大学数学(高数微积分)专题六第1讲(课堂讲解)
自考高等数学(一)微积分串讲讲义1
1 华夏大地教育网 http//: 自学考试：高数（一）串讲讲义
试题特点：知识点覆盖全面， 大多数题目难度不大，个别题目有一定的难度， 但都没有超出大纲要求。 复习要求：不报侥幸心理， 复习要涉及每个知识点。每个知识点要做相应的练习题。
高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)
一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲
教材所讲主要内容如下：
全书内容可粗分为以下三大部分：
第一部分 函数极限与连续（包括级数）
第二部分 导数及其应用（包括多元函数）
第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）
第一部分 函数极限与连续 一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。
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4、求复合函数的表达式。 二、 极限与连续 常见考试题型： 1、求函数或数列的极限。 2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。 3、函数的连续与间断。 4、求函数的渐进线。 5、级数的性质及等比级数。 6、零点定理。 每年必有的考点 第三部分 导数微分及其应用
常见考试题型：
1、导数的几何意义； 2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。 3、求函数的导数：复合函数求导， 隐含数求导，参数方程求导； 4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点； 5、求闭区间上连续函数的最值； 6、实际问题求最值。 每年必有的考点 第四部分 积分计算及应用 考试常见题型 1、不定积分的概念与计算； 2、定积分的计算； 3、定积分计算平面图形的面积； 4、定积分计算旋转体的体积； 5、无穷限反常积分 6、二重积分 7、微分方程 最近几年考题中，积分计算的题目较多， 而且也有一定的难度。
大学高等数学课件
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1.函数、极限与连续
重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续*的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学
重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的*、与中值定理相关的*、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3.一元函数积分学
重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分*质的*、定积分的几何应用和物理应用。
4.向量代数与空间解析几何(数一)
主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5.多元函数微分学
重点考查多元函数极限存在、连续*、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6.多元函数积分学
重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7.无穷级数(数一、数三)
重点考查正项级数的基本*质和敛散*判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8.常微分方程及差分方程
重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线*常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。
高等数学微积分详解
1
（一）含有axb的积分(0a)
1．dxaxb＝1lnaxbCa
2．()daxbx＝11()(1)axbCa（1）
3．dxxaxb＝21(ln)axbbaxbCa
4．2dxxaxb＝22311()2()ln2axbbaxbbaxbCa
5．d()xxaxb＝1lnaxbCbx
6．2d()xxaxb＝21lnaaxbCbxbx
7．2d()xxaxb＝21(ln)baxbCaaxb
8．22d()xxaxb＝231(2ln)baxbbaxbCaaxb
9．2d()xxaxb＝211ln()axbCbaxbbx
（二）含有axb的积分
10．daxbx＝32()3axbCa
11．dxaxbx＝322(32)()15axbaxbCa
12．2dxaxbx＝222332(15128)()105axabxbaxbCa
13．dxxaxb＝22(2)3axbaxbCa
2
14．2dxxaxb＝22232(348)15axabxbaxbCa
15．dxxaxb＝1ln(0)2arctan(0)axbbCbbaxbbaxbCbbb
16．2dxxaxb＝d2axbaxbxbxaxb
17．daxbxx＝d2xaxbbxaxb
18．2daxbxx＝d2axbaxxxaxb
（三）含有22xa的积分
19．22dxxa=1arctanxCaa
20．22d()nxxa=2221222123d2(1)()2(1)()nnxnxnaxanaxa
导数及微积分教案
导数及微积分教案
第一章：导数的基本概念
1.1 引言
引入导数的概念，解释导数在数学和物理中的重要性。
举例说明导数在实际问题中的应用。
1.2 函数的极限
复习函数的极限概念，包括左极限和右极限。
解释极限的概念，并强调极限与导数的关系。
1.3 导数的定义
引入导数的定义，解释导数的几何意义。
介绍导数的计算方法，包括导数的四则运算。
1.4 导数的应用
讲解导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、斜率等。
举例说明导数在函数图像上的应用，如切线方程的求解。
第二章：导数的计算规则
2.1 引言
