最新人教版八年级数学下册16.1.1二次根式优秀PPT课件
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人教版八年级下册 16.1 二次根式 课件(共16张PPT)
叫做二次根式。
注意：为了方便起见，我们—个数的算术平方根也叫
做二次根式。如 3 ,
1 2
a 1
是不是二次根式？
不是，它是二次根 式的代数式.
形如 a a 0 的式子叫做二次根
式
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数，也可以是式 3.形式上含有二次板号
4. a 0, a 0 （双重非负性）
本节课我们学习了很多新知识,你能谈谈自 己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
1、 二次根式的定义：像 b 3 a2 2500
表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫 做二次根式。 2、 二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方 数大于或等于零。 3、 求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。
谢谢观赏
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
16.1 二次根式
什么是平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做
a的平方根
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a 0a 0 表示
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为 ___a_2___2_5_0_0__ 米。
为
圆形的下球体在平面图上的面积为s,则半径为
s
____________
b+3
1.如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是___b____3__
b3 s
a2 2500
1、都表示算术平方根 2、根各代数式的共同特 点是什么？
定义：像
b3 、
a2 2500 、
s
这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式
下列各式中哪些是二次根式?
人教版数学八年级下册 16.1 二次根式(共20张PPT)
拓展探究
04
总结与反思
总结与反思
谢谢！
第十六章 二次根式
16.1章前引言及二次根式
1. 理解二次根式的定义，并会用此定义判断 一个根式是否为二次根式； 2. 会运用二次根式中被开方数的非负性，求 被开方数中字母的取值范围； 3. 会运用二次根式的非负性解决简单的问题。
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r = 2 Rh ，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们 的传播半径之比是 观察 2 Rh 、r =
1
2 Rh 1 2 Rh2
2 Rh2
2 Rh
的特点？
02
知识建构
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念双重非负性
二次根式概念双重非负性
03
题组练习，深化提高
题组一 二次根式的判定
题组一 二次根式的判定
题组二 二次根式有意义
题组二 二次根式有意义
题组三 二次根式的双重非负性
新人教版八年级下册初二数学16.1二次根式.优秀PPT课件
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
人教版八年级下册16.1《二次根式》课件(共15张PPT)
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (6) a 1 ,
2
(5) xy (x,y 异号) ， (7)
3
5
自学效果检测 例2.当x是怎样的实数时,下列式子在实数范围 内有意义?
(1) 2 x x 1 (4) 3 x 8 (2) 3 2x (5) x 2 1 x 1 (3) x 3
2.什么叫做一个数的算术平方根?如何表示 ? 表示为： a (a≥0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自学效果检测 形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数 定义包含三个内容: 1.必需含有二次根号 “ 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子. ”.
自学效果检测
例1.下列式子中,是二次根式的 (1)(4)(6) 有 ___________________( 填序号)
课堂小结 （1）二次根式的概念
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
（2）二次根式有意义的条件 a≥0 （3）二次根式的性质: a ≥0 (a≥0) 双重非负性
作业布置
1.课本P5-6 习题21.1第 3 、5、6 2.预习课本P3-5
S
3.圆形的面积为 6.28,则半径 2 为 _______.
h 5 4.h=5t2,则t=_______
6.28
自学效果检测
65
S
2
h 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
知识回顾 1.什么叫做平方根?如何表示?
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数 就叫做a的平方根。
根据定义可知a≥0 a的平方根是 ± a
16.1二次根式
人教版八年级数学下册课件：16.1.1二次根式(共21张PPT)
∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3在实数
范围内有意义？
解 由 x 3 ，0 得 x 。3 当 x 3时，式子 x 3在实数范围内有意义。
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5； （3） 3 。x
16.1 二次根式
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。 4、 7 表示什么？ 表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2n2 1,
2n2 1, ×
2n 1 ×
在实数范围内,负数没有平方根
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 有a1 意义,那么A(a,
) a
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0, a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
人教版八年级下册：16.1二次根式课件(共35张PPT)(课件精选)
教师教学说课
适用于教育教学、教师说课、学生作业、汇报总结源自讲解人：教育者课件在线
1
二次根式
课件在线
2
.
二次根式的两个基本特征：
① 含有二次根号“
”
②被开方数为非负数
课件在线
3
掌握二次根式有意义的条件
x 1
如何确定字母 的值,使含有 二次根式的式 子在实数范围 内有意义？
①被开方数大于或 等于零； ②分母中有字母时， 要保证分母不为零。
28
课件在线
29
１．下列各式一定是二次根式的有__________
① 5 ② m ③ m2 1 ④ x2 2x 2
课件在线
30
x＞3 1．函数y= 1
中，自变量x的取值范围是_______
x-3
2.(2006郴州市课改实验区)要使二次根式 2 x 6 无意义,应满足的条件 是( B ）
(5)(3 6 )2
课件在线
12
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算: (6)(2 1 )2 2
课件在线
13
掌握并应用二次根式的基本性质
填空:
(1)( 13)2 ___1__3__
3
(2)(
3 )2 7
___7____
(3)( 8)2 ( 2)2 _1_0____
(4)( a2 b2 )2 a__2 ___b_2
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1 课件在线
26
2．二次根式的 基本性质
1.二次根式的基本 性质
当a≥0时，
a2 a ( a )2 a
a (a≥0)
适用于教育教学、教师说课、学生作业、汇报总结源自讲解人：教育者课件在线
1
二次根式
课件在线
2
.
