专题六第1讲课时训练提能

专题六第1讲排列与组合、二项式定理
课时训练提能
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2012·武汉模拟)3位老师和3位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为
A．720 B．144
C．36 D．12
解析利用插空法得A3
3A3
4
＝144.
答案B
2．(2012·山东实验中学高三模拟)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有
A．192 B．144
C．288 D．240
解析利用捆绑法，把A、B看作一个整体，把C、D看作一个整体，则不同的放法有C25A22A22A33＝240.
答案D
3．(2012·临沂一模)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复
数字的四位数的个数为
A ．300
B ．216
C ．180
D ．162
解析 若不选0，则有C 22C 23A 4
4＝72；
若选0，则有C 13C 12C 23A 33＝108，
所以共有180种，选C. 答案 C
4．(2012·兰州模拟)将4名志愿者分配到3个不同的体育场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A ．144
B ．72
C ．48
D ．36
解析 先把4名志愿者分三组，有C 24种方法，再把这三组志愿者分配到3个场馆，有A 33种分
法，故共有C 24A 3
3＝36种分法．
答案 D
5．(2012·丰台一模)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 6
的二项展开式中，常数项是
A ．10
B ．15
C ．20
D ．30
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
＋2x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x 12＋2x －126，
其通项为T r ＋1＝C r 6·2
2r －6x 3－r
，
∴令r ＝3，得T 4＝C 3
6＝20. 答案 C
6．(2012·九江模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2－1x n 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项
为
A ．－84
B ．84
C ．－36
D ．36
解析 据题意知2n ＝512，∴n ＝9. ⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－1x 9
的展开式中的通项为
T r ＋1＝(－1)r C r 9x 18－3r
，
令18－3r ＝0，则r ＝6， ∴常数项为T 7＝(－1)6C 69＝84. 答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·丰台二模)从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有________种．
解析 若甲不参加竞赛，共有方案A 44＝24种，
若甲参加竞赛，则有方案A 13A 34＝72种，
故有方案24＋72＝96种．
答案96
8．若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.
解析由题知a5＝(－a)3C38＝56，∴a＝－1，令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28.
答案28
9．(2012·潍坊二模)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间．每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________．
解析若其中1个车间有3名员工(包含甲乙)，另2个车间各有1名员工，则有C1
3A3
3
种分法；
若其中2个车间各分2名员工，另一个车间分1名员工，则有C2
3A3
3
种分法，故共有C1
3
A3
3
＋C2
3
A3
3
＝36
种分法．
答案36
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)至少有1名女运动员；
(2)既要有队长，又要有女运动员．
解析(1)解法一(直接法)
“至少1名女运动员”包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有
C1 4·C4
6
＋C2
4
·C3
6
＋C3
4
·C2
6
＋C4
4
·C1
6
＝246种选法．
解法二(间接法)
“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C5
10种选法，其中全是男运动员的选法有C5
6
种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C5
10－C5
6
＝246种选法．
(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C4
9种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C4
8
种
选法．其中不含女运动员的选法有C4
5种，所以不选女队长时共有C4
8
－C4
5
种选法．
所以既有队长又有女运动员的选法共有
C4 9＋C4
8
－C4
5
＝191种选法．
11．有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解析解法一(直接法)
从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C1
4
种方法；
0可在后两位，有C 1
2种方法；最后从剩下的三张中任取一张，有C 1
3种方法；
又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C 14C 12C 1
3
22(个)．
②取1不取0，同上分析可得不同的三位数C 24·22·A 33(个)．
③0和1都不取，有不同三位数C 34·23·A 33(个)．
综上所述，共有不同的三位数：
C 14·C 12·C 13·22＋C 24·22·A 33＋C 34·23·A 33＝432(个)．
解法二 (间接法)
任取三张卡片可以组成不同三位数C 35·23·A 33(个)，其中0在百位的有C 24·22·A 22(个)，这是
不合题意的，故共有不同三位数：C 35·23·A 33－C 24·22·A 2
2＝432(个)．
12．已知⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 3
2
的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
解析 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4
，
第三项的系数为C 2n ·(－2)2，
则有C 4n ·－24C 2
n ·－2
2＝
101
，
化简得n 2
－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2k ＝C k 8
·(－2)k
·x 8－k 2－2k ， 令
8－k 2－2k ＝3
2
，则k ＝1， 故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32
.
(3)设展开式中的第k 项，第k ＋1项，第k ＋2项的系数绝对值分别为
C k －18·2k －1，C k 8·2k ，C k ＋1
8
·2k ＋1， 若第k ＋1项的系数绝对值最大，则
⎩⎨⎧
C k －18·2k －1≤C k 8·2k C k ＋18·2k ＋1
≤C k 8·2
k
，解得5≤k ≤6.
又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11. 由n ＝8知第5项二项式系数最大，此时T 5＝1 120x －6.。