波利亚解题理在中学数学解题中应用论文
波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例
波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例摘要：数学解题教学，重在教会学生解题的方法，帮助学生养成良好的解题习惯。
本文通过波利亚的“怎样解题表”的解题的四个步骤: 阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思，演绎解决一道圆锥曲线压轴题的具体过程，并给出一些解题教学建议。
关键词：波利亚解题表；解题方法；圆锥曲线《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出“让学生在现实情境中体验什么是数学”。
初中数学教学注重培养学生的问题解决能力。
数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务是加强问题解决的训练。
”这种“解题”不同于“题海战术”。
他认为，问题解决应该作为培养学生数学能力和教他们思考的一种手段，方法。
[1]波利亚《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律，也有利于数学教师探索解题教学的一般规律。
笔者结合2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题论述“怎样解题表”在数学解题教学中的应用。
一、问题的由来——2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题案例：已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(1/3m,m)，延长线段OM与C交与点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
二、寻觅依据——波利亚解题“解题四部曲”本研究通过圆锥曲线问题来激发学生对数学问题解决的兴趣，转变学生对待数学解题的态度，培养学生的解题思维。
为了提高学生解决问题的能力，波利亚把解决数学问题的过程分为四个阶段：阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思。
[2]对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题。
“弄清问题”是我们拿到一道题首先要考虑的问题，理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义。
浅析基于波利亚解题思想的高中数学解题教学
研究浅析基于波利亚解题思想的高中数学解题教学夏国海柳瑛摘要：重视解题教学是中国数学教育的特色之一，但由于应试教育和功利性的竞赛导致如今的解题教学产生了教学枯燥无味、大搞“题海战术”等现象的存在。
而波利亚解题思想在世界上的影响极其深远，它所蕴含的丰富的数学思想对于学生的数学学习有着巨大的积极作用。
因此，如何在波利亚解题思想的基础上改进一线数学教师的解题教学，这是值得深思的问题。
关键词：波利亚；解题思想；高中数学；解题教学一、波利亚解题思想与解题教学（一）波利亚解题思想波利亚（George Polya，1887-1985），世界上著名的数学家和数学教育家，在数学领域内有着颇为精深的造诣。
他的解题思想主要体现在其代表作《怎样解题》一书中，该书主要内容基本上是围绕“怎样解题”表而展开，“怎样解题”表把解题分为了“了解问题”“拟定计划”“实行计划”和“回顾”四个步骤。
这是按照正常人解决问题时思维的自然过程而划分的，其中最关键和最核心的环节是“拟定计划”。
“怎样解题”表不仅说明应该如何去解决具体的数学问题，而且其中蕴含了丰富的数学思维与思想方法，包括化归与转化的思想、归纳与类比的思想、一般与特殊的思想等等。
化归是数学中最常用的方法之一，即通过适当的转化过程，把需要解决的问题归为一类以及已经解决或能够轻松解决的问题，进而解决原始问题。
关于归纳与类比、一般与特殊两种思想方法，波利亚在《数学与猜想》第一卷中都进行了详细的阐述。
其中类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似而推出其他属性相同或相似的思想方法，它是一种从特殊到特殊或一般到一般的思想方法；而归纳则是从特殊到一般，它是从具体的、特殊的事物中去探索其存在的规律，然后得出这类事物存在的普遍规律。
因此，归纳与类比、一般与特殊两种思想方法往往是同时运用的。
（二）解题教学解题，在数学领域里的解释就是求出数学题的答案，这个答案也可以称之为“解”。
解题教学的基本含义就是通过典型数学题的数学，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”。
基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用分析-教育文档资料
基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用分析1.何为波利亚解题模型在近代，产生了许多解题模式，主要有早期桑代克所提倡的“试误说”，到美国出名教育家杜威提出的阶段解决模型，最后是心理学家皮亚杰的认知心理模型。
虽然这些研究对于教师认识学生的认知问题有严重意义，但数学问题相较于其它学科有自己独到的学科特点，还应当详尽问题详尽分析，上述解决模式并不一定能够完全适用于数学解题过程中。
因此随着科学分类研究的日益细化，也产生了许多学科数学的相关研究包括数学解题模型在内，其中影响最为深刻的当属波利亚解题模型。
