一次函数拔高讲义
一次函数全章提升讲义
本次课课堂教学内容一．学习目标1.理解一次函数的概念，理解一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的关系；2.能正确画出一次函数y=kx+b的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题；3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题。
二、要点梳理要点一、一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.y=kx （k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k叫做比例系数.要点诠释：当b＝0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线：当b＞0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向上平移b个单位长度得到的；当b＜0时，直线y=kx+b是由直线y=kx向下平移|b|个单位长度得到的.2.一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与性质：正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y=kx+b 的图象和性质的影响：k 决定直线y=kx+b 从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y=kx+b 经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 三、课上例题3 例题1、（1）已知直线(0)y kx b k =+≠，与直线2y x =平行，且与y 轴的交点是（0，2-），则直线解析式为___________________．（2）若直线(0)y kx b k =+≠与31y x =+平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．★举一反三【变式1】一次函数交y 轴于点A （0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点(1,0)A -，(2,3)B -，在y轴上求作一点P，使AP＋BP最短，并求出点P的坐标.例例2例甲、乙两台机器共同加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率．从工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作6小时．甲、乙两台机器各自加工的零件个数y （个）与加工时间x （时）之间的函数图象分别为折线OA ﹣AB 与折线OC ﹣CD ．如图所示．（1）求甲机器改变工作效率前每小时加工零件的个数． （2）求乙机器改变工作效率后y 与x 之间的函数关系式． （3）求这批零件的总个数．例例3例（2016•呼和浩特）已知一次函数y=kx +b ﹣x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为（ ）A ．k ＞1，b ＜0B ．k ＞1，b ＞0C ．k ＞0，b ＞0D ．k ＞0，b ＜0 ★举一反三【变式1】直线1l ：=+y kx b 与直线2l ：=+y bx k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）．A ．B ．C ．D ．【变式2】直线1l 和直线2l 在同一直角坐标系中的位置如图所示．点11(,)P x y 在直线1l 上，点333(,)P x y 在直线2l 上，点222(,)P x y 为直线1l 、2l 的交点．其中21x x <，23x x <则（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y << 【变式3】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点（1x ，1y ），且1x 1y ＜0，1x ＋1y ＞0，那么t 的取值范围是（ ） A. t ＜12 B ．t ＞12 C ．t ＜12或t ＞12D ．不确定例例4例已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且3OA OB =，求点A 的坐标．本次课课后练习一.选择题1. 如果一次函数当自变量x 的取值范围是13x -<<时，函数值y 的取值范围是26y -<<，那么此函数的解析式是（ ）．A ．2y x =B ．24y x =-+C ．2y x =或24y x =-+D ．2y x =-或24y x =-2. 已知正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y k x =-的图象大致是（ ）．3．已知函数y kx b =+的图象不经过第二象限，那么k 、b 一定满足（ ） A ．k ＞0，b ＜0B ．k ＜0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＞0，b ≤04．正比例函数(12)y m x =-的图象过点11(,)A x y 和点22(,)B x y ，且当12x x <时，12y y >，则m 的取值范围是（ ）． A ．0m < B ．0m > C ．12m <D ．12m > 5．如图所示，直线1l ：y ax b =+和2l ：y bx a =-在同一坐标系中的图象大致是（ ）6.（2016•江西校级模拟）设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=kx+2（1-x ），当1≤x ≤2时的最大值是（ ） A ．2-2 B ．-1 C ．D ．+1二.填空题7．若函数21||3122y m x x m ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭为正比例函数，则m 的值为________；若此函数为一次函数，则m 的值为________．8. 已知一次函数2y x a =-与3y x b =-的图像交于x 轴上原点外的一点，则a b＝______.9.直线y=（a ﹣2）x+b ﹣3在直角坐标系中的图象如图所示，化简|b ﹣a|﹣﹣|2﹣a|=．10. （2016•荆州）若点M （k ﹣1，k +1）关于y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k ﹣1）x +k 的图象不经过第 象限．11.已知直线122y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P （m ，－1）为坐标系内一动点，若△ABP 面积为1，则m 的值为____________________________.k k k k12. 如图, 直线443y x =- 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点, 把△AOB以x 轴为对称轴翻折， 再将翻折后的三角形绕点A顺时针旋转90°, 得到△'''AO B ，则点''B 的坐标是 ____.三.解答题13.在平面直角坐标系xOy 中，将直线kx y =沿y 轴向上平移2个单位后得到直线l ，已知l 经过点A （－4, 0）． （1）求直线l 的解析式；（2）设直线l 与y 轴交于点B ，点P 在坐标轴上，△ABP 与△ABO 的面积之间满足12ABP ABO S S ∆∆=, 求P 的坐标． 14. 已知：如图，平面直角坐标系中，A （ 1，0），B （0，1），C （－1，0），过点C 的直线绕C 旋转，交y 轴于点D ，交线段AB 于点E. （1）求∠OAB 的度数及直线AB 的解析式；（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，①求直线CE 的解析式；②若y 轴上的一点P 满足∠APE ＝45°，请直接写出点P 的坐标.15.甲、乙两车从A 地出发沿同一路线驶向B 地，甲车先出发匀速驶向B 地．40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B 地．甲乙两车距A 地的路程y （千米）与乙车行驶时间x （小时）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出a 的值，并求甲车的速度；（2）求图中线段EF 所表示的y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （3）乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案．。
八年级数学同步拔高班第11讲《一次函数与几何综合》讲义
第十一讲 一次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛1．一次函数y=kx+b （k≠0），k 表示倾斜程度，k 是坡面地铅直高度与水平宽度地比(也叫坡度或坡比)，如图所示AM 即为_________，BM 即为________，则=AM k BM．2．设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1 l2； ②若k1·k2= ________，则直线l1 l2．3．“一次函数与几何综合”解题思路：⑤④③②①几何图形一次函数坐标①____________________________________________________②____________________________________________________③____________________________________________________④____________________________________________________⑤____________________________________________________二、精讲精练BA M1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为________．第1题图第2题图2.如图，直线l1交x轴，y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1 l2；若直线l1，l2地斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．3.如图，已知直线l：y=3x-x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA地表达式为_________．第3题图第4题图4.