2019-2020年高三数学一轮复习第五篇平面向量第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课件理
3
解析:两向量的数量积是个实数,①为假命题;b在a方向上的投影是个数 量,②为假命题;a·b>0,则a,b夹角可能为0,a·b<0,则a,b夹角可能为π,③ 为假命题;两向量夹角范围是[0,π],④为假命题;a·b=0时,可能a⊥b,不 为零向量,⑤为假命题. 答案:①②③④⑤
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 平面向量数量积运算 【例1】 (1)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:(1)因为a=(1,2),2a-b=(3,1), 所以b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3), 所以a·b=(1,2)·(-1,3)=1×(-1)+2×3=5. 故选D.
2 又 BC = AC - AB , 所| BC |2=| AC - AB |2=| AB |2+| AC |2-2 AB · AC =4+| AB |2+| AC |2≥4+2| AB |·| AC |=12, 所以| BC |≥2 3 , 所以| BC |的最小值为 2 3 .故选 C.
答案:(1)D
3 5 x2 y2 2
3 5 x2 y2 2
故|c|=2 5 .
【例 2】 (1)(2015 东北三校第一次联合模拟)向量 a,b 满足|a|=1,
|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
答案:(2) 2π
第3节 平面向量的数量积及平面向量 的应用
No Image
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
知识链条完善 把散落的知识连起来
解析:|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4×12+4×1×2×cos π +22=12,所以 3
|2a+b|=2 3 .
No 2.对于非零向量I a,bm ,c. age (1)若a·c=b·c,则a=b吗? (2)(a·b)c=a(b·c)恒成立吗? 提示:(1)不一定有a=b,因为a·c=b·c⇔c·(a-b)=0,即c与a-b垂直,但不一 定有a=b.因此向量数量积不满足消去律. (2)因为(a·b)c与向量c共线,(b·c)a与向量a共线.所以(a·b)c与a(b·c)不一 定相等,即向量的数量积不满足结合律.
(A)2 (B) 3 (C)-2 (D)- 3
2
2
考点二 平面向量的夹角与模
③解有关向量夹角问题或两向量垂直问题的思路是直接运用夹角公式 cos<a,b>= a b 或向量垂直的充要条件求解.
ab
解析:(1)因为(a+b)⊥(2a-b), 所以(a+b)·(2a-b)=0, 所以2|a|2+a·b-|b|2=0, 所以a·b=|b|2-2|a|2=2-2=0, 所以<a,b>=90°.故选C.
考点三 平面向量的应用 解析:法一 由题意,得到 AD=BC=CD=1,
所以 AE · AF =( AB + BE )·( AD + DF )
=(
AB
+λ
BC
)·(
AD
+
1
9
DC
)
=
AB ·
AD +λ BC ·
AD +
1
9
AB · DC + 1 BC 9
· DC
=2×1×cos 60°+λ×1×1×cos 60°+ 1 ×2×1×1+ 1 ×1×1×
3
PA +
2PB
+
PC
=0,3 QA +4
QB
+5
QC
=0,则
S ∶S △PAB
△QAB
为(
)
(A)1∶2 (B)2∶5
(C)5∶2 (D)2∶1
③若 a=(x,y),则|a|= x2 y2 .
解析:(3)因为 AB · AC =| AB || AC |·cos A =| AB |·| AC |·(- 1 )=-2,所以| AB |·| AC |=4,
a
42
2
则 B= π ,由余弦定理得(4 4
解得 c=1.
2 )2=52在 BC 方向上的投影为
| BA |cos B=ccos B=1× 2 = 2 .
2
2
解析:设△ABC 为 AB=AC=2 的等腰直角三角形,建立坐标系如图,
则 A(0,0),B(2,0),C(0,2),设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
(2)(2015大庆市二检)设两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则
向量a+b与a-b的夹角等于
.
0 x 2,
【例
3】
(1)已知平面直角坐标系
xOy
上的区域
D
由不等式组
y
2,
x
2y
给定,若M(x,y)为区域D 上的动点,点 A的坐标为( 2 ,1),则 z=OM ·OA
5.下列命题中,假命题有
(填上正确的序号).
①两个向量的数量积是一个向量;
②b 在 a 方向上的投影是向量;
③若 a·b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a·b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角;
④两个向量的夹角的范围是[0, π ]; 2
⑤a·b=0,则 a=0 或 b=0.
