矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系
矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
矩阵等价条件
矩阵等价条件1. 行等价：如果两个矩阵A和B从一个经过有限次的行变换可以相互转换，则它们是行等价的，记作A≌B。
$A=\left(\begin{array}{ccc}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 &2 &3 \\0 & -3 & -6 \\-7 & -14 & -21\end{array}\right)$$\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{R}_{2}=-4 \boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{2} \\\boldsymbol{R}_{3}=-6 \boldsymbol{R}_{1}+\boldsymbol{R}_{3}\end{array}\right)$矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的秩和相同的行列式。
即，如果两个矩阵A和B满足A≌B，则它们具有相同的秩和相同的行列式。
反之亦然。
对于任意矩阵A，它可以使用一定的行变换或列变换，化为行最简形式或列最简形式。
行最简形式指的是一个矩阵在经过有限次行变换后，化为一个以0为分界线，上半部分全部为0的矩阵，下半部分为任意元素的矩阵。
列最简形式类似。
行最简形式和列最简形式都是唯一的，并且它们具有相同的秩和行列式。
由此可知，任意两个矩阵都可以通过一定的行变换和列变换得到它们的行最简形式或列最简形式。
在研究两个矩阵是否等价时，可以将它们化为最简形式进行比较。
矩阵等价是一种很重要的矩阵性质，它在矩阵运算和矩阵应用中有着广泛的应用。
矩阵等价在线性代数中有着重要的应用。
在解线性方程组时，通常会考虑对矩阵进行某种变换，使得它变为某种特殊的形式，从而更容易求解。
这种变换包括行变换、列变换和相似变换等。
矩阵的等价关系与分类
矩阵的等价关系与分类作者：谢晓华来源：《科技视界》2014年第21期【摘要】本文对矩阵的相抵、相似、合同三种等价关系及它们之间的联系和区别做了总结，并利用等价关系和分类的知识对矩阵进行等价分类，最后通过一个简单的例子说明了这种分类的意义。
可以加深非数学专业学生对矩阵知识的了解。
【关键词】相抵；相似；合同；等价类1 预备知识2 矩阵的等价关系2.1 矩阵的相抵关系定义2.1：如果矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B，那么称A与B是相抵的。
定理2.1：任意两个矩阵A、B相抵的充分必要条件是：1）A、B同型且秩相等；2）存在可逆阵P和Q使得PAQ=B。
2.2 矩阵的相似关系定义2.2：对于n阶方阵A、B，若存在一个可逆阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。
由定义可得A通过相似变换变为B需要很强的约束条件：两边乘的矩阵要互逆，所以要通过引入λ-矩阵除去其约束条件，将A与 B的相似转换为λI-A与λI-B的相抵来研究，即通过相抵标准型来研究数字矩阵A与B的相似。
定理2.2（1）A与B相似？圳矩阵A能够经过相似变换变成矩阵B？圳，A与B是同阶方阵且它们有相同的不变因子组即矩阵相似关系下的全系不变量是不变因子组。
也就是说秩相等是矩阵相似的必要条件，两个同阶方阵相似的本质是它们有相同的不变因子组。
相似矩阵的性质：矩阵相似，则它们的秩相等，迹相等，行列式相等，特征值相等，特征多项式也相等；它们还有相同的可逆性，且可逆时它们的逆矩阵也相似。
注意，两个同阶方阵如果它们可以对角化（例如实对称矩阵），则它们相似就等价于它们有完全相同的特征值（或特征多项式相等）；否则，同阶方阵的特征值完全相同只是它们相似的必要条件。
2.3 矩阵的合同关系定义2.3：对于n阶方阵A、B，若存在可逆阵P，使得PTAP=B，则称 A与B合同。
两个矩阵合同的概念是不需要矩阵必须是实对称矩阵的。
如果 A是实对称矩阵，则它一定能与对角矩阵合同。
矩阵的等价关系题目
矩阵的等价关系题目摘要：1.矩阵等价关系的定义与性质2.矩阵等价关系的判断方法3.矩阵等价关系的应用举例正文：一、矩阵等价关系的定义与性质矩阵等价关系是指两个矩阵之间存在一系列的基本行变换（或基本列变换），使得其中一个矩阵可以变为另一个矩阵。
矩阵等价关系具有以下性质：1.反身性：任何矩阵与自身都是等价的。
2.对称性：如果矩阵A 与矩阵B 等价，那么矩阵B 与矩阵A 也是等价的。
3.传递性：如果矩阵A 与矩阵B 等价，矩阵B 与矩阵C 等价，那么矩阵A 与矩阵C 也是等价的。
二、矩阵等价关系的判断方法判断两个矩阵是否等价，可以通过以下两种方法：1.基本行变换法：如果一个矩阵可以通过基本行变换变为另一个矩阵，那么这两个矩阵就是等价的。
2.矩阵秩相等法：设矩阵A 和矩阵B，如果它们的秩相等，则矩阵A 和矩阵B 是等价的。
三、矩阵等价关系的应用举例矩阵等价关系在线性代数中具有广泛的应用，以下举两个例子：例1：求解线性方程组已知矩阵A 和矩阵B：A = [[2, -1], [1, 0]]B = [[3, 2], [0, 1]]矩阵A 和矩阵B 是等价的，因为它们可以通过基本行变换相互转化。
通过高斯消元法求解线性方程组，可以得到矩阵A 的解为x = [3, -2]。
由于矩阵A 和矩阵B 等价，所以矩阵B 的解也是x = [3, -2]。
例2：简化矩阵计算矩阵A = [[a, b], [c, d]]矩阵B = [[a, d], [b, c]]矩阵A 和矩阵B 是等价的，因为它们可以通过基本列变换相互转化。
利用矩阵的等价关系，可以将矩阵A 的运算简化为矩阵B 的运算，从而降低计算复杂度。
等价矩阵 (自动保存的)