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC在x轴上，直线y=kx-1平分梯形ABCD地面积，已知A（4，2），则k= ．5.已知：直线y=mx-3，y随x增大而减小，且与直线x=1，x=3，x轴围成地面积为8，则m地值为____________．6.如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A ，B 地坐标分别为（1，0），（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x-6上时，线段BC 扫过地面积为( )A ．4B ．8C ．16D．第6题图 第7题图7.如图，已知直线l1：y=2833x 与直线l2：y=-2x+16相交于点C ，直线l1，l2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 地顶点D ，E 分别在l1，l2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG ：S △ABC=_________．8.直线AB ：y=-x+b 分别与x 轴，y 轴交于A （6，0），B两点，过点B地直线交x轴负半轴于C，且OB:OC=3:1．(1)求直线BC地解读式．(2)直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样地直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k地值；若不存在，说明理由．(3)如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，求K点坐标．三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
第8讲 一次函数--提高班 (1)
第8讲一次函数知识点1 一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.正比例函数也是一次函数，是一次函数的特殊形式.【典例】1.下列函数：①y=πx；②y=2x﹣1；③y=5x；④y=3x-3（x-5）；⑤y=x2﹣1；⑥y=（x+1）（x-1）-x2﹣2x；⑦y=32x1x中，是一次函数的有________________.【方法总结】本题主要考查了一次函数的定义，一个函数为一次函数的条件是：①能化成形如y=kx+b 的形式；②k、b为常数，k≠0.注意：①未知数的次数为1，且不能出现在分母的位置；②正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数.2.已知y=（m﹣3）x|m|﹣2+1是一次函数，则m的值是__________.【方法总结】一次函数y=kx+b满足：①k、b为常数；②k≠0；③自变量次数为1，由此可得答案．牢记一次函数的定义，掌握判定一个函数是一次函数需要满足的条件是解题的关键.【随堂练习】1．（2019秋•南浔区期末）下列一次函数中，常数项是3的是（）A．y＝x﹣3B．y＝x+3C．y＝3x D．y＝﹣3x2．（2020•阳谷县校级模拟）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．±23．（2020春•滨州期中）一次函数y＝（m﹣2）x n﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（）A．m≠2且n＝2B．m＝2且n＝2C．m≠2且n＝1D．m＝2且n＝14．（2019秋•新都区期末）若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±1B．﹣1C．1D．25．（2020春•肇州县期末）若函数y＝（m+1）x|m|+2是一次函数，则m的值为（）A．m＝±1B．m＝﹣1C．m＝1D．m≠﹣1知识点2 一次函数的图像，0）的直线，一次函数y＝kx 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点（0，b）、（−bk＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.画一次函数图像的步骤：①列表：任意找函数图像上两个点的坐标，一般为与x轴和与y 轴的交点；②描点：在直角坐标系中描出两个点；③连线：过两个点作直线.所作的直线即为一次函数的图像.【典例】1.通过列表、描点、连线作出一次函数y=x﹣2的图象.【方法总结】本题考查了一次函数的图象作法，熟练掌握作一次函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线，是解题的关键．做一次函数图像的理论依据：两点确定一条直线.【随堂练习】1．（2020春•九龙坡区校级期末）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝kbx+k的大致图象是（）A．B．C．D．2．（2019秋•九龙坡区校级期末）若k＞4，则一次函数y＝（4﹣k）x+k﹣4的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2020•南京一模）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣2kx﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．4．（2019秋•裕安区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示y＜0的取值范围是（）A．x＜3B．x＞0C．x＜2D．x＞25．（2019秋•宿松县期末）关于x的一次函数y＝kx+k的图象可能是（）A．B．C．D．知识点3 一次函数的性质一次函数y ＝kx ＋b 的性质1．增减性⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，y 随x 的增大而增大k ＜0，y 随x 的增大而减小2．图象所过象限⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，b ＞0：第一、二、三象限k ＞0，b ＜0：第一、三、四象限k ＜0，b ＞0：第一、二、四象限k ＜0，b ＜0：第二、三、四象限3．倾斜度⎩⎪⎨⎪⎧|k|越大，直线越接近y 轴|k|越小，直线越远离y 轴【典例】1.直线y=kx+k （k≠0）一定经过第__________象限.【方法总结】题目中没有给出k 值的正负，所以要分情况讨论.分别求出k>0和k<0时直线所经过的象限，然后找出公共的象限，即所求答案.本题考查了一次函数 y=kx+b(k ，b 是常数，k≠0)的图象与k ，b 的关系，注意：k ＞0，函数图象经过第一、三象限；k<0，函数图象经过二、四象限．2.两条直线y 1=ax+b 与y 2=bx+a （a≠0，b≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.【方法总结】先假设选项中的一条直线的图像准确，则由图像经过的象限可得a 与b 的符号，从而可判断出另一条直线的图像所经过的象限，再与选项所给图形作对比即可判断该选项的正误. 根据k ，b 的正负，判定一次函数y ＝kx ＋b 图象所过象限：①k＞0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、三象限；②k＞0，b＜0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、三、四象限；③k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第一、二、四象限；④k＜0，b＞0，一次函数y＝kx＋b图象过第二、三、四象限；3.一次函数y=（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是________________________.【方法总结】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m的不等式组，解不等式组即可．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．直线经过一、三象限时，k＞0时；直线经过二、四象限时，k＜0.直线与y轴正半轴相交时，b ＞0；直线过原点时，b=0；直线与y轴负半轴相交时，b＜0.【随堂练习】1．（2020春•德阳期末）下列函数中y随x的增大而增大，且图象与x轴交点在y轴左侧的是（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x+1C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x﹣12．（2019秋•高明区期末）已知一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小，且b＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A．B．C ．D ．3．（2019秋•瑶海区期末）对于一次函数y ＝x +2，下列结论错误的是（ ） A ．函数值随自变量增大而增大 B ．函数图象与x 轴交点坐标是（0，2） C ．函数图象与x 轴正方向成45°角 D ．函数图象不经过第四象限知识点4 两直线的位置与k 、b 值的关系同一直角坐标系内，两条直线l 1：y 1＝k 1x ＋b 1与l 2：y 2＝k 2x ＋b 2的位置关系：位置关系⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2时，l 1与l 2平行k 1≠k 2时，l 1与l 2相交k 1·k 2＝－1时，l 1与l 2垂直k 1＝k 2，b 1＝b 2时，l 1与l 2重合平移前后的两条直线互相平行，他们的解析式k 值相同， b 值不同．【典例】1.已知直线l ：y=﹣12x+1，请分别写出一条与直线l 互相平行、互相垂直的直线的解析式：______________，_______________.【方法总结】两直线平行，则k 值相等，b 值不相等；两直线垂直，则k 值的乘积为-1.对于后者初中阶段不做研究，但经常用到，方便解题，要求记住结论并能运用.【随堂练习】1．（2020春•湖里区校级期末）关于函数y ＝﹣2x ﹣2有下列结论，其中正确的是（ ） A ．图象经过（﹣1，1）点B．若A（﹣2，y1）、B（1，y2）在图象上，则y1＜y2C．图象向上平移1个单位长度得解析式为y＝﹣2x﹣1D．当x＞1时，y＞02．（2020•邵阳）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx （k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．（2020•成都模拟）在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣2x的图象沿y轴负方向平移4个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）D．（0，﹣4）4．（2020•碑林区校级二模）将直线L：y＝x﹣1向左平移4个单位长度得到直线L，则直线L的解析式为（）A．y＝x+1B．y＝x+2C．y＝x+3D．y＝﹣x+1综合运用1.直线y=kx+3与y=3x+k在同一坐标系内，其位置可能是（）A．B．C．D．2.下列函数：①y=﹣2x，②y=﹣3x2+1，③y=1x﹣2，④y=（x+3）（x+2）- x2，其中一次函数3的个数为_______.3.若函数y=(m−2)x m2−3+4是一次函数，则m的值为______________.x+1,则两条直线的位置关系为___________；若一条直线4.已知直线l1：y=2x+1，l2：y＝−12与l1平行，则该直线的未知数的系数为_____________.5. 已知一次函数y=kx﹣3中y随x的增大而增大，那么它的图象不经过第_____象限.6.一次函数y=（m﹣2）x+3的图象如图所示，则m的取值范围是___________.x−3，下列结论中正确的是_____________________.7.关于函数y=12①函数图象经过点（1，﹣2）；②函数图象经过一、三、四象限；③y随x的增大而增大．8. 画出一次函数y=2x﹣1的图象．。
