弹簧振子周期推导

由简谐振动位移公式x=Asinωt(1) (初始条件都设为0）求一次导数v=-Aωcosωt

再求一次导数a=-Aω^2sinωt (2) (速度、加速度定义）再考虑简谐振动的力的公式-kx=ma (3)

比较以上三式（代入）有-kAsinωt=-mAω^2sinωt

整理得ω^2=k/m

开方得ω=√(k/m)

则T=2π/ω=2π√(m/k)

弹簧振子实验报告

弹簧振子实验报告一、引言 ?实验目的 1.测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient). 2.研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式. 3.学习处理实验数据. ?实验原理一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时，重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡，这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放，则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度与振子的位移x成正比，即 F =_ kx⑴ 式中的比例常数k称为刚度系数(stiffness coefficient),它是使弹簧产生单位形变所须的载荷?这就是胡克定律?式(1)中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x 为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果.

根据牛顿第二定律，如振子的质量为m,在弹性力作用下振子的运动方程为: + Arx = O x = Asin +(/>) (3) 式表明?弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A,角频率为宀0的简谐振动，式中的(叫/ +。)称为相位，0称为初相位?角频率为叫的振子其振动周期 (4) (4) 式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的最基本的特性?弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性(振幅，相位，频率，周期)是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识更复杂震动的基础. 弹簧的质量对振动周期也有影响?可以证明，对于质量为“0的圆柱形弹簧, 振子周期为 (5) m o/ m o/ 式中 ?称为弹簧的等效质量，即弹簧相当于以 ?的质量参加了振子的振动?非圆柱弹簧（如锥形弹簧）的等效质量系数不等于1/3. d 2x 上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程乔 =0 其解为 (3) 可得 x =

气垫导轨上弹簧振子振动的研究

气垫导轨上弹簧振子振动的研究力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。一、必做部分：简谐振动 [实验目的] 1．测量弹簧振子的振动周期T 。 2．求弹簧的倔强系数k 和有效质量 0m 。 [仪器仪器] 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理] 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1只受弹性力)(01x x k +-与)(01x x k --的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 x m x x k x x k =--+-)()(0101（1）令 12k k = 方程（1）的解为 )s i n (00?ω+=t A x （2）说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；0?—初相位。 m k = 0ω （3） 0ω叫做振动系统的固有频率。而 01m m m += （4）式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系： k m m k m T 010 222+=== ππ ωπ （5）在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。图13-1简谐运动原理图

高中物理的所有公式归纳

高中物理公式、规律汇编表一、力学 1、胡克定律： F = kx (x 为伸长量或压缩量；k 为劲度系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) 2、重力： G = mg (g 随离地面高度、纬度、地质结构而变化；重力约等于地面上物体受到的地球引力) 3 、求F 1、F 2两个共点力的合力：利用平行四边形定则。注意：(1) 力的合成和分解都均遵从平行四边行法则。 (2) 两个力的合力范围： ? F 1－F 2 ? ≤ F ≤ F 1 + F 2 (3) 合力大小可以大于分力、也可以小于分力、也可以等于分力。 4、两个平衡条件：（1）共点力作用下物体的平衡条件：静止或匀速直线运动的物体，所受合外力为零。 F 合=0 或： F x 合=0 F y 合=0 推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。 [2]三个共点力作用于物体而平衡，其中任意两个力的合力与第三个力一定等值反向 (2* )有固定转动轴物体的平衡条件：力矩代数和为零．（只要求了解）力矩：M=FL (L 为力臂，是转动轴到力的作用线的垂直距离） 5、摩擦力的公式： (1) 滑动摩擦力： f= μ F N 说明： ① F N 为接触面间的弹力，可以大于G ；也可以等于G;也可以小于G ② μ为滑动摩擦因数，只与接触面材料和粗糙程度有关，与接触面积大小、接触面相对运动快慢以及正压力N 无关. (2) 静摩擦力：其大小与其他力有关，由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解,不与正压力成正比. 大小范围： O ≤ f 静≤ f m (f m 为最大静摩擦力，与正压力有关) 说明：

弹簧振动周期研究

弹簧振动周期研究摘要:本文先通过对弹簧质量被忽略和不被忽略两种情况的研究得出弹簧周期的理论公式，再通过实验（弹簧质量小于振子质量）计算出m前的系数约为0.3～0.35，与理论值相符。实际弹簧振子的运动并不是总是简谐运动，它只有在其他级别（n>1）的振动可以忽略的情况下，才能将弹簧的运动看作简谐运动。其他情况的振动的强弱取决于弹簧质量与弹簧振子质量的比值。关键词：弹簧质量；弹簧振子；周期

