数学形态学讲解
主要内容：
9.1 引言 9.2 二值形态学
数学形态学又称图像代数，其基本思想：用具 有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的 对应形状以达到对图像分析和识别目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论， 即用集合来描述图像目标，描述图像各部分 之间关系，描述目标的结构特点。
数学形态学是由一组形态学的代数运算子组 成，基本运算有：膨胀(或扩张)、腐蚀(或侵 蚀)、开启和闭合。
结构元素参与形态学运算的参考点。 参考点可包含在结构元素中，也可不包含在结构元 素中。但运算结果会不同。
选取结构元素的遵循原则：
结构元素必须在几何上比原图像简单，且有界。 一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。 当选取性质相同或相似结构元素时，以选取图像某些 特征的极限情况为宜。
结构元素的形状最好具有某种凸性，如圆形、 十字架形、方形等。
+ ++ ++ + + +
+++ +++ +++
+
解：图(c)中阴影部分表示结构元素 S的映射。
图(d)中阴影部分，蓝色部分表示集合 A；红色部分 表示为膨胀 (扩大)部分。则蓝色和红色部分合起来 就为集合 A? S。
例2：膨胀运算示例
图(a)中阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度值为 低(一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来膨胀A所得到的集合。
位移：A用x=(x1,x2)位移，记为 (A)x,定义为：
(A)x ? {y | y ? a ? x,a ? A}
(a)图表示集合
A; (b) 图表示b点; (c)图表示集合 A的位移 ; (d) 图表示集合 A的映射。
9.2 二值形态学
二值数学形态学的运算对象是集合。在实际运算中 涉及两个集合时，如集合 X和S，一般设集合 X为目 标图像集合，集合 S为结构元素。
9.2.2 膨胀和腐蚀
d
d/4
d
·d/4 膨
胀
例
子
· · · ··
· ·
··Βιβλιοθήκη · ·dd/4
d
·d/4 腐
蚀
例
子
·· · ··
··
·
· ··
膨胀和腐蚀运算为最基本的形态变换。 (1) 膨胀运算（扩张运算）
算符为? 。 X用结构元素 S来膨胀记为 X? S，定义为：
X ? S ? {x | [(S V )x ? X] ? Φ
+ + ++ + ++ +
++ + ++
解：腐蚀结果如图 (c)所示。阴影部分中，蓝色部 分表示腐蚀掉消失部分；红色部分表示为腐蚀后留 下的部分。
则图(c)红色部分就为集合 A S。
(3) 原点(即结构元素参考点 )不包含在结构元素中 时的膨胀和腐蚀
当原点不包含在结构元素中时，相应结果有所不同。 ? 对膨胀运算来说，只有 1种可能，即 A? A? S。 ? 对腐蚀运算来说，有 2种可能，或 A S? A，
用结构元素S腐蚀X的文字描述为：
用结构元素 S来腐蚀X得到的集合为： 结构元素 S 平移x后完全包括在集合 X中时结构元素 S的参考 点位置的集合。
例3 ：腐蚀运算示例
图(a)中阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度值为 低(一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来腐蚀A所得到的集合。
主要内容：
数学形态学的基本概念 二值图像的数学形态学 灰度图像的数学形态学
9.1 引言
一、基本符号和术语：
1、集合和元素： 集合：对于一些可区别客体，有共同特征的客体的
全体称为集合 (或集) 。 元素：组成集合的各个客体，称为该集合的元素。
集合通常用大写字母 A，B，C，…表示。 元素通常用小写字母 a,b,c, …表示。
如果某种客体不存在，称为空集，记为 ? 。 任何客体都不是 ? 的元素，即 a?? 。 例如：把一幅图像称为一个集合，记为集合 A。则 集合 A与图像是一一对应的。
对于图像 A，如果点 a在A区域以内，则 a是A的元素， 记为a? A;否则记为 a? A。
a? A b? A