八年级数学一次函数综合提高通用版知识精讲
初二数学一次函数综合提高通用版【本讲主要内容】一次函数综合提高 1. 本章知识网络2. 解决函数问题中的数学思想方法3. 一次函数在实际生活中的应用【知识掌握】 【知识点精析】一、本章知识网络二、解决一次函数问题中的数学思想方法1. 用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想和转化思想解决一次函数问题2. 用函数观点看方程（组）与不等式3. 用待定系数法求函数解析式三、一次函数在国情国策、环保生态、市场决策、经济核算、生产生活中有着广泛的应用【解题方法指导】例1. 已知一次函数)4n (x )m 36(y -++=，求：（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小；（2）m 、n 满足什么条件时，函数图象与y 轴交点在x 轴下方； （3）m 、n 满足什么条件时，函数图象不经过第二象限. 解：（1）当6+3m<0，即：m<－2时，y 随x 的增大而减小；（2）当0m 36≠+，04n <-，即：4n 2m <-≠，时，函数图象与y 轴交点在x 轴下方；（3）当04n 0m 36<->+，，即：4n 2m <->，时，函数图像不经过第二象限.点评：解本题要熟练掌握一次函数解析式b kx y +=中，k 、b 与它的图象之间的关系，并注意它的隐含条件：k ≠0.学生做此类题时，可结合题意先画草图，再进行分析，这种解题的思想叫数形结合思想.例2. （2003年某某省黄冈市中考题）（2003年某某省黄冈市中考题）选择题：某公司员工分别住在A ，B ，C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在同一条直线上，位置如图所示.该公司的接送车打算在此间只设一个停靠站，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）A. A 区B. B 区C. C 区D. A 、B 两区之间解：如图所示，设停靠点P 到A 区的距离为x 米，（300x 0≤≤），则P 点到B 区的距离为|100x |-米，P 点到C 区的距离为)x 200100(-+米，根据题意，得所有员工步行到停靠点P 的路程之和为。
八年级数学同步拔高班第十四讲《一次函数应用题》讲义
第十四讲 一次函数应用题（讲义）一、 知识点睛1. 理解题意，结合图象依次分析_____________的实际意义，把函数图象与_____________对应起来；2. 利用____________解决问题，关注k 、b 以及特殊点坐标；3. 结合实际场景解释所求结果．二、 精讲精练1. 一辆快车和一辆慢车分别从A ，B 两站同时出发，相向而行．快车到达B 站后，停留1小时，然后原路原速返回A 站，慢车到达A 站即停运休息．下图表示的是两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的函数图象．请结合图象信息，解答下列问题：（1）直接写出快、慢两车的速度及A ，B 两站间的距离； （2） 求快车从B 站返回A 站时，y 与x 之间的函数关系式； （3）出发几小时，两车相距200千米？请直接写出答案．C800P (11，880)211511106D HQEOx (h)y (km)2. 某加油站九月份某种油品的销售利润y （万元）与销售量x（万升）之间的函数图象如图中折线所示，该加油站截止至13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元（销售利润=（售价-成本价）×销售量），九月份的销售记录如下：请你根据图象及加油站九月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元； （2）求出线段BC 所对应的函数关系式．九月份销售记录：1日：有库存6万升，成本价6.1元/升，售价7.1元/升． 13日：售价调整为7.6元/升． 15日：进油4万升，成本价6.6元/升． 30日：本月共销售10万升． Ox (万升)y (万元)CB A 1045.5BCD A Ex (分钟)y (厘米)O2641412193. 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图2中折线ABC 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B 的纵坐标表示的实际意义是 ．（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积．（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），求甲槽底面积（直接写结果）．乙槽甲槽图1图2O y(万件)x(元/件)y1=-x+70y2=2x-384.2012年夏，北京发生特大暴雨灾害，受其影响，某药品的需求量急增．如图所示，平常对某种药品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=-x+70，y2=2x-38，需求量为0时，即停止供应．当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？（3）由于灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量．5. 教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y （升）与放水时间x （分钟）的函数关系如图所示： （1）求饮水机的存水量y （升）与放水时间x （分钟） （x ≥2）的函数关系式．（2）如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？ （3）按（2）的放法，在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水？三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________18122817x (分钟)y (升)O。
第6讲 一次函数--提高班 (2)
第6讲 一次函数⎧⎪⎨⎪⎩正比例函数一次函数一次函数一次函数与方程、不等式的关系知识点1 正比例函数1.正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为12.正比例函数的图象和性质当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴【典例】1.已知正比例函数y=（m+2）x 中，y 的值随x 的增大而增大，而正比例函数y=（2m ﹣3）x ，y 的值随x 的增大而减小，且m 为整数，你能求出m 的可能值吗？为什么？【解析】解：m 的可能值为﹣1，0，1．理由如下：∵正比例函数y=（m+2）x 中，y 的值随x 的增大而增大，∴m+2＞0，解得m＞﹣2．∵正比例函数y=（2m﹣3）x，y的值随x的增大而减小，∴2m﹣3＜0，解得m＜3．2∵m为整数，∴m的可能值为﹣1，0，1．【方法总结】正比例函数的比例系数k决定函数图象和性质，三者知道其中一个条件便可以得出其他两个结论，如k大于0，便可得出图象过一三象限，y随x的增大而增大．【随堂练习】1．（2017春•上杭县期末）函数y=3x的图象经过（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限【解答】解：∵y=3x，3＞0，∴函数y=3x经过第一、三象限且经过原点，故选：A．2．（2018春•花都区期末）关于函数y=2x，下列说法错误的是（）A．它是正比例函数B．图象经过（1，2）C．图象经过一、三象限D．当x＞0，y＜0【解答】解：关于函数y=2x，A、它是正比例函数，说法正确，不合题意；B、当x=1时，y=2，图象经过（1，2），说法正确，不合题意；C、图象经过一、三象限，说法正确，不合题意；D、当x＞0时，y＞0，说法错误，符合题意；故选：D．知识点2 一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量．当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数．（1）一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．（2）b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数．（3）b=0，k =0时，它不是一次函数．（4）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．注：一次函数的一般形式为：y=kx+b (k不为零)，需要满足的条件为：①k不为零; ②x 指数为1; ③b取任意实数.2．一次函数图象性质3.用待定系数法求函数解析式步骤如下：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的关系式.4.直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k【典例】1. 已知一次函数y=（2﹣k ）x ﹣2k+6，（1）k 满足何条件时，它的图象经过原点；（2）k 满足何条件时，它的图象平行于直线y=﹣x+1；（3）k 满足何条件时，y 随x 的增大而减小；（4）k 满足何条件时，图象经过第一、二、四象限；（5）k 满足何条件时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．