引言:在弹簧质量不可以忽略时对弹簧振子周期的影响，有大批人士从不同角度加以研究[1-10]，他们将弹簧视作质量均匀的介质，或利用波动方程 [1,2]，或将弹簧看作一系列离散化的小的弹簧振子进行研究[6,7]。在相同相位，且振幅和平衡位置成正比的情况下[1,2,5,6]都得出弹簧振子周期T=k m M 3 2+π ，k 为弹簧劲度系数，M 为弹簧振子质量，m 为弹簧质量，附加到弹簧振子的m/3叫弹簧的有效质量。我们是否也可以猜测弹簧振子的振动模式存在差异？各种模式的振动频率之间也都不成有理数的倍数关系[8]？文献[9]]对弹簧质量m/3修正的问题存在异议，有的认为1/3仅仅是0.346的近似值.文献[3]采用最优化及多元线性回归，并根据实验数据得0.490 0.503 (0.369) 6.669T M m k -=+ 。文献[4]依据能量分析方法得出有效质量应该介于m/3～m/2之间，同时引入有效弹性常量介于2 8 k k π 之间。文献[1,2,7]指出存在无穷多的振子，其?满足M m k m tg k m =)()(??。本文分别探究了不考虑弹簧质量时，和考虑弹簧质量时，这两种情况下产生的差异以及影响，同时还进一步分析了实际弹簧振子周期和理论值得差异，更完善的研究了弹簧振子的振动规律。 1 1、未考虑弹簧质量（理想弹簧）的弹簧振子周期如图所示，当未考虑弹簧质量时，弹簧的原长为l ，末端系一个质量为M 振动物体。假设水平面是光滑的，没有摩擦，弹簧和振动物体在放在水平面上，物体受到的力是回复力F kx =-，物体做往复的周期性运动。其运动过程中忽略空气摩擦阻力的影响。在下图中：①图弹簧未伸长，静止在水平面上，物体受力0F =。②图弹簧向右运动，弹簧伸长x ，物体受力为F kx =-。③图弹簧未伸长静止在水平面上，物体受力0F =。④图弹簧向左运动，被压缩x ，物体受力F kx =-。其中负号(-)表示物体受力与运动方向相反。选弹簧运动的一个周期为研究条件。 1 本文受内蒙古民族大学科研项目NMD1220支持

《弹簧振子》模型

“弹簧振子”模型太原市第十二中学姚维明模型建构：【模型】常见弹簧振子及其类型问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。这是解题的关键。模型典案：【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。由题意得mg=kx 0 容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx 根据简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。 (2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。 (3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。在解题时我们经常用到这点。【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个特殊点，如图4所示， O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。图2 m 图3 P 点

简谐运动的动力学条件和周期公式的推导

简谐运动的动力学条件和周期公式的推导 [摘要]：本文从简谐运动的概念出发，用数学知识，推理出了简谐运动的动力学条件及弹簧振子的周期公式、单摆做小角度摆动的周期。从逻辑上对机械振动一章的知识有了一个整体的认识。 [关键词]：简谐运动，动力学条件，周期公式，弹簧振子，单摆 [正文] 课程标准实验教科书《物理》3—4第十一章从运动学的角度对简谐运动进行了定义，恰好从数学课上学生也学到了关于导数的知识。这就为构造简谐运动的逻辑提供了条件，通过这样的一个逻辑构造，可以让学生体会数学在物理学中的应用。同时，也可以让学生充分体会物理学逻辑上的统一美。激发学生学习物理，从理论上探究物理问题的兴趣和决心。如果质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象（ x —t 图象）是一条正弦，这样的运动叫做简谐运动。由定义可知，质点的位移时间关系为t A x sin ………………（1）对时间求导数可得速度随时间变化的规律：t A dt dx v cos ………………（2）再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律：t A dt dv a sin 2 (3) 由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为： ma F ………………（4）由（3）（4）可知： t mA F sin 2 (5) 将（1）式代入（5）式可得： x m F 2..................（6）上式中，m 和都是常数，从而可以写成下面的形式kx F (7) 其中2m k ，至此得到了质点做简谐运动的动力学条件：质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置。对于的弹簧振子来说，（7）式中的k 表示弹簧的劲度系数，对比（6）式可知k m 2，

