2014年高考理科数学真题解析分类汇编：K单元概率(纯word可编辑)

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2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含解析(2014高考)

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为（）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ．7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（）A ．14 B ．13 C ．4 D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14 B．4C．4 D ．12 【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答）【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨? ．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，∵侧面11AA C C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1AE 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E=1A C 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A ABC --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内．（I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c o s ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4． 20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+= ，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+ ，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．（ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+ 上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+ 是增函数．当()0,x ? 时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <++．（i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。

2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·湖北(理科数学)

2014²湖北卷(理科数学)1．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i1．A [解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A. 2．[2014·湖北卷] 若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B.54C ．1D.242．C [解析]展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C.3．[2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析]若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.4．[2014·得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0D ．a <0，b <04．B [解析]观察图象可知，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.故a >0，b <0.故选B. 5．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A ．①和②B5．D [解析]由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②.故选D.6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．36．C [解析]由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ²x 2d x ＝x 4411＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.故选C . 7．[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D [解析]作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12³2³2＝2，S △BCE ＝12³1³12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D.3551138．B [解析]设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．29．A [解析]设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13³3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 10．B [解析]因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B. 11．[2014·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．11．±3 [解析]因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.12．2 [解析]依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1³sin45°，得|a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．[2014·湖北卷] 设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________．13．495 [解析]取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693；由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594；由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495；由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495.14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析]设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)． 15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲) 如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D ________．15．4 [解析]由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1³(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 16.()3，1 [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1. 17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 19．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ .(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形．连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →²n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20．、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4³0.93³0.1＝0.9477. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000³1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000³2＝10000，因此P (Y ＝10000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3所以，E (Y )＝4200³0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000³2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000³3＝15000，因此P (Y ＝所以，E (Y )＝3400³综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 21．、、[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln xx 的单调区间；(2)求e 3，3e，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1－ln x x2.当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln3<eln π，πlne<πln3，即ln3e <ln πe ，lne π<ln3π. 于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln33<lnee .由ln ππ<ln33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3；由ln33<lnee，得ln3e <lne 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<lne e ，得πe <e π.故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e，即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－eπ.①由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7³⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7³(2－0.88)＝3.024>3，即eln π>3，亦即ln πe >lne 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3eπ>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.第11 页共11 页。

2014年高考全国卷1理科数学精彩试题及问题详解 word版

实用文档文案大全2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x|2230xx???}，B={x|－2≤x＜2＝，则AB?=A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）2. 32(1)(1)ii??= A.1i?B.1i?C.1i??D.1i??3. 设函数()fx，()gx的定义域都为R，且()fx时奇函数，()gx是偶函数，则下列结论正确的是A.()fx()gx是偶函数B.|()fx|()gx是奇函数C.()fx|()gx|是奇函数D.|()fx()gx|是奇函数4. 已知F是双曲线C：223(0)xmymm???的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A.18B.38C.58D.786. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()fx，则y=()fx在[0,?]上的图像大致为实用文档文案大全7. 执行下图的程序框图，若输入的,,abk分别为1,2,3，则输出的M=A.203B.165C.72D.1588. 设(0,)2???，(0,)2???，且1sintancos?????，则A.32?????B.22?????C.32?????D.22?????9. 不等式组124xyxy???????的解集记为D.有下面四个命题：1p：(,),22xyDxy?????，2p：(,),22xyDxy????, 3P：(,),23xyDxy????，4p：(,),21xyDxy?????.其中真命题是A.2p，3PB.1p，4pC.1p，2pD.1p，3P10. 已知抛物线C：28yx?的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C 的一个焦点，若4FPFQ?，则||QF=A.72B.52C.3D.2 11. 已知函数()fx=3231axx??，若()fx存在唯一的零点0x，且0x＞0，则a的取值范围为A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42C.6D.4第Ⅱ卷实用文档文案大全本卷包括必考题和选考题两个部分。