(3)(2015 甘肃二诊)在△ABC 中,∠A=120°, AB · AC =-2,则| BC |的最小
解为析:(1)设 c.=(x,y),因为 a=(-1,2),b=(3,-6),所以 4a+b=(-1,2),
因为 c·(4a+b)=5,所以-x+2y=5,即 x-2y=-5.
因为向量 c 满足 c 与 b 夹角为 120°,所以 c b =- 1 , cb 2
即 3x 6y =- 1 ,因为 3 5 =- 1 ,所以 x2 y2 =2 5 .
由 3 PA +2 PB + PC =0, 得 3(-x1-y1)+2(2-x1,-y1)+(-x1,2-y1)=(0,0),
得 2-6y1=0,y1= 1 ,则 S = △PAB 1 S△CAB.由 3 QA +4 QB +5 QC =0 得
3
6
3(-x2,-y2)+4(2-x2,-y2)+5(-x2,2-y2)=(0,0),10-12y2=0,y2= 5 , 6
反思归求纳向量数量积的方法
(1)定义法;(2)坐标法;(3)由向量数量积的几何意义转化为一个向量在 另一个向量上的投影与另一向量模的积.
解析:(2)因为|a|=|b|=1,a·b=- 1 ,
C
2
所1.已以知||aa|+=24,b||b|2==3a,2a+与4ab·的夹b+角4为b21=210°-2,则+4b=在3.a 方向上的投影为 所( 以|)a+2b|= 3 .故选 B.
反思归(1纳)利用数量积求解长度的处理方法
①|a|2=a2=a·a;
②|a±b|2=a2±2a·b+b2;
【典例】 (2015 高考天津卷)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,
∠ABC=60°.动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE =λ BC , DF =
量 |a||b|cos θ
,记作a·b,即
|a||b|cos θ
a·b=
.
(2)向量的投影
|a|cos θ
设θ 为a与b的夹角,则向量a|在b|bc方os向θ上的投影是
;向
量b在a方向上的投影是
.
(3)数量积的几何意义
b在a的方向上的投影|b|cos θ
数量积a·b等于a的长度|a|与
的乘
积.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量a,b的夹角.
0 x 2,
解析:由线性约束条件
y
2,
画出可行域如图所示,目标函数
x 2y,
z= OM · OA= 2 x+y,将其化为 y=- 2 x+z,结合图形可知,目标函数的图
象过点( 2 ,2)时,z 最大,将点( 2 ,2)的坐标代入 z= 2 x+y 得 z 的最大
值为 4.故选 C.
的最大值为( )
(A)4 2 (B)3 2 (C)4 (D)3
解析： (2)依题意,
因为|a+b|=|a-b|=2|a|.
所以 a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2=4a2,
所以 a⊥b,b2=3a2,
所以 cos<a+b,a-b>=
a2 b2
=- 1 .
a b a b
2
所以向量 a+b 与 a-b 的夹角是 2π . 3
知识梳理
No
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(2)范围
向量夹角θ 的范围是 [0,π ] 夹角θ = π .
,a与b同向时,夹角θ = 0 ;a与b反向时,
(3)垂直关系 如果非零向量a与b的夹角是 90° ,我们说a与b垂直,记作 a⊥b .
2.平面向量的数量积
(1)数量积的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ ,则向量a与b的数量积是数
x22 y22
解析:两向量的数量积是个实数,①为假命题;b在a方向上的投影是个数 量,②为假命题;a·b>0,则a,b夹角可能为0,a·b<0,则a,b夹角可能为π,③ 为假命题;两向量夹角范围是[0,π],④为假命题;a·b=0时,可能a⊥b,不 为零向量,⑤为假命题. 答案:①②③④⑤
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 平面向量数量积运算 【例1】 (1)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:(1)因为a=(1,2),2a-b=(3,1), 所以b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3), 所以a·b=(1,2)·(-1,3)=1×(-1)+2×3=5. 故选D.
2 又 BC = AC - AB , 所| BC |2=| AC - AB |2=| AB |2+| AC |2-2 AB · AC =4+| AB |2+| AC |2≥4+2| AB |·| AC |=12, 所以| BC |≥2 3 , 所以| BC |的最小值为 2 3 .故选 C.
答案:(1)D
3 5 x2 y2 2
3 5 x2 y2 2
故|c|=2 5 .
