几何学的发展概述
几何发展史简要概括
几何发展史简要概括几何学的发展史是一个漫长而丰富多彩的过程，它伴随着人类文明的发展，不断推动着人类对自然界和宇宙的认识。
以下是几何学发展史的简要概括：1. 早期几何学：早在公元前7世纪，古希腊的数学家们就开始研究几何学。
其中，欧几里德被认为是几何学的奠基人，他的《几何原本》一书成为了数学史上的经典之作。
在这个时期，几何学主要关注平面上图形的性质和度量，如长度、角度、面积等。
2. 解析几何学：到了17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将几何图形与代数方程结合起来，从而开创了解析几何学的新纪元。
解析几何学的出现，使得几何学的研究范围从平面扩展到了空间，同时也使得代数和几何在理论上得到了统一。
3. 微分几何学：在19世纪，高斯提出了微分几何学，将几何学的研究重点放在了曲面上。
微分几何学的研究对象包括曲线、曲面以及它们之间的变化和性质。
在这个时期，几何学的研究方法也得到了极大的发展，如微积分、线性代数等数学工具的引入，使得几何学的研究更加深入和广泛。
4. 拓扑学：拓扑学是几何学的一个重要分支，它研究的是图形在连续变形下保持不变的性质。
拓扑学的研究范围非常广泛，包括图形的连通性、紧致性、同胚性等方面。
在20世纪初，随着数学的发展和各学科之间的交叉融合，拓扑学逐渐成为了一个独立的数学分支。
5. 现代几何学：进入20世纪以后，几何学的发展更加多元化和深入。
在这个时期，出现了许多新的几何学分支，如纤维丛几何、黎曼几何、辛几何等。
这些分支的出现，使得几何学的研究范围更加广泛，同时也推动了数学和其他学科的发展。
总的来说，几何学的发展史是一个不断开拓、不断创新的过程。
在这个过程中，许多杰出的数学家们为几何学的发展做出了卓越的贡献。
他们的思想和成果不仅推动了数学的发展，也对其他学科产生了深远的影响。
今天，几何学已经成为一个庞大而复杂的学科体系，它将继续引领着人类对自然界和宇宙的认识和理解。
几何学的发展史PPT
建筑设计
建筑设计是几何学应用的重要领域之一，建筑师利用几何 学原理设计出各种形状和结构的建筑物，以满足功能和审 美需求。
建筑设计中，几何学主要应用于空间布局、结构分析、材 料排布等方面，例如利用几何原理确定建筑物的平面和立 体布局，分析结构的稳定性和承重能力，以及合理排布建 筑材料以降低成本等。
工程绘图
• 文艺复兴时期的几何学：文艺复兴时期，随着科学和技术的进步，几何学也取 得了重大突破。达芬奇、伽利略和开普勒等科学家将几何学应用于天文学、物 理学和工程学等领域，推动了科学革命的发展。
• 现代几何学：19世纪以后，几何学逐渐向更高维度的空间拓展。非欧几何的 创立和发展，为几何学带来了新的研究方向和应用领域。现代几何学还包括拓 扑学、微分几何、代数几何等分支，它们在理论物理、计算机科学和数据科学 等领域中发挥着重要作用。
射影几何学的兴起
射影几何学是几何学的一个重要分支，其兴起与中世纪欧洲 的大学教育密切相关。射影几何学的研究对象是图形在投影 下的性质和问题，对于当时的建筑、绘画和工程等领域有着 重要的应用价值。
射影几何学的兴起也与当时的哲学思想有关，特别是唯理论 和经验论的争论。唯理论者认为几何学中的公理和定理是自 明的，而经验论者则强调实践和应用的重要性。射影几何学 的兴起体现了当时哲学思想的交锋和碰撞。
非欧几何学的发现
非欧几何学的发现
非欧几何学是指与欧几里得几何学不同的几何体系，其公理体系和欧几里得几何学有所 不同。在19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约 等人分别独立发现了非欧几何学。非欧几何学的发现打破了欧几里得几何学的唯一性，
使得人们开始认识到不同的公理体系可以导致不同的几何体系。
微分几何学的兴起
几何发展简史
论文：数学的发展简史作者：学号：班级：指导教师：日期：几何学发展简史几何,英文为Geometry ,是由希腊文演变而来,其原意是土地测量;“依据很多的实证,几何是埃及人创造的,并且产生于土地测量;由于尼罗河泛滥,经常冲毁界限,这样测量变成了必要的工作;无可置疑的,这类科学和其它科学一样,都发生于人类的需要;”引自1;明代徐光启1562~1633和天主教耶酥会传教士利玛窦Matteo Ricci,1552~1610翻译欧几里得的几何原本时将Geometry 一词译为几何学;几何学是研究形的科学,以视觉思维为主导,培养人的观察能力、空间想象能力与空间洞察力;几何学最先发展起来的是欧几里得几何;到17世纪的文艺复兴时期,几何学上第一个重要成果是法国数学家笛卡儿R..descartes, 1596~1650和费马 Fermat,1601~1665的解析几何;他们把代数方法应用于几何学,实现了数与形的相互结合与沟通;随着透视画的出现,又诞生了一门全新的几何学——射影几何学;到19世纪上半叶,非欧几何诞生了;人们的思想得到很大的解放,各种非欧几何、微分几何、拓扑学都相继诞生,几何学进入一个空前繁荣的时期;1 