引入导数的计算规则，强调规则在导数计算中的重要性。
2.2 基本导数规则
介绍基本导数规则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
举例说明基本导数规则的应用。
2.3 和差函数的导数
讲解和差函数的导数规则，包括两个函数的和、差、积、商的导数。 举例说明和差函数导数规则的应用。
2.4 链式法则
引入链式法则，解释链式法则的概念和应用。
讲解链式法则的推导过程，并举例说明其应用。
第三章：高阶导数
3.1 引言
引入高阶导数的概念，强调高阶导数在微积分中的重要性。
3.2 一阶导数的复习
复习一阶导数的定义和计算方法。
3.3 二阶导数
讲解二阶导数的定义和计算方法。
举例说明二阶导数在实际问题中的应用。
3.4 高阶导数的应用
讲解高阶导数在实际问题中的应用，如加速度、曲率等。
举例说明高阶导数的应用。
第四章：微分
4.1 引言
引入微分的概念，解释微分在微积分中的重要性。
4.2 微分的定义
讲解微分的定义，解释微分的意义。
介绍微分的计算方法，包括微分的四则运算。
4.3 微分的应用 讲解微分在实际问题中的应用，如近似计算、切线方程的求解等。
举例说明微分的应用。
第五章：微分中值定理及应用
5.1 引言
引入微分中值定理的概念，强调微分中值定理在微积分中的重要性。
5.2 罗尔定理
数学强化班(武忠祥)-高数第六章 常微分方程
139 第六章 常微分方程
1．一阶方程
1）可分离变量)()(ygxfy
2）齐次 )(xyfy， 令 uxy。
3）线性 )()(xQyxPy
通解： CdxexQeydxxpdxxp)()()(
4）伯努利 )1()()(yxQyxPy， 令.1uy
5）全微分 .0),(),(dyyxQdxyxP
a) 判定:xQyP
b) 解法:
1) 偏积分 2) 凑微分
3) 线积分yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0
2．可降阶方程:（数三不要求）
1) )(xfy
2) ),(yxfy 令dxdPyPy,
3) ),(yyfy 令dydPPyPy,
3．高阶线性方程:
1) 变系数: )()()(xfyxqyxpy 非齐次
0)()(yxqyxpy 齐次
解的结构: a) 齐次通解2211ycyc,其中21,yy为齐次两线性无关特解
b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 140 c) 非齐次特解I — 非齐次特解II = 齐次特解
2)常系数:
a) 齐次 021yayay
特征方程 0212aa
高数多元函数微分学教案 第一讲 多元函数的基本概念
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲
第八章 多元函数微分法及其应用
第一讲 多元函数的基本概念
授课题目：
§8.1多元函数的基本概念
教学目的与要求：
1、理解多元函数的概念．
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质．
教学重点与难点：
重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念．
讲授内容：
一、平面点集 n维空间
1、平面点集
平面上一切点的集合称为二维空间 记为R2 即
R2=RR={(x y)：x yR}
坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集，记作
E{(x y)：(x y)具有性质P}
例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是
C{(x y)：x2y2r2}
如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成
C{P：|OP|r}
回顾数轴上点的邻域。
邻域：设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点，是某一正数，与点P0(x0
y0)距离小于的点P (x y)的全体，称为点P0的邻域，记为
U (P0 ，即
}||{),(00PP PPU：
或 })()(),{(),(20200 yyxx y xPU：
点P0的去心邻域 记作) ,(0PU，即
}||0{),(00PP P PU： 第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲
如果不需要强调邻域的半径 则用U (P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作)(0PU．
点与点集之间的关系：
任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种：
高等数学-微积分第1章(英文讲稿)
高等数学- Calculus微积分（双语讲稿）Chapter 1
Functions and Models
1 Calculus (Fifth Edition)
高等数学- Calculus微积分（双语讲稿）
Chapter 1 Functions and Models
1.1 Four ways to represent a function
1.1.1 ☆Definition(1-1) function: A function f is a rule that assigns to each element x in a set A
exactly one element, called f(x), in a set B. see Fig.2 and Fig.3
Conceptions: domain; range (See fig. 6 p13); independent variable; dependent variable.
Four possible ways to represent a function: 1)Verbally语言描述(by a description in words); 2)
Numerically数据表述 (by a table of values); 3) Visually 视觉图形描述(by a graph);
4)Algebraically 代数描述(by an explicit formula).