2、子集、并集、交集、补集、差集：
例如：对于两幅图像 A和B B? A
3、击中(Hit )与击不中 (Miss )：
设有两幅图像，分别为集合 A和B。 如果A? B?? ，那么称B击中A。 如果A? B=? ，那么称 B击不中A。
4、位移 (平移 )和映射 (反射)：
映射 ：A映射记为 AV ，定义为 AV ? {x | x ? ? a, a ? A}
或
X ? S ? {x | [(S V )x ? X] ? X
用结构元素S膨胀X的文字描述为：
用结构元素S膨胀X所得到的集合为对结 构元素S作关于原点的映射所得的映像位移 x 后与集合X至少有1个非零元素相交时结构元 素S的参考点位置的集合。
例1：膨胀运算示例
图(a)是一幅二值图像 ,阴影部分代表灰度值为高 (一 般为1)区域,阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度 值为低 (一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元 素S(标有“+”处为原点,即结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来膨胀A所得到的集合。
子集：集合B中的每个元素都为集合 A的元素，则 B 为A的子集，记为 B? A。
并集：A和B所有元素组成的集合，记为 A? B。 交集：A和B公共元素组成的集合，记为 A? B。
补集：A的补集，记为 Ac，定义为Ac={x|x? A}。
差集：A和B的差集记为 A-B ，定义为：
A-B={x|x? A, x? B}=A? Bc
数学形态学运算是用结构元素S对图像集合X 进行操作。
注意：结构元素本身实际上也是 1个图像集合。
9.2.1 结构元素
定义：在考察分析图像时，要设计一种收集图像信
息的探针，称为结构元素。 观察者在图像中不断移动结构元素便可观察图像中 各部分关系 ,从而提取有用特征进行分析和描述。
参考点：对于每个结构元素，指定一个原点，作为
++ ++++ ++++
++ +
解：图(c)中阴影部分表示结构元素 S的映射。
图(d)中阴影部分，蓝色部分表示集合 A；红色部分 表示为膨胀 (扩大)部分。则蓝色和红色部分合起来 就为集合 A? S。
(2) 腐蚀运算（侵蚀运算） 算符为 。 X用结构元素 S来腐蚀记为 X S ，定义为：
X S={x|(S)x? x}
形态学
1. 数学形态学的发展历史及基本概念形态学:一般指生物学中研究动物和植物结构的一个分支数学形态学(mathematical morphology, MM)：是根据形态学概念发展而来具有严格数学理论基础的科学，并在图像处理和模式识别领域得到了成功应用。
除了通常作为一种抽取图像中区域形状特征，如边界、骨骼和凸壳等，的工具外，也经常用于图像的预处理和后处理，如：形态学滤波、细化和修剪等。
基本思想：是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的2. 数学基础形态学图像处理的数学基础和所用语言是集合论集合论基础知识集合的并、交、补、差－属于、不属于、空集令A是Z2中的一个集合，如果a是其中的一个元素，称a 属于A，并记作：a ∈ A, 否则，称a不属于A，记为：a ∉A ，如A中没有任何元素，称A为空集：∅－子集、并集、交集A ⊆ B, C = A ⋃ B, C = A ⋂ B－不相连（互斥）、补集、差集A ⋂B = ∅, Ac = {a | a ∉ A }, A – B = {c | c ∈ A, c ∉ B } = A ⋂ Bc集合B的反射B^，定义为B^ ={w|w= −b,b∈B}即关于原集合原点对称集合A平移到点z=(z1,z2),表示为(A)z，定义为(A)z ={c| c = a+ z, a∈A}二值形态学中的运算对象是集合。
设A为图像集合，S为结构元为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。
需要指出，实际上结构元素本身也是一个图像集合。
对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。
应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。
