高中数学 一题多变一题多解特训(十二)

一题多解 一题多变（十二）

一 题 多 解，妙 不 可 言——求动点轨迹方程

2010年江南十校联考（理科）第20题求动点轨迹问题，参考答案仅提供一种方法。在实际教学过程中，带领学生通过探究讨论发现还有更多巧妙的方法，现总结如下。

问题：如图，过圆42

2

=+y x 与x 轴的两个交点A ，B 作圆的切线AC ，BD ，再过圆上任意一点H 作圆的切线交AC ，BD 于C ，D ，设AD ，BC 的交点为R ，求动点R 的轨迹E 的方程

方法一（参考答案）：

设4),(2

02000

=+∴y x y x H 则:0

0000)02(x y

k x x x y k CD OH -=∴≠±≠=

且 故切线CD 的方程:)(00

0x x x y y y --

=- 切线交AC 于)4

2,

2(0

0y x C +-， 交BD 于)24,

2(0

y x D - 所以AD 方程为)1()2(4240

+-=

x y x y

BC 方程为)2()2(4240

--+=

x y x y

由（1）×（2）得：)3()4(1641622

2

2

---=x y x y 42

020

=+y x 由

得2

0204x y -=代

入（3）式可得)4(4

12

2

--=x y 1422=+∴y x 当00=x 时，R （0，1）也满足方程142

2=+y x ，故R 的轨迹E 的方程是)0(14

22≠=+y y x 方法一比较通用，但在化简计算过程中比较繁琐，能否回避大量的计算呢？下面方法二明显优于方法一。

方法二：设切线CD 方程为b kx y +=，即0=+-b y kx ，)1(41

2222+=⇒+=

=∴k b k b r

)2,2()2,2(k b D k b C +--∴，所以AD 方程为)1()2(4

2++=

x k

b y BC 方程为

)2()

2(4

2---=x k b y ，由（1）×（2）得：)3()4(16

42

2022

---

=x k b y

)1(42

2

+=k b ，代入可得)4(4

12

2

--=x y 即 )0(1422≠=+y y x

上述两法均用交轨法求出R 的轨迹方程，区别仅在于运算量。有无更巧的方法呢？本题中根据

点H 落在坐标轴上时，可以猜想出方程可能是)0(14

22

≠=+y y x ，而在椭圆性质中，椭圆上任意一点到椭圆长轴上两端点连线的斜率之积为定值，以此为突破口，借助圆的切线性质可以求之。

方法三：设),2()

,2(21y D y C - 不妨设0,021>>y y ，由圆的切线性质可知：

2121y y CD y DH y CH +=∴== 过C 作CE ⊥BD 交BD 于E ，故12DE , 4 CE y y -== ，

由勾股定理知：4)(4)(212

122

2

21=⇒-+=+y y y y y y

而4116442112-=-=-=

=y y y y k k k k BC AD RB RA ，令),(y x R 4

1

22-=-+=x y x y k k RB RA 化简可得：)0(14

22

≠=+y y x 方法三运用平几与解几相结合，回避了求直线方程，简化了计算，真的很巧，但有没有更妙的方法呢？大家都知道椭圆是由圆压缩而成的，此处的椭圆是如何压缩的呢？请看方法四，读者一定会感到此法最妙！

方法四：连接HR 交x 轴于F ，BD HR HD

CH

RB CR DH BD CH AC RB CR BD AC BD AC //,//⇒=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

===⇒

故HF ⊥x 轴。

RH RF BD

RH

BD RF BD RH CD CH AB AF BD RF =⇒=⇒===∴

故R 为HF 的中点，设),(y x R ，42)

,(2

0200000

=+⎩⎨

⎧==∴y x y

y x

x y x H

442

2

=+∴y x ，故R 的轨迹E 的方程是)0(14

22

≠=+y y x

此法运用了相似比巧妙地求出了R 是H 点沿纵向压缩一半而得，从而便捷地求出了R 的轨迹方程。