简谐运动周期公式的推导

简谐运动周期公式的推导【摘要】：本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。【关键辞】：简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式【正文】：考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下：首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。其次，在对应位置上的受力情况相同。由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标图2 图3 图4

系。则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。由（1）（2）式可得： k m T π 2= 二零一一年三月九日图5

弹簧振子的简谐振动

弹簧振子的简谐振动弘毅学堂汪洲2016300030016 实验目的：（1）测量弹簧振子的振动周期T。（2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。实验原理：在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。

设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0k m ω= 且

10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。实验内容：（1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。（2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。（3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。（4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。（5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。（6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。（7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。数据处理：

弹簧振子周期影响因素

弹簧振子周期的影响因素（南京 210096）摘要：本文研究了弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响，分析了不同方法近似成立的条件并对计算结果进行了讨论。并且通过对弹簧振子研究的进一步探析，发现如果弹簧的形状不是几何对称, 即使用相同的方法对弹簧两端分别挂测，其质量对周期公式产生的影响也是不同的。从而发现弹簧振子的周期与其重心位置也是有关的。关键词：弹簧振子；周期；质量；重心 Spring vibrator cycle impact factors (Information science and engineering college of Southeast University, Nanjing, 210096) Abstract:This paper studies the quality of spring spring vibration subsystem the influence of the cycle, and analyzes on the different methods of approximate established condition and the calculation results are discussed. And through the spring vibrator further analysis, found that if the shape of the spring is not symmetrical geometric, that is, using the same method of spring ends hang separately measured, its quality to cycle the impact of the formula is also different. Spring vibrator to find the cycle of barycenter position is also related with. key words: spring vibrator; cycle;quality;focus 人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量。实际弹簧振子由质量为m、劲度系数为k的弹簧和连接于弹簧一端的质量为M的振动物体组成。由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系。当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式。而且质量一定，形状不规则的弹簧，其运动周期还与他的形状及重心相关。作者简介：1实验回顾在“弹簧振子周期公式研究”的实验中，最后的课题探究采用控制变量的方法，控制振子质量M不变，研究弹簧自身质量m对弹簧振子振动周期的影响。测得的数据见表1。

简谐运动周期公式的推导

简谐运动周期公式的推导考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下：首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。其次，在对应位置上的受力情况相同。由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x 轴正方向建直角坐标系。图2 图 3 图4

则由匀速圆周运动的周期公式可知： ωπ 2=T (1) 其中ω是匀速圆周运动的角速度。小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知： r m kr 2ω= (2) 式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。由（1）（2）式可得： k m T π 2= （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）图5

弹簧振子周期公式的研究

教案（首页）备课笔记附后：

实验二弹簧振子周期公式的研究【实验目的】 1. 学习建立实验公式的实验方法，找出弹簧振子的周期公式。 2. 通过公式简化、曲线直化和数据处理，练习作图和图解。【实验原理】已知弹簧振子的振动周期T 与倔强系数K 、振子质量m 相关，为了找出T 、K 、m 三者之间的关系，从量纲分析，可以假设满足下式 β α m AK T = （1）式中α、β和A 均为待定常数。如果能通过实验测量和数据处理找到α、β和A 的具体数值，那么（1）式就被具体地确定了。如果找不出α、β和A 的数值，则说明（1）式的假设是错误的，还需要对T 、K 、m 三者的函数关系做新的假设。为了简化，先使倔强系数K 或振子质量m 保持不变进行实验。例如先使振子质量m 保持不变，则（1）式可写成常数===βαAm C K C T 11 （2）这样，对应于不同的倔强系数K 的弹簧，就有不同的振动周期T ，可以测定一组T ～K 的对应值。再使倔强系数K 保持不变（用同一个弹簧），则（1）式又可写成 22常数===αβAK C m C T （3）这样，对于不同的振子质量m ，又有不同的振动周期T ，可以测定一组T ～m 的对应值。从（2）式和（3）式可见，只要α、β不等于1，则T ～K 和T ～m 间的关系就不是直线关系。为了便于图解，可将（2）式和（3）式取对数，将曲线直化、得到 K C T lg lg lg 1α+= （4） m C T lg lg lg 2β+= （5）式中常数α、β可以从图线的斜率求出，1C 、2C 可从图线的截距求得。然后将得到的1C 、 2C 值和α、β值，分别代入（2）式或（3）式而确定A 值。当α、β和A 值确定之后，则所求的周期公式就被具体地确定了。为了完成以上实验，需要先对各弹簧的倔强系数K 进行测定。【实验内容】 1. 因六个砝码的误差较大，实验前应先作出校测，记录数据。 2. 弹簧倔强系数K 的测定用一次增荷法（取31050-?=? m 公斤）测定K 值。计算公式为 x F K ??= 五个弹簧各测一次，记录数据。 3. 振子质量m 一定（统一用3号砝码），测定一组T ～K 的对应值。 4. 倔强系数K 一定（统一用3号弹簧），测定一组T ～m 的对应值

