平行四边形的定义,性质
平行四边形的性质
【知识要点】1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 表示方法：“□ABCD ”注：平行四边形的表示一般按顺时针或逆时针的方向依次表示各项点． 2．平行四边形的性质：①平行四边形对边平行且相等；数学形式：∵∴AB DC ，AD BC ②平行四边形的对角相等： 数学形式：∵∴D B C A ∠=∠∠=∠,③平形四边形的对角线互相平分：数学形式：∵∴OA=OC=21AC ，OB=OD=21BD ．3．平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，则这个距离称为平行线之间的距离．4．平行线之间垂直线段的性质：平行线之间的垂线段处处相等．【经典例题】例1．如图：□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ⊥CD ，AO=3cm ，BO=5cm ，求 DC 和AD 的长．例2．如图：已知在□ABCD 中，BE=6cm ，EC=3cm ，DC=5cm ，DE ⊥EC ，求： （1）DE 的长；（2）□ABCD 的面积．ABCD∥ ＝ ∥ ＝ ABCDABCDE例3．□ABCD 的周长为90，对角线AC 、BD 交于O ，且△AOB 与△AOD 的周长差为5，求□ABCD 的各边长。
例4．如图：已知中，E 是AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证： （1）CD=FA ，（2）若使BCFF ∠=∠，□ABCD 的边长之间还需再添加一个什么条件？请 你补上这个条件，并进行证明．（不需要添加辅助线）．例5．如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是AC ，CA 延长线的点，且CE=AF ，则BF 与DE 具有怎样的位置关系，试说明理由．例6．如图，△ABC 中，AB=AC ，P 是BC 上一点，PE ∥AC 交AB 于E ，PF ∥AB 交AC 于 点F 。
求证：PE+PF=AC 。
F1 32 4 A BECDF例7.如图所示，在□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，∠EBF=60°，CE=2，AF=3，求□ABCD 各边长及面积。
平行四边形的性质平行四边形的性质与判断方法
平行四边形的性质平行四边形的性质与判断方法平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和判断方法。
在本文中，我们将深入探讨平行四边形的性质，并介绍如何通过这些性质来判断一个四边形是否为平行四边形。
一、平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边两两平行的四边形。
四边形的对边是指相对的两条边，而平行的定义是指两条直线或线段在同一平面内永不相交。
二、平行四边形的性质1. 对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分。
也就是说，连接平行四边形相对顶点的线段，其交点即为对角线的中点。
2. 对边等长平行四边形的对边长度相等。
即平行四边形的相对边长相等。
3. 内角和为180度平行四边形的内角和等于180度。
也就是说，平行四边形的内角之和是一个定值，无论其角度大小如何变化，内角之和始终等于180度。
4. 任意一组相邻内角补角为180度对于平行四边形来说，任意一组相邻内角的补角等于180度。
两条平行线被一条横切线所交，形成的内角和为180度。
5. 对角线等长平行四边形的对角线长度相等。
也就是说，连接平行四边形相对顶点的对角线长度相等。
三、判断平行四边形的方法1. 观察边长关系判断一个四边形是否为平行四边形，可以通过观察其边长关系。
如果四边形的对边长度相等，则可以判断为平行四边形。
2. 观察角度关系通过观察四边形的角度关系，也可以判断是否为平行四边形。
如果四边形的内角之和为180度，并且任意一组相邻内角的补角为180度，那么可以确定该四边形是平行四边形。
3. 观察对角线若一个四边形的对角线相等，则可证明该四边形为平行四边形。
这是因为平行四边形的对角线互相平分，所以如果四边形的对角线相等，那么可以得出结论它是平行四边形。
4. 使用截线定理截线定理是一种判断平行四边形的方法。
当一条直线与两条平行线相交时，它所切分的线段比例相等。
如果在一个四边形中，两组相邻边分别满足这个比例关系，那么可以得出结论该四边形是平行四边形。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和判定条件。