2014年全国各地高考试题分类汇编(理数)10----概率与

2014年全国各地高考试题分类汇编(理数概率与统计(解答题(2014安徽理数 17. (本小题满分 12分甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 23,乙获胜的概率为 13,各局比赛结果相互独立. (1求甲在 4局以内(含 4局赢得比赛的概率;(2记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望.解:用 A 表示“ 甲在 4局以内 (含 4局赢得比赛” , k A 表示“第 k 局甲获胜” , k B 表示“ 第 k 局乙获胜” 则 (23k P A =, (13k P B =, 1,2,3,4,5. k = (1 ((((121231234P A P A A P B A A P AB A A =++ (((((((((121231234P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++ 2222122125633333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 X 的可能取值为 2,3,4,5. (((((((12121212529P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=, (((((((((123123123123239P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=, (((123412344P X P AB A A P B A B B ==+((((((((123412341081 P A P B P A P A P B P A P B P B =+=, ((((85123481P X P X P X P X ==-=-=-==, 故 X 分布列为52108234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2014北京理数 16:(1从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.(2从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 6. 0,一场不超过 6. 0的概率.(3记 x 是表中 10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这比赛中的命中次数,比较 EX 与 x 的大小. (只需写出结论解:(1 根据投篮统计数据, 在 10场比赛中, 李明投篮命中率 0.6的场次有 5场, 分别是主场 2, 主场 3, 主场 5, 客场 2,客场 4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6的概率是 0.5.(2设事件 A 为“ 在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6” ,事件 B 为“ 在随机选择的一场客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6” ,事情 C 为“ 在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过0.6” .则 C =, A , B 独立.根据投篮统计数据, (35P A =, (25P B =. (((P C P P =+332213555525=⨯+⨯=. 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6的概率为1325. (3 EX =.(2014大纲理数 20. (本小题满分 12分设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为 0.6, 0.5, 0.5, 0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1求同一工作日至少 3人需使用设备的概率; (2 X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.解:记 i A 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备, 0,1, 2, i =, B 表示事件:甲需使用设备, C 表示事件:定需使用设备, D 表示事件:同一工作日至少 3人需使用设备.(1 122D A B C A B A B C=⋅⋅+⋅+⋅⋅, (0.6P B =, (0.4P C =, (122C 0.5i P A =⨯, 0,1, 2, i = 所以 ((((12212P D P A B C A B A B C P A B C P A B =⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+(2P A B C ⋅⋅=((((((((1220.31P A P B P C P A P B P A P B P C ++=.(2 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4,则 (((((((200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=,((0011P X P B A C B A C B A C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅(((((((((001P B P A P C P B P A P C P B P A P C =++((((2220.60.510.410.60.50.410.620.510.4=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-0.25=, (((((22240.50.60.40.06P X P A B C P A P B P C ==⋅⋅==⨯⨯=, (((340.25P X P D P X ==-==,(((((210134P X P X P X P X P X ==-=-=-=-=10.060.250.250.06=----=0.38,数学期望 ((((00112233EX P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+(440.2520.3830.2540.062P X ⨯==+⨯+⨯+⨯=.(2014福建理数 18. (本小题满分 13分为回馈顾客, 某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000位顾客进行奖励, 规定:每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球, 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1若袋中所装的 4个球中有 1个所标的面值为 50元,其余 3个均为 10元,求: ①顾客所获的奖励额为 60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2商场对奖励总额的预算是 60000元,并规定袋中的 4个球只能由标有面值 10元和 50元的两种球组成,或标有面值 20元和 40元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 解:(1设顾客所获的奖励额为 X .(i 依题意,得 (111324C C 160C 2P X ===,即顾客所获的奖励额为 60元的概率为 12. (ii 依题意,得 X 的所有可能取值为 20, 60. (1602P X ==, (2324C 120C 2P X ===, 即 X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为 (200.5600.540EX =⨯+⨯=(元. (2 根据商场的预算, 每个顾客的平均奖励额为 60元. 所以, 先寻找期望为 60元的可能方案. 对于面值由 10元和 50元组成的情况,如果选择 (10,10,10,50的方案,因为 60元是面值之和的最大值,所有期望不可能为 60元;如果选择 (50,50,50,10的方案,因为 60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为 60元,因此可能的方案是 (10,10,50,50,记为方案 1.对于面值由 20元和 40元组成的情况,同理可排除 (20,20,20,40和(40,40,40,20的方案,所以可能的方案是 (20,20,40,40,记为方案 2. 以下是对两个方案的分析:对于方案 1,即方案 (10,10,50,50,设顾客所获得奖励额为 1X , 则 1X 的分布列为 1X 的期望为 (1121206010060636E X =⨯+⨯+⨯=, 1X 的方差为 ((((21121160020606060100606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=. 对于方案 2,即方案 (20,20,40,40,设顾客所获得奖励额为 2X , 则 2X 的分布列为 2X 的期望为 (212140608060636E X =⨯+⨯+⨯=, 2X 的方差为 ((((22221214004060606080606363D X =-⨯+-⨯+-⨯=. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2奖励额的方差比方案 1的小,所以应该选择方案 2. 注:第(2问,给出方案 1或方案 2的任一种方案,并利用期望说明所给方案满足要求,给 3分; 进一步比较方差,说明应选择方案 2,再给 2分. (2014广东理数 17. (13分随机观测生产某种零件的某工厂 25名工人的日加工零件数(单位:件 ,获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:(1 确定样本频率分布表中 121, , n n f 和 2f 的值; (2根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4人,至少有 1人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率. 解:(1 17n =, 22n =, 10.28f =, 20.08f =. (2样本频率分布直方图如图所示(3根据样本频率分布直方图,得每人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率为0.2, 设所取的 4人中,日加工零件数落在区间 (]30,35的人数为ξ, 则(4,0.2B ξ, (((4110110.210.40960.5904P P ξξ=-==--=-=… ,所以 4人中,至少有 1人的日加工零件数落在区间 (]30,35的概率约为 0.5904.(2014湖北理数 20. (本小题满分 12分计划在某水库建一座至多安装 3台发电机的水电站,过去 50年的水文资料显示, 水库年入流量 X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和, 单位:亿立方米都在 40以上. 