数理方程第二章(1)

二、解的物理意义
初位相
角频率
⑴弦上各点的角频率 和初位相 有波形的传播现象。 ⑵弦上各点振幅 在 在
都相同，因而没 节点 腹点
因点而异 处，振幅永远为0 处，振幅最大,为 N n
特点
u( x, t ) = ∑∞ 1un( x, t ) n=
u(x,t )是由无穷多个振幅、角频率、初位相各不
相同的驻波叠加而成。 n＝1的驻波称为基波, ＝ n>1 >1的驻波叫做n次谐波。 >1
第二类边界条件
解：令
,得 化简:
引入参数 得
分离变量：
(i)
时，
由边值条件
得C1 =C 2=0 从而
，无意义
(ii) (iii)
时, 时,
,
由边值条件
由边值条件 则 从而 而
特征值 特征函数
T 的方程
其解为
所以
故
代入初始条件:
将
展开为傅立叶余弦级数，比较系数得
nπat nπat nπ x u( x, t ) = A0 + B0t + ∑( An cos )cos + Bn sin l l l n=1
nπ at u( x, t ) = ∑( A cos l n n=1
∞
nπ at nπ x + Bn sin l )sin l
由上页给出。 其中 An 和 Bn 由上页给出。 由叠加原理，如果上式右端的无穷级数是收敛的， 由叠加原理，如果上式右端的无穷级数是收敛的， 能逐项微分两次， 并且关于 x，t 能逐项微分两次，则和式 u(x,t) 确 (2.1)的解（ 实是问题(2.1) (2.3)的解 经典解） 实是问题(2.1)-(2.3)的解（经典解）。
若 f ( x) 满足一定条件，则 a0 ∞ f ( x) = + ∑ (an cos nx + bn sin nx), 2 n =1
其中 an = bn =
∫ π f ( x) cos nxdx, π
−
1
π
n = 0,1, 2,L , n = 1, 2,L.
∫ π f ( x) sin nxdx, π
sin nπ x , l 或直 接 根 据 n = 1,2,... 的正 交 性去 计 算
∫
sin nπ x sin mπ x dx l l 0
l
=
∫0 sin nt sin mt dt π
l π
0, n ≠ m , m , n 为自然数 =l 2 , n = m.
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
∑c
i =1
∞
i
fi
其中要求级数收敛，且满足“L 中出现的求导与求和可交 其中要求级数收敛，且满足“ 的条件。 换”的条件。
Sturm-Liouville 理论
P ( x ) y′′ − q( x ) y′ + λρ ( x ) y = 0 (a < x < b )
的特征值问题( 的特征值问题(§2.6) 二阶线性齐次常系数常微分方程 对于 y′′ + py′ + qy = 0 ( p, q 是常数 )
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
条件：若在区间 条件 则无穷级数解
上，
，且
为混合问题(2.1)-(2.3)的经典解, 其中 如果(*)定义的函数 不具备经典解的要求， 如果 定义的函数 u(x,t)不具备经典解的要求，则 不具备经典解的要求 的形式解。 称为问题(2.1)-(2.3)的形式解。 称为问题
注1: 本书不讨论所求形式解是否满足经典解要求 的条件，只要求得了形式解 形式解， 的条件，只要求得了形式解，就认为定解问题得 到了解决。 到了解决。 注2: 用分离变量法求解定解问题的关键是确定 用分离变量法求解定解问题的关键是确定 特征函数和运用叠加原理，这些运算能够进行, 特征函数和运用叠加原理，这些运算能够进行, 是因为方程以及边界条件都是齐次的 都是齐次 是因为方程以及边界条件都是齐次的。
解：
u ( x , t ) = ∑ (C n cos naπ t + Dn sin naπ t )sin nπ x
n =1 ∞
其中
0, n ≠ 2 C n = 2 ∫ sin 2π x sin Leabharlann Baiduπ xdx = , 0 1, n = 2
1
2 Dn = naπ
∫
1
0
1 − ( −1) n . x ( 1 − x ) sin nπ xdx = 4 nπ ) a (
(3) p 2 − 4q < 0 时，设 λ1 = α + i β , λ2 = α − i β , 则
y = eα x (C1 cos β x + C 2 sin β x ).
§2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定弦的自由振动. 研究两端固定弦的自由振动. 定解问题为：
∂ 2u ∂ 2u 2 − a 2 2 = 0, 0 < x < l , t > 0 ∂x ∂t t>0 u x = 0 = 0, u x = l = 0, u = ϕ ( x ), ∂u = ψ ( x ), 0 ≤ x ≤ l t =0 ∂t t = 0
特点：方程和边界条件都是线性齐次的. 特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
当 n 为偶数， 0, = 4 5n 3π 3 , 当 n 为奇数。
因此，所求的解为： 因此，所求的解为：
u( x , t ) = 4
3
5π n= 0 ( 2n + 1)
∑
∞
1
3
( 2n + 1) π sin
10
x cos10 ( 2n + 1) π t
例2：研究两端为自由端的棒的自由振动问题。
4
课后作业 P52 习题二 1. 2.