从欧几里得几何到非欧几何欧几里得Euclid,约公元前330~275的几何原本是一部划时代的着作,其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范;公元7世纪以前的所谓几何学,都只限于一些具体问题的解答,并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的;当积累起来的几何知识相当丰富时,把这一领域的材料系统地整理,并阐明它们的关系,就显得十分必要了;由于几何学本来的对象是图形,研究它必然要借助与空间的直观性;但是直观性也有不可靠的时候,因而在明确地规定了定义和公理的基础上,排除直观性,建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始;欧几里得就是在这种思想的基础上,编着完成了他的几何原本;几何原本的第一卷是全书逻辑推理的基础,给出全书最初出现的23个定义,5条公设,5条公理：定义（1）点没有部分;（2）线有长度,而没有宽度;（3）线的界限是点注：几何原本中没有伸展到无穷的线;（4）直线是同其中各点看齐的线;（5）面只有长度和宽度;（6）面的界限是线;（7）平面是与其上的直线看齐的面;（8）平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度;（9）当形成一角的两线是一直线时,这个角叫做平角;（10）~22略是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义;23平行直线是在同一个平面内,而且往两个方向无限延长后,在这两个方向上都不会相交的直线;关于几何的基本规定的5条公设：（1）从每个点到每个其它的点必定可以引直线;（2）每条直线都可以无限延伸;（3）以任意点作中心,通过任何给定的点另一点,可以作一个圆;（4）所有的直角都相等;（5）同平面内如有一条直线与另两条直线相交,且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角,则后两条直线无限延长后必在这一侧相交;关于量的基本规定的5条公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量,总量相等；（3）等量减等量,余量相等；（4）彼此重合的量是全等的；（5）整体大于部分;欧几里得在此基础上运用逻辑推理,导出了许许多多的命题在几何原本中包含了465个命题,从而构成了欧几里得几何学;由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图,因此这两件仪器被称为欧几里得工具,使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图,即尺规作图;这种作图增加了几何学的趣味性;人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：（1）倍立方问题：求作一个立方体,使体积为已知立方体的二倍；（2）三等分角问题：三等分一个任意的已知角；（3）化圆为方问题：求作一个正方形,使其面积为已知圆的面积;尽管是徒劳的,但从各方面推动了数学的发展;将公设、公理分开是从亚里士多德开始的,现代数学将公设、公理都叫做公理;第五条公设与“在平面内过已知直线外一点,只有一条直线与已知直线不相交平行”相等价;现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理;自几何原本问世以来,直到19世纪大半段以前,数学家一般都把欧几里得的着作看成是严格性方面的典范,但也有少数数学家看出了其中的严重缺点,并设法纠正;首先,欧几里得的定义不能成为一种数学定义,完全不是在逻辑意义下的定义,有的不过是几何对象的直观描述比如点,线,面等,有的含混不清;这些定义在后面的论证中根本是无用的;其次,欧几里得的公设和公理是远不够的;因而在几何原本中许多命题的证明不得不借助直观,或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西;针对欧氏几何的上述缺陷,数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷;到19世纪末,德国数学家希尔伯特D. Hilbert,1862~1943于1899年发表了几何基础,书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统;首先他提出了8个基本概念,其中三个是基本对象：点、直线、面；5个是基本关系：点属于或关联直线,点属于或关联平面,一点在两点之间,两线段合同,两角合同;这些基本概念应服从5组公理：关联公理；顺序公理；合同公理；连续公理；平行公理;参见2或3;另外,人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题,即平行公理可否能用其它公理推导出来;虽然有很多学者包括一些很有名的数学家曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来,但最后发现这些论证都是不正确的;于是从意大利数学家Saccheri1733开始,人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的,即它不能从其它公理推导出来;罗巴切夫斯基Лобачевский,Н.И.,1792~1856和波尔约J,Bolyai, 1802~1860分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题,即用“过给定直线外一点,存在着至少两条直线与给定的直线不相交”来代替欧几里得平行公理,并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题,但并没有导致任何的矛盾,非欧几何就这样产生了;但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系,还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来,即提供这种“虚”几何的现实模型;19世纪70年代,德国数学家克莱因F. Klein, 1849~1925提出了Klein 模型,庞加莱J．H．