波利亚解题模型是波利亚的经典书目《怎样解题》中的严重理论，他将该模型分为四个部分：第一，看到数学题目时应先理清题目思路，看清题目的已知、未知还有所求问题；第二，分析题目的各个要素包括已知、未知、问题之间的相互联系，找到解题的方向所在，形成基本的解题策略；第三，将解题策略详尽运用于数学题目中；第四，对整个解题过程包括理解题目、思路的形成、计划的执行检验评价。
2.波利亚解题模型在高中数学解题中的详尽运用波利亚的解题模型的严重思想除了包括上述的四个部分，还包括更加细密的四个模型，分别是双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式。
这四种解题模式被更多的运用于数学实际解题过程中。
（1）双轨迹模式双轨迹模式要运用两条轨迹来解题，类似于换位思考的思想。
譬如我们确定三角形ABC，已知为边a、点B、点C，未知为点A，问怎么确定点A。
换种方式理解我们发现，点A即是以点B为圆心、以边c为半径的圆和以点C为圆心、以边b为半径的圆的交点。
这里就把问题归结为一个点，再把已知的条件转换成两个部分，每一个部分都可以看成是点的轨迹，结论即在两条轨迹的交点处。
（2）笛卡尔模式笛卡尔在数学的解析几何方面做出了严重贡献，在解决数学问题的过程中也形成了独到的数学思想。
他认为，所有的数学问题都可以转换成代数问题进行解决，而所有的代数问题又可以转换成解方程的思想。
波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用
波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用摘要：波利亚的解题思想集中体现在“解题表”中。
本文以该思想为理论基础，以一元一次方程实际问题为载体，研究了在一元一次方程实际问题中，如何按照波利亚的解题步骤进行解题，即如何理解题目、如何拟定方案、如何执行方案、如何回顾反思。
希望以此为基础，对初中方程的解题教学起到一定的借鉴意义。
关键词：波利亚；解题思想；解题表；一元一次方程一、波利亚的数学解题思想简介波利亚认为：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。
”在数学学科中，波利亚认为能力就是指学生解决问题的才智，这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性的创造精神。
他发现，在数学上要想获得重大的成就或发现，就应该注重平时的解题。
因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练。
”而这种“解题”并不同于“题海战术”，波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面。
使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个暂新的天地。
他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
二、波利亚解题表简介波利亚的解题思想集中体现在解题表上，该解题表主要分为四个部分，分别为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。
具体的步骤及问题如下表：三、一元一次方程实际问题教学的重要性方程是贯穿中学数学教学的一条重要的纽带，而一元一次方程作为最基础的方程，它是教学的重点，也是教学的难点。
掌握一元一次方程应用题解题方法是中学生学好方程的关键，也是学好数学的一个关键环节，能使学生在更深层次上理解数学，进而学好数学。
刚刚从小学升入初中的学生，通过对应用题的学习，对数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法和技能的获得都将起到重大的作用。
一元一次方程的应用是让学生通过审题，根据应用题的现实意义，找出等量关系，列出有关方程。
波利亚解题辨析论文
波利亚解题辨析论文徐利治先生早就指出，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教材和教学方法．目前，从理论研究方面来看，已出现“超越波利亚”的苗头，但从中学数学教学的现状来看，离波利亚的想法还存在很大差距；对于很多学校，波利亚思想还没有“进入校门”，其主要原因是，很多中学同志买不到波利亚的著作，对波利亚的数学教育思想缺乏认识．为此，徐利治先生前年来宁讲学期间再次强调，为了搞好中学素质教育，我们还要加大力度传播波利亚思想．有些中学同志讲，我们没有办法，要提高学生应试能力，不得不搞题海战术，“题海”是客观存在，无法回避，波利亚也是强调解题训练的．的确，“题海”是客观存在，波利亚也强调解题训练，他说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练．”但波利亚的解题训练与题海战术有很大区别．一、训练的目的不同“题海战术”的目的明显表现为应考．而波利亚强调解题训练的目的在于提高学生的数学素质．波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面．对于数学，能力比起仅仅具有一些知识来重要得多．因此，“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识”．波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾越的鸿沟．他说：“一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现．”要想有重大的发现，就必须重视平时的解题．数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”．