简谐振动及其周期推导与证明

简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐振动。位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的一般式：)cos(?ω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。角频率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；相位：?ωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即dt d φω=；初相：位移一般式中?表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。（因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得： )cos(2?ωω+-=t A a 又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式： kx x m F -=-=2ω 由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。简谐振动周期公式：k m T π 2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力系数，切记与弹簧劲度系数无关。单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐振动。我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式： L x ≈≈≈θθθtan sin ，而单摆运动的回复力为 F=mgsin θ，

弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨(精)

第２６卷第５期Ｖ０１．２６Ｎｏ．５周口师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ２００９年９月Ｓｅｐ．２００９弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨周俊敏，王玉梅（周口师范学院物理系，河南周口４６６００１）摘要：从能量的观点出发，分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解微分方程，得出结论．这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值．关键词：弹簧振子；振动周期；机械能守恒；运动方程中图分类号：０３２６文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—９４７６（２００９）０５—００５８—０３弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用，而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量，因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要．在实验教学中笔者发现，大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周ｒ‘‘—？———＝７的正方向，建立坐标系如图１（ｂ）所示．设质点的位置坐标为Ｘ，引即为质点相对于坐标原点的位移．取物体为研究对象，作用在物体上的力有两个：重力大小为ｍｇ，方向竖直向下；弹簧对物体的拉力Ｆ＝一ｋ（ｘ＋ｚ。），方向竖直向上．由此可知物体的合力Ｆ台一一点（ｚ＋Ｘ。）＋ｍｇ＝一妇．由简谐图１期公式为Ｔ一２，ｒ＾／ｍ＋ｃＭ，学生通过实验测出ｆＶＫ值的范围为０．３２～０．３４，但未从理论上分析ｃ值在这一范围的原因［１－３］．另外，教材中分析弹簧振子振动周期时，大都从力的观点［４＿５１出发得出运动方程．笔者从能量的观点出发，分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及１

简谐振动总结

★简谐运动简谐运动（Simple harmonic motion）（SHM）（直译简单和谐运动）是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。定义如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐运动，又名简谐振动。因此，简谐运动常用作为其运动学定义。其中振幅A，角频率，周期T，和频率f的关系分别为：、。科学结论振幅、周期和频率简谐运动的频率（或周期）跟振幅没有关系，而是由本身的性质（在单摆中由初始设定的绳长）决定，所以又叫固有频率。一般简谐运动周期 , 其中m为振子质量，k为振动系统的回复力系数。一般，若振子受重力与弹力二力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。单摆运动周期其周期（π为圆周率）这个公式仅当偏角很小时才成立。T与振幅（a<5°）都和摆球质量无关，仅限于绳长<<地球半径。[2] 扩展：由此可推出，据此可利用实验求某地的重力加速度。周期公式证明为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。一般简谐运动周期公式证明因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据

也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响

也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响金彪（浙江省上虞市春晖中学，浙江上虞 312353）贵刊（《物理教师》）2010年第1期《弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响》一文，指出了贵刊（同上）2009年第5期《非轻质弹簧问题的分析》一文中的错误，认为“一质量为m 的弹簧与物体M （视为质点）组成的一个‘弹簧振子’，弹簧振子的振动周期为k m M T 2 2+=π 。”的结论是错误的，并经过计算后得出：一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的“弹簧振子”震动周期为：k m M T 3 2+=π 。而笔者认为此结论同样是错误的，我们可以先假设0=M ，即去掉质点M,让质量为m 的弹簧自由振动，振动稳定时，振动的周期由上式得k m T 32π =。这个结论是否正确呢？总长度为L ，质量为m ，劲度系数为k 的弹簧一端固定，另一端自由（如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？设另有一根弹簧的总长度很长，质量均匀分布，且弹簧单位长度的质量为L m = η，劲度系数为k 。让这根弹簧两端以相同的振O P 图1