二次根式的两个基本特征：
① 含有二次根号“
”
②被开方数为非负数
课件在线
3
掌握二次根式有意义的条件
x 1
如何确定字母 的值,使含有 二次根式的式 子在实数范围 内有意义？
①被开方数大于或 等于零； ②分母中有字母时， 要保证分母不为零。
28
课件在线
29
１．下列各式一定是二次根式的有__________
① 5 ② m ③ m2 1 ④ x2 2x 2
课件在线
30
x＞3 1．函数y= 1
中，自变量x的取值范围是_______
x-3
2.(2006郴州市课改实验区)要使二次根式 2 x 6 无意义,应满足的条件 是( B ）
(5)(3 6 )2
课件在线
12
掌握并应用二次根式的基本性质
例2.计算: (6)(2 1 )2 2
课件在线
13
掌握并应用二次根式的基本性质
填空:
(1)( 13)2 ___1__3__
3
(2)(
3 )2 7
___7____
(3)( 8)2 ( 2)2 _1_0____
(4)( a2 b2 )2 a__2 ___b_2
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1 课件在线
26
2．二次根式的 基本性质
1.二次根式的基本 性质
当a≥0时，
a2 a ( a )2 a
a (a≥0)
人教版八年级下册课件：16.1 二次根式 (共19张PPT)
2
2 p
1 p 2 p
p 1 2 p 1
课堂小结
请谈谈本节课的收获： 你是如何理解二次根式定义的？ 你是如何得到二次根式性质的？ 通过二次根式概念和性质的学习，积累了哪些 学习方法和经验？
课后作业
作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，8题．
谢 谢！
合作探究 形成新知
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ． 5
(1)带“ ”. 这些式子有什么共同特征？
(2)被开方数≥0；
我们同学互相讨论一下，这些式子形 式上和以前所学代数式都不同，根据 特征如何命名这些式子呢？
16.1 二次根式
二次根式：
一般地，我们把形如 a（ a≥0 ）的式子叫做二
次根式，“ ”称为二次根号．
判断一个式子是否是二次根式所要满足的条件： (1)带“ ”. (2)被开方数≥0；
﹜
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴ 0.2
⑶ 35
⑸a
⑵ 16
⑷ x (x 0)
a9
⑹ a2 1
初步应用 巩固知识
例 1 当 x 是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义？
探究性质
a 的值的有什么特点？
双非负性： a ≥0 （a≥0）
例 2：已知 a 1 b 2 0 ，求 a,b 的值？
解：∵ a 1 ≥0 ， b 2 ≥0，
且 a 1 b 2 0， ∴ a 1 0 ， b 2 0，
∴ a=1, b= -2. 答：a 的值为 1，b 的值为-2.
1 3
2
=
1
2
3 ；0=
0.
人教版八年级数学下册16.1《二次根式》课件(共23张PPT)
C. a＞-2或a≠ 0
【解析】选D.要使式子
D. a≥-2且a≠ 0
a2 a
有意义，须同时
满足a+2≥0，a≠0两个条件，解两个不等式
可得a≥-2且a≠0 。
巩固提高：
1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围 （1） (
3 2x )
2
（2） (1 x) 2
3 (1). 3 2 x 0 x (2).x为全体实数 2 (3).x 3 0且x 2 x 3且x 2
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2 ⑷
2
⑸ m 3
⑹
a 1 (a 3)
2．下列式子一定是二次根式的是（ A．
）
2
x 2
4. a≥0, a ≥0
( 双重非负性)
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点：
1.面积为3的正方形的边长为—— 3。 2.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
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16.1二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用
a
(a≥0)表示。
自学指导
内容：精读课本 P2页的内容 要求： 1.理解二次根式的概念 2.找出二次根式有意义的条件
二次根式的性质:
a 0, a 0 （双重非负性） .
2
a
a
a(a 0)
2
=∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a＜0)
1 下列式子 2 x 6 中字母x的 2x 3 x _0 取值范围是 __________
2x+6≥0
∵
-2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
?
12 n为一个整数 , 求自然数n的值.
h 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
自学归纳 形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. a叫被开方数 定义包含三个内容: 1.必需含有二次根号 “ 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子. ”.
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a 的认识,好吗?
a0
3.二次根式的双重非负性是什么？ a 0(a 0)
自学效果检测 1.面积为3的正方形的边长为 的正方形的边长为_____ S。 2.一长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130，则它的宽为 ______ 65 ，面积为S
h 3.h=5t2,则t=_______ 5
自学效果检测
3
S
65
⑦ x 1
2
二次根式根号内字母的取值范围必须满足:
被开方数大于或等于零.