【解析】解：（1）∵一次函数y=（2﹣k ）x ﹣2k+6的图象过原点，∴﹣2k+6=0，解得k=3；（2）∵一次函数y=（2﹣k ）x ﹣2k+6的图象平行于直线y=﹣x+1，∴2﹣k=﹣1且﹣2k+6≠1，解得k=3；（3）∵一次函数y=（2﹣k ）x ﹣2k+6的图象y 随x 的增大而减小，∴2﹣k ＜0，解得k ＞2；（4）∵该函数的图象经过第一、二、四象限，∴2﹣k ＜0，且﹣2k+6＞0，解得2＜k ＜3；（5）∵y=（2﹣k ）x ﹣2k+6，∴当x=0时，y=﹣2k+6，由题意，得﹣2k+6＞0且2﹣k≠0，∴k ＜3且k≠2．2.如图，一次函数y=（m+1）x+32的图象与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且△OAB 的面积为34．（1）求m 的值及点A 的坐标；（2）过点B 作直线BP 与x 轴的正半轴相交于点P ，且OP=3OA ，求直线BP 的解析式．【解析】解：（1）当x=0时，y=（m+1）x+32=32，则B （0，32）， ∴OB=32，∵△OAB 的面积为34，∴12×OA×OB=34，解得OA=1，∴A （﹣1，0）； 把点A （﹣1，0）代入y=（m+1）x+32得﹣m ﹣1+32=0，∴m=12； （2）∵OP=3OA ，∴OP=3，∴点P 的坐标为（3，0），设直线BP 的函数表达式为y=kx+b ，把P （3，0）、B （0，32）代入得{3k +b =0b =32，解得{k =−12b =32， ∴直线BP 的函数表达式为y=﹣12x+32． 【方法总结】解一次函数的图象和性质的相关题型，首先将解析式化简成y=kx+b 的形式，并牢记k 、b 的正负与函数图象的对应关系．用待定系数法求一次函数的解析式，待定系数有两个，需要两个方程，所以在图中需找到两个点确定两组x 、y 的值；已知函数图象中的点求所对应的三角形、四边形的面积要根据点的位置添加绝对值号，以保证结论的正确性．【随堂练习】1．（2018秋•叶县期中）两个一次函数y=ax +b 与y=bx +a （a ，b 为常数，且ab ≠0），它们在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C．D．【解答】解：A、由①可知：a＞0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A错误；B、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、三、四象限，故B正确；C、∵ab≠0，故直线不经过原点，故C错误；D、由①可知：a＜0，b＞0，∴直线②经过一、三、四象限，故D错误．故选：B．2．（2018春•滦县期末）一次函数y=kx+k的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=kx+k=k（x+1），∴当x=﹣1时，y=0，则直线y=kx+k必过（﹣1，0），故选：A．3．（2018春•梁平区期末）已知y与（x﹣2）成正比例，当x=1时，y=﹣2．则当x=3时，y的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3【解答】解：∵y与（x﹣2）成正比例，∴设y=k（x﹣2），由题意得，﹣2=k（1﹣2），解得，k=2，则y=2x﹣4，当x=3时，y=2×3﹣4=2，故选：A．知识点3 一次函数与方程、不等式的关系1. 一次函数与一元一次方程的关系用函数的观点看方程，从数的角度看：求kx+b=0的解，相当于求函数y=kx+b的函数值为0时自变量x的值．从形的角度看：求kx+b=0的解，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标．2．一次函数与二元一次方程（组）的关系（1）一次函数y=kx+b的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx﹣y+b=0的解；以二元一次方程kx﹣y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上．（2）如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．二元一次方程组的解是组中两个二元一次方程表达式形成的两个一次函数的图象的交点坐标．（3）用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法．3．一次函数与一元一次不等式的关系（1）从数的角度看，求一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集就是求x为何值时，一次函数y=kx+b的函数值大于0或小于0．从形的角度看，求一元一次不等式kx+b ＞0或kx+b＜0的解集就是求直线y=kx+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标．（2）一元一次不等式y1 ≤kx+b≤y2 (y1 ，y2 是已知数，且y1 ＜y2 )的解集就是直线y=kx+b上满足y1 ≤y≤y2 那条线段所对应的自变量的取值范围．（3）ax+b＞cx+d或ax+b＜cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集就是y=ax+b的函数值大于或小于y=cx+d的函数值时自变量x的取值范围，也是直线y=ax+b在直线y=cx+d 的上方或下方时对应的横坐标的取值范围．【典例】1.如图，直线y=﹣2x+6与直线y=mx+n相交于点M（p，4）．（1）求p的值；（2）直接写出关于x，y的二元一次方程组{y=−2x+6的解；y=mx+n（3）判断直线y=3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由．【解析】解：（1）∵直线y=﹣2x+6经过点M（p，4），∴4=﹣2p+6，∴p=1．，（2）由图象可知方程组的解为{x=1y=4（3）结论：直线y=3nx+m﹣2n经过点M，理由如下：∵点M（1，4）在直线y=mx+n上，∴m+n=4，∴当x=1时，y=3nx+m﹣2n=m+n=4，∴直线y=3nx+m﹣2n经过点M．2.直线a：y=x+2和直线b：y=﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D 和点E ．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC 的面积；（3）求四边形ADOC 的面积；（4）观察图象直接写出不等式x+2≤﹣x+4和﹣x+4≤0的解集．【解析】解：（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x+2中y=0，则x+2=0，解得：x=﹣2，∴点B （﹣2，0）；令y=﹣x+4中y=0，则﹣x+4=0，解得：x=4，∴点C （4，0）；联立两直线解析式得：{y =x +2y =−x +4，解得：{x =1y =3， ∴点A （1，3）．S △ABC =12BC•y A =12×[4﹣（﹣2）]×3=9． （3）令y=x+2中x=0，则y=2，∴点D （0，2）．S 四边形ADOC =S △ABC ﹣S △DBO =9﹣12×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x ＜1时，直线a 在直线b 的下方，∴不等式x+2≤﹣x+4的解集为x≤1；当x ＞4时，直线b 在x 轴的下方，∴不等式﹣x+4≤0的解集为x≥4．【方法总结】如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．已知两个一次函数的图象求不等式y1＞y2的解集，一般解题步骤如下：（1）通过观看图象找出两个一次函数的交点；（2）找出函数图像y1在y2上方的部分；（3）写出该部分图象对应自变量的取值范围．【随堂练习】1．（2018春•武冈市期末）已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB面积为（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，=•OA•OB=×2×4=4；∴S△AOB故选：C．2.（2018•湘西州）一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（﹣2，0）【解答】解：当x=0时，y=x+2=0+2=2，∴一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（0，2）．故选：A．综合运用1．（2018秋•永登县期中）已知函数y=（m+2）x是正比例函数，则m的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．【解答】解：∵函数y=（m+2）x是正比例函数，∴m2﹣3=1，m+2≠0，解得：m=2．故选：A．2．（2017•上思县校级模拟）正比例函数y=3x的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵在y=3x中，k=3＞0，∴图象过原点，在第一、三象限，故选：B．3．（2018春•天津期末）下列函数①y=5x；②y=﹣2x﹣1；③y=；④y=x﹣6；⑤y=x2﹣1其中，是一次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①y=5x；②y=﹣2x﹣1；③y=；④y=x﹣6；⑤y=x2﹣1其中，是一次函数的有：①y=5x；②y=﹣2x﹣1；④y=x﹣6共3个．故选：C．4．（2018春•颍东区期末）已知函数y=（m﹣1）x|m|+5m是一次函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．0或﹣1D．1或﹣1【解答】解：由题意可知：解得：m=﹣1故选：B．5.（2018春•锦江区期末）一次函数y=x﹣1的图象交x轴于点A．交y轴于点B，在y=x﹣1的图象上有两点（x1，y1）、（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列式子中正确的是（）A．y1＜0＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜﹣1＜y2D．y2＜0＜y1【解答】解：∵y=x﹣1，∴x=0时，y=﹣1，且y随x的增大而增大，∴若x1＜0＜x2，则y1＜﹣1＜y2．故选：C．。
一次函数拔高 第六讲