矩阵的三种等价关系及其一些应用姓名：郭长琦学号200740510208 指导教师：刘敏摘要：高等代数范围内,有关矩阵等价关系的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有限维线性空间中，矩阵的等价关系运算往往用到线性变换，由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵等价关系在高等代数中占有重要的地位。
本文主要简单地讨论了矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似的条件及其应用，给出了这三种矩阵关系间的联系，即合同阵、相似阵必是等价阵;反之，不一定成立；正交相似与正交合同是一致的，并给出说明．关键词：等价矩阵相似矩阵合同矩阵Ｔhree kinds equivalence relation of the matrix and some applicationsAbstract: matrix equivalence relation in higher algebra occupies an important position. This paper briefly discusses matrix equivalent, matrix contract, matrix similar conditions and its application, give the relation between these three matrix of contact, namely contract array, similar array is equivalent array; Conversely, not necessarily to be formed; Orthogonal similarity and orthogonal contract is consistent, and give instructions.Keywords: rotation matrix similar matrix contract matrix矩阵是高等代数中最重要的知识点，贯穿于高等代数中，矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似则是矩阵的三种基本关系，故首先给出其基本定义。
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同、等价和相似是三种不同的关系。
合同关系是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1} = B。
也就是说，两个矩阵可以通过一个可逆矩
阵的相似变换，得到一个相同的矩阵。
等价关系是指对于两个矩阵A和B，存在两个可逆矩阵P和Q，使得PABQ = I，其中I为单位矩阵。
等价关系是合同关
系的一个特殊情况，即当P = Q时，合同关系变为等价关系。
相似关系是指对于两个矩阵A和B，存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1} = B。
相似关系不要求被相似变换的矩阵是方阵，因此相似关系是合同关系的推广。
综上所述，矩阵的合同关系是最强的，矩阵的等价关系是合同关系的特殊情况，矩阵的相似关系不要求矩阵是方阵，是合同关系的推广。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
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矩阵的三种等价关系摘要本文主要介绍矩阵的三种等价关系的定义及性质、各关系之间的不变量即等价不变量、合同不变量、相似不变量以及它们之间的联系。
同时，也将λ-矩阵的等价关系与矩阵的相似关系加以联系，这样增加了矩阵相似方法的判断也加强了知识的衔接。
关键字矩阵；矩阵的等价关系；矩阵的合同关系；矩阵的相似关系A matrix of three equivalence relationsAbstractThis paper mainly introduces three kinds of equivalent relation matrix and the three equivalence relations with the nature of the property, the connection between them and the three kinds of relations that equivalent invariants, contract invariant, similar invariants. At the same time, will also be equivalent relation of matrix and matrix similarity relation to contact, which increases the matrix similarity method judgment also strengthened the convergence of knowledge.Key wordsmatrix; the equivalence relation of matrix ;the contract relation of matrix ;the similar relation of matrix.0 引言在线性方程组的讨论中我们知道，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象.我们的目的是讨论矩阵的一些基本性质.另外，新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识.这也凸显出矩阵在中学数学中的重要性.为了满足中学生对矩阵知识的渴望和矩阵初学者对矩阵基本性质的需求，我们研究了矩阵的三种基本关系即等价关系、合同关系、相似关系.首先，我们给出矩阵三种等价关系的定义及相关知识；其次，我们探究了矩阵三种等价关系所具有的性质、它们之间的联系以及满足这些关系所保持的量的不变性.同时，我们也提出了矩阵相似的几种等价定义，这可以使初学者更好的判断矩阵的相似性.1 矩阵的三种等价关系的定义1.1 矩阵的三种等价关系定义1.1.1 设矩阵A 、B 是数域P 上的矩阵，矩阵A 与B 称为等价的，如果B 可以由A 经过一系列的初等变换得到。