3. 形态学基本运算形态学图像处理的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开操作和闭操作4. 二值形态学图像处理基本操作边界抽取(boundary extraction)区域填充(region filling)连接分量提取(extraction of connected components)凸壳算法(convex hull)细化(thinning)粗化(thickening)骨架(skeletons)修剪(pruning)5．形态学图像处理基本应用6．总结形态学图像处理的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学
数学形态学
数学形态学是一种新兴的研究领域，它旨在分析几何图形的结构，形状和功能之间的关系。
它的研究，使用广义的概念，为许多不同的问题提供解决方案，其中包括拓扑、图像处理、科学可视化、结构生物学和信号处理等。
数学形态学是一个综合性的学科，它运用多种数学工具和科学原理来描述和分析图形学中出现的复杂形状，是形状和几何的综合科学。
它的本质是把复杂的形状分解成不同的形状元素，再利用数学中的手段将这些元素组合起来，以描述和揭示形状结构之间的联系。
数学形态学是一门基于计算机的学科，它使用计算机技术，通过对几何图形和形状的像素分析，捕捉形状中各种特征，分析不同形状间的关系，建立并匹配形状，以及重建和综合形状信息。
同时，它也旨在将计算机技术与形状分析结合起来，用于解决计算机的实际应用问题，如机器视觉和图像处理。
数学形态学广泛地应用于各种领域，如机器人系统，空间科学，图形学，地理和空间信息，甚至分子生物学等。
它还可以用于将几何图形可视化，以及应用于工程设计，以更直观的方式表示几何形状，并为设计者和设计家提供视觉上的参考。
数学形态学的研究不仅仅局限于几何图形，同时也研究自然现象中出现的结构，并尝试描述和表述自然界中出现的复杂形状。
从自然现象中抽象出来的形状，往往能够帮助科学家们更好地理解现象，并最终基于研究结果，为实际应用研发有效的算法或具备一定属性的形
状。
总的来说，数学形态学是一种立足于数学的研究领域，它涉及到多层次的形状分析，以及形状和空间之间的关系，研究和分析丰富多彩的形状属性。
它旨在更好地理解形状，并为许多实际问题提供解决方案，同时也为计算机视觉和机器人系统提供支撑及应用。
数字图像处理 数学形态学原理PPT
图 9—1 B1 击中X， B2 相离于X，B3 称之为元 素，元素常用小写字母 a, b, c, 表示，应注意的 是任何事物都不是空集的元素。
（3）平移转换： 设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是
a (a1 , a2 ),
b (b1 , b2 )
了A被B的腐蚀。
图9—4(d)画出了伸长的结构元素，图9—4(e)显示
了A被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀 成一条线了。
图 9—4 腐蚀操作的例子
c
膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶。也就是,
( A B ) A B
c c
(9—15)
关于上式的正确性可证明于下： 从腐蚀的定义可知：
开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，
去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。
设 A 是原始图像，B 是结构元素图像，则集
合A
被结构元素 B
作开运算，记为 AΟ B ，
其定义为：
A
B ( AB) B
(9—23)
换句话说，A 被 B 开运算就是A 被 B 腐蚀后 的结果再被B 膨胀。
设 A是原始图像，B 是结构元素图像，则集 合 A 被结构元素 B 作闭运算，记为 A B ，其 定义为：
(9—21)
( B C )A ( BA) (CA)
(9—22)
开运算（Opening）和闭运算(Closing)
如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。 另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开