一次函数学生版知识点：常量与变量（1）变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．（2）方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．1.如图，将一个正方形纸片剪成4 个全等的小正方形，再将其中的一个按同样的方法剪成4 个更小的正方形，……，如此继续下去，结果如下表：所剪次数0123…n正方形个数15913 …a n则a n＝(用含n 的代数式表示)，其中变量是，常量是．2.多边形对角线的条数m 与多边形边数n 之间的关系是，其中常量，，变量是知识点：确定函数自变量的取值范围类型特点自变量的取值范围举例整式等式右边是关于自变量的整数全体实数y＝x2＋5x－6分式型（含负指数）含等式右边是关于自变量的分式使分母的不等于0 的实数y =1x + 2 根式型含等式右边是关于自变量的偶次方的分式使被开方数大于或等于0 得的实数y =x - 5 零次幂等式右边是关于自变量的零次使底数不为0 的实数y＝(x－1)0(1)y＝3x－2; (2) y =a11 -x(3) y =(4)y＝(x＋2)0(5) y = (6) y =+ (7)y＝(2x－1)－1x +34 -a5 -xx -3知识点：正比例函数的定义4．（2012湖北荆州17）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m1 1﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程知识点：判断一次函数x -1+=1的解为．m5．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴y =-x +15⑷y =-3 -x5⑵ y =-x5⑸y =x2 -(x -1)(x - 2)⑶ y =-2x - 1⑹ x2 -y = 16．（2006湖北武汉大纲卷4）下列函数：①y=x；②y=x；③y=4；④y=2x+1，其中一次函数的个数是()4 xA．1 B．2 C．3 D．4知识点：一次函数图象与系数的关系由于y＝kx＋b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx＋b 的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx＋b 的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx＋b 的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx＋b 的图象在二、三、四象限．7．直线y＝x＋1 与y＝－2x＋a 的交点在第一象限，则a 的取值可以是（）A.－1B.0C.1D.28．（2018江苏连云港15）如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴、y轴分别相交于A、B两点， O经过A，B两点，已知AB = 2 ，则k的值为．b9．（2019辽宁辽阳7）若ab<0且a>b，则函数y=ax+b的图象可能是() A．B．C．D．p10.若式子k-2＋(k－2)－2有意义，则一次函数y＝(k－2)x＋2－k的图象可能是()知识点：图象的画法11.画出函数y＝－x＋3 的图象，并利用图象回答：（1）当x＝－1 时，y 等于多少？（2）当y＝－1 时，x 等于多少？（3）方程－x＋3＝0 的解是多少？（4）直接写出图象与两坐标轴围成的三角形的面积.知识点：函数的图象12．（2019内蒙古赤峰7）如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的大致图象是（）A．B．C．D．⎧p(q > 0)13．⊕=⎪q⊕=3⊕-=3=⊕≠ （2019 广西玉林10）定义新运算：p q的图象是( )⎨⎪-(q < 0)⎩q，例如：3 5 ，3 ( 5) ，则y 25 5x(x 0) A．B．⎪yOC． D ．知识点：真伪函数图像14．（2018－2019－江汉区－8 下－期末－2）下列各曲线中，表示 y 是 x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．如图，下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的有．(填序号)xx⑴⑵ 16．（2019－2020－8 下－光谷实验－5 月－6）已知变量 y 是变量 x 的函数，下列各图不能作为其函数图象的是()知识点：一次函数的增减性17. 函数 y ＝x ＋2 的图象经过第象限，y 随 x 的增大而 （2） 函数 y ＝－x －2 的图象经过第 象限，y 随 x 的增大而（3） 函数 y ＝2x －1 的图象经过第 象限，y 随 x 的增大而（4） 函数 y ＝－2x ＋1 的图象经过第象限，y 随 x 的增大而18. 已知关于 x 的一次函数 y ＝（6＋3m ）x ＋（n －4）（1） 当 m 、n 满足什么条件时，函数图象经过原点；（2） 当 m 、n 满足什么条件时，函数图象与 y 轴的交点在 x 轴下方； （3） 当 m 、n 满足什么条件时，y 随 x 有增大而减小，且不经过第三象限； （4） 当 m 、n 满足什么条件时，函数的图象平行于直线 y ＝3x －3；（5） 若 n ＝2m ，则不论 m 取何实数，这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标.yO19．已知一次函数 y ＝ (2k ＋4)x ＋ (3－b ) ．(1) k 、b 是什么数时，y 随 x 的增大而增大；(2) k 、b 是什么数时，函数图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方； (3) k 、b 是什么数时，函数图象过原点；(4) 若 k ＝－1，b ＝2 时，求此一次函数图象与两个坐标轴交点坐标并画出图象； (5) 若图象经过一、二、三象限，求 k 、b 的取值范围．知识点：经过象限20. 一次函数 y ＝k (k －x )的图象必经过()A ．第二、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限21. 已知一次函数 y ＝ax －b 的图象经过一、二、三象限，且与 x 轴交于点（－2，0），则不等式 ax ＞b 的解集为 .22. 如果直线y ＝(k －2)x ＋b ＋1经过一，三，四象限，则k ，b 的取值范围是 ．23. 一次函数 y ＝kx ＋b （kb ＜0）的图象一定经过第象限．知识点：不经过象限24．（2018－2019－东湖高新区－8 下－期末－13）在直角坐标系中，若直线 y = 1 x ＋3 与直线 y ＝﹣2x ＋a 相交于2x 轴上，则直线 y ＝﹣2x ＋a 不经过的象限是第象限．25．（2016－2017－黄陂区－8 下－期末－13）直线 y = x - 2 一定不经过第象限( “一”、“二”、“三”或3 3“四” ) ．26. 若点 M (k －1，k ＋1)关于 y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数 y ＝(k －1)x ＋k 的图象不．经．过．第 象限. 27. 若 abc ＜0，且 y ＝ b x - c的图象不经过第四象限，则点(a ＋b ，c )在( )a aA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限28. 已知过点（2，－3）的直线 y ＝ax ＋b （a ≠0）不经过第一象限．设 s ＝a ＋2b ，则 s 的取值范围是（）A ．－5≤s ≤－ 32B ．－6＜s ≤－ 32C ．－6≤s ≤－ 32D ．－7＜s ≤－ 32知识点：一次函数上点坐标大小比较29．（2017－2018－洪山区－8 下－期末－4）已知 A (- 1 ， y ) ， B (-2, y ) ， C (1， y ) 是一次函数 y = -x + n 的图21象上的三点则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为( )233A. y 1 < y 2 < y 3B. y 3 < y 2 < y 1C. y 3 < y 1 < y 2D. y 2 < y 1 < y 330.若点 A (x 1，y 1)、点 B (x 2，y 2)为一次函数 y ＝3x －1 的图象上的两个不同点，且 x 1x 2≠0，设 M ＝ y 1 + 1 ，N ＝ y 2 + 1，x 1 x 2 则 M 与 N 的大小关系为()A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定31.如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数 y = k 1x ， y = k 2 x ， y = k 3 x ， y = k 4 x 的图像分别是l 1 ， l 2 ， l 3 ， l 4 ； 那么 k 1 ， k 2 ， k 3 ， k 4 的大小关系是．知识点：2 点求一次函数解析式32.已知y 是x 一次函数，表给出了部分对应值，m的值是．x-1 25 y5-1 m33．（2019江西17）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-为边向上作等边三角形ABC ．（1）求点C 的坐标；（2）求线段BC 所在直线的解析式．3，0) ，(23，1) ，连接AB ，以AB234．如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：求这个函数的解析式．35．（2016－2017－江汉区－8下－期末－13）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则方程kx+b=0的解为x = ．36．（2016－2017－新洲区－8下－期末－18）已知一次函数的图象过点(3,5)与点(-4,-9)，求这个一次函数的解析式．知识点：1 点＋1 参数求一次函数解析式37．（1999 湖北武汉 35）已知一次函数 y = 2x + b ，当 x = 2 时， y = 3 ，求当 x = 3 时 y 的值． 38．（2018·洪湖）已知一次函数 y ＝kx ＋2 的图象经过点（1，4），则 k ＝39．（2016－2017－江汉区－8 下－期末－18）已知直线l 1 : y = 3x - 2 与直线l 2 : y = kx + 1 相交于点 P (m , 4) ，（1） 求 m 的值； （2） 求 k 的值．知识点：一次函数 求函数解析式 点＋面积→求解析式40. 已知一次函数的图象经过点（0，－2），且与两坐标轴围成的三角形面积为 3，求一次函数的解析式．41. 若直线 l 与 x 轴交于点(－2，0)，且与坐标轴围成的图形的面积为 8，求这条直线的解析式.42. 直线 y ＝kx ＋2 与两坐标轴所围成的三角形的面积是 4，求 k知识点：点斜式 点＋平行（k ）求一次函数43. 已知一次函数 y = kx + b 的图象与直线 y = 2x + 1 平行并且过点 P （－1，2），求这个一次函数的解析式．知识点：点＋垂直（k 乘积＝－1）求一次函数44. 直线 y ＝2x ＋4 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，直线 BC ⊥AB 于点 B ，求直线 BC 的解析式．知识点：利用已知函数关系，再求函数关系式45. y ＋1 与 z 成正比例，比例系数为 2，z 与 x －1 成正比例。