问题： 如何求定义在 [0,l ] 上的函数 f ( x) 的 傅里叶级数？
方法： 根据需要，将 f ( x) 的定义域拓展到 [−l , l ] : 若展开成正弦级数，进行奇延拓；若展开成余弦 级数，进行偶延拓。然后将延拓后函数的傅里叶 级数限制到 [0,l ] 即可。
将 得
展开为Fourier正弦级数，比较系数
−
1
π
两种推广
1. f ( x) 为 [−l , l ] (l ≠ π ) 上可积的以 2l 为周期的函数。
方法： 做变量代换 y =
计算可得
π
l
x， y ∈ [−π , π ]. 则
a0 ∞ nπ nπ f ( x) = + ∑ (an cos x + bn sin x), 2 n =1 l l
理论基础: 理论基础
叠加原理 是线性微分算子， 满足线性方程（ 设 L 是线性微分算子，若 ui 满足线性方程（或 线性定解条件） 线性定解条件）
Lui = f i ,
( i = 1,2,L , n,L)
则它们的线性组合 u =
∑c u
i =1 i
∞
i
必满足方程（或定解条件） 必满足方程（或定解条件） Lu =
则 ⑤ 特征值问题
参数 λ 称为特征值；
称为特征函数； 相应的非零解 X(x) 称为特征函数； 特征函数 分三种情形讨论特征值问题的求解： 分三种情形讨论特征值问题的求解：
(i)
方程通解为
由边值条件得：
C1 =C 2=0 从而
(ii) 时，通解
，
无意义.
由边值条件 无意义
(iii）
时，通解
由边值条件：
得 故 即： 而
从而
再求解T： 其解为 所以
两端 固定 弦的 特征 振动
未必满足初始条件(2.3) 未必满足初始条件(2.3) 受叠加原理启发， 受叠加原理启发，
………………...⑥ ⑥ 代入初始条件得：
补充：傅立叶 补充：傅立叶(Fourier)级数 级数
三角函数系{1, cos x,sin x, cos 2 x,sin 2 x,L , cos nx,sin nx,L} 在 [−π , π ] 上正交：
1 l nπ 其中 an = ∫ f ( x) cos xdx, n = 0,1, 2,L , l −l l 1 l nπ bn = ∫ f ( x) sin xdx, n = 1, 2,L. −l l l
2. 正弦级数与余弦级数。
若 f ( x) 是 [−l , l ] 上的奇函数， 则其傅立叶级数 只含正弦函数项；若 f ( x) 是 [−l , l ] 上的偶函数， 则其傅立叶级数只含余弦函数项。
第二章 分离变量法
在微积分学中， 在微积分学中，多元函数的微分和 重积分经常要转化为一元函数的相应问 题来计算，例如偏导数、累次积分等。 题来计算，例如偏导数、累次积分等。 类似地， 类似地，偏微分方程的定解问题的常用 解法是设法转化为常微分方程的定解问 下面介绍的分离变量法 分离变量法就是这样一 题。下面介绍的分离变量法就是这样一 种转化的方法。 种转化的方法。
常微分 → 解 2 偏微分 特征解（解 2 × 解 1 ） 常微分 → 方 程2 方 程 特征解（ 分离 方 程1 → 解1 齐次边 变量 → 条 件（特征函数） 特征函数） 界条件 特征值问题） （特征值问题）
分离 变量
所求解＝ 所求解＝∑特征解
∞
求下列定解问题的解： 练习 求下列定解问题的解：
2 ∂ 2u 2∂ u , 0 < x < 1, t > 0; 2 =a ∂t ∂x 2 u | x = 0 = u | x =1 = 0; ∂u u |t = 0 = sin 2π x , |t = 0 = x ( 1 − x ) . ∂t
特征值
分离变量法图解
例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速
( ) 为零，初位移为 φ (x ) = x 10 − x ，求弦做微小横向振
1000
动时的位移，其中 a 2 = 10000 与弦的材料和张力 有关 . 解 设位移函数为 u ( x, t )，则需要求解下列定解问题
∂ 2u ∂ 2u 2 = 10000 2 , 0 < x < 10, t > 0; ∂x ∂t u | x = 0 = u | x =10 = 0; u | = x ( 10 − x ) , ∂u | = 0. t =o 1000 ∂t t = 0
u ( x , t ) = A ( t ) sin ω x
设 方程得
且
不恒为零， 不恒为零，代入 ①
由
不恒为零，有：
这个式子的左端是x的函数 这个式子的左端是 的函数, 的函数 右端是t的函数 何时恒等？ 的函数， 右端是 的函数，何时恒等？
②
….. ..…….. ③ .. ..
思考：先解哪一个方程？ 思考：先解哪一个方程？ 利用边界条件 ④ ④