其中,不足 80的年份有 10年,不低于 80且不超过 120的年份有 35年,超过 120的年份有 5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1求未来 4年中,至多 1年的年入流量超过 120的概率;(2X若某台发电机运行,则该台年利润为万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解:(1依题意, (11040800.250p P X =<<==, (235801200.750p P X ===剟 , (351200.150p P X =>==.由二项分布,在未来 4年中至多有 1年的年入流量超过 120的概率为((43430143433991C 1C 140.9477101010p p p p ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2记水电站年总利润为 Y (单位:万元①安装 1台发电机的情形. 由于水库年人流量总大于 40, 故一台发电机运行的概率为 1, 对应得年利润 5000Y =,(500015000E Y =⨯=.0000②安装 2台发电机的情形.依题意,当 4080X <<时,一台发电机运行,此时50008004200Y =-=,因此 ((1420040800.2P Y P X p ==<<==;当80X … 时,两台发电机运行, 此时 5000210000Y =⨯=, 因此 ((2310000800.8P Y P X p p===+=… ; 由此得 Y 的分布列如下: 所以, (42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=.③安装 3台发电机的情形.依题意,当 4080X <<时,一台发电机运行,此时500016003400Y =-=,因此((1340040800.2P Y P X p ==<<==; 当 80120X 剟时, 两台发电机运行, 此时500028009200Y =⨯-=,因此 ((29200801200.7P Y P Xp ====剟 ;当 120X >时,三台发电机运行,此时 5000315000Y =⨯=,因此 ((3150001200.1PY P X p ==>==,由此得 Y 的分部列如下: 所以, (34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯=.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2台.(2014湖南理数 17. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和 35,现安排甲组研发新产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1求至少有一种新产品研发成功的概率;(2若新产品 A 研发成功,预计企业可获得 120万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获得利润 100万元, 求该企业可获得利润的分布列和数学期望.解:记 E ={甲组研发新产品成功 }, F ={乙组研发新产品成功 },由题设知 (23P E =, (13P E =, (35P F =, (25P F =,且事件 E 与 F , E 与 F , E 与 F , E 与 F 都相互独立. (1记 H ={至少有一种新产品研发成功 },则 H EF =,于是 (((1223515P H P E P F ==⨯=, 故所求的概率为 ((213111515P H P H =-=-=. (2设企业可或利润为 X (万元 ,则 X 的可能取值为 0, 100, 120, 220,因为 ((12203515P X P EF ===⨯=, ((1331003515P X P EF ===⨯=,((2241203515P X P EF ===⨯=, ((236220P X P EF ===⨯=.故所求的分布列为数学期望为 (2321000100120220140151515151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯===. (2014江苏 22. (本小题满分 10 分盒中共有 9个球,其中有 4个红球、 3个黄球和 2个绿球, 这些球除颜色外完全相同. (1从盒中一次随机取出 2个球, 求取出的 2个球颜色相同的概率 P ;(2 从盒中一次随机取出 4个球, 其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 1x , 2x , 3x , 随机变量 X 表示 1x ,2x , 3x 中的最大数. 求 X 的概率分布和数学期望 (E X .解:(1取到的 2个颜色相同的球可能是2个红球、 2个黄球或 2个绿球,所以 22243229C C C 6315C 3618P ++++===. (2随机变量 X 所有可能取值为 2, 3, 4. {}4X =表示的随机事件是“ 取到的 4个球是 4个红球” , 故 (((1311121341P X P X P X ==-=-==--=.所以随机变量 X 的概率分布如下表: 因此随机变量 X 的数学期望(1123414631269E X =⨯+⨯+⨯=.(2014江西理数 21. (本小题满分 14分随机将 (1, 2, , 2, 2n n n *⋅⋅⋅∈N …这 2n 个连续正整数分成 , A B 两组, 每组 n 个数, A 组最小数为 1a ,最大数为2a ; B 组最小数为 1b ,最大数为 2b ,记21a a ξ=-, 21b b η=-. (1当 3n =时,求ξ的分布列和数学期望;(2令 C 表示事件“ ξ与η的取值恰好相等” ,求事件 C 发生的概率 (P C ;(3对(2中的事件 C , C 表示 C 的对立事件,判断 (P C 和 (P 的大小关系,并说明理由.解:(1当 3n =时, ξ的所有可能取值为 2, 3, 4, 5.将 6个正整数平均分成 A, B 两组,不同的分组方法共有 36C 20=种,所以ξ的分布列为1331723455101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.(2 ξ和η恰好相等的所有可能取值为 1n -, n , 1n +, … , 22n -.又ξ和η恰好相等且等于 1n -时,不同的分组方法有 2种; ξ和η恰好相等且等于 ((1,2,23n k k n n +=-… 时,不同的分组方法有 22C k k 种,所以当 2n =时, (4263P C ==,当3n … 时, (221222C C n k k k n nP C -=⎛⎫+ ⎪=∑.(3由(2知当 2n =时, (13P C =,因此 ((P C P C >,而当3n … 时, ((P C P C <.理由入下:((P C P C <等价于 222142C C n k nk n k -=⎛⎫+< ⎪⎝⎭∑.①用数学归纳法来证明:1当 3n =时,①式左边 ((1242C 42216=⨯+=⨯+=,①式右边 36C 20==,所以①式成立.2假设(3n m m =… 时①式成立,即 222142C C m k m k m k -=⎛⎫+< ⎪⎝⎭∑成立,那么,当1n m =+时, 左边 ((1221122221211142C 42C 4C C 4C m m k k m m m k k m m m k k +------==⎛⎫⎛⎫=+=++<+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑((2! 422! ! ! 1! 1! m m m m m m ⋅-+=--((((21222! 411! 1!m m m m m m +--<++ (((((((21121211222! 421C C 1! 1! 2121m m m m m m m m m m m m m m +++++-+=⋅<=+++-右边,即当 1n m =+时①式也成立. 综合 1, 2得,对于3n … 的所有正整数,都有 ((P C P C <成立.(2014辽宁理数 18. (本小题满分 12分一家面包房根据以往某面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1求在未来连续 3天里,有连续 2天的日销售量都不低于 100个且另一天的日销售量低于 50个的概率; (2 用 X 表示在未来 3天里日销售量不低于 100个的天数, 求随机变量 X 的分布列, 期望 (E X 及方差 (D X .解:(1设 1A 表示事件“ 日销售量不低于 100个” , 2A 表示事件“ 日销售量低于50个” , B 表示事件“ 在未来连续 3天里有连续 2天日销售量不低于 100个且另一天销售量低于 50个” .因此 ((10.0060.0040.002500.6P A =++⨯=, (20.003500.15P A =⨯=,(0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.(2可能取的值为 0, 1, 2, 3,相应的概率为 ((303010.60.064P X C ==⋅-=,((21310.610.60.288P X C ==⋅-=, ((22320.610.60.432P X C ==⋅-=, (33330.60.216P X C ==⋅=.分布列为因为 (3,0.6XB ,所以期望 (30.61.8E X =⨯=,方差 ((30.610.60.72D X =⨯⨯-=.(2014山东理数 18. (本小题满分 12分乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 , A B ,乙被划分为两个不相交的区域 , C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3分,在D 上记 1分,其他情况记 0分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为12,在 D 上的概率为 13;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 15,在 D 上日销售量 /个的概率为35.假设共有两次来球且落在 , A B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (1小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解:(1记 1A 为事件“ 小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分” (0,1,3i =, 则(312P A =, (113P A =, (01111236P A =--=;记 i B 为事件“ 小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 i 分” (0,1,3i =,则 (315P B =, (135P B =, (01311555P B =--=.记 D 为事件“ 小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上” .