1.1.2 A question about a Curve represent a function and can’t represent a function
The way ( The vertical line test ) : A curve in the xy-plane is the graph of a function of x if and
《高中微积分复习》教程
《高中微积分复习》教程
《高中微积分复习》教程 第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求
函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 1.函数概念与性质
几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)
极限存在性与左右极限之间的关系 2.极限
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
函数连续(左、右连续)与间断 3.连续
理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)
二、题型与解法
A.极限的求法 (1)用定义求
(2)代入法(对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子)
(3)变量替换法
(4)两个重要极限法
(5)用夹逼定理和单调有界定理求
(6)等价无穷小量替换法
(7)洛必达法则与Taylor级数法
(8)其他(微积分性质，数列与级数的性质)
arctanxxarctanxx1,,1.limlim(等价小量与洛必达) ,,,33x,,x,,006ln(12x)2x，
sin6x，xf(x)6，f(x)2.已知 ，求lim,0lim32x,,x,,00xxsin6xxf(x)6cos6xf(x)xy'，，，limlim,32x,,x,,00解: x3x,36sin6x，2y'，xy'',216cos6x，3y''，xy''',lim,limx,,0x,,06x6 ,216，3y''(0),,0？y''(0),726
6，()'''72fxyy (洛必达) lim,lim,lim,,362x,,0x,,0x,,0222xx
2xx2x,1lim()3. (重要极限) x,,1x，1
3xxab，x求lim()4.已知a、b为正常数， ,,x02
3xxa，b3xxxt,(),lnt,[ln(a，b),ln2]解:令 2x
33xxlimlnt,lim(alna，blnb),ln(ab)xx00,,,,xx(变量替换) 2a，b
3/2？t,(ab)
《高等数学》(1-3章)教学教案(全)
1 高等数学教学教案
第1章 函数、极限与连续
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第1章 第1节 函数 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 反函数、复合函数 教学难点 反三角函数
参考教材 同济七版《高等数学》 作业布置 课后习题
大纲要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
教 学 基 本 内 容
一．预备知识
1.集合
（1）集合的定义：一般说来，由一些确定的不同的研究对象构成的整体称为集合. 构成集合的对象，称为集合的元素.
（2）集合的表示.
（3）集合的元素的性质：确定性、互异性、无序性.
（4）高等数学中常用数集及其记法.
2．区间与邻域
（1）有限区间与无限区间及其记法.
（2）邻域：集合00,xxx表示开区间00(,)xx，称之为点0x的邻域，记作0(,).Ux0x称为邻域中心，称为邻域半径.
（3）去心邻域：集合000,xxx，表示0000(,)(,)xxxx，称之为
1 点0x的去心邻域，记作0(,).oUx
3．映射
（1）定义：设XY、是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x按照法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射,记作
:fXY,
其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作()fx,即
()yfx,
而元素x称为元素y (在映射f下)的一个原像； 集合X称为映射f的定义域, 记作fD， 即
fDX.
X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为fR, 或()fX, 即
高等数学第6章第1节拉格朗日中值定理和函数的单调性
75 第六章 微分中值定理及其应用
§1.拉格朗日中值定理和函数的单调性
引言
为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧AB上有一点P，该处的切线平行与弦AB．如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？
联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧AB的函数是y=f(x)，x[a,b]的图像，点P的横坐标为x．如点P处有切线，则f(x)在点x处可导，且切线的斜率为()f；另一方面，弦AB所在的直线斜率为()()fbfaba，曲线y=f(x)上点P的切线平行于弦AB()()()fbfafba．
撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值．这样这个公式就把函数及其导数联系起来．在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础．鉴于(,)ab，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理．
剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的．换言之，如保证类似点P存在，曲线弧AB至少是连续的，而且处处有切线．反映到函数y=f(x)上，即要求y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导．
一、 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理
1、罗尔中值定理
定理6．1：若f满足如下条件：
（1）f[a，b]；
（2）f在(a，b)内可导；
（3）f(a)=f(b)，则存在(a，b)，使得()0f．
（分析）由条件（1）知f在[a，b]上有最大值和最小值，再由条件（2）及（3），应用费马定理便可得到结论．
证明：因为f在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：
(i)若M = m , 则 f在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立．