【例 2】 (1)(2015 东北三校第一次联合模拟)向量 a,b 满足|a|=1,
|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
答案:(2) 2π
第3节 平面向量的数量积及平面向量 的应用
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知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
知识链条完善 把散落的知识连起来
解析:|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=4×12+4×1×2×cos π +22=12,所以 3
|2a+b|=2 3 .
No 2.对于非零向量I a,bm ,c. age (1)若a·c=b·c,则a=b吗? (2)(a·b)c=a(b·c)恒成立吗? 提示:(1)不一定有a=b,因为a·c=b·c⇔c·(a-b)=0,即c与a-b垂直,但不一 定有a=b.因此向量数量积不满足消去律. (2)因为(a·b)c与向量c共线,(b·c)a与向量a共线.所以(a·b)c与a(b·c)不一 定相等,即向量的数量积不满足结合律.
(A)2 (B) 3 (C)-2 (D)- 3
2
2
考点二 平面向量的夹角与模
③解有关向量夹角问题或两向量垂直问题的思路是直接运用夹角公式 cos<a,b>= a b 或向量垂直的充要条件求解.
ab
解析:(1)因为(a+b)⊥(2a-b), 所以(a+b)·(2a-b)=0, 所以2|a|2+a·b-|b|2=0, 所以a·b=|b|2-2|a|2=2-2=0, 所以<a,b>=90°.故选C.
考点三 平面向量的应用 解析:法一 由题意,得到 AD=BC=CD=1,
所以 AE · AF =( AB + BE )·( AD + DF )
=(
AB
+λ
BC
)·(
AD
+
1
9
DC
)
=
AB ·
AD +λ BC ·
AD +
1
9
AB · DC + 1 BC 9
· DC
=2×1×cos 60°+λ×1×1×cos 60°+ 1 ×2×1×1+ 1 ×1×1×
3
PA +
2PB
+
PC
=0,3 QA +4
QB
+5
QC
=0,则
S ∶S △PAB
△QAB
为(
)
(A)1∶2 (B)2∶5
(C)5∶2 (D)2∶1
③若 a=(x,y),则|a|= x2 y2 .
解析:(3)因为 AB · AC =| AB || AC |·cos A =| AB |·| AC |·(- 1 )=-2,所以| AB |·| AC |=4,
a
42
2
则 B= π ,由余弦定理得(4 4
解得 c=1.
2 )2=52在 BC 方向上的投影为
| BA |cos B=ccos B=1× 2 = 2 .
2
2
解析:设△ABC 为 AB=AC=2 的等腰直角三角形,建立坐标系如图,
则 A(0,0),B(2,0),C(0,2),设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
(2)(2015大庆市二检)设两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则
向量a+b与a-b的夹角等于
.
0 x 2,
【例
3】
(1)已知平面直角坐标系
xOy
上的区域
D
由不等式组
y
2,
x
2y
给定,若M(x,y)为区域D 上的动点,点 A的坐标为( 2 ,1),则 z=OM ·OA
5.下列命题中,假命题有
(填上正确的序号).
①两个向量的数量积是一个向量;
②b 在 a 方向上的投影是向量;
③若 a·b>0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a·b<0,则 a 和 b 的夹角为钝角;
④两个向量的夹角的范围是[0, π ]; 2
⑤a·b=0,则 a=0 或 b=0.
(3)(2015 甘肃二诊)在△ABC 中,∠A=120°, AB · AC =-2,则| BC |的最小
解为析:(1)设 c.=(x,y),因为 a=(-1,2),b=(3,-6),所以 4a+b=(-1,2),
因为 c·(4a+b)=5,所以-x+2y=5,即 x-2y=-5.
因为向量 c 满足 c 与 b 夹角为 120°,所以 c b =- 1 , cb 2
即 3x 6y =- 1 ,因为 3 5 =- 1 ,所以 x2 y2 =2 5 .
由 3 PA +2 PB + PC =0, 得 3(-x1-y1)+2(2-x1,-y1)+(-x1,2-y1)=(0,0),
得 2-6y1=0,y1= 1 ,则 S = △PAB 1 S△CAB.由 3 QA +4 QB +5 QC =0 得
3
6
3(-x2,-y2)+4(2-x2,-y2)+5(-x2,2-y2)=(0,0),10-12y2=0,y2= 5 , 6
反思归求纳向量数量积的方法
(1)定义法;(2)坐标法;(3)由向量数量积的几何意义转化为一个向量在 另一个向量上的投影与另一向量模的积.