本文将介绍平行四边形的性质，并通过实例展示如何判定一组线段或角度是否构成平行四边形。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据定义，我们可以得出平行四边形的性质和判定条件。
二、平行四边形的性质1. 相对边相等：平行四边形的对边长度相等。
即AB=CD，AD=BC。
2. 相对角相等：平行四边形的对角角度相等。
即∠A=∠C，∠B=∠D。
3. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
即AC平分BD，BD平分AC。
4. 对角线相等：平行四边形的对角线相等。
即AC=BD。
5. 内角和为360度：平行四边形的内角和等于360度。
三、判定平行四边形的条件要判定一组线段或角度构成平行四边形，需要满足以下条件之一。
1. 对边相等：如果四边形的对边长度相等，即AB=CD，AD=BC，则这个四边形是平行四边形。
2. 对角线互相平分：如果四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD平分AC，则这个四边形是平行四边形。
3. 相对角相等：如果四边形的相对角度相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，则这个四边形是平行四边形。
在实际问题中，我们可以通过测量边长、角度或线段平分关系来判定是否为平行四边形。
下面举例说明。
例题一：已知线段AB与线段CD互相平分，且∠A=∠C，∠B=∠D，判断ABCD是否为平行四边形。
解析：根据给定条件得知，线段AB与线段CD互相平分，且相对角度相等。
根据判定平行四边形的条件，我们可以得出这个四边形是平行四边形。
例题二：在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为A(2, 3)，B(7, 3)，C(9, -2)，D(4, -2)的四边形ABCD，判断是否为平行四边形。
解析：根据给定坐标可以计算出AB的斜率为0，CD的斜率也为0。
根据斜率的性质，我们可以得出AB与CD是平行的。
另外，根据对边长度可以计算出AB=CD，AD=BC。
平行四边形的定义,性质及判定方法
一【2 】.平行四边形常识构造及要点小结平行四边形界说：有两组对边分离平行的四边开形是平行四边形. 性质：1.平行四边形的两组对边分离平行.2.平行四边形的两组对边分离相等3.平行四边形的两组对角分离相等4.平行四边形的两条对角线互相等分.剖断办法：1.两组对边分离平行的四边形是平行四边形.2.两组对边分离相等的四边形是平行四边形.3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4.两条对角线互相等分的四边形是平行四边形.5.两组对角分离相等的四边形是平行四边形.三角形中位线界说：衔接三角形双方中点的线段叫三角形的中位线. 定理;三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.二.解题办法及技能小结：证实线段相等或角相等的问题用曩昔所学的全等常识也可完成,但相比较而言,运用平行四边形的性质求证较为简略.别的平行四边形对角线是很主要的根本图形,运用它的性质解题可开拓新的门路.特别的平行四边形常识构造及要点小结矩形：界说：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：1.具有平行四边形的所有性质.2.矩形有四个角都是直角.3.矩形有对角线相等.4.矩形是轴对称图形,有两条对称轴.剖断办法：1.界说2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.菱形：界说：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.性质;1.具有平行四边形所有性质.2.菱形有四条边都相等.3.菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线等分一组对角4.菱形是轴对称图形.剖断办法：1.界说2.对角线互相垂直的平行四边形3.四边相等的四边形正方形：界说;一组邻边相等的矩形性质：具有平行四边形.矩形.菱形的所有性质剖断：1.界说2.有一个内角是直角的菱形3.对角线相等的菱形4.对角线互相垂直的矩形解题办法及技能小结菱形.矩形.正方形都是特别的平行四边形.它们的性质既有差别又有接洽,它们的剖断办法固然不同,但有很多类似之处,是以要用类比的思惟,将学到的常识总结出相干纪律.。
平行四边形的性质与应用
平行四边形的性质与应用平行四边形是一种具有特定性质和广泛应用的几何图形。
在本文中，我们将探讨平行四边形的性质以及它在现实中的应用。
一、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
它具有以下几个重要性质：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。