因此，波利亚把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同．1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美国数学教师联合会理事会把解题提到了“80年代学校数学的核心”这一高度．波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的中心思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感．书的一开始就是一张“怎样解题表”，在“表”中收集了一些典型的问题与建议．波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动．他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”．正如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表．”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问题和建议都与它有关．”“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾．波利亚说：“弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它．”波利亚所讲的好念头，就是指灵感．《怎样解题》书中有一部分内容叫“探索法小词典”，从篇幅上看，它占全书的4/5．“探索法小辞典”的主要内容就是配合“怎样解题表”，对解题过程中典型有用的智力活动做进一步解释．全书的字里行间，处处给人一个强烈的感觉：波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动，提高数学才能．二、训练的方式不同“题海战术”是让学生做大量的题，熟悉题型及其解法．波利亚反对让学生做大量的题，他认为，一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地．比如，“证明是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目，前者通向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户，打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中．过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法．然而，“学生熟悉了解答个别类型问题的特殊方法之后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解决新问题的本领．”波利亚的《怎样解题》就弥补了这一空白，这本书给出了求解数学问题的一般方法．今天人们公认，在数学解题研究方面，波利亚是一面旗帜，他做出了划时代的贡献．“怎样解题表”中的指导性意见，具有普适性．不仅适用于“不太能独立工作”的人，而且适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科．例如，未知数是什么已知数是什么条件是什么这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题(代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的)，我们提出这些问题都会取得良好效果．波利亚解题训练的方式是引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径．试图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律．这与“题海战术”的“题型＋解法”的训练方式是绝然不同的．波利亚高度重视解题过程中的合情推理．数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳与类比．”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视，并注意到更广泛的合情推理；他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法．波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试．对于一个想以数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于一般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要．怎样教猜想怎样教合情推理没有十拿九稳的教学方法．波利亚说，教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去独立实践，在实践中发展合情推理能力．波利亚欣赏苏格拉底的名言：“思想应当诞生在学生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．”他指出，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数学教学最富有吸引力，切莫错过时机”．波利亚指出，要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间互相讨论和启发，教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示，不能硬把他们赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题的能力．