由题意, 30100103D A B A B A B A B =+++,由事件的独立性和互斥性,((((((3010010330100103P D P A B A B A B A B P A B P A B P A B P A B=+++=+++= ((((((((30100103P A P B P A P B P A P B P A P B +++=1111131132535656510⨯+⨯+⨯+⨯= 所以小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上的概率为 310.(2由题意,随机变量ξ可能的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 6,由事件的独立性和互斥, 得((0011106530P P A B ξ===⨯=, ((((1001100111131135656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,((111312355P P A B ξ===⨯=, ((((30033003111123255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=,((((311331131311114253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=, ((33111 62510P P A B ξ===⨯=.可得随机变量ξ的分布列为:所以数学期望 111211191012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2014陕西理数 19. (本小题满分 12分在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1设 X 表示在这块地上种植 1季此作物的利润,求 X 的分布列;(2若在这块地上连续 3季种植此作物,求这 3季中至少有 2季的利润不少于2000元的概率. 解:(1设 A 表示事件“ 作物产量为300kg ” B表示事件“ 作物市场价格为 6元∕ kg ” ,由题设知 (0.5P A =, (0.4P B =,因为利润 =产量⨯市场价格 -成本,所以 X 所有可能的取值为 5001010004000⨯-=, 500610002000⨯-=, 3001010002000⨯-=, 30061000800⨯-=. (((((400010.510.40.3P X P A P B ===-⨯-=,(((((((200010.50.40.510.40.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=,(((8000.50.40.2P X P A P B ===⨯=,所以 X 的分布列为(2设 i C 表示事件“ 第 i 季利润不少于 2000元” ,由题意知 1C , 2C , 3C 相互独立, 由(1知, ((((1400020000.30.50.81,2,3P C P X P X i ==+==+==, 3季的利润均不少于 2000元的概率为 ((((31231230.80.512C C C P C P C P C ===;3季中有 2季利润均不少于 2000元的概率为 (((212312312330.80.20.384P C C C P C C C P C C C ++=⨯⨯=,所以,这 3季中至少有 2季的利润不少于 2000元的概率为 0.5120.3840.896+=.(2014四川理数 17. 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐, 要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得 20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除 200分(即获得 200-分 .设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解:(1 X 可能的取值为 10, 20, 100, 200-.根据题意,有 (121311310C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(212311320C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, (3033111100C 1228P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(0303111200C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.所以 X 的分布列为(2设“ 第 i 盘游戏没有出现音乐” 为事件 (1,2,3i A i =,则 ((((2312008 i P A P A P A P X ====-=. 所以, “ 三盘游戏中至少有一次出现音乐” 的概率为 (3 23115111118512512i P A A A ⎛⎫-=-=-=⎪⎝⎭. 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3 X 的数学期望为 33115102010020088884EX =⨯+⨯+⨯-⨯=-.这表明,获得分数 X 的均值为负. 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.(2014天津理数 16. (本小题满分 13分某大学志愿者协会有 6名男同学, 4名女同学. 在这 10名同学中,3名同学来自数学学院,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的 7个学院. 现从这 10名同学中随机选取 3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同 . (1求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率;(2设 X 为选出的 3名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解:(1设“ 选出的 3名同学是来自互不相同的学院” 为事件 A ,则(120337373104960C C C C P A C ⋅+⋅==.所以选出的 3名同学是来自互不相同的学院的概率为 4960. (2随机变量 X 的所以可能值为 0, 1, 2, 3. ((3463100,1,2,3K kC C P X k k C -===.所以随机变量 X 的分布列是随机变量 X 的数学期望(1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2014新课标 1理数 18. (本小题满分 12分从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1求这 500件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 2s (同一组数据用该区间的中点值作代表 ; (2由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2(, N μδ,其中μ近似为样本平均数 x , 2δ近似为样本方差 2s . (i 利用该正态分布,求 (187.8212.2 P Z <<;(ii 某用户从该企业购买了 100件这种产品, 记 X 表示这 100件产品中质量指标值为于区间 2. 212, 8. 187(的产品件数,利用(i 的结果,求 EX .. 2.若 Z ~2(, N μδ,则( P Z μδμδ-<<+=0. 6826, (22 P Z μδμδ-<<+=0. 9544.解:(1抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差 2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+2300.02200⨯=(((((222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+(2300.02150⨯=(2 (ⅰ由 (1 知 Z(200,150N , 从而 (187.8212.2 P Z <<=(20012.220012.2 0.6826P Z -<<+=(ⅱ由(ⅰ知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2的概率为 0.6826依题意知(100,0.6826XB ,所以 1000.682668.26EX =⨯=（2014 新课标 2 理数）19．（本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y （单位：千元）的数据如下表：年份年份代号 t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 （1）求y 关于 t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： bt t y y i 1 i i n t t i 1 i n 2 ˆ．ˆ y bt ，a 解：7 4 ， 7 1 y（1）由所给数据计算得 t 1 2 3 4 5 6， ti t 7 i 1 1 72.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.3， t i 1 7 i t yi y =2 9 4 1 0 1 4 9 283 1.4 2 1 1 0.7 +0 0.1+1 0.5+2 0.9+3 1.6 =14 ， t yi y i ˆ b t i 1 7 i t i 1 7，所求回归方程为y ˆ 0.5t 2.3 ．ˆ yt 2 14 ˆ 4.3 0.5 4 2.3bt 0.5 ，a 28 ˆ 0.5 0 ，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 （2）由（1）知，b ˆ 0.5 9 2.3 6.8 千元，故预测该地区 2015 年千元．将 2015 年的年份代号 t 9 代入（I）中的回归方程，得 y 农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．（2014 重庆理数）18．（本小题满分 13 分）一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是1 ， 3 张卡片上的数字是2 ， 2 张卡片上的数字是3 ，从盒中任取 3 张卡片．（1）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； b c，（2） X 表示所取 3张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望（注：若三个数 a, b, c 满足 a剟则称 b 为这三个数的中位数）．解：（1）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P 3 C3 5 4 C3 ． 3 C9 84 （2） X 的所有可能值为 1，2，3，且 P X 1 1 C2 1 2 C7 ，故 X 的分布列为 3 C9 12 1 3 1 1 2 1 3 C2 C1 17 434C5 C4 3C4 C2 C3 C6 C3 ，， P X 2 3 3 C9 42 C9 84 P X 3 X P 1 2 3 从而 E X 1 17 43 1 47 2 3 ． 42 84 12 28 11 17 42 43 84 1 1212。