运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，
去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与
(9—17)
③、递增性：
A B AC B C
数学形态学及其应用
数学形态学及其应用数学形态学及其应用数学形态学是一种数学方法和理论，最早由法国数学家乌戈尔·乔尔丹（Ugo Cerletti）在20世纪60年代提出。
它基于拓扑学、代数学和概率论等学科的基本原理，研究对象是图像和信号等离散数据的形状和结构，并利用数学统计的方法对它们进行分析和处理。
随着计算机技术的发展和应用需求的增加，数学形态学已经成为图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中的重要工具。
数学形态学的基本概念包括结构元素、腐蚀、膨胀、开运算和闭运算等。
结构元素是一个小的图像或信号，用来描述和刻画对象的特征。
腐蚀和膨胀是两种基本的形态学操作，它们可以对图像或信号进行形状的变化和结构的调整。
开运算和闭运算是由腐蚀和膨胀组合而成的操作，用来改善图像的质量和特征。
在数学形态学的基础上，还发展了很多衍生的操作和算法，如基本重建、灰度形态学和形态学滤波等。
数学形态学在图像处理中的应用非常广泛。
例如，在图像分割中，可以利用数学形态学的方法提取目标的边界和内部结构；在图像增强中，可以利用形态学处理方法去除图像中的噪声和不规则部分；在模式识别中，可以利用形态学算法提取和描述对象的特征；在计算机视觉中，可以利用形态学方法实现图像的匹配和配准等等。
数学形态学的应用不仅仅局限在图像领域，它还可以应用于信号处理、文本分析、医学影像等其他领域。
以图像分割为例，数学形态学可以通过结构元素的逐步腐蚀或膨胀操作来准确地提取目标的轮廓。
首先，选择合适的结构元素，使其大小和形状适应目标的尺寸和形态特征。
然后，通过不断的腐蚀操作，可以逐渐消除目标周围的无关细节，最终得到目标的边界。
类似地，通过不断的膨胀操作，可以填补和连接目标内部的空洞，并得到目标的内部结构。
通过这种方式，数学形态学可以实现对复杂图像的准确分割，为图像识别和分析提供了可靠的基础。
总之，数学形态学是一种重要的数学方法和理论，它在图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中具有广泛的应用和深远的意义。
灰度数学形态学
膨胀和腐蚀相对于函数的补（补函数）和 映射也是对偶的
( f b)c ( f
( f b)c ( f
c
ˆ b)
ˆ b)
c
补定义为 f c(x, y) = – f (x, y) 函数的映射定义为
ˆ b
(x, y) = b (–x, –y)
{P. 405，例15.2.6}
第15讲 章毓晋 (TH-EE-IE) 第12页
适用于理想斜面边缘
第15讲
章毓晋 (TH-EE-IE)
第9页
15.2.1 膨胀和腐蚀
2. 腐蚀
( s x ), ( t y ) D
f
( f b ) ( s , t ) min{ f ( s x , t y ) b ( x , y )
和 ( x, y ) Db }
Df 和Db分别是 f 和 b 的定义域 与2-D相关的形式很类似，区别是这里用最 小替换了相关中的求和/积分，用减法替换了相关 中的相 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 0 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 2 0 0
第15讲
章毓晋 (TH-EE-IE)
第16页
15.3 灰度形态学组合运算
1. 形态学梯度
g ( f b) ( f b)
背景估计和消除
闭合操作可将比背景暗且比结构元素尺寸 小的区域除去 选取合适的结构元素进行闭合可使图象中 仅剩下对背景的估计 从原始图中减去对背景的估计就可将目标 提取出来
背景估计 背景消除 f b （ f b ） f
第25页
第15讲
章毓晋 (TH-EE-IE)
数学的三种形态
数学的三种形态数学作为一门学科，具有广泛的应用和多样的形式。