这种训练方式与“题型＋解法”的做法也是完全不同的．三、能力培养的效果不同应该承认，“题海战术”对提高学生的能力也有一定的积极作用，但经验表明，“题海战术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，所谓“高分低能”症正是如此产生的．在数学学科中，能力指的是什么波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神．”波利亚致力于培养学生的独立探索能力．从教育心理学角度看，“怎样解题表”的确是十分可取的，利用这张表教师可行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和进行创造性活动的能力．如果我们提出一个“波利亚探索法”的话，那么“波利亚探索法”的主要特点就是变更问题，诱发灵感．在波利亚看来，解题过程就是不断变更问题的过程．事实上，“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”．如，你知道与它有关的问题吗你能不能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题你是否见过形式稍微有不同样的题目你能改述这题目吗你能不能用不同的方法重新叙述它你能不能想出一个更容易着手的有关问题，一个更普遍的题，一个更特殊的题，一个类似的题你能否解决这道题的一部分你能不能从已知数据导出某些有用的东西能不能想出适于确定未知数的其他数据你能改变未知数，或已知数，必要时改变两者，使新未知数和新的已知数更加互相接近吗波利亚说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不能有什么进展．”“变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律．书中多次强调了“变更问题”的几种特殊手段．例如“回到定义去”，“分解与重新组合”，“引入辅助元”，“普遍化、特殊化及类比”．这里只谈谈“回到定义”．波利亚说，“回到定义”是一项重要的智力活动．回到定义是为了“掌握那些专业术语后面数学对象间的实际关系”．面对一个数学题，“如果我们只知道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义”．《怎样解题》书中，有个精彩的实例：已知抛物线的焦点Ｆ，准线ｄ和一直线l，求作此抛物线与已知直线的交点．观察题意可见，眼下的情况就是“只知道概念的定义，别无其他”，因此，我们不得不回到定义．考虑到抛物线的定义，原问题就变化为：在直线ｌ上求一点，使它和已知点Ｆ及已知直线ｄ等距离．这是第一次变化，解析几何题变成了平面几何题．这道平面几何题本身也是一道有意义的题．“你能不能用不同的方法重新叙述它”这道题可以换个说法叙述为：在直线ｌ上求一点，以它为圆心作圆与直线ｄ相切且通过点Ｆ．这是第二次变化．所作的圆要满足两个条件．“你能否解决这问题的一部分”可以，先放弃一个条件，第三次变化问题．（下略）“怎样解题表”风靡全球．经验证明，适当使用表中的问题与建议，对培养学生的探索力是有益的．“题海”是客观存在，我们应研究对付“题海”的战术．波利亚的“表”虽不如阿里巴巴的金钥匙，但却切实可行，给出了探索解题途径的可操作机制，被人们公认为“指导学生在题海游泳”的“行动纲领”．著名的现代数学家瓦尔登早就说过：“每个大学生，每个学者，特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书《怎样解题》．”。
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用-2019年精选文档
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用本文从波利亚的“怎样解题表”出发,结合具体的例子,在具体的例子中一步一步地讲解波利亚的“怎样解题表”在解数学题时的步骤和思想,来回答一个好的解法是如何想出来的.下面是实践波利亚解题表的一个示例.例已知点P(3,4) 是椭圆+ = 1 (a > b > 0)上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求椭圆方程.讲解第一,弄清问题.问题1 你要求解的是什么?要求解的是椭圆方程,在思维中的位置用一个单点F象征地表示出来(图1-1).问题2 有哪些已知条件?一方面是题目条件中给出的点P(3,4) ,椭圆上PF1⊥PF2;另一个方面是已经在平面几何中学习过的直角三角形的一些性质和椭圆中半焦距c和长半轴a,短半轴b之间的关系,即a2 - b2 = c2. 把已知的两个量添到图示处(图1-1)就得到了新添的两个点P ,Q(其中Q表示PF1⊥PF2);它们与F之间有条鸿沟,表示要求解的问题和已知的量没有直接的联系,我们的任务就是要将要求解的量F和已知的量联系起来.第二,拟定计划.问题3 怎样才能求出F?我们已经知道了椭圆经过点P和一个Rt△PF1F2 ,如果能够确定椭圆方程中的两个参数a和b,那么我们就能够求解椭圆的方程了,于是问题转化成求a和b.(1) 我们在图示上添加进两个新的点a和b,用斜线把它们和F连接起来,以此来表示a,b这两个量和F之间的联系(图1-2即式(1)的几何图示),这样我们就把问题转化为确定a和b的值了.问题4 怎样求得a和b?我们根据已知条件Rt△PF1F2,再结合整个图形,我们可以知道直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,也就是说坐标原点到点P的距离等于半焦距c. 