2014年湖南高考理科数学试题逐题详解 (纯word解析版)

2014年湖南高考理科数学试题逐题详解（纯word 解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【2014年湖南卷（理01）】满足i ziz =+（i 为虚数单位）的复数=z A. i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121--【答案】B【解析】由题可得i i z zi i z -=-⇒=+)1(，所以i i i z 21211-=--=，故选B【2014年湖南卷（理02）】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则A. 321p p p <=B. 132p p p <=C. 231p p p <=D. 321p p p ==【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选D【2014年湖南卷（理03）】已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g fA. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】C【解析】令1-=x 可得1)1()1()1()1(=+=---g f g f ，所以故选C.或者观察求得1)(2+=x x f ，3)(x x g -=，可求得1)1()1(=+g f【2014年湖南卷（理04）】5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是A. 20-B. 5-C. 5D. 20【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.【2014年湖南卷（理05）】已知命题:p 若y x >，则y x -<-；命题:q 若y x >，则22y x > . 在命题① q p ∧； ② q p ∨； ③ )(q p ⌝∧；④ q p ∨⌝)(中，真命题是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <, 所以命题q 为假命题,所以②③为真命题, 故选C.【2014年湖南卷（理06）】执行如图1所示的程序框图. 如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于A. ]2,6[--B. ]1,5[--C. ]5,4[-D. ]6,3[-【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【2014年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-=⇒=，故选B【2014年湖南卷（理08）】某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A. 2q p +B. 21)1)(1(-++q p C. pq D. 1)1)(1(-++q p【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=，故选D.【2014年湖南卷（理09）】已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A【2014年湖南卷（理10）】已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x与)ln()(2a x x x g ++=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 A. )1,(e-∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e-D. )1,(ee -【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=，当0x 趋近于负无穷小时，()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增，所以ln ln a a <⇒<,故选B.二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一) 选做题 (请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 【2014年湖南卷（理11）】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C ⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2y x (α为参数) 交于A 、B 两点，且2||=AB . 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是____________________.【答案】1)sin (cos =-θθρ （或22)4sin(-=-πθρ）【解析】曲线C 的普通方程为1)1()2(22=-+-y x ，直线l 截曲线C 所得弦长2|=AB ，知直线l 过圆心)1,2(，故直线l 的直角坐标方程为1-=x y 1cos sin -=⇒θρθρ【2014年湖南卷（理12）】如图3，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，BC AO ⊥，3=AB ，22=BC ，则⊙O 的半径等于_______. 【答案】23 【解析】设AD 交BC 于点D ，延长AO 交圆于另一点E ，则2==CD BD ，在ABD ∆中由勾股定理可得 1=AD ，再由相交弦定理得2=DE ，从而直径3=AE ，半径23=R【2014年湖南卷（理13）】若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ，则=a ________.【答案】3-【解析】依得可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--3|231|3|235|a a ，解得3-=a（二）必做题（14~16题）【2014年湖南卷（理14）】若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,,4,k y y x x y ，且y x z +=2的最小值为6-，则=k ____.【答案】2-【解析】画出不等式（组）表示的平面区域，知当y x z +=2过点）（k k ,时取得最小值，所以62-=+k k ，2-=k【2014年湖南卷（理15）】如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________.1+ 【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=,1+.【2014年湖南卷（理16）】在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,1(-A ，)3,0(B ，)0,3(C . 动点D 满足1||=，则||++的最大值是_________.【答案】71+【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈，则(3OA OB OD ++=)sin(728ϕθ++=，所以OA OB OD ++的最大值为17728+=+，故填71+.或由题求得点D 的轨迹方程为1)3(22=+-y x ，数形结合求出OA OB OD ++的最大值即为点 )3,1(-到轨迹上的点最远距离( 到圆心的距离加半径) .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【2014年湖南卷（理17）】 (本小题满分12分) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P , 31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P . 且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1) 记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220. 又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .数学期望为 1401521001562201541201531001520)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .【2014年湖南卷（理18）】 (本小题满分12分)如图5，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC .（1）求CAD ∠cos 的值；（2）若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长.解：（1）在ADC ∆中，则余弦定理，得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222.由题设知，77272417cos =-+=∠CAD .（2）设α=∠BAC ，则CAD BAD ∠-∠=α因为772cos =∠CAD ，147cos -=∠BAD ，所以721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ，14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD .于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α23721)147(77214213=⋅--⋅=.在ABC ∆中，由正弦定理，CBA AC BC ∠=sin sin α，故 3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBAAC BC α.【2014年湖南卷（理19）】(本小题满分12分)如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，O BD AC = ，11111O D B C A = ，四边形11A ACC 和四边形11B BDD 均为矩形. （1）证明：⊥O O 1底面ABCD ;（2）若60=∠CBA ，求二面角D OB C --11的余弦值.