一次函数全章知识精讲提高版
变量与函数【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值；对函数关系的表示法（如列表法、关系式法、图象法）有初步认识；3. 理解函数图象上的点的坐标与其关系式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义；初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a 时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2. 要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.要点五、函数的几种表达方式表示函数的方法一般有以下三种：（1）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（2）关系式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处. 关系式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出关系式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点六、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）22320,1,||,||x y x y y y x x y -=-===A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个【答案】C ；【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x取2，y ||x y =，当x 取2，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.举一反三：【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ） A.x y = B.xx y 2= C.2)(x y = D.33x y = 【答案】D ；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、（2016•南宁）下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）A. B. C. D.【思路点拨】根据函数的意义求解即可求出答案．【答案】 D ；【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．类型二、函数关系式3、求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）52+-=x x y （2）423x y x =- （3）y =（4）y =（5）y （6）y = 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.【答案与解析】解：（1）52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义； （2）423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）y =2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）y =，要使函数有意义，需2x －1＞0，即12x >；（5）y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10， 所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯= ． 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯= ， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型三、函数值5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4【思路点拨】把13x =代入关系式可求得函数值.【答案】C；【解析】130610643y=⨯-=-=.【总结升华】y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.举一反三：【变式】（2015春•抚州期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路（1（2）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）该品牌汽车的油箱加满50L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？【答案】解：（1）Q=50﹣8t；（2）当t=5时，Q=50﹣8×5=10，答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是10L；（3）当Q=0时，0=50﹣8t8t=50，解得：t=，100×=625km．答：该车最多能行驶625km.类型四、函数的图象6、（2015春•东平县校级期末）陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学所用的路程与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）陈杰家到学校的距离是多少米？书店到学校的距离是多少米？（2）陈杰在书店停留了多少分钟？本次上学途中，陈杰一共行驶了多少米？（3）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米？（4）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？【思路点拨】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案，根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度；（4）根据路程、速度，即可得到时间．【答案与解析】解：（1）陈杰家到学校的距离是1500米，1500﹣600=900（米）．答：书店到学校的距离是900米．（2）12﹣8=4（分钟）．答：陈杰在书店停留了4分钟．1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）=2700（米）．答：本次上学途中，陈杰一共行驶了2700米（3）（1500﹣600）÷（14﹣12）=450米/分．答：在整个上学的途中12分钟到14分钟时段陈杰骑车速度最快，最快的速度是450米/分；（4）1500÷（1200÷6）=7.5（分钟），14﹣7.5=6.5（分钟）．答：陈杰以往常的速度去学校，需要7.5分钟，本次上学比往常多用6.5分钟．【总结升华】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B.正比例函数（提高）【学习目标】=的图象；1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义=（k为常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k叫做比一般的，形如y kx例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、y 是x 的正比例函数；（2）、y k x =（k 为常数且k ≠0）；（3）、若y 与x 成正比例；（4）、k xy =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、若函数22432m n y x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值.【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数为1．【答案与解析】解：由题意，得221320m n m n -+=⎧⎨-=⎩ 解得 11.5m n =⎧⎨=⎩ ∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2）x 的指数是1.举一反三：【变式】（2014春•凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值．【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数（1）求证：z 是x 的正比例函数；（2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式.【答案与解析】解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数 12z k k x =∴120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠（2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴1214k k = ∴z 关于x 的函数关系式是14z x =. 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆.举一反三：【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系．【答案】解：由题意，y kx =，z m kx =+ ,∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k解得k ＝－2，m ＝5∴z ＝－2x ＋5.类型二、正比函数的图象和性质3、（2016•眉山）若函数y=（m ﹣1）x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．【思路点拨】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m ﹣1≠0，计算出m 的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．【答案与解析】解：由题意得：|m|=1，且m ﹣1≠0，解得：m=﹣1，函数解析式为y=﹣2x ，∵k=﹣2＜0，∴该函数的图象经过第二、四象限．