等价是矩阵之间的一种关系。
不难证明，它具有反身性、对称性与传递性。
定义1.1.2 数域P 上n ×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n ×n 矩阵C,使AC C B '=合同是矩阵之间的一个关系。
不难看出，合同一定等价，同时合同关系具有 （1）反身性：AE E A '=;（2）对称性：由AC C B '=即得BC C A )'(1-=; （3）传递性：由1111AC C A -=和21'22C A C A =即得 )()'(21212C C A C C A =.定义1.1.3 设A,B 为数域P 山两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级矩阵X ，使得B=X1-AX,就说A 相似于B,记作A ～B.由相似的定义易知相似一定等价.相似作为矩阵之间的一种关系，具有下面三个性质： （1）反身性：A ～A.这是因为AE E A 1-=. （2）对称性：如果A ～B,那么B ～A. 如果A ～B ，那么有X 使AX XB 1-=.令1-=X Y ,就有BY Y XBX A 11--==,所以B ～A.（3）传递性：如果A ～B, B ～C,那么A ～C.已知有X,Y 使AX X B 1-=，BY Y C 1-=.令XY Z =,就有AZ Z AXY X Y C 111---==,因而A ～C综上可知，矩阵的等价、合同、相似是矩阵的三种等价关系。
定义1.1.4 设函数f 定义在矩阵集合M 上，若对于任意两个相似的矩阵A 、B ∈M ，有()(),f A f B =则称f 为相似不变量.1.2 λ—矩阵相关知识为了探究矩阵相似更多的判断方法，我们需要了解一些λ—矩阵的知识.定义1.2 如果λ—矩阵A(λ)中有一个r （r ≥1）级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话）全为零，则称A(λ)的秩为r.特别的，零矩阵的秩规定为零.定义1.2.2 λ—矩阵A(λ)称为与B(λ)等价，如果可以经过一系列的初等变换将A(λ)化为B(λ).定义1.2.3 设λ—矩阵A(λ)的秩为r ，对于正整数k, 1k r ≤≤,A(λ)中必有非零的k 级子式的首项系数为1的最大公因式()k D λ称为A(λ)的k 级行列式因子.定义1.2.4 标准形的主对角线上非零元素12(),(),,()r d d d λλλ称为λ—矩阵A(λ)的不变因子.定义1.2.5 把复数域上的矩阵A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A 的初等因子.定理 1.2.1 两个λ-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.定理1.2.2 矩阵()A λ可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积.推论 两个s n ⨯的λ-矩阵()A λ与()B λ等价的充要条件是，有一个s s ⨯可逆的矩阵()P λ与一个n n ⨯可逆的()Q λ，使()()()()B P A Q λλλλ=引理1.2.1 如果有n n ⨯数字矩阵0P ，0Q 使00()E A P E B Q λλ-=-，则A 与B 相似. 证明 因000000()P E B Q P Q P BQ λλ-=-,它又与E A λ-相等，进行比较后应有0000,P Q E P BQ A ==.由此100Q P -=，而100A P BP -=.故A 与B 相似.引理1.2.2 对于任何不为零的n n ⨯数字矩阵A 和λ—矩阵()U λ与()V λ，一定存在λ—矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使0()()()U E A Q U λλλ=-+ （1） 0()()().V R E A V λλλ=-+证明 把()U λ改写成1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++++这里都01,,,m D D D 是n n ⨯数字矩阵，而且00.D ≠如0,m =则令()0Q λ=及00,U D =它们显然满足引理2的要求. 设0,m >令120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++++这里j Q 都是待定的数字矩阵.于是1010112 1.()()()()()m m m k k k m m m E A Q Q Q AQ Q AQ Q AQ AQ λλλλλλ-------=+-++-++--要想使(1)式成立，只需取00110221111201,,,,,.k k k m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ -----==+=+=+=+=+就行了.用完全相同的办法可以求得和.引理证毕.2 三种等价关系的性质性质2.1 A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ） 性质2.2 设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000rE PAQ . 性质 2.3 (Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ0*1其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值.证明 （数学归纳法）当n=1时，结论显然成立。