即相对的两条边长度相等。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且互相垂直。
这意味着平行四边形的两条对角线长度相等且互相垂直。
3. 内角性质：平行四边形的内角之和为360度。
换句话说，平行四边形的任意两个相邻内角之和为180度。
4. 对顶角性质：平行四边形的对顶角相等。
即相对的两个内角大小相等。
二、平行四边形的应用平行四边形在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：平行四边形的性质被广泛应用于建筑设计中，用于绘制平行四边形的模型，计算建筑物的面积和体积，以及确定建筑物内部布局的合理性。
2. 航空航天工程：在航空航天工程中，平行四边形的性质被用于计算飞机的机翼面积，帮助设计师设计出更加稳定和高效的飞行器结构。
3. 地理测量：在地理测量中，平行四边形的性质被应用于测量地表的形状、面积以及地表变动的研究。
同时，平行四边形也是测量工具中常用的标志物，用于校准和校正测量仪器。
4. 平行四边形的证明与运用：在数学课堂上，我们经常需要证明平行四边形的性质，通过证明和推理，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
此外，平行四边形的性质也应用于解决三角函数和向量等数学问题。
5. 平行四边形的网格结构：平行四边形的性质使其成为一种理想的结构形式，例如篮球场地板、瓷砖地板、蜂窝状网格等。
这些结构具有稳定性、坚固性和美观性。
结论平行四边形作为一种常见的几何图形，在我们的日常生活和学习中有着广泛的应用。
通过了解平行四边形的性质和运用，我们能够更好地理解和应用几何学知识，同时也能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
平行四边形不仅仅是数学课堂上的概念，它在各行各业中都发挥着重要的作用，为我们的生活和工作带来了便利和创造力。
平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质和判定平行四边形是中学数学中的一种基本图形，它具有独特的性质和判定方法。
本文将探讨平行四边形的性质和判定，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
对边是指共享一个顶点的两条边。
二、平行四边形的性质1. 对角线的性质：平行四边形的对角线相互平分，并且彼此重合，即对角线相交于各自的中点。
2. 边的性质：平行四边形的对边长度相等。
3. 内角的性质：平行四边形的内角和为360度。
即两组相对的内角互为补角，且每组内角和为180度。
4. 链接关系：平行四边形的一对对边及其夹角共线。
5. 周长和面积：平行四边形的周长等于四条边的长度之和，面积等于底边长度乘以高。
三、平行四边形的判定方法1. 利用边的平行性：若一四边形的对边分别平行，则该四边形为平行四边形。
2. 利用对角线的重合性：若一四边形的对角线相互重合，则该四边形为平行四边形。
3. 利用角的补角关系：若一四边形的内角和为180度，则该四边形为平行四边形。
4. 利用边长和角度的关系：已知四边形的各边长度和对边夹角的情况下，可以通过计算判断它是否为平行四边形。
四、平行四边形的应用场景1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质经常用于确定房屋的平面布局，以及各部分的相对位置关系。
2. 装饰设计：在装饰设计中，平行四边形的性质可用于确定墙壁或地板的铺设方式，以增加空间的美感和活力。
3. 地理测量：在地理测量中，通过平行四边形的判定可以帮助测绘人员绘制平面地图和标示道路等要素。
4. 工程施工：在工程施工中，平行四边形的性质可用于确定建筑场地的边界线，以及建筑物的定位和布局。
综上所述，平行四边形具有特殊的性质和判定方法，可以应用于各个领域。
掌握平行四边形的定义、性质和判定方法，对于理解和解决相关问题具有重要意义。
期望本文的内容能够帮助读者更好地理解和运用平行四边形的概念。
平行四边形定义及性质(最全)
若AE、AF为BC、CD边上的高，且∠EAF=60°则∠C = —— ∠B=——.
例2 如图1 ABCD中AB=5，BC=9，BE，CF分别平分∠ABC， ∠BCD，则DE=_____，AF=_____，EF=_____
E
F
A
D
C
B
4
4
1
例3 如图2 ABC,
AB=AC=10，则 ADEF的周长为_____
A
B
D
C
E
F
G
H
9
O
二.平行四边形性质
1.边：
对边平行且相等
2.角：
对角相等，邻角互补
3.对角线：
对角线互相平分
4.周长：
两邻边之和×2
5.面积：
边长×边长上的高
证明相关性质
A
C
D
已知：如图，在 ABCD中 求证：AB=CD，BC=DA， ∠A=∠C，∠B=∠D.