【总结升华】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx （k 是常数，k≠0），当k ＞0时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x 的增大而减小．举一反三：【变式】已知正比例函数()21y t x =-的图象上一点（1x ，1y ），且1x 1y ＜0，那么t 的取值范围是（ ）A. t ＜12 B ．t ＞12 C ．t ＜12或t ＞12 D ．不确定 【答案】A ；提示：因为1x 1y ＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t －1＜0，t ＜12． 类型三、正比例函数的应用4、已知正比例函数4y x =的图像上有一点P(x ,y )和一点A(6，0)，O 为坐标原点，且△PAO 的面积等于12，你能求出P 点坐标吗？【思路点拨】画出草图，可知三角形的底边长为|OA|＝6，高为P 点纵坐标的绝对值，利用面积等于12求解.【答案与解析】 解：依题意：1122P S OA y =⋅⋅= ∵O （0，0），A （6，0）∴OA ＝6 ∴4,44p P P y y y ===-∴或41,(1,4)P y x P ==当时，此时；41,(1,4)P y x P =-=---当时，此时P 1414-综上：点的坐标为（，）或（-，）【总结升华】求点的坐标需要求点到坐标轴的垂线段的长，利用面积即可求出垂线段的长.一次函数的图象和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx=的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、（2015春•东平县校级期末）如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点B ．（1）求该一次函数的解析式；（2）判定点C （4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；（3）若该一次函数的图象与x 轴交于D 点，求△BOD 的面积．【思路点拨】（1）首先求得B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把C 的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；（3）首先求得D 的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【答案与解析】解：（1）在y=2x 中，令x=1，解得y=2，则B 的坐标是（1，2），设一次函数的解析式是y=kx+b ， 则， 解得：．则一次函数的解析式是y=﹣x+3；（2）当a=4时，y=﹣1，则C （4，﹣2）不在函数的图象上；（3）一次函数的解析式y=﹣x+3中令y=0，解得：x=3，则D 的坐标是（3，0）．则S △BOD =OD×2=×3×2=3．【总结升华】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．举一反三：【变式1】一次函数交y 轴于点A （0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.【答案】解：()0,3, 3.A OA = ∴()()1,2163244,04,0.AOB S OA OB OB OB B B =⋅=⨯⋅=- △∴∴∴或 设一次函数的解析式为3y kx =+.当过()4,0B 时，34304k k +==-∴； 当过()4,0B -时，34304k k -+==∴； 所以，一次函数的解析式为334y x =-+或334y x =+. 【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点(1,0)A -，(2,3)B -，在y 轴上求作一点P ，使AP ＋BP 最短，并求出点P 的坐标.【答案】解：作点A 关于y 轴的对称点为()1,0A '，连接A B '，与y 轴交于点P ，点P 即为所求.设直线A B '的解析式为y kx b =+，直线A B '过()()1,0,2,3A B '-，01231k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩∴∴ A B '∴的解析式为：1y x =-+，它与y 轴交于P （0，1）.类型二、一次函数图象的应用2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：(1)求李明上坡时所走的路程1s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程2s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式；(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?【思路点拨】由图象可知，上坡时，路程是时间的正比例函数，根据函数图象经过点(6，900)，可以确定函数解析式；下坡时，路程是时间的一次函数，根据函数图象经过点(6，900)，(10，2100)，可以求出函数解析式.【答案与解析】解：(1)设11s k t =，由已知图象经过点(6，900)，得900＝61k ．解得1k ＝150．所以1s ＝150t (0≤t ≤6)．设22s k t b =+，由已知图象经过点(6，900)，(10，2100)，得226900,102100.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2300900k b =⎧⎨=-⎩ 所以2s ＝300t －900(6<t ≤10)．(2)李明返回时所用的时间为(2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)．因此，李明返回时所用的时间为11分钟．【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．类型三、一次函数的性质3、（2016•呼和浩特）已知一次函数y=kx +b ﹣x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为（ ）A ．k ＞1，b ＜0B ．k ＞1，b ＞0C ．k ＞0，b ＞0D ．k ＞0，b ＜0【思路点拨】先将函数解析式整理为y=（k ﹣1）x +b ，再根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【答案】A ；【解析】解：一次函数y=kx +b ﹣x 即为y=（k ﹣1）x +b ，∵函数值y 随x 的增大而增大，∴k ﹣1＞0，解得k ＞1；∵图象与x 轴的正半轴相交，∴图象与y 轴的负半轴相交，∴b ＜0．故选：A ．【总结升华】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx +b 与y 轴交于（0，b ），当b ＞0时，（0，b ）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b ）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．举一反三：【变式1】直线1l ：=+y kx b 与直线2l ：=+y bx k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C ；提示：对于A ，从1l 看 k ＜0，b ＜0，从2l 看b ＜0，k ＞0，所以k ，b 的取值自相矛盾，排除掉A.对于B ，从1l 看k ＞0，b ＜0，从2l 看b ＞0，k ＞0，所以k ，b 的取值自相矛盾，排除掉B. D 答案同样是矛盾的，只有C 答案才符合要求.【变式2】（2014•杭州模拟）已知直线y 1=x ，，的图象如图，若无论x 取何值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，则y 的最大值为 ．【答案】2.解：根据题意，y 的最大值为直线y 2与y 3的交点的纵坐标， 联立， 解得，所以，当x=3时，y 的值最大，为2．故答案为：2．类型四、一次函数综合4、已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且3OA OB =，求点A 的坐标．【答案与解析】 解：由题意得，(),0,0,b A B b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则,.b b OA OB b k k =-== 113333b OA OB b k k k ====± ∴∴∴. 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，， 1k b +=∴.∴当13k =时，23b =，()2,0A -； 当13k =-时，43b =，()4,0A . 综上所述，点A 的坐标为()2,0-或()4,0.【总结升华】我们可以把点A 、B 的坐标用k 、b 表示出来，根据OA ＝3OB 可以建立一个关于k 、b 的方程，再根据它的图象过P ，可以再找到一个关于k 、b 的方程，两个方程联立，即可求出k 、b 的值，就可以求出点A 的坐标.一次函数的应用（提高）【学习目标】1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．【要点梳理】要点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.要点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、简单的实际问题1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示.下列说法正确的有（）：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4个【答案】C；【解析】①②④正确.在起跑1小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前面；第一小时，两人所跑的路程均为10千米；乙比甲先到达终点；乙的速度是10千米/时，2小时跑了20千米，甲也跑了同样的路程.【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析这四个结论．举一反三：【变式】如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑12米；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③8秒钟内，乙在甲前面；④8秒钟后，甲超过了乙，其中正。