我们在图示上(图1-2)再添加两个点半焦距c,和L(L表示线段OP的长度,其中O表示坐标原点),连接c和L,表示c和L有相等的关系. 连接Q和c,Q和L,表示c和L相等的关系是由Q推出来的. 连接P和L,表示L的长度是由点P的坐标确定的,从而c = L = = 5. 我们要求解的是a和b 的值,因此很自然地想到在椭圆中还隐藏着这样的关系:a2 - b2 = c2,于是我们连接a和c,b和c(图1-3),表示c和a,b有 a2 - b2 = c2的关系,再连接a和b表示b可以用a表示,即b2 = a2 - 25. 这时椭圆方程可以写成:+ = 1. 同时我们还应注意到点P在椭圆上还没有用到,因此我们连接P和a(图1-3),表示把P点的坐标代入椭圆方程 + = 1. 一个未知数,一个方程恰好可以解出a,从而椭圆的方程就确定了.至此,我们已在F与P ,Q之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.第三,实现计划.连接OP(图1-3).∵ PF1⊥PF2∴ PF1F2 是直角三角形,∴|OP| =|F1F2| = c.又|OP| = = 5.∴ c = 5,∴椭圆的方程为: + = 1.∵点P(3,4) 在椭圆上,∴ += 1,解得a2 = 45或 a2 = 5(舍去),故所求的椭圆方程为+ = 1.第四,回顾.(1) 正面校验每一步,推理是合理的,有效的,计算是精确的. 本题也可作特殊性检验,即按照两点之间的距离公式分别求解出线段PF1和 PF2的长度,再验证△PF1F2能否成为直角三角形;同时验证|PF1| + |PF2|是否等于 2a.(2) 还能用其他的方法得到这个结果吗?,条条大道路罗马,万事都不是绝对的,我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的,那么本例有没有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如图1-1所示,令F1(-c,0), F2(c,0).∵ PF1⊥PF2∴ k ∪k =-1,即∪= -1,解得c = 5.∴椭圆的方程为: + = 1(以下步骤同上述解答).(3) “能将本例的方法用于其他的问题吗?能,我们看到解决本例的关键在于分析已知条件后得到:|OP| = |F1F2| = c,或者k ∪k =-1. 可见,这是解决本例的“泉眼”,勤于分析已知条件,对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的.小结回顾这个解题过程,“怎样解题表”包含四部分内容:弄清问题､拟订计划､实现计划､回顾.波利亚说:“ 弄清问题是为好念头的出现做准备;制订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.” 解题的过程实际上是一个不断地变更问题的过程(如上文中分析的将求F转化成求a和b,再将求a和b转化为求c),通过不断地变更问题,引入新的量,从而在未知量和已知量之间建立起“桥梁”,使得未知量和已知量最终处于“通路”的状态.注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”。
波利亚的数学解题思想及其应用
波利亚的数学解题思想及其应用【摘要】《中国教育现代化2035》提出：到2035年，总体实现教育现代化，迈入教育强国行列，推动我国成为学习大国、人力资源强国和人才强国。
本文通过文献研究法，查询波利亚解题理论，并分析波利亚在“怎样解题表”中的四大阶段。
其次探讨如何将四大阶段中的理论应用于数学解题过程中，以此来提高学生解题速度、正确率，增加学生数学学习的兴趣，从而提高学生的数学成绩。
最后结合初中数学的习题课教学，提出相应的教学建议，提升教师的教学管理能力以及学生的解题能力，对于培养高素质人才，推动教育强国具有积极作用。
【关键词】波利亚解题思想；怎样解题表；初中数学；习题课一、引言《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出教育要培养学生逐步会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，学生能进一步发展数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，对数学具有好奇心和求知欲，为了达成这一目标，教师要想方设法的调动学生学习的积极性。
“新课标”的改革就是要充分发挥学生的数学天性，让学生勇于探索数学问题，在数学活动中体会到数学学习的快乐。
在《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担意见》中也有提及：要减少义务教育阶段学生作业的总量并规范校外培训机构。
那么如何让学生能够轻松地学习，教育家乔治•波利亚所著的《怎样解题》给出了解答，解题理论作为一种使学生学会解题的学习模式应运而生。
波利亚解题思想告诉教师教学是一种启发式、互动式的模式，应以学生为主体、充分发挥学生的想象力和创造力，不断培养学生的解题能力，让学生热爱学习、喜爱解题。
本文将着力研究如何运用波利亚解题思想让学生去解决数学问题。
二、波利亚理论波利亚先生一生致力于探究如何训练学生的解题能力，并通过自身多年的教育经验编写了一本名为《怎样解题》的书。
该书最终凝练出的“怎样解题表”，可以说是对如何更好地理解、把握、解决数学问题的最佳答复。