在学习和应用数学的过程中，我们可以从它的三种形态中获得深刻的认识和启发。
这三种形态分别是：符号形态、几何形态和应用形态。
本文将分别介绍并探讨这三种形态，并阐述它们在数学学习和实践中的重要性。
一、符号形态符号形态是数学中最常见的形态之一，它使用符号、公式和方程式来表达数学概念和关系。
符号形态为我们提供了一种抽象和精确的表达方式，使我们能够进行精确的计算和推理。
在符号形态中，我们可以使用各种数学符号，如加减乘除符号、等号、不等号等，来表示数学关系和运算。
例如，我们可以使用方程式来表示线性关系、二次方程等。
符号形态的使用使得数学变得更加精确和规范，能够帮助我们解决各种数学问题。
二、几何形态几何形态是数学的另一种重要形态，它通过图形来表示和研究数学对象和关系。
几何形态将数学概念和图形相结合，通过几何图形的绘制、测量和推理，帮助我们理解和探索各种数学关系。
在几何形态中，我们可以使用各种几何图形和工具，如点、线、面、角等，来表示和研究数学对象和关系。
通过几何形态，我们可以直观地理解和推导各种数学定理和性质。
几何形态在解决实际问题和进行空间思维方面具有重要作用。
三、应用形态应用形态是数学与实际问题结合的形态，它将数学应用于实际问题的解决和分析。
应用形态涵盖了从物理、工程、经济等领域的实际问题到数学建模和求解的过程。
在应用形态中，我们将数学的概念、原理和方法应用于实际问题，通过建立数学模型并进行计算和分析，来解决实际问题。
应用形态要求我们将抽象的数学概念和具体的实际问题相结合，需要我们具备一定的数学和实际领域的知识。
总结数学的三种形态，即符号形态、几何形态和应用形态，各具特点和重要性。
符号形态通过符号、公式和方程式来表达数学概念和关系，提供了精确和抽象的表达方式；几何形态通过几何图形来研究和理解数学对象和关系，具有直观和直观的特点；应用形态将数学应用于实际问题的求解和分析，需要将数学与实际问题相结合。
数学形态学细化
数学形态学细化数学形态学细化是一种广泛应用于数字图像处理领域的技术。
通过对图像的不断分析与细化，进而提高图像的分辨率与质量，使得图像更加清晰，信息更加丰富。
该技术的应用可以追溯到20世纪70年代，之后逐渐发展完善。
现如今，数学形态学细化被广泛应用于医学图像处理，机器视觉等领域。
接下来我们将从步骤、应用等方面详细介绍该技术。
一、步骤1. 图像预处理：包括图像去噪、二值化等步骤。
2. 边缘提取：提取出图像中的轮廓、边缘等特征。
常用的边缘提取算法包括Canny、Sobel等算法。
3. 描述算法：对图像的特征进行描述和分类，或者叫特征提取。
能够科学而且全面途径，描述和特征提取也许并不容易，这个根据不同情况而定。
4. 形态学模板匹配：将图像中的目标物体与特定模板进行匹配，该步骤需要利用形态学中的膨胀、腐蚀等操作。
5. 形态学细化：在利用形态学模板匹配的基础上，不断去除掉图像中多余的像素点，形成更加细致的图像显示。
二、应用1. 数字图像处理：数学形态学细化是数字图像处理中不可或缺的一项技术。
应用在军事、空间探测等领域。
2. 医学图像处理：医学图像处理领域越来越重要了，如CT、MRI 等影像技术应用范围广，生产出多样化的影像资料，数学形态学细化可以更好的应用在血管图像的细化中，有利于医生更好的观察病人血管病情。
3. 计算机视觉：数学形态学细化常常应用于机器视觉中。
例如，可以使用形态学细化算法对机器视觉中抓取物品的图像进行处理，以便更准确地分析其特征和属性。
总之，数学形态学细化这项技术在数字图像处理、医学、机器视觉等领域都有广泛的应用。
通过不断升级、改进，它将为人工智能等新兴领域打下坚实的基础。
数学形态学
三：基本概念
集合关系：设 A 和 B 为R2的子集，A 为物体区域， B为某种结构元素，则 B 结构单元对 A 的关系有三类：
a) B 包含于A,
B⊂ A b) B 击中（hit）A, B I A! = Φ c) B 击不中(miss)A， BI A=Φ
A B A B A B
图2 包含、击中和击不中示意图
板,则 A B 由在平移模板的过程 中,所有可以添入 A 内部的模板 的原点组成.
A
A B B
腐蚀类似于收缩
一般,如果坐标 原点在结构元素内部, 则腐蚀后的图像为输 入图像的子集;如果 坐标原点不在结构元 素的内部,则腐蚀后 的图像可能不在输入 图像的内部，但输出 形状不变.