主讲人：张老师
平行四边形定义及其性质
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202X
活动 ：
想一想下列图形都是什么图形，有什么特点？
一、平行四边形的概念：
1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫平 行四边形
2.表示方法：“ ”,如平行四边ABCD记作： ABCD； 读作：平行四边形ABCD
4.有关名称： 对边、邻边
对角、邻角
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形不是平行四边形。
01
用“ ”表示平行四边形时，字母的排列要按一定的顺序，可以顺时针可以逆时针。
02
注意：
概念应用 如图： ABCD中，EF∥AB 若GH∥AD，EF与GH交于点O， 则图中有＿＿个平行四边形。
平行四边形的性质和定义
平行四边形的性质和定义
一、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
二、性质：
1、平行四边形属于平面图形。
2、平行四边形属于四边形。
3、平行四边形属于中心对称图形。
三、其他性质：
1、平行四边形的对边是平行的（根据定义），因此永远不会相交。
2、平行四边形的面积是由其对角线之一创建的三角形的面积的两倍。
3、平行四边形的面积也等于两个相邻边的矢量交叉乘积的大小。
4、任何通过平行四边形中点的线将该区域平分。
5、任何非简并仿射变换都采用平行四边形的平行四边形。
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学科：数学年级：八年级学校：雷河中学教师：张道强
课题名称
平行四边形
课型
新授
课时
一课时
内容分析
本节课是在学生掌握了平移知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用．由此可见本节课的重点是:平行四边形的概念、性质及简单应用。
2、如图:在ABCD中,根据已知（图中黑色部分）你能得到哪些结论？为什么?
3、如图，在ABC中，若BE平分∠ABC，则ED＝．（图中黑色部分是已知）
4、如图，在平面直角坐标系中，OBCD的顶点O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为（）
A. (3,7) B. (5,3) C. (7,3) D. (8,2)
活动活动活动活动2理解平行四边形理解平行四边形理解平行四边形理解平行四边形定义和相关概念定义和相关概念定义和相关概念定义和相关概念
问题3：你分类的标准是什么？（两组对边分别平行）
问题4：平行四边形的定义。
问题5：（剪一剪）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是平行四边形吗
了解生活中四边形的形象、了解四边形和平行四边形的关系，导出课题。
理解平行四边形定义
探究平行四边形的性质
运用平行四边形的性质
师生小结、布置作业。
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
丰富多彩的世界中，包含着形态各异的图形，古今中外的设计师们常常巧妙利用几何图形来点缀他们的作品，大大地美化了我们的生活。
问题6：介绍平行四边形的有关概念、表示方法等。
问题7：（拼一拼）用两个全等的三角形纸片可以拼出平行四边形吗?
问题8：能拼出几种形状不同的平行四边形？（学生2人为一组拼图
结合图片和分类，教师引导学生注意这些图形的共同特点：两组对边分别平行，很自然地得出定义。
教师引导学生用定义来判
教师画图，对照图形进行介绍：平行四边形的对边、对角、邻角、邻边、对角线。教师拼图学生思考、猜测、论证学生拼图、观察、猜测、论证
学生口答，教师引导学生思考，并说出本题用到了哪条平形四边形的性质。
让学生更好地理解和掌握平形四边形的性质，并能够应用性质来解决问题。
一题多解，开放性题训练了学生的发散性思维。课本练习变式训练提高了学生的思维能力。
活动活动活动活5：
课堂小结、布置作业。
问题：通过本节课，你有哪些感受和收获？
课外作业：
P84 1、2、3
通过观察、探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法，锻炼学生缜密的逻辑思维能力，渗透“转化”的数学思想.培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度。
活动活动活动活动4平形四边形的性质的应用。
（展示例题）
1、如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?若∠ABC=70°,则ABCD的其它三个内角各是多少度？
3、能用性质来解决问题.