幅和频率沿弹簧方向振动起来，稳定后必然在弹簧上形成驻波。调节波源频率，使长弹簧的波长恰好为4L ，则相邻波腹与波节的距离恰好为L 。由于驻波的波节振幅为零，与图1弹簧的固定点O 一样；驻波的波腹振幅最大，与自由点P 一样，可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样。由于固体中弹性纵波的波速 ρ Y v = （1）其中Y 为杨氏模量，ρ为密度，对于上述弹簧来说，等效密度和杨氏模量分别为： S kL Y LS m = = ,ρ，代入（1）式得： m kL v 2 = （2）欲使弹簧波波长为4L ，则图1弹簧的固有周期为： k m m kL L v T 4 42 == = λ （3）由此可知“弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响”一文的结论是错误的。那么为什么会引起这样的错误呢？该文认为：“对距O 点为l 的一小段弹簧l ?，其振动速度可表示为l L v v A = 。”并且“弹簧的弹性势能22 1 kx ”，这两个关系式的前提都是弹簧的形

《简谐运动的振幅、周期、频率》进阶练习 (二)-1-2

《简谐运动的振幅、周期、频率》进阶练习一、单选题 1.一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是( ) A.质点振动频率是4 Hz B.在10 s内质点经过的路程是20 cm C.第4 s末质点的速度是零 D.在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同 2.简谐运动中反映物体振动强弱的物理量是（） A.周期 B.频率 C.振幅 D.位移 3.弹簧振子做简谐运动，若某一过程中振子的速率在减小，则此时振子的运动（） A.速度与位移方向一定相反 B.加速度与速度方向可能相同 C.回复力一定在增大 D.位移可能在减小二、填空题 4.如图甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：（1）如图乙所示的振子振动的起始位置是 ______ ，从初始位置开始，振子向 ______ （填“右”或“左”）运动．（2）在乙图中，找出图象中的O、A、B、C、D各对应振动过程中的位置，即O对应 ______ ，A对应 ______ ，B对应 ______ ，C对应 ______ ，D对应 ______ ．（3）在t=2s时，振子的速度的方向与t=0时速度的方向 ______ ．（4）质点在前4s内的位移等于 ______ ．

5.一位学生研究弹簧振子的运动，当振子经过平衡位置时开始记时，并从零开始记数，以后振子每经过平衡位置他就记一次数，在4s内正好数到10，则这个弹簧振子的频率是 ______ ，周期是 ______ ．

参考答案【答案】 1.B 2.C 3.C 4.E；右；E；G；E；F；E；相反；0 5.1.2Hz；0.8s 【解析】 1. 【分析】由简谐运动的图象直接读出周期，求出频率，根据时间与周期的关系求出在10s内质点经过的路程．根据质点的位置分析其速度，根据对称性分析t=1s和t=35s两时刻质点的位移关系。由振动图象能直接质点的振幅、周期，还可读出质点的速度、加速度方向等等，求质点的路程，往往根据时间与周期的关系求解，知道质点在一个周期内通过的距离是4A，半个周期内路程是2A，但不能依此类推，周期内路程不一定是A。【解答】 A.由图读出质点振动的周期T=4s，则频率，故A错误； B.质点做简谐运动，在一个周期内通过的路程是4A，t=10s=2.5T，所以在10s内质点经过的路程是 S=2.5×4A=10×2cm=20cm，故B正确； C.在第4s末，质点的位移为0，经过平衡位置，速度最大，故C错误； D.由图知在t=1s和t=3s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，故D错误；故选B。 2. 解：A、B频率和周期表示振动的快慢．故AB错误． C、振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，故C正确． D、位移大小是振动物体离开平衡位置的距离，不表示振动的强弱，故D错误．故选：C 能够反映物体做机械振动强弱的物理量是振幅，不是频率，回复力和周期振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱；频率和周期表示振动的时间上的快慢，注意理解 3. 【分析】首先知道判断速度增减的方法：当速度与加速度方向相同时，速度增大；当速度与加速

弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨

弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响摘要：从能量的观点出发，通过对有弹簧质量弹簧振子的振动实验进行研究，分析弹簧振子振动周期与弹簧质量的关系。关键词：弹簧振子；弹簧质量；振动周期振动作为自然界中最为普遍的运动形式之一, 在物理学的基础理论研究中具有显著地位, 正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践意义。作为自然界各种振动形式中最简单的一个抽象物理模型——简谐振子, 由一质量为m 的质点和一劲度系数为k 的无质量理想弹簧所组成, 其振动周期为 2T = (1) 在高中和大学物理中，弹簧质量对振动的影响往往被忽略。显然，这在弹簧质量远小于振子质量的情况下是可行的。但在一些实际问题中，人们往往会用弹簧的有效质量来对理想的弹簧振子振动周期公式进行修正。查阅相关资料可知，由机械能守恒定律计算出有效质量为031 m （其中0m 为弹簧质量）；进一步由质心运动定理却得出有效质量为 02 1 m ，从而得到 “弹簧振子佯谬”；而利用数值计算解超越方程的方法，得出“有效质量随振子与弹簧质量比的增大而减小”，“当振子与弹簧质量比较大时，有效质量可小于03 1 m ”，“不能简单地认为有效质量介于031m 和 02 1 m 之间”等结论。理论繁杂冗乱，令人眼花缭乱。本文通过对弹簧振子垂直地面放置的模型进行分析，并通过解微分方程，得出最终的周期公式。考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期（弹簧与地面垂直情况）查阅资料可知，弹簧振子的周期T 与劲度系数k 、振子质量m 有关，在弹簧质量不可忽略时，还要考虑弹簧自身质量0m 的影响，则弹簧振子的振动周期公式可写为： k Cm m T 0 2+=π (2) 式中0Cm 即为弹簧的有效质量，C 为待定系数，在下文中称为“有效质量系数”。为了验证该公式并分析在弹簧与地面垂直情况下有效质量系数的大小，可以对该模型进行进一步分析。

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。一、周期公式法由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。例1如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力可表示为：(1) 对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式： (2)

例2如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？图4 分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为。二、刚体角加速度法绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩

弹簧振子振动周期的讨论

弹簧振子周期公式的探究梅丹兵（21610115）（东南大学交通学院，南京市，210000）摘要：基于本学期在“弹簧振子周期”实验中出现的实验数据和理论数据相差较大的缘故，本文探究了在“弹簧振子周期”实验中弹簧质量对系统周期的影响，并利用数学知识推导出了一个符合实验数据的合理公式。关键词：振动周期；弹簧振子；有效质量；非线性改变 A discussion on the cycle of vibration of springs Mei Danbing (Transportation Institute of SEU , Nanjing 210000) Abstract: Based on the reason that the big difference between the experimental data and the theoretical data in the experiment about “the cycle of vibration of springs “,the article explored the influence of the quality of springs on the vibration cycle ,and made full use of the mathematical knowledge to derive a rational formula in line with experimental data. key words: Vibration cycle ; springs ;effective quality ; Non-linear change 引言在本学期的“简谐振动”一章中我们学习了弹簧振子周期公式，并做了相关的物理实验。根据课本上简谐运动的周期公式可推导出弹簧振子的振动周期公式为 K M T π 2= （1）其中M 为振子质量，K 为弹簧劲度系数。而我们发现由（1）式计算出得的理论值0T 与实验测得的测量值1T 之间的偏差达到了2.58%，其中固然有测量误差和阻力误差，但不可排除的是（1）式中的M 仅指振子的质量，而没有考虑弹簧的质量。由于本实验中弹簧劲度系数K 与振子质量M 都很小，这时弹簧自身的质量已不能忽略。那么如何考虑弹簧质量对系统周期的影响呢？假如弹簧的质量为m ，可以肯定K m M T +≠π 2，因为弹簧虽参与振动，但其上各点的振动情况是不一样的。通过查阅相关文献我们得知此时系统的振动周期为 K M T m 312+=π （2）于是在原实验基础上，我们测量了弹簧的质量m ，

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。一、周期公式法由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。例1 如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M 与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力 (1) 对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式：

(2) 例2 如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？图4 分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为。二、刚体角加速度法

绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。采用这种方法时，往往通过刚体定轴转动定律求出刚体转动的角加速度，然后根据加速度与角加速度的关系求出刚体转动的角速度，从而求出刚体做简谐运动的周期。例3 如图5所示，质量为m的小球用轻杆悬挂，两侧用劲度系数为k的弹簧连接。杆自由下垂时，弹簧无形变，图中a、b已知，求摆杆做简谐运动的周期T。图5 分析与解设轻杆向右偏很小的角度θ时，小球向右偏离平衡位置距离x=bsinθ≈bθ，此时右侧弹簧压缩了aθ，左侧弹簧伸长了aθ。根据刚体定轴转动定律可得：三、解方程组法