A
A B
B
腐蚀不是输入图像的子图像
THE END
谢谢大家
( f Θg )( x) = max{ y : g x + y << f }
其中 g x 表示在点x处的结构元素，y 表示腐蚀值
g
f
fΘg
t
0.5
t
利用半圆形结构元素的腐蚀
从几何学角度看，求图像被结构元素在点x腐蚀的 结果，就是在空间滑动结构元素，是结构元素的原点与 点x重合，然后从负无穷大向上推结构元素，对结构元 素仍处于图像下方所能达到的最大值是结构元素的原点 做标记，该标记点为该点腐蚀结果。其效果相当于半圆 形结构元素在被腐蚀函数的下面“滑动”时，其圆心画 出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结构元素 必须在函数曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形 结构元素从函数的下面对函数产生滤波作用，这与圆盘 从内部对二值图像滤波的情况是相似的。
平移：将一个集合A平移距离x可以表示为A+x，其定义 为：
图像处理中的数学形态学算法在车牌识别中的应用
图像处理中的数学形态学算法在车牌识别中的应用随着车辆数量的不断增加，车牌识别技术在交通管理、安防监控、停车场管理等领域中扮演着重要的角色。
而在车牌识别技术中，数学形态学算法作为一种重要的图像处理工具，具有很高的应用价值。
本文将重点探讨数学形态学算法在车牌识别中的应用，以及其在该领域中的优势和挑战。
一、数学形态学算法简介数学形态学算法是一种基于形状和结构分析的图像处理方法，其基本原理是利用集合论中的膨胀和腐蚀运算来分析图像中的形状和结构特征。
其中，膨胀操作可以扩张图像中的目标物体，而腐蚀操作可以收缩图像中的目标物体。
这些基本的形态学操作可以通过组合和重复应用来提取图像中的目标物体，并进行形状分析和特征提取。
二、数学形态学算法在车牌识别中的应用1. 车牌定位车牌识别的第一步是车牌的定位，即从整个图像中准确定位车牌的位置。
数学形态学算法可以通过腐蚀和膨胀操作来消除图像中的噪声，提取出车牌的边界信息。
通过应用腐蚀和膨胀操作，可以得到一系列形状和尺寸各异的区域，而其中包含车牌的区域往往具有明显的矩形或正方形特征。
因此，通过对这些区域进行形态学分析和筛选，可以有效地定位车牌的位置。
2. 车牌字符分割车牌字符分割是车牌识别的关键步骤之一，其中车牌上的字符需要被正确分割出来以方便后续的字符识别。
数学形态学算法可以通过腐蚀和膨胀操作来分离车牌上的字符，消除字符之间的干扰。
通过应用腐蚀操作，可以收缩车牌上的字符区域，使得字符之间的间隔增大；而通过应用膨胀操作，则可以扩张字符区域，使得字符之间的间隔变小。
通过选择合适的腐蚀和膨胀操作的组合方式，可以有效地实现车牌字符的分割。
3. 车牌字符识别车牌字符识别是车牌识别的最后一步，其中车牌上的字符需要被分析和识别出来。
数学形态学算法可以通过应用开运算和闭运算操作来修复和增强字符区域的形态特征，从而提高字符识别的准确性。
开运算可以消除字符区域之外的噪声，平滑字符区域的边界；而闭运算则可以填充字符区域中的空洞，增强字符区域的连通性。
数学形态学
+ +
+ + +
+
+
解：腐蚀结果如图(d)所示。阴影部分中，蓝色部 分表示腐蚀掉消失部分；红色部分表示为腐蚀后留 下的部分。 则图(d)红色部分就为集合A S,且A SA 。
例7：原点不包含在结构元素中时的腐蚀运算 当原点不属于结构元素S时，腐蚀结果A SA。 图(a)中阴影部分为集合A。图(b)中阴影部分为结构 元素S(标有“+”处为结构元素的参考点，参考点不 在结构元素S中)。求用结构元素S腐蚀A所得的集合。
用结构元素S腐蚀X的文字描述为：
用结构元素S来腐蚀X得到的集合为：结构元素S 平移x后完全包括在集合X中时结构元素S的参考 点位置的集合。
例3：腐蚀运算示例 图(a)中阴影部分为集合A。白色部分代表灰度值为 低(一般为0)区域。图(b)中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点)。 求用结构元素S来腐蚀A所得到的集合。
S ( X ) s
s S
文字描述为：集合X中的每一项按照sS中的每一 项进行负位移后与集合X交集的结果。
例10：用位移运算实现膨胀示例：
图(a)中阴影部分为集合A。图(b)中阴影部分为结构 元素S。求用结构元素S对集合A用位移运算实现膨胀 所得的集合。
解：先对集合A以结构元素S中参考点右边结构元素 点进行位移，如图(c)中红色部分所示。
主要内容：
数学形态学的基本概念 二值图像的数学形态学 灰度图像的数学形态学
9.1 引言
一、基本符号和术语：
1、集合和元素： 集合：对于一些可区别客体，有共同特征的客体的 全体称为集合(或集) 。 元素：组成集合的各个客体，称为该集合的元素。