盒高为12cm， 同时他发现纸盒的上下两面印着单位长度为1cm的 正方格网格如图所示，请问这个盒子能用来保管 小明的温度计吗？
12cm
小结：说说出你的收获 作业：练习册
课前三分钟
1.在下列网格中连结格点，
能画出哪些长度的线段？
A
例题:如图，在4×4的正方形网格中，每个小正
方形的边长都是1，△ABC三个顶点分别在正方
形网格的格点上，(1) 求△ ABC的周长.
A
(2)请说明△ABC的形状.
B
(3)求△ ABC的面积.
(4)求BC边上的高.
C
ห้องสมุดไป่ตู้
练习：小明想将一根总长度12.8cm的温度计放在 盒子里保管，他找到一个长方体纸盒高为12cm， 同时他发现纸盒的上下两面印着单位长度为1cm的 正方格网格如图所示，请问这个盒子能用来保管 小明的温度计吗？
12cm
小结：说说出你的收获 作业：练习册
华东师大版八年级上册数学第14章14.2课题2 勾股定理的实际应用
AB＝ AD2＋BD2＝ 152＋202＝25.
答：蚂蚁爬行的最短距离为25米．
知识模块二 勾股定理的实际应用
阅读教材P121，完成下面的内容： 范例 如图，一块长4m，宽2.1m的薄木板能否从一 个宽1m，高2m的门框内通过．
分析：木板横着或竖着都不能从门 框内通过，只能试试斜着通过，门 框对角线的长度是斜着通过的最大 长度，求出AC，在与木板的宽比较， 就知道能否通过．
情景导入
回顾： 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别 为a、b，斜边长为c，那么一定有__a_2＋__b_2_＝__c_2__． 2．线段的基本事实：两点之间，线__段__最__短__． 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、 c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是 __直__角__三__角__形__，且___边__c___所对的角是直角．
AC＝ AB2－BC2＝ 252－72＝24.
所以梯子的顶端距地面24米．
(2)已知AD＝4米，则CD＝24－4＝20(米)． 在Rt△CDE中 ，DE为斜边，根据勾股定理得：
CE＝ DE2－CD2＝ 252－202＝15(米)．
BE＝15－7＝8(米)． 所以梯子的底部在水平方向移动了8米，不是4米．
仿例 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短距离． 解：将长方体表面展开，连结AB，根据两 点之间线段最短，线段AB的长度即为蚂蚁 爬行的最短距离． 如图，BD＝10＋5＝15，AD＝20，三角形 ABD为直角三角形， 由勾股定理得，
4．勾股定理是适用于___直__角____三角形的三边数 量关系的定理． 5．直角三角形的两边长分别是5和12，则斜边长 为_1ห้องสมุดไป่ตู้3__或___1_19_____．
答：蚂蚁爬行的最短距离为25米．
知识模块二 勾股定理的实际应用
阅读教材P121，完成下面的内容： 范例 如图，一块长4m，宽2.1m的薄木板能否从一 个宽1m，高2m的门框内通过．
分析：木板横着或竖着都不能从门 框内通过，只能试试斜着通过，门 框对角线的长度是斜着通过的最大 长度，求出AC，在与木板的宽比较， 就知道能否通过．
情景导入
回顾： 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别 为a、b，斜边长为c，那么一定有__a_2＋__b_2_＝__c_2__． 2．线段的基本事实：两点之间，线__段__最__短__． 3．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、 c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是 __直__角__三__角__形__，且___边__c___所对的角是直角．
AC＝ AB2－BC2＝ 252－72＝24.
所以梯子的顶端距地面24米．
(2)已知AD＝4米，则CD＝24－4＝20(米)． 在Rt△CDE中 ，DE为斜边，根据勾股定理得：
CE＝ DE2－CD2＝ 252－202＝15(米)．
BE＝15－7＝8(米)． 所以梯子的底部在水平方向移动了8米，不是4米．
仿例 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短距离． 解：将长方体表面展开，连结AB，根据两 点之间线段最短，线段AB的长度即为蚂蚁 爬行的最短距离． 如图，BD＝10＋5＝15，AD＝20，三角形 ABD为直角三角形， 由勾股定理得，
4．勾股定理是适用于___直__角____三角形的三边数 量关系的定理． 5．直角三角形的两边长分别是5和12，则斜边长 为_1ห้องสมุดไป่ตู้3__或___1_19_____．
初中数学华东师大版八年级上册14.2 勾股定理的应用
2、如图，有一个长方体盒子，它的长是60厘米，宽和高都是40厘米，在A处有一
只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？
B
A
A
60
AB2=AC2+BC2=602+802=1002
B
∴蚂蚁爬行的最短路程为100厘米。
80
c
B
A
点A到点B的最短路线是多少？ຫໍສະໝຸດ BA 有三个路线：
AB 32 112 130cm
C
B
例3.有一个圆柱,它的高等于
B
12厘米,底面半径等于3
厘米,在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它想从 点A爬到点B , 蚂蚁沿着
我怎么走 会最近呢?