解决问题
通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法，锻炼学生缜密的逻辑思维能力，渗透“转化”的数学思想
情感态度
让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.
重点
平行四边形性质的探究、以及性质的应用。
难点
平行四边形性质的探究
问题5：作辅助线的目的是什么？
课堂练习：教科书131页练习第1题
教师引导学生通过观察，猜测平行四边形的边、角还有哪些特征。教师提出问题，学生思考，师生共同证明。师生共同探究。自然归纳转化的思想方法：把四边形转化成三角形来解决。证明完成后，归纳平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补
活动活动活动活动3探究平行四边形探究平行四边形探究平行四边形探究平行四边形边边边边、、、、角两方面的角两方面的角两方面的角两方面的性质性质性质性质
问题1：请观察拼出的平行四边形，猜一猜，平行四边形除了“两组对边分别平行”以外，还有哪些特征？
问题2：你能证明你的猜想吗？
问题3：还有其它的证明方法吗？
问题4：这些证明方法都有什么共同的地方？
教具准备
PPT课件、两边平行的小纸条，全等的三角形纸片。
教学资源
数学资源网
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1了解生活中的四边形、了解四边形和平行四边形的关系。
活动2理解平行四边形定义和相关概念。
活动3探究平行四边形边、角两方面的性质。
活动4平形四边形的性质的应用。
活动5课堂小结、布置作业。
学情分析
1、知识基础：学生在小学阶段已对平行四边形有了初步直观的认识，而在学习本章以前学生又系统地学习了四边形的相关定义和性质，以及平行线、图形的的旋转对称、图形的全等等知识。这对学生进行探究平行四边形的性质都有极好地帮助，因此学生完全具备了学习平行四边形的知识基础。
2、认知水平和能力：通过对前面几何知识的学习，学生已经积累了一些学习几何的经验和活动经历，形成了较好的参与合作意识，并初步具有观察、操作、分析、概括的能力。
问题1：仔细观察，下列各图中蕴含着一种什么几何图形？（PPT课件展示）
问题2：如何把这六个四边形分成两类
师生共同欣赏图片，从中抽象出四边形；把所得的四边形分类，让学生知道长方形、正方形、平行四边形、梯形都是特殊的四边形，明确本章的学习任务。
从四边形的实际应用例子引入。让学生体会到数学来源于生活，服务于生活。从图形分类入手，一可以让学生自己总结出平行四边形的定义，不是老师强加于他，二是让学生初步体会到四边形、平行四边形、梯形之间的关系，有利于后续的学习。从实例中抽象出四边形，培养学生的抽象思维。在提炼图形的过程中，学生强化了对平行四边形定义的理解，让学生感受数学与我们生活的紧密联系。
指明学习任务，理清四边形和特殊四边形的从属关系，引出本节课活动的主题。
利用定义判断，增强学生对定义的理解。拼一拼是突破本节课难点的有效教学活动。突破本节课难点：首先是问题7：（拼一拼），让学生有感性上的认识，同时引导学生找到突破口，添加辅助线，然后再上升到理性上的证明。这个效果在本章来说也非常重要，因为在这里得以让学生从感性和理性上都得到充分的认识。3种拼法对后续的许多问题都有很大的影响
P90 1、2
P916
学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善，教师重点关注不同层次学生对本节知识的理解，掌握程度，同时在学生的总结基础上加以提升。
学生独立完成，教师批改总
提炼本节课的重点，全员参与，体现集体的智慧。
了解教学效果，及时调整教学。
3、班级学生特点：我班学生虽然基础比较薄弱，但是思维较为活跃。只要老师引导得当他们就能积极参与问题讨论，并能进行一些简单的抽象与概括。自主学生中只要老师任务明确就能积极主动参与学习交流。
ห้องสมุดไป่ตู้教学目标
知识与技能
1、理解并平行四边形的定义,能根据定义探究平行四边形的性质.
2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2