波利亚解题理论在初中解题教学中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀波利亚解题理论在初中解题教学中的应用波利亚解题理论在初中解题教学中的应用Һ欧㊀桥㊀（湖州师范学院，浙江㊀湖州㊀３１３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文探究了波利亚解题理论在中学数学解题教学中的应用，介绍了波利亚的 怎样解题表 ，结合新课标浅谈波利亚解题表的意义，从波利亚解题四阶段出发分析中学生解题常见错误类型，借波利亚解题思想帮助学生掌握解题的方法，培养学生解决问题的能力，让学生能够熟练运用波利亚解题理论对问题进行思考从而解答问题．ʌ关键词ɔ波利亚解题理论；解题错误；培养解题能力１㊀波利亚的 怎样解题表 １．１㊀波利亚的简介美籍匈牙利数学家乔治㊃波利亚是美国科学院㊁法国科学院和匈牙利科学院的院士．１９４０年移居美国，并担任布朗大学和斯坦福大学教授．他长期从事数学教学工作，在数学领域内有着极深的造诣，其在数学教育方面的成就对我国的数学教学改革及数学教师的培养与培训具有重要的指导意义．最著名的作品分别是‘怎样解题：数学思维的新方法“‘数学的发现“‘数学与猜想“，这些著作被翻译成各种语言，并且广泛传播于各大高校，其中‘怎样解题：数学思维的新方法“一书更是被译成了１７种文字，仅平装本就销售了一百万册以上．其著作中的 怎样解题表 以文字的形式揭示了人们在解答问题时的思维形式和思维过程，为解题指明了大概方向，使得解题有法可依．１．２㊀新课标背景下， 怎样解题表 的意义新课标提出：学习者在获得知识技能的过程中，只有亲身参与了教师认真设计的教学活动，才能在数学思考㊁问题解决和情感态度这三个方面得到应有的发展．在数学教学活动中，解题是最主要的活动形式之一．教师必须通过解决问题的教学来让学生获得数学思维的发展，并借此培养技能及发展学生的智力．波利亚的 怎样解题表 为我们提供了解决问题的有效途径．解决问题的本质就是不断改变问题，从而引发灵感．对于中学数学来说，解题就是要不断创设新的问题情境，借用新的情境来激发学生的思维，从而进一步得到正确的答案．波利亚的解题理论还指明了对数学问题解决活动具有重要意义的思维模式，如合理的推理模式㊁笛卡儿模式㊁递归模式㊁叠加模式等．教师可以使用 解决方案 中的思想来指导学生将现有问题转换为类似或更具体的问题，让学生自己去探索，充分发挥他们的主体作用，提高他们解决问题的能力，从而更好地体现新课程理念．２㊀从波利亚解题四阶段看中学生解题常见错误在数学的学习及解题过程中，数学自身的性质 严谨性㊁科学性使学生在解题过程中都会或多或少地产生错误，这是难以避免的，也是情有可原的．因此，对错误进行系统的分析和研究就变得十分重要且必要，下面笔者将对实习中所带班级学生的作业中的错误情况进行分析．所给的案例是笔者在丽水市外国语学校实习期间的上课内容，两个班学生的作业都是笔者亲自批改的，对两个班学生的做题情况有大致掌握，对错误率最高的一些题目也看了每位学生的解题过程，并与他们有过交流沟通，对他们的解题思路与过程有一定的了解．２．１㊀理解题目阶段理解题意即了解问题，是解题的基础．学生在将所给的题目语句转化为数学语言上总存在一些困难，有时容易曲解题意，有时对文字较多的题目的处理会抓不住重点，无法挖掘文字背后的数学含义．例如在解答二次函数问题时，对自变量取值范围的考虑要求学生不仅要知道数学意义上的范围，还要综合考虑它所代表的实际意义．案例１㊀抛物线ｙ＝２ｘ２－２２ｘ＋１与坐标轴的交点个数是（㊀㊀）．Ａ．０㊀㊀㊀㊀Ｂ．１㊀㊀㊀㊀Ｃ．２㊀㊀㊀㊀Ｄ．３正确答案是Ｃ，易错选项是Ｂ．这是一道非常简单的基础题，在批改作业时发现班级里有三位学生做错了，理由是题目中问的是与坐标轴的交点，即ｘ轴㊁ｙ轴，他们却想当然地只算了ｘ轴上的交点而忽视了ｙ轴．在二次函数专题大多数讨论的都是ｘ轴上的交点，这使得他们对于坐标轴中的ｘ轴更敏感．这种错误就是没有审清题目导致的．２．２㊀拟订方案阶段波利亚认为在四大步骤的解题全过程中这一步是最重要的也是最困难的，因为在探索一道题的解题途径中如果最后证实这个方案是错误的，那么就又要回到这一环节重新拟定．在这一阶段里学生对题目的处理会出现以下几种常见错误：分类不当㊁没有数形结合的观念㊁缺乏整体意识㊁受思维定式的影响．案例２㊀二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａʂ０）的图像如图１所示，对称轴为ｘ＝－１，下列四个结论正确的是（㊀㊀）．㊀图１①４ａｃ－ｂ２＜０；②３ｂ＋２ｃ＜０；③４ａ＋ｃ＜２ｂ；④ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ＜ａ（ｍʂ－１）．正确答案是①②④．在统计错题时发现很多学生无法判定④是否正确，这里重点分析④的判定，首先根据给出的图像我们能得到的信息有：ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＞０，经过与学生的交流，笔者发现他们的疑惑是不能理解ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ表示的意思，这里其实用到的还是数形结合思想，我们发现将ｘ＝ｍ㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀㊀代入解析式中会得到ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ，将式子变形一下得到ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｃ，这与④中的式子已经有很大的相似之处了，将④式左右两边同时加上ｃ，得到等价不等式ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ＋ｃ＜ａ＋ｃ，把左边的ｂ移项到右边得到ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｃ＜ａ－ｂ＋ｃ，表示的意思是ｙｍ＜ｙ－１，根据图像我们可以看到，当ｘ＝－１时，ｙ取最大值，因此ｘ＝ｍ（ｍʂ－１）时ｙ的值小于最大值是符合题意的，故④正确．