解析:(2)因为|a|=|b|=1,a·b=- 1 ,
C
2
所1.已以知||aa|+=24,b||b|2==3a,2a+与4ab·的夹b+角4为b21=210°-2,则+4b=在3.a 方向上的投影为 所( 以|)a+2b|= 3 .故选 B.
反思归(1纳)利用数量积求解长度的处理方法
①|a|2=a2=a·a;
②|a±b|2=a2±2a·b+b2;
【典例】 (2015 高考天津卷)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,
∠ABC=60°.动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE =λ BC , DF =
量 |a||b|cos θ
,记作a·b,即
|a||b|cos θ
a·b=
.
(2)向量的投影
|a|cos θ
设θ 为a与b的夹角,则向量a|在b|bc方os向θ上的投影是
;向
量b在a方向上的投影是
.
(3)数量积的几何意义
b在a的方向上的投影|b|cos θ
数量积a·b等于a的长度|a|与
的乘
积.
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为向量a,b的夹角.
0 x 2,
解析:由线性约束条件
y
2,
画出可行域如图所示,目标函数
x 2y,
z= OM · OA= 2 x+y,将其化为 y=- 2 x+z,结合图形可知,目标函数的图
象过点( 2 ,2)时,z 最大,将点( 2 ,2)的坐标代入 z= 2 x+y 得 z 的最大
值为 4.故选 C.
的最大值为( )
(A)4 2 (B)3 2 (C)4 (D)3
解析： (2)依题意,
因为|a+b|=|a-b|=2|a|.
所以 a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2=4a2,
所以 a⊥b,b2=3a2,
所以 cos<a+b,a-b>=
a2 b2
=- 1 .
a b a b
2
所以向量 a+b 与 a-b 的夹角是 2π . 3
知识梳理
No
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(2)范围
向量夹角θ 的范围是 [0,π ] 夹角θ = π .
,a与b同向时,夹角θ = 0 ;a与b反向时,
(3)垂直关系 如果非零向量a与b的夹角是 90° ,我们说a与b垂直,记作 a⊥b .
2.平面向量的数量积
(1)数量积的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ ,则向量a与b的数量积是数
x22 y22
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【北师大版】高三数学一轮复习：5-3平面向量的数量积
高三总复习 ·北师大版 ·数学（理）
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第一章 第三节
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＝12|a||b|sinθ，故选C. 答案：C
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第一章 第三节
系列丛书
2．已知下列各式：
①a2＝|a|2
②
a·b a2
＝
b a
③(a·b)2＝a2·b2 ④(a－b)2＝a2
－2a·b＋b2，其中正确的有________个．( )
答案 3．(1)|a|cosθ (2)a·b＝0
(3)－|a|·|b|
a·b (4)|a|·|b|
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第一章 第三节
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4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________ (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝________ (3)(a＋b)·c＝________
A．1
B．2
C．3
D．4
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第一章 第三节
系列丛书
解析：①正确．∵aa·2b＝|a||b|a|c|2osθ＝|b|c|ao|sθ，∴②错． ③中(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2θ不一定与a2·b2相等， ∴③错．④正确．故选B.
答案：B
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第一章 第三节
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答案 2．非零 |a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ
高三总ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习 ·北师大版 ·数学（理）
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第一章 第三节
系列丛书
3．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的 夹角．则(1)e·a＝a·e＝________；
2019-2020年高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积讲
r
rr
【1-1 】已知 | a | 5,| b | 3,且 a b 12, 则向量在向量上的投影等于
.
【答案】 【解析】∵，而在上的投影为
rr
r |a|
rr cos< a,b >=
arb
=
-12
=-4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
|b| 3
【 1-2 】已知平行四边形 ABCD中，AC为一条对角线， 若＝ (2,4) ，＝ (1,3) ，则·＝
题组一 常识题
1．已知在△ ABC中， B 是最大内角， A→B· B→C<0，则△ ABC的形状是 ____________．
【解析】设 A→B与 B→C的夹角为 θ，则 A→B·B→C＝ | A→B| ·| B→C|cos θ <0，得 cos θ <0 ，所以
cos B＝ cos( π－ θ)>0 ，所以 B 为锐角．又 B 是三角形的最大内角，所以△ ABC为锐角三角 形．
ABC＝ 150° .