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一次函数拔高讲义知识点1、一次函数的意义 习题练习1、下列函数（1）y=3πx ；（2）y=8x-6；（3）1y x =；（4）1y 8x 2=-；（5）2y 541x x =-+中，是一次函数的有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个2、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；3、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数；4、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数；知识点2、求一次函数的解析式知识点：确定正比例函数kx y =的解析式：只须一个条件，求出待定系数k 即可． 确定一次函数b kx y +=的解析式：只须二个条件，求出待定系数k 、b 即可． A 、设——设出一次函数解析式，即b kx y +=；B 、代——把已知条件代入b kx y +=中，得到关于k 、b 的方程（组）；C 、求——解方程（组），求k 、b ；D 、写——写出一次函数解析式．常见题型归类第一种情况：不已知函数类型（不可用待定系数法），通过寻找题目中隐含的自变量和函数变量之间的数量关系，建立函数解析式。
（见前面函数解析式的确定） 第二种情况：已知函数是一次函数（直接或间接），采用待定系数法。
（已知是一次函数或已知解析式形式y kx b =+或已知函数图象是直线都是直接或间接已知了一次函数） 一、定义型 一次函数的定义：形如y kx b =+，k 、b 为常数，且k≠0。
二. 平移型 两条直线1l：11y k x b =+；2l：22y k x b =+。
当12k k =，12b b ≠时，1l ∥2l，解决问题时要抓住平行的直线k 值相同这一特征。
三. 两点型 从几何的角度来看，“两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的解析式；从代数的角度来说，一次函数的解析式y kx b =+中含两个待定系数k 和b ，所以两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。
解题策略：想方设法通过各种途径找到两个点的坐标，代入函数解析式中用待定系数法求出待定系数从而求出函数解析式。
这类问题是见得最多的问题。
四、探索型 不直接已知函数类型，但可通过探索知其类型，再用待定系数法求解析式习题练习1、已知A （0，0），B （3，2）两点，经过A 、B 两点的图象的解析式为（ ）A 、y=3xB 、y=32x C 、y= 23x D 、y= 13x+1 2、如上图，直线AB 对应的函数表达式是（ ） A 、3y x 32=-+ B 、3y x 32=+ C 、2y x 33=-+ D 、2y x 33=+3、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________；4、如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．5、 （2011浙江杭州，7，3）一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与能是6、（2011湖南常德，16，3分）设min ｛x,y ｝表示x,y 两个数中的最小值，例如min ｛0,2｝=0，min ｛12,8｝=8，则关于x 的函数y=min{2x ，x+2}，y 可以表示为（ ）A.()()2222x x y x x <⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ B. ()()2222x x y x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩C. y =2xD. y=x ＋2 7、(2011 浙江湖州，19，6) 已知：一次函数y kx b =+的图象经过M(0，2)，(1，3)两点． (l) 求k 、b 的值；(2) 若一次函数y kx b =+的图象与x 轴的交点为A(a ，0)，求a 的值．8、(2011湖南郴州市，20，6分)求与直线y x =平行，并且经过点P(1，2)的一次函数解析式．9、（2011四川自贡，8，3分）已知直线l 经过点A （1,0）且与直线y x =垂直，则直线l 的解析式为 （ ）A. 1y x =-+B. 1y x =--C. 1y x =+D. 1y x =-10、（2011福建福州，19，12分）如图,在平面直角坐标系中,A 、B 均在边长为1的正方形网格格点上.y(1)求线段AB 所在直线的函数解析式,并写出当02y ≤≤时,自变量x 的取值范围；(2)将线段AB 绕点B 逆时针旋转90o,得到线段BC ,请画出线段BC .若直线BC 的函数解析式为y kx b =+,则y 随x 的增大而 (填“增大”或“减小”).知识点3、一次函数的图象一次函数b kx y +=的图象是一条直线，与x 轴的交点为)0,(kb-，与y 轴的交点为),0(b 正比例函数kx y =的图象也是一条直线，它过点)0,0(，),1(k习题练习1、一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是（ ）A 、x ＞0B 、x ＜0C 、x ＞2D 、x ＜22、正比例函数y=kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y=x+k 的图象大致是（ ）A 、B 、C 、D 、3、如图，直线(0)y kx b k =+<与x 轴交于点(30)，，关于x 的不等式0kx b +>A ．3x <B ．3x >C ．0x >D ．0x <4、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）A 、x ＞1B 、x ＜1C 、x ＞－2D 、x ＜－2c k 1x ＋5、（2011内蒙古呼和浩特市，12,3分）已知关于x 的一次函数y mx n =+的图象如图所示，则||n m -可化简为_________________.6、（2011山东枣庄，10，3分）如图所示，函数xy =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（）A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞27、（2011贵州毕节，16，5分）已知一次函数3+=kx y 的图象如图所示，则不等式03<+kx 的解集是 。
8、（2011吉林长春，13,3分）如图，一次函数()0y kx b k =+<的图象经过点Ａ．当3y <时，x 的取值范围是 ．9、（2011青海西宁，20，2分）如图，直线y ＝kx ＋b 经过A(－1，1)和B(－7，0)两点，则不等式0＜kx ＋b ＜－x 的解集为_ ．10、 （2011台湾台北，9）如图所示的坐标平面上，有一条通过点(－3,－2)的直线L 。
若四点(－2 , a)、(0 , b)、(c , 0)、(d ,－1)在L上，则下列数值的判断，何者正确？A ．a ＝3B 。
b ＞－2C 。
c ＜－3D 。
d ＝2 11、（2011湖北鄂州，14，3分）如图，把Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x －6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D．12、某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图描述了他上学的情景，下列说法中错误．．的是（ ） A ．修车时间为15分钟 B ．学校离家的距离为2000米C ．到达学校时共用时间20分钟D ．自行车发生故障时离家距离为1000米13、如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处图1(分钟)1、如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A ．0k >，0b > B ．0k >，0b < C ．0k <，0b > D ．0k <，0b <2、P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y = -x 图象上的两点，则下列判断正确的是（ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1<y 2C ．当x 1<x 2时，y 1>y 2D ．当x 1<x 2时，y 1<y 23、请写出符合以下三个条件的一个函数的关系式 ． ①过点(3,1)；②在第一象限内y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为2时，函数值小于2．4、 （2011陕西，15,3分）若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ．5、（2011四川乐山8，3分）已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为A. 1x <-B. 1x >-C. 1x >D.1x <6、 （2011山东泰安，13 ，3分）已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ）A.m ＞0,n ＜2B. m ＞0,n ＞2C. m ＜0,n ＜2D. m ＜0,n ＞27、（2011贵州遵义，7，3分）若一次函数()22--=x m y 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是A. 0<mB. 0>mC. 2<mD. 2>m 8、 （2011内蒙古赤峰，11，3分）已知点A （－5，a ），B(4，b)在直线y=-3x+2上，则a______b 。
（填“＞”、“＜”或“=”号）9、 （2011广东广州市，9，3分）当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y=4x+1中y 的取值范围是（ ）．A ．y≥－7B ．y≥9C ．y ＞9D ．y≤9知识点5、平移知识点：直线11b x k y +=与直线22b x k y +=的位置关系：两直线平行⇔21k k =；一次函数图象平移(1)一次函数y=kx+b 的图象可以看做是y=kx 平移|b|个单位长度而得到（b>0时，向上平移，b<0时。
向下平移）(2)图象上下平移与k 无关，与b 有关，图象向上移动b 的值增加，图象向下移动b 的值减小 (3)图象的左右平移与k ，b 无关，与自变量x 有关系，向左移动增加，向右移动减小习题练习1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。