图6D 1B DC解：（1）如图 (a)，因为四边形11A ACC 为矩形，所以AC CC ⊥1，同理BD DD ⊥1.由题知，11//CC OO ，11//DD OO ，所以AC OO ⊥1，BD OO ⊥1，又 O BD AC = ，故 ⊥O O 1底面ABCD .(2)解法1 如图(a)，过1O 作11OB H O ⊥于H ，连接1HC .由(1)知，⊥O O 1底面ABCD ，所以⊥O O 1底面1111D C B A ，于是. ⊥O O 111C A ，又因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形1111D C B A 为菱形，因此1111D B C A ⊥，从而⊥11C A 平面11B BDD ,所以O B C A 111⊥，于是⊥O B 1平面11HC O ，进而 ⊥O B 11HC ，故11HO C ∠是二面角D OB C --11的平面角.不妨设2=AB ,因为60=∠CBA ，所以1,311===C O OC OB ，71=OB ，在11B OO Rt ∆中，易知73211111=⋅=OB B O OO H O ，719212111=+=H O C O H C ，故19572719732cos 1111===∠H C H O HO C ，即二面角D OB C --11的余弦值为19572. 解法2因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，因此BD AC ⊥，又⊥O O 1底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直.如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间坐标系xyz O -.不妨设2=AB ,因为60=∠CBA ，所以1,3==OC OB ，于是相关各点的坐标为：)0,0,0(O ，)2,0,3(1B ，）2,1,0(1C ，易知)0,1,0(1=n 是平面11B BDD 的一个法向量，设),,(2z y x n =是平面11C OB 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01212OC n OB ，即⎩⎨⎧=+=+02023z y z x ，取3-=z ，则32,2==y x ，于是)3,32,2(2-=n .设二面角D OB C --11的大小为θ，易知θ为锐角，于是|,cos |cos 21><=n n θ||||2121n n ⋅=195721932==.即二面角D OB C --11的余弦值为19572.【2014年湖南卷（理20）】(本小题满分13分)已知数列}{n a 满足11=a ，n n n p a a =-+||1，*N n ∈.（1）若}{n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；（2）若21=p ，且}{12-n a 是递增数列，是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式.解：（1）因为}{n a 是递增数列，所以n n n n n p a a a a =-=-++||11，而11=a ，因此p a +=12，231p p a ++=，又1a ，22a ，33a 成等差数列，所以31234a a a +=，因而032=-p p ，解得31=p 或0=p ，但当0=p 时，n n a a =+1，与}{n a 是递增数列相矛盾，故31=p .(2) 由于}{12-n a 是递增数列，因而 01212>--+n n a a ，于是0)()(122212>-+--+n n n n a a a a ①且 1222121-<n n ，所以 ||||122212-+-<-n n n n a a a a ②则①②可知，0122>--n n a a ，因此122121222)1(21----==-n nn n n a a ， ③因为是}{2n a 递减数列，同理可得0212<-+n n a a ，故nn n n n a a 21222122)1(21++-=-=-， ④由③④即得 nn n n a a 2)1(11++-=-. 于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a 122)1(21211--++-+=n n.2)1(3134211])21(1[(21111---⋅+=+--+=n n n故数列}{n a 的通项公式为*).(2)1(31341N n a n nn ∈-⋅+=-【2014年湖南卷（理21）】 (本小题满分13分)如图7，O 为坐标原点，椭圆:1C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为1e ；双曲线:2C 12222=-by a x 的左、右焦点为43,F F ，离心率为2e . 已知2321=e e ，且13||42-=F F .（1）求1C 、2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点. 当直线OM 与2C 交于Q P ,两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.解：（1）因为2321=e e ，所以232222=+⋅-a b a a b a ，因此得 44443a b a =-，即222b a =，从而)0,(2b F ，)0,3(4b F ，于是13||342-==-F F b b ，所以1=b ，22=a .故1C 、2C 的方程分别是 122=+y x ，122=-y x.(2) 由于AB 过)0,1(1-F 且不垂直y 轴，故可设直线AB 的方程为 1-=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x my x 得 012)2(22=--+my y m 易知此方程的判别式大于0，设),(,),(2211y x B y x A ，则21,y y 是上述方程的两个实根，所以22221+=+m m y y ，21221+-=⋅m y y . 因此242)(22121+-=-+=+m y y m x x ，于是AB 中点)2,22(22++-m m m M ，因此直线PQ 的斜率为2m -，其方程为x m y 2-=. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=12222y x x m y 得 4)2(22=-x m ，所以022>-m ，2224m x -=，2222m m y -=，从而 22222422||m m y x PQ -+=+=. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以 4|2||2|222211++++=m y mx y mx d ，因为点A 、B 在直线PQ 的异侧，所以 0)2)(2(2211<++y mx y mx ，于是|22||2||2|22112211y mx y mx y mx y mx --+=+++从而 4||)2(22212+-+=m y y m d ，又21224)(||222122121++⋅=-+=-m m y y y y y y ，所以 4122222++⋅=m m d ，故四边形APBQ 面积2222312221222||21m mm d PQ S -+-⋅=-+⋅=⋅=，而 2202≤-<m ，故当0=m 时，S 取最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【2014年湖南卷（理22）】 (本小题满分13分)已知常数0>a ，函数.22)1ln()(+-+=x x ax x f （1）讨论)(x f 在区间),0(∞+上的单调性；（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*）当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aa x --=122舍去），当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ，故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增.综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa 上单调递增.（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点. 因而要使)(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是a a x -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，a x 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--aa ，解得21≠a . 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点. 而 22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f 4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a 12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a . 令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x . 并记22ln )(2-+=xx x g ，（i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=xx x x x g ，因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f .(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=xx x x x g ，因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f . 综上所述，满足条件的a 的取值范围是)1,21(.。