8．已知向量 a，b 的夹角为 60°，且 | a| ＝ 1，|2 a＋ b| ＝ 7，则 | b| ＝ ________．
2
2
2
【解析】由 |2 a＋b| ＝ 7，两边同时平方得 4a ＋ 4a· b＋b ＝ 7，即 | b| ＋ 2| b| － 3＝ 0，
解得 | b| ＝ 1 或 | b| ＝－ 3( 舍去 ) ．
.
【答案】 8
【解析】∵四边形 ABCD是平行四边形，∴＋＝，∴＝－＝ ( － 1，－ 1) ．又＝－＝ ( － 3，－
α＝β＝ 90°， | F| ＝ 12 N， | F1| ＝ 24 N ，
题组二 常错题
高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件
5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识 自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记 作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非 零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成 立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线 的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任 意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只 定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解 由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，
数学一轮复习第五章平面向量复数5.3平面向量的数量积课件
6.(多选)在△ABC 中，A→B＝c，B→C＝a，C→A＝b，在下列命题中，是真命题的为
A.若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
√B.若a·b＝0，则△ABC为直角三角形 √C.若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形 √D.若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形
解析 ①若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误； ②若 a·b＝0，则B→C⊥C→A，△ABC 为直角三角形，B 正确； ③若 a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，C→A·(B→C－A→B)＝0，C→A·(B→C＋B→A)＝0， 取 AC 的中点 D，则C→A·B→D＝0，
|a|＝___x_12＋__y_21_ x1x2＋y1y2
cos θ＝ x21＋y21 x22＋y22
_x_1_x_2＋__y_1_y_2＝__0__
|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y12x22＋y22
概念方法微思考
两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定.当夹角为0°时，数量积也大于0.
2x＋21，
f (x)＝sin2x＋π6＋12， 所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)在△ABC 中，BC＝ 7，sin B＝3sin C，若 f(A)＝1，求△ABC 的周长.
解 由题意可得 sin2A＋π6＝12， 又 0<A<π，所以π6<2A＋π6<163π， 所以 2A＋π6＝56π，故 A＝π3. 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A. 所以a2＝b2＋c2－bc＝7， 又sin B＝3sin C，所以b＝3c. 故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1. 所以 b＝3，△ABC 的周长为 4＋ 7.
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
=3 2 × 1 × -
1
2
-1 =-6.
(3)设 a,b 的夹角为 θ.∵|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
2
∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-1× 2×cos θ=0,∴cos θ= ,
2
2
∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ= .
2
-24考点1
考点2
考点3
考点 2
但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,
原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一
当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6.
故 ·的最大值为 6.
(方法 2)设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),
=(x+2,y), ·=2x+4,故 ·的最大值为 6.
-20考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(2)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 ·
6
的最大值为
.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
如图所示,选取, 为基底,则 = + + = +
1
1
1
1
2
-1 =-6.
(3)设 a,b 的夹角为 θ.∵|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
2
∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-1× 2×cos θ=0,∴cos θ= ,
2
2
∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ= .
2
-24考点1
考点2
考点3
考点 2
但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,
原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一
当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6.
故 ·的最大值为 6.
(方法 2)设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),
=(x+2,y), ·=2x+4,故 ·的最大值为 6.
-20考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(2)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 ·
6
的最大值为
.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
如图所示,选取, 为基底,则 = + + = +
1
1
1
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
1.平面向量数量积的有关概念
向量的
夹角
数量积
的定义
已 知两 个 非 零 向 量 a , b , O 是平 面上的 任意一 点 , 作
→
→
=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
的夹角
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把|a||b|
cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
A.20
C.20
)
B.-20
√
D.-20
→
→
→
→
→
→
→
解析:由题意知<,>=120°,故·=||·||·cos<,
→
>=-5×8× =-20.故选 B.
3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角的余弦值为(
A.-
√
C.
B.
解析:(2)因为a=(3,1),b=(2,2),
所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
则|a+b|= + = ,|a-b|= + = ,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,
(+)·(-)
所以 cos<a+b,a-b>=
|+||-|
=
→
→
→
||cos∠PAB 表示在上的投影向量的数量,所以结合图形可知,
当 P 与 C 重合时投影向量的数量最大,当 P 与 F 重合时投影向量的数量
→
→
→
→
最小.又·=2 ×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=
高三数学(理)一轮总复习课件第五章第三节 平面向量的数量积与平面向量应用ppt版本
即(| AB|·| AC |)2＝( AB·AC )2＋(| AB|·| AC |·
sin〈 AB， AC 〉)2，
∴| AB|·| AC |·sin〈 AB， AC 〉＝2－ 3，
∴S△ABC＝12| AB|·| AC |·sin〈 AB， AC 〉＝1－
3 2.