假设对于n-1级复矩阵，结论成立。
对于n 级复方阵A 的情形：设1λ是A 的一个特征值，1α是相应的特征向量，则111αλα=A . 把1α扩充为nC 的一组基n ααα,,,21 ，令P=(n ααα,,,21 ),则P 可逆. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====---001111111111 λλαλαe P A P APe P从而，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-111A AP P βλ,其中β为n-1维行向量，1A 为n-1级复方阵. 对1A 由归纳假设可得存在可逆矩阵1P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n P A P λλ0*21111 ，其中n λλ,,2 为1A 的特征值. 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A Q ,则Q 可逆且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n Q A Q λλβλ0*01111 ， 令,PQ T =则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*11由数学归纳法知，对于任意的n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵.□ 注a 设矩阵A ∈nn R⨯，A 的特征值全是实数，则存在实n 级可逆矩阵P 使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AP P λλ0*11 .注b 若A ∈nn R ⨯,A A =',则A ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλ 1. 性质2.4 设A 、B ∈nn C ⨯，AB=BA,则存在n 级可逆矩阵T ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*11 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n BT T μμ *11，其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值，n μμ,,1 为矩阵B 的特征值. 证明 （数学归纳法）当n=1时，结论显然成立.只需令T=E 即可.假设对n-1级复方阵，结论成立. 对于n 级方阵A 、B 的情形：因为AB=BA ，则A 、B 有公共的特征向量1α，并且111111,αμααλα==B A . 由扩基原理把1α扩充为nC 的一组基n ααα,,,21 . 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11121210),,(),,(A A n n βλαααααα ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12121210),,(),,(B B n n βμαααααα 其中21,ββ为n-1维行向量，11,B A 为n-1级复方阵. 令P=(n ααα,,,21 )，则P 可逆且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1111A AP P βλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-12110B BP P βμ. 因为AB=BA ，所以1111A B B A =.由归纳假设，存在n-1级可逆矩阵1P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n P A P λλ0*21111 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n P B P μμ0*21111 .令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001P Q ,则Q 可逆.则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n Q A Q APQ P Q λλβλ0*01111111 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n Q B Q BPQ P Q μμβμ0*01121111 .令T=PQ,则T 可逆并且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n AT T λλ0*11 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n BT T μμ0*11性质2.5 设A 、B 都是n 级方阵，则以下条件等价：①A ～B ；②E A λ-等价于E B λ-； ③A 、B 有相同的不变因子；④A 、B 是n 维线性空间中同一线性变换在不同基下所对应的矩阵； ⑤E A λ-与E B λ-有相同的标准形； ⑥A 、B 有相同的初等因子.性质2.6 设A ～B ，则有以下结论成立： ①A B =； ②()()tr A tr B =； ③秩(A)=秩(B)； ④E A E B λλ-=-;⑤A 等价于B ；⑥f(A)=f(B),f(x)为多项式； ⑦A 、B 的最小多项式相同.性质2.7 对称矩阵A 、B 合同的充要条件是二次型'()f x X AX =与()'g y Y BY =等价，即()f x 可经非退化的线性替换X CY =化为()g y ，而()g y 可经1Y C X -=化为()f x 。