２．３㊀执行方案阶段在这一阶段，有些学生不能进行等价转换，在证明题目时容易陷入循环论证的死胡同里，更多的学生（这里尤指低年级学生）容易犯些非智力因素的错误，比如：计算粗心，作图随意等．在实习期间，笔者也在初二班级旁听过程中发现在合并同类项时总有学生出现合并错误，不是次数出错就是单项式抄写出错．案例３㊀若二次函数ｙ＝ｘ２＋ｍｘ图像的对称轴是直线ｘ＝３，则关于ｘ的方程ｘ２＋ｍｘ＝７的解为（㊀㊀）．Ａ．ｘ１＝０，ｘ２＝６㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｘ１＝１，ｘ２＝７Ｃ．ｘ１＝１，ｘ２＝－７Ｄ．ｘ１＝－１，ｘ２＝７正确答案是Ｄ．这道题是一道基础题，更多的还是检验学生的计算能力．班级中有３位学生错选了Ｃ，从选项中看Ｃ与Ｄ十分相似，这也意味着出题人知道学生在解题时会在某一步骤出错从而得出与正确答案一步之遥的错误答案．通过询问学生得知，他们出错是在将ｘ２＋ｍｘ＝７化成ｘ２＋ｍｘ－７＝０之后，用十字相乘法进行因式分解这一步．２．４㊀回顾与反思阶段张奠宙教授在‘数学教育概论“一书中提道：与前两个阶段相比这一阶段是最容易被忽视的阶段．大多数学生在解题后缺乏检查的意识，但是在数学的解题过程中，解题者不重视检验导致的功亏一篑现象时有发生，这就告诫我们为了保证解题的正确性，检验是很重要的．也有学生不善于回顾检验导致解题错误的，有的时候由于思维定式的束缚，他们仍然按照原来的解题思路进行验证检查，因此当问题出现在方法上而不是在具体运算上时，他们很难察觉出错误．对此，在日常教学中，教师须有意识地要求学生养成答完题再去回顾的习惯，并且要尝试用多种方法㊁从多种角度去进行检验．回顾是最容易被人们忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节固定下来，是一个非常有远见且正确的做法．回顾反思不仅仅是检查这道题做对了没有，更重要的是学会总结，总结做题方法㊁做题思路，在日后的学习中是否能用到今日所学内容，又能否将所总结的结论推广到其他类型的问题上，这才是波利亚解题理论第四阶段最重要的学习目的．３㊀波利亚解题思想的反思波利亚的 怎样解题表 中的问句㊁提示语都是一种引导，是用来促发念头的．在解题时最难的往往是对一道题目毫无思绪不知如何下手．这时，任何一个有可能对解决问题有指引作用的问题都是对我们有帮助的，它可以引起我们继续思考下去的兴趣与信心，可以使我们继续探索．波利亚的解题思想为中学数学思想方法的教学提供了一种理论模式．波利亚的解题思想并不一定很明显地表现在数学教材之中，在大多数情况下，它是隐含于数学知识和解题过程中的．因此若要以让学生更能接受的方式展示出来，则需要教师通过对教材的钻研来提炼和概括．波利亚认为，中学数学教育的根本目的是 教会中学生思考 ．教会他们去思考就要求数学教师不能只是简单地传授知识，还应努力培养学生在更广的范围中运用所学知识的能力，培养他们的自主意识．教师应该强调学习解题的技能技巧㊁教会学生有益的思考方式和理想的思维习惯．提高学生的数学解题能力是一项持续时间长且实施有难度的工程，这不仅与学生的知识背景㊁智力水平有关，也与学生的学习态度㊁学习方法有关，还与教师的教育思想㊁教学能力㊁教学方法㊁知识水平密切相关．因此每位教师都应该学习波利亚的解题理论，并在教学中教会学生如何思考问题㊁解决问题，从而培养他们良好的数学思维，提高他们的解题能力．教师对学生的错误要充分发挥自己的教学智慧，去挖掘学生在错误中体现的问题，因势利导，使学生由失败走向成功，给予他们学好数学的信心，让其体验和享受成功解题带来的乐趣，从而爱上解题㊁爱上数学．ʌ参考文献ɔ［１］Ｇ㊃波利亚．怎样解题：数学思维的新方法［Ｍ］．涂泓，冯承天，译．上海：上海科技教育出版社，２００７．［２］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．［３］丁洁．波利亚 怎样解题表 在初中数学应用题中的应用［Ｄ］．扬州：扬州大学，２０１５．［４］向正凡．辨析中学生数学解题错误与培养数学解题能力的研究［Ｄ］．长沙：湖南师范大学，２００６．［５］梁红娥．波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用［Ｄ］．呼和浩特：内蒙古师范大学，２００５．［６］井澜．基于数学素养的初中数学教学设计案例研究［Ｄ］．延吉：延边大学，２０１８．［７］朱丹丹．基于波利亚 怎样解题表 培养初中生解题能力［Ｄ］．武汉：华中师范大学，２０１８．［８］吴维煊．数学能力与数学方法［Ｍ］．镇江：江苏大学出版社，２００８．［９］任樟辉．数学思维理论［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，２００３．［１０］黄常健．运用波利亚解题思想上提高思维能力与创新意识［Ｊ］．中学数学，２０１７（１７）：６５－６７．［１１］张奠宙，宋乃庆．数学教育概论（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１６．［１２］贾娟．波利亚 怎样解题表 中的元认知分析［Ｊ］．太原大学教育学院学报，２００９（０３）：７３－７４．［１３］高宇．初中生数学解题错误纠正策略效果研究［Ｄ］．长沙：湖南师范大学，２０１７．［１４］叶琳．合理利用波利亚解题模型于解题教学［Ｊ］．中学数学，２０１７（１９）：９２－９４．［１５］朱艺峰．初中生解题错误归类及教学对策［Ｄ］．杭州：杭州师范大学，２０１２．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈波利亚解题理论在中学数学解题中的应用摘要：在中学数学解题中，了解学生和学生已有的知识和经验，再针对学生实际，提供普遍性、常识性和自然性的建议是执行波利亚解题表的第一步，也是重要的一步。