答案：1－
3 2
角度三：平面向量的垂直 5．(2014·重庆高考改编)已知向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝
所以 a·b＝－1×－12＋2×1＝52.
答案：52
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为 ________．
解析：∵|a＋b|＝1，∴a2＋2a·b＋b2＝1. 又|a|＝|b|＝1，∴cos〈a，b〉＝－12. 又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝23π. 答案：23π
AF ＝ AB＋ BC ＋CF ＝－BA＋BC ＋152BA＝－172BA＋BC ，
∴ AE ·AF ＝23
BC － BA
·－172
BA ＋ BC
＝172| BA|2－2158 BA·BC ＋23|BC |2
＝172×4－2158×2×1×12＋23 ＝2198.
答案：梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC， AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE ＝23BC ， DF ＝16 DC ，则 AE ·AF 的值 为________．
解析：取 BA， BC 为一组基底，
则 AE ＝ BE － BA＝23BC －BA，
[方法归纳] 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝|aa|··b|b|，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥ b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝ a·a. ②|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2. ③若a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 3平面向量的数量积及平面向量的应用课件
=
D.6
3+
,解得
= 5.故选C.
命题角度3 两个向量的垂直
3
−
例4（1） （2022年全国甲卷）已知向量 = , 3 , = 1, + 1 .若 ⊥ ，则 =____.
4
解：由题意，知 ⋅ = + 3 + 1 = 0，解得 =
3
3
− .故填− .
4
4
（2）设非零向量，满足 + = − ，则 (
)
D.8
0
3
4.若 = 2,1 , = 2, −1 , = 0,1 ,则 + ⋅ =___;
⋅ =___.
解： + = 4,0 ,所以 + ⋅ = 0, ⋅ = 3.故填0;3.
考点一 平面向量数量积的运算
1
3
例1（1） （2022年全国甲卷）设向量，的夹角的余弦值为 ，且 = 1， = 3，
又因为 − = 3，所以 −
2
= 3.
即2 − 2 ⋅ + 2 = 2 = 3，所以 = 3.故填 3.
命题角度2 求平面向量的夹角
例3 （2023年全国甲卷）已知向量 = 3,1 ， = 2,2 ，则cos⟨ + ， − ⟩ =
(
)
B.
√
1
A.
17
17
.故选B.
17
【点拨】 求两向量,的夹角 ,通常采用公式cos =
⋅
进行求解.
变式3 （2022年新课标Ⅱ卷）已知向量 = 3,4 , = 1,0 , = + ，若⟨,⟩ = ⟨,
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 课件(64张)
B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角 为 0 时不成立).
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规定 零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0； 当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当 〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．
高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及平面向量的应用课件文北师大版
【教材·知识梳理】 1.向量的夹角 (1)条件:平移两个非零向量a和b至同一起点, 结论:∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角.
(2)范围:0°≤θ≤180°. 特殊情况:当θ=0°时,a与b_共__线__同__向__. 当θ=180°时,a与b_共__线__反__向__. 当θ=90°时,a与b_互__相__垂__直__.
【知识点辨析】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是 [ 0 ， ] . ( )
2
(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量. ( ) (3)a·b>0,则a与b的夹角为锐角;a·b<0,则a与b的夹角为钝角. ( ) (4)两向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.
3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=<a,b>
结论
几何表示
坐标表示
向量的模
|a| aa
()
提示:(1)×.由两个向量夹角的定义可知:两个向量夹角的范围为 [0，]. (2)√.因为向量a在b方向上的投影|a|cos θ,它是一个实数值. (3)×.因为a·b>0,则a与b的夹角为锐角或零角;a·b<0,则a与b的夹角为钝角或平 角. (4)√.由向量的数量积,向量的加法、减法、数乘运算的定义可知,两个向量的 数量积结果为一实数,两个向量的和或差结果为向量,向量的数乘运算结果为向 量.
以- 3 sin(≤x－1,所) 以-2