圆柱侧面爬行的最短路 A
程是多少? (π的值取3)
B
9cm
B
高 12cm
A
A
长18cm (π的值取3)
∵ AB2=92+122=81+144=225= 152 ∴ AB=15(cm)
A 36cm
A
１０cm
6cm
B
48cm
解题思路：把握题意—— 找关键字词——连接相关 知识——建立数学关系式
（建模）
C
36cm
B
解：由图得:在Rt△ABC中，
A
AC=48cm,BC=36cm
AB= AC 2 BC 2
=60cm
答：蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点， 最短线路是60cm
勾股定理应用
勾股定理与距离
例1. 如图，学校有一块长方形草坪，有极少 数人为了避开拐角而走“捷径”，在草坪内走
出了一条“路”。他们仅仅少走了____4______
14.2 勾股定理的应用 第1课时 勾股定理的实际应用 华东师大版数学八年级上册课件
解：过点 B 作 BC 垂直于 A 所在水平直线于点 C，根据题意可得，点 A 与点 B 的 水平距离为 8－4＋1＝5(m)，竖直距离为 3＋9＝12(m)，∴AC＝5 m，BC＝12 m，∴AB ＝ 52＋122 ＝13(m)，∴A，B 两点之间的距离为 13 m
8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角 的距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右 墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为( C )
A．10 cm B．12 cm C．15 cm D．17 cm
3．(例题 1 变式)如图所示，有一块砖高 AN＝5 cm，长 ND＝10 cm，CD 上的点 B 距点 D 的距离 BD＝8 cm，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行的最短路径 是多少？
解：将砖的右侧面展开与上面在同一平面内，最短路径为 AB＝ （5＋8）2＋102 ＝ 269 (cm)
A．50.5 寸 B．52 寸 C．101 寸 D．104 寸
10．如图，在离水面高度为 8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的 长为 17 米，此人以 1 米/秒的速度收绳，7 秒后船移动到点 D 的位置，问船向岸边移动 了多少米？(假设绳子是直的)
解：在 Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，BC＝17 米，AC＝8 米，∴AB＝ BC2－AC2 ＝ 15(米).由题意，得 CD＝17－1×7＝10(米).∴AD＝ CD2－AC2 ＝6(米).∴BD＝AB－AD ＝15－6＝9(米).答：船向岸边移动了 9 米
数学 八年级上册 华师版
14.2 勾股定理的应用 第1课时 勾股定理的实际应用
知识点❶ 立体图形中两点之间的最短距离 1．小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面， 如图所示，从点 A 攀爬到点 B 的最图，一圆柱体的底面周长为 24 cm，高 AB 为 9 cm，BC 是直径，一只蚂蚁从 点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是( C )
华东师范大学出版社初中数学八年级上册 14.2 勾股定理的应用 (24张PPT))
14.2 勾股定理的应用
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,
A
a2+b2=c2.
cb
B aC
设境导入 ：☞
如图，学校有一块长方形草地，有极少数
人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出
了一条“路”，仅仅少走了___4_____步路, 却
8m
A
6m B
新知探究
例1 如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高 AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求 出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）
（1）自制一个圆柱，尝试从A点 到C点沿圆柱侧面画出几条路线，
你认为哪条路线最短呢？
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成 一个长方形，从A点到C点的最短
B
C1
A
4
1 2C
B 2
A
A1
4
C
解:(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
C1
C1
2
1
A
4
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 42 32 ＝ 5
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B
1
A
A
3
2C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 52 12 ＝ 26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路
例2
一辆装满货物的卡
车，其外形高2.5米，
宽1.6米，要开进厂门 A
B
形状如图的某工厂，
2.3米
问这辆卡车能否通过
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,
A
a2+b2=c2.
cb
B aC
设境导入 ：☞
如图，学校有一块长方形草地，有极少数
人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出
了一条“路”，仅仅少走了___4_____步路, 却
8m
A
6m B
新知探究
例1 如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高 AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求 出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）
（1）自制一个圆柱，尝试从A点 到C点沿圆柱侧面画出几条路线，
你认为哪条路线最短呢？
（2）如图，将圆柱侧面剪开展成 一个长方形，从A点到C点的最短
B
C1
A
4
1 2C
B 2
A
A1
4
C
解:(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
C1
C1
2
1
A
4
A
AB＝ AC2 BC2 ＝ 42 32 ＝ 5
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
B
1
A
A
3
2C
AB＝ AC2 BC2 ＝ 52 12 ＝ 26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路
例2
一辆装满货物的卡
车，其外形高2.5米，
宽1.6米，要开进厂门 A
B
形状如图的某工厂，
2.3米
问这辆卡车能否通过