本文将按照波利亚的解题表、启发法和合情推理顺序阐述波利亚的解题思想和理论，最后再评述和阐述波利亚解题理论以及该理论在中学数学解题中的应用。
关键词：波利亚解题理论数学解题
“怎样解题表”中的问名与提示是用来促发念头的，正如波利亚所说：“如果你有一个念头，你就够幸运的了”；“如果你走运的话，你或许能找到另一个念头”。
真正糟糕的事是，“我们根本就没有念头”，因为“想不起什么念头，我们只有对问题感到厌倦的危险”，这时，“任何一个可能指明问题新方面的问题，都值得欢迎，因为它可以引起我们的兴趣，可以使我们继续工作，继续思索”。
所以解题表中的问题与提示具有启发解题思维的作用。
只要按照“表”中的问题和建议思考问题、探索解题途径进而逐步掌握解题方法的一般规律，就能成为解题高手。
波利亚还指出，寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划。
”
1.关于波利亚解题表的解释
学生应当获得尽可能多的独立工作的经验。
但是如果把问题留给他一个人而不给他任何帮助，或者帮助不足，那么他根本就得不到提高。
而如果教师帮助的太多，就没什么工作留给学生学习了。
所以帮助学生不能太多，也不能太少，这样才能使学生有一个合理的工作量。
要做到这一点，教师就应当谨慎地、不露痕迹地帮助学生。
然而最好是顺乎自然地帮助学生。
教师应当把自己放在学生的位置上，他应当看到学生的情况，应当努力去理解学生心里正在想什么，然后提出一个问题或是指出一个步骤，而这正是学生自己原本应想到的。
所以了解学生和学生已有的知识和经验，再针对学生实际，提供普遍性、常识性和自然性的建议是执行解题表的第一步，也是重要的一步。
当教师向他的学生提出表中的一个问题或建议时，教师心中可能有两个目的：第一，帮助学生解手上的题目；第二，提高学生的能力，使他将来能自己解题。
经验表明，恰当运用我们表中问题和建议往往能给学生以帮助。
这些问题和建议有两个共同的特征：常识性和普遍性。
实践性和模仿性是这两个共同特征隐含的教学含义。
也就是说，想要提高学生解题能力的教师，必须逐渐地培养学生思维里对题目的兴趣，并且给他们足够的机会去模仿和实践。
2.波利亚解题理论在中学数学解题中的应用
波利亚解题理论和思想对我国的数学教育影响是巨大的，我国教育研究者对波利亚解题理论的研究也取得了许多具有特色的成果。
具体来说，20世纪80年代，徐利治等就数学方法论的研究得到了一些具有重要意义的研究成果，比如“关系映射反演原则”、“数学抽象的方法与抽象度分析方法”等。
可以说，从后来的发展看，我国的数学方法论研究基本就是在这一基础上开展的。
在应用求解
的过程中，一方面继承了波利亚解题理论的精髓，从程序化的解题系统、启发法的过程分析、开放性的念头诱发和探索性的问题等四方面概括了波利亚解题思想的本质、真谛和核心等；另一方面，他从数学知识结构、数学思维能力、数学经验感和数学情感态度等方面论述了解题研究存在的问题以及存在问题的原因分析，最后从学习心理学和数学逻辑方面阐述了自己的解题研究观，对我国数学解题研究起到了很好的引导作用，具有很强的教学实践价值。
可以说，这在某种程度上可视为超越波利亚解题理论的佳作。
我国作为一个解题(以往基本上是解常规的数学题)大国，波利亚的影响是深刻而重要的。
3.案例分析：“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题早见于我国古代的《孙子算经》，波利亚认为该题是一个“智力测验的难题”，若干世纪以来一直使“许多聪明的青少年感兴趣”。
【题目】一户农家的大笼子里关着若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140条腿。
问其中鸡、兔各有几只?
【解法1】（试凑法）一共50只家畜，它们不会全是鸡，否则只有100条腿；也不可能全是兔子，否则就有200条腿，会不会正好一半是鸡，另一半是兔子？如果这样，总共的腿数为25×2+25×4，即150条腿，超过了题目中的140条，可知兔子数应少于25只，让我们试一试20（即20只兔子，30只鸡），这时总共的腿数为20×4+30×2=140(条)。
我们得到了答案!用的是试凑、猜测的方法。
这里给定的数字(50和140)比较小，也比较简单，试凑起来比较容易。
如果数字较大或较复杂，就需要试凑更多次数，还可能要“碰运气”，当然，如果边试凑、边“推理”(有意识地把兔子数增多或减少)，使试验有目的、有次序地进行，就可减少试凑的次数。
【解法2】（触景生情引发的巧思）在我们持续探求新解法时，有人忽然看见笼子里的家畜做出一种新姿势：每只鸡都用一条腿站着，而每只兔子都仅用后腿(两条)站着。
这时，只用了半数的腿，即70条腿．在70这个数目中，显然鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次。
从70这个数减去所有的头数50，就应是兔子的头数，70-50=20，即兔子20只，于是鸡有30只。
【解法3】（代数的方法）一般拿到这个问题会列方程（组）求解。
设有鸡x只，兔子y只，则有，容易解得
对于给定较大的数，或多种多样类似的问题，这种将日常语言“翻译”成代数语言的方法，普遍适用，并且不需要多少诀窍。
以上三种解法，各有长处，试凑法以后也称“逐步校正法”或“逐步逼近法”，是很重要的数学思想方法；“解2”显示了创造的奇美；“解3”的优点是“程式化”；“解3”表现了代数的个性和威力，用字母代替数，把问题一般化，求得公式，使“鸡兔同笼”问题一劳永逸地解决了。
参考文献
[1]杨慧娟,杜鹏.新课标下重析波利亚的合情推理思想[j]
[2]罗增儒.数学解题学引论[m]
[3]曹琳彦，颜宝平.运用波利亚解题思想指导中学数学解题教学[j]。