⑧
4
x 1
2
Hale Waihona Puke 隋堂练习 1练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1
1 (2) 1 2a
2
(3) ( a 3)
2
4 7
2 5x 5 2 x 1 6
x 5 3 2x
2
1
25 5
2 7
18
2
7
2
2
2 1
5
x 2 xy y
2
(x﹤y)
yx
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且
2 2
2 a b2 0
b2 0
求 a b 2b 1的值
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
a ≥0 ( 双重非负性)
4. a≥0,
试一试
下列式子中，哪些一定是二次根式？
① 5
② ⑤
3x
(x<0)③
2
14
④ a 1
a 3 ⑥
⑨
xy ( x, y同号)
解:
2 a 0，
而 2 a b2 0
2 a 0 ， b2 0
?
2
a 2 ， b 2
2 2
原式 a b 1 2 2 1 2 1 3
2
1 已知 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x 3 (2 x) 3
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
?
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
1 3
(a≥0)
1 1 3 3
2
a a
(a≥0)
( a ) 与 a 有区别吗 ?
2
2
1:从运算顺序来看, 2 先开方,后平方 a
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
=a
= ∣ a∣ =
a (a≥ 0)
a )
?
已知y 2 x x 2 5, 5 y 则 ____ 2 x ∴x=2, y=5
2-X≥0 X-2≥0 x ≤2
x≥2
?
实数p在数轴上的位置如图所示，化 简 2 (1 p) 2 p 1 p (2 p)
2
p 1 2 p 1
（8）
2x 1 1 x
你有什么收获？
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
(
4)
2
4
( 0 )2 0
观测上述等式 2 的两边 ,你能得 4 42 0.01 0.01 到什么启示? 2 0 0 2
a ? a
( 0.01) 0.01 2
2
1 2 ( ) 3
-a (a＜0)
m4 思考：若 (m 4) 4 m, 则m的取值范围是 _________
2
例2:
(1)计算 2 3
2
(2)已知a, b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c) (b a c)
2 2
练习:用心算一算:
33 2 4 1 2
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用
a
(a≥0)表示。
自学指导
内容：精读课本 P2页的内容 要求： 1.理解二次根式的概念 2.找出二次根式有意义的条件
二次根式的性质:
a 0, a 0 （双重非负性） .
2
a
a
a(a 0)
2
=∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a＜0)
1 下列式子 2 x 6 中字母x的 2x 3 x _0 取值范围是 __________
2x+6≥0
∵
-2x＞0
∴
x≥-3 x＜0
?
12 n为一个整数 , 求自然数n的值.
h 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
自学归纳 形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. a叫被开方数 定义包含三个内容: 1.必需含有二次根号 “ 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子. ”.
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a 的认识,好吗?
a0
3.二次根式的双重非负性是什么？ a 0(a 0)
自学效果检测 1.面积为3的正方形的边长为 的正方形的边长为_____ S。 2.一长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130，则它的宽为 ______ 65 ，面积为S
h 3.h=5t2,则t=_______ 5
自学效果检测
3
S
65
⑦ x 1
2
二次根式根号内字母的取值范围必须满足:
被开方数大于或等于零.
⑧
4
x 1
2
Hale Waihona Puke 隋堂练习 1练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1
1 (2) 1 2a
2
(3) ( a 3)
2
4 7
2 5x 5 2 x 1 6
x 5 3 2x
2
1
25 5
2 7
18
2
7
2
2
2 1
5
x 2 xy y
2
(x﹤y)
yx
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且
2 2
2 a b2 0
b2 0
求 a b 2b 1的值
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
a ≥0 ( 双重非负性)
4. a≥0,
试一试
下列式子中，哪些一定是二次根式？
① 5
② ⑤
3x
(x<0)③
2
14
④ a 1
a 3 ⑥
⑨
xy ( x, y同号)
解:
2 a 0，
而 2 a b2 0
2 a 0 ， b2 0
?
2
a 2 ， b 2
2 2
原式 a b 1 2 2 1 2 1 3
2
1 已知 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x 3 (2 x) 3
2
(2 x 3 )(2 x 3 )
?
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大 家一起来分享。
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
1 3
(a≥0)
1 1 3 3
2
a a
(a≥0)
( a ) 与 a 有区别吗 ?
2
2
1:从运算顺序来看, 2 先开方,后平方 a
a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
=a
= ∣ a∣ =
a (a≥ 0)
a )
?
已知y 2 x x 2 5, 5 y 则 ____ 2 x ∴x=2, y=5
2-X≥0 X-2≥0 x ≤2
x≥2
?
实数p在数轴上的位置如图所示，化 简 2 (1 p) 2 p 1 p (2 p)
2
p 1 2 p 1
（8）
2x 1 1 x
你有什么收获？
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
(
4)
2
4
( 0 )2 0
观测上述等式 2 的两边 ,你能得 4 42 0.01 0.01 到什么启示? 2 0 0 2
a ? a
( 0.01) 0.01 2
2
1 2 ( ) 3
-a (a＜0)
m4 思考：若 (m 4) 4 m, 则m的取值范围是 _________
2
例2:
(1)计算 2 3
2
(2)已知a, b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c) (b a c)
2 2
练习:用心算一算:
33 2 4 1 2