2014年高考试题理科数学真题及答案(新课标II)Word版解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。

所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-b|=，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727 B.59 C.1027D.13【答案】C【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 D【解析】8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（） A.334B.938 C. 6332 D. 94【答案】 D【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A. 110B. 25C.30D.2【答案】 C 【解析】..10305641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。

【备考2015】全国2014数学试题分类解析汇编(11月第四期)K单元概率

K单元概率目录K单元概率 (1)K1 随事件的概率 (1)K2 古典概型 (1)K3 几何概型 (1)K4 互斥事件有一个发生的概率 (1)K5 相互对立事件同时发生的概率 (1)K6 离散型随机变量及其分布列 (1)K7 条件概率与事件的独立性 (1)K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 (1)K9 单元综合 (1)K1 随事件的概率K2 古典概型【数学（文）卷·2015届某某省某某市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】17.（本小题满分12分）城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．K2【答案】【解析】（1）32；（2）815 解析：（1）候车时间少于10分钟的概率为2681515+=, 所以候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人. ………………………6分 (2)将第三组乘客编号为1,234,,a a a a ，第四组乘客编号为1,2b b .从6人中任选两人包含一下基本事件：12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ，31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b其中恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为815………………………12分【思路点拨】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为2681515+=，用60乘以此比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，用列举法求得抽到的两人恰好来自不同组的情况共计8种，由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概率．【数学文卷·2015届某某省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word 版】16.（本小题满分12分）某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率.【知识点】用样本估计总体；茎叶图；古典概型. I2 K2【答案】【解析】(1) 东城区的平均分较高；（2）35.解析：（1）根据茎叶图知，东城区的平均分为:7879798888899394==868x +++++++东，西城区的平均分为7279818384859494==848x +++++++西， ∴东城区的平均分较高.………………………………………………………（5分）（2）从两个区域各选一个优秀厂家，所有的基本事件数为53=15⨯种，满足得分差距不超过5分的事件：()()()()()()()()()88,8588,85,89,8589,9489,94939493,9494,9494,94、、、、、，、、、9种， ∴满足条件的概率为93155P ==…………………………………………………………（12分）【思路点拨】(1)根据平均数得定义求得东、西两个城区厂家的平均分；（2）用列举法写出从两个区域各选一个优秀厂家的所有情况共15种，其中满足得分差距不超过5分的情况有9种，所以满足条件的概率为93155P ==.【数学文卷·2015届某某省某某市执信中学高三上学期期中考试（201411）】17. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤，用n x 表示编号为n （n =（1）求第6位同学的体重6x 及这6位同学体重的标准差s ；（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间()58,65中的概率．【知识点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．K2 K6【答案】【解析】（1）7s =;（2）25解析：（1）由题意得660+66+62+60+62+656x = ，故 680x =…… 2分 6位同学体重的标准差7s == …… 4分所以第6位同学的体重680x =，这6位同学体重的标准差7s =…… 5分（2）从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为(60,66)，(60,62)，(60,60)，(60,62)，(66,62)，(66,60)，(66,62)，(62,60)，(62,62)，(60,62)，共10种…… 8分其中恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的基本事件有(60,66)，(66,62)，(66,60)，(60,62)，共4种…… 10分所以恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的概率42105P ==…… 12分【思路点拨】由平均数和标准差的计算公式可得出x 6和s ，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．K3 几何概型【数学文卷·2015届某某省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word 版】10.A ，B ，C 是平面内不共线的三点，点P 在该平面内且有23PA PB PC ++=0,现将一粒芝麻随机撒在△ABC 内，则这粒芝麻落在△PBC 内的概率为A.13B.14C.15D.16【知识点】几何概型. K3【答案】【解析】D 解析：由23PA PB PC ++=02()3()0AP AB AP AC AP ⇒-+-+-=,得1132AP AB AC =+,设C 到AB 距离d,如图，则：11112326PCE ABC S AB d S ∆∆=⨯⨯⨯⨯=， 1111223233ABPE ABC S AB AB d AB d S ∆⎛⎫=+⋅⋅=⋅= ⎪⎝⎭，所以 121(1)S S 636PBC ABC ABC S ∆∆∆=--=,所以所求概率为:16.故选D.【思路点拨】根据已知确定点P 位置，结合图形求PBC ∆与ABC ∆面积等量关系.K4 互斥事件有一个发生的概率【数学理卷·2015届某某省某某市执信中学高三上学期期中考试（201411）】18．（本小题满分14分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．K4 K5 K6【答案】【解析】（Ⅰ）32；（Ⅱ）133解析：(Ⅰ) 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B ，则事件A 和B 是对立事件。

2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·全国(理科数学)

2014·全国卷(理科数学)1．[2014·全国卷] 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i1．D [解析]z ＝10i3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析]因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．3．[2014·全国卷] 设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析]因为b ＝cos55°＝sin35°>sin33°，所以b ＞a .因为cos35°<1，所以1cos35°>1，所以sin35°cos35°>sin35°.又c ＝tan35°＝sin35°cos35°>sin35°，所以c >b ，所以c >b >a .4．[2014·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2B. 2 C ．1D.224．B [解析]因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5．C [解析]由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 6．A [解析]根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2eB ．e C ．2D ．17．C [解析]因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π48．A [解析]如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4. 9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.239．A [解析]根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a＝14. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．310．C [解析]设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n ＝a 1qn －1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4. 11．[2014·全国卷] 已知二面角α-l -β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.1211．B [解析]如图所示，在平面α内过点C 作CF ∥AB ，过点F 作FE ⊥β，垂足为点E ，连接CE ，则CE ⊥l ，所以∠ECF ＝60°.过点E 作DE ⊥CE ，交CD 于点D 1，连接FD 1.不妨设FC ＝2a ，则CE ＝a ，EF ＝3a .因为∠ACD ＝135°，所以∠DCE ＝45°，所以，在Rt △DCE 中，D 1E ＝CE ＝a ，CD 1＝2a ，∴FD 1＝2a ，∴cos ∠DCF ＝4a 2＋2a 2－4a 22×2a ×2a＝24.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )12．D [解析]设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．13．[2014·全国卷] ⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 13．70 [解析]易知二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎫－y x r＝(－1)r C r 8x 8－3r 2y 3r 2－4.要求x 2y 2的系数，需满足8－3r 2＝2且3r 2－4＝2，解得r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48x 2y 2＝70x 2y 2，所以x 2y 2的系数为70.14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析]的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)，所以z max ＝1＋4＝5. 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43 [解析]如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝22，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝222＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析]f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]．17．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 18．、[2014·全国卷]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1AB C 的大小．19．解：方法一：(1)证明：因为11平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1AB C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14. 所以二面角A 1AB C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c .又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1，于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )，则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝23，r ＝1，所以n ＝(3，23，1)．又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14.所以二面角A 1AB C 的大小为arccos 14.20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数．当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2.当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3<a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈N *结论都成立．。

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数学K 单元概率K1 随事件的概率 20．、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10500.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝5500.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝所以，E (Y )＝3400×综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 17．，，，[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有 P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18所以X 的分布列为：(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．K2 古典概型11．、[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．11.16 [解析] 本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C 710种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有C 36C 33种方法．故这七个数的中位数是6的概率P ＝C 36C 33C 710＝16.18．、、[2014·福建卷] 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．18．解：(1)设顾客所获的奖励额为X . (i)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12，(ii)依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×1660，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.5．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58 D.785．D [解析] 每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－216＝78.6．[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.456．C [解析] 利用古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况有C 25＝10(种)，选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有：选取的2个点的连线为正方形的4条边长和2条对角线长，共有6种．故所求概率P ＝610＝35.16．、、[2014·天津卷] 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)，所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.9．、[2014·浙江卷] 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)9．A [解析] 方法一：不妨取m ＝n ＝3，此时，p 1＝36×22＋36×12＝34，p 2＝C 23C 26×33＋C 13C 13C 26×23＋C 23C 26×13＝23，则p 1>p 2；E (ξ1)＝1×36＋2×36＝32，E (ξ2)＝1×C 23C 26＋2×C 13C 13C 26＋3×C 23C 26＝2，则E (ξ1)<E (ξ2)．故选A.方法二：p 1＝m m ＋n ×22＋n m ＋n ×12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ×33＋C 1m C 1mC 2m ＋n ×23＋C 2n C 2m ＋n ×13＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n3（m ＋n ）（m ＋n －1），则p 1－p 2＝mn ＋n （n －1）6（m ＋n ）（m ＋n －1）>0；E (ξ1)＝1×n m ＋n ＋2×mm ＋n ＝2m ＋n m ＋n，E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1nC 2m ＋n ＋3×C 2m C 2m ＋n＝3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n（m ＋n ）（m ＋n －1），E (ξ1)－E (ξ2)＝－m 2＋m －mn（m ＋n ）（m ＋n －1）<0，故选A.18．，[2014·重庆卷] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数)18．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112故X 的分布列为从而E (X )＝1×42＋2×84＋3×12＝28.K3 几何概型 14．、[2014·福建卷] 如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1-414.2e 2 [解析] 因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝e x 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛1eln x d x ＝2(x ln x －x)|e1＝2[(eln e －e )－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e2.7．[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D [解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.14．[2014·辽宁卷] 正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图1-3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．14.23[解析] 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 31－1＝83P ＝834＝23.K4 互斥事件有一个发生的概率 17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.16．、、[2014·天津卷] 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)，所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.K5 相互对立事件同时发生的概率17．、[2014·安徽卷] 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.16．、[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)16．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 相互独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.故P (C )＝P (AB )＋P (AB ) ＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.17．、[2014·广东卷] 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：(1)1212(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．20．、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10500.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝5500.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝所以，E (Y )＝3400×综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．、、[2014·江西卷] 随机将1，2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，每组n 个数．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2.记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C －表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C －)的大小关系，并说明理由．21．解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为：E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2.又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k2k 种．所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2k C n 2n.(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，① 用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即 4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k2k＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4C m －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m＋1）2（2m）（2m－2）！（4m）（m＋1）！（m＋1）！＝C m＋12（m＋1）·2（m＋1）m（2m＋1）（2m－1）<C m＋12（m＋1）＝右边，即当n＝m＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n≥3的所有正整数，都有P(C)<P(C)成立．18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1-4所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．18．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.X的分布列为因为X～B(3，0.6)×0.6×(1－0.6)＝0.72.20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．20．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.B表示事件：甲需使用设备．C表示事件：丁需使用设备．D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A i)＝C i2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.17．，，，[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有 P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18所以X 的分布列为：(2)设“第i i P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．K6 离散型随机变量及其分布列17．、[2014·安徽卷] 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．17．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫232＋13×⎝⎛⎭⎫232＋23×13×⎝⎛⎭⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.16．、[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)16．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．则C ＝AB ∪AB ，A ，B 相互独立．根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.故P (C )＝P (AB )＋P (AB ) ＝35×35＋25×25 ＝1325. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX ＝x －.18．、、[2014·福建卷] 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．18．解：(1)设顾客所获的奖励额为X .(i)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12，(ii)依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为×0.5＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×1660，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.20．、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝10500.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝5500.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝所以，E (Y )＝3400×综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台． 17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (EF )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.12．[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．12.12 [解析] 由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝C 13C 37C 410＝12. 21．、、[2014·江西卷] 随机将1，2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B两组，每组n 个数．A 组最小数为a 1，最大数为a 2；B 组最小数为b 1，最大数为b 2.记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；(3)对(2)中的事件C ，C －表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C －)的大小关系，并说明理由．21．解：(1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5. 将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 36＝20(种)，所以ξ的分布列为：E ξ＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2.又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1，2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k2k 种．所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23，当n ≥3时，P (C )＝2⎝⎛⎭⎫2＋∑n －2k ＝1C k 2k C n 2n.(3)由(2)得，当n ＝2时，P (C )＝13，因此P (C )>P (C )．而当n ≥3时，P (C )<P (C )．理由如下：P (C )<P (C )等价于4(2＋∑n －2k ＝1C k 2k )<C n2n ，①用数学归纳法来证明：(i)当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16，①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． (ii)假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，即4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k <C m 2m 成立，那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m ＋1－2k ＝1C k 2k＝4⎝⎛⎭⎫2＋∑m －2k ＝1C k 2k ＋4C m －12（m －1）<C m 2m ＋4C m －12（m －1）＝（2m ）！m ！m ！＋4·（2m －2）！（m －1）！（m －1）！＝（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m －1）（m ＋1）！（m ＋1）！<（m ＋1）2（2m ）（2m －2）！（4m ）（m ＋1）！（m ＋1）！＝C m ＋12（m ＋1）·2（m ＋1）m （2m ＋1）（2m －1）<C m ＋12（m ＋1）＝右边，即当n ＝m ＋1时，①式也成立．综合(i)(ii)得，对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )<P (C )成立． 18．、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1-4所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．18．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. X 的分布列为。