Poincare, 1854~1912提出了上半平面Poincare模型;这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来;这样的非欧几何叫做双曲几何;1两个不同的点至少确定一条直线；2直线是无界的；3平面上任何两条都相交;就可得到一种相容的几何学,称为黎曼的非欧几何椭圆几何;这样的几何可以在球面上实现;由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现,几何学从传统的束缚中解放出来了,从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路,并有广泛的应用,如：在爱因斯坦发现的广义相对论中,用到黎曼几何；由1947年对视空间从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述;如果实数系是相容的,则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的,但都不是完全的;然而奥地利数学家哥德尔K. Godel, 1906~1978证明了“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F,存在F中的不可判定命题;”及“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F,F的相容性不能在F中被证明;”因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了;2 解析几何的诞生欧氏几何是一种度量几何,研究的是与长度和角度有关的量的学科;它的方法是综合的,没有代数的介入,为解析几何的发展留下了余地;解析几何的诞生是数学史上的一个伟大的里程碑;它的创始人是17世纪的法国数学家笛卡儿和费马;他们都对欧氏几何的局限性表示不满：古代的几何过于抽象,过多地依赖于图形;他们对代数也提出了批评,因为代数过于受法则和公式的约束,缺乏直观,无益于发展思想的艺术;同时,他们认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理,而代数学能用来对抽象的未知量进行推理,是一门潜在的方法科学;因此,把代数学和几何学中的精华结合起来,取长补短,一门新的学科——解析几何诞生了;解析几何的基本思想是用代数方法研究几何学,从而把空间的论证推进到可以进行计算的数量层面;对空间的几何结构代数化,用一个基本几何量和它的运算来描述空间的结构,这个基本几何量就是向量,基本运算是指向量的加、减、数乘、内积和外积;向量的运算就是基本几何性质的代数化;将几何对象数量化需要一座桥,那就是“坐标”;在平面上引进所谓“坐标”的概念,并借助这座桥,在平面上的点和有序实数对x,y之间建立一一对应的关系;每一对实数x,y都对应于平面上的一个点；反之,每一个点都对应于它的坐标x,y ;以这种方式可以将一个代数方程fx,y=0与平面上一条曲线对应起来,于是几何问题便可归结为代数问题,并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果;借助坐标来确定点的位置的思想古来有之,古希腊的阿波罗尼奥斯Apollonius of Perga,约公元前262~190关于圆锥曲线性质的推导；阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究,都蕴涵着这种思想;解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆,1323-1382,他在论形态幅度这部着作中提出的形态幅度原理或称图线原理,甚至接触到函数的图像表示,在此,他借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来描述他的图线,相当于横坐标和纵坐标;到了16世纪,对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题;这就迫切地需要一种新的数学工具,导致了变量数学即近代数学的诞生;笛卡儿1637年发表了着名的哲学着作更好地指导推理与寻求科学真理的方法论,该书有三个附录：几何学、折光学和气象学,解析几何的发明包含在几何学这篇附录中;笛卡儿的出发点是一个着名的希腊数学问题——帕普斯问题：费马和笛卡儿研究解析几何的方法是大相径庭的,表达形式也截然不同：费马主要继承了希腊人的思想;尽管他的工作比较全面系统,正确地叙述了解析几何的基本思想,但他的研究主要是完善了阿波罗尼奥斯的工作,因此古典色彩很浓,并且沿用了韦达以字母代表数类的思想,这就要求读者对韦达的代数知识了解甚多;而笛卡儿则是从批判希腊的传统出发,决然同这种传统决裂,走的是革新古代方法的道路;他的方法更具一般性,也适用于更广泛的超越曲线;费马是从方程出发来研究它的轨迹；而笛卡儿则从轨迹出发建立它的方程;这正是解析几何中一个问题的正反两个方面的提法;但各有侧重,前者是从代数到几何,而后者是从几何到代数;从历史的发展来看,后者更具有突破性见5;解析几何解决的主要问题是见6：1通过计算解决作图问题;例如,分线段成已知比例;2求具有某种几何性质的曲线或曲面的方程;3用代数方法证明新的几何定理;4用几何方法解代数方程;例如,用抛物线与圆的交点解三次和四次代数方程;解析几何的诞生具有以下的伟大意义见6：1数学的研究方向发生了一次重大转折：古代以几何为主导的数学转为以代数和分析为主导的数学;2以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学,为微积分的诞生奠定了基础;3使代数和几何融合为一体,实现了几何图形的数量化;4代数的几何化和几何的代数化,使人类摆脱了现实的束缚,带来了认识新空间的需要,帮助人类从现实世界进入虚拟世界：从3维空间进入到更高维的空间;3 十八、十九世纪的几何对于几何学,十八世纪数学家们着眼于分析方法的应用,及与此相联系的坐标几何的发展;虽然早先已有部分结果,但形成为独立的学科主要是在十八世纪;伯努利兄弟以及欧拉、拉格朗日等在确定平面曲线曲率、拐点、渐伸线、渐屈线、测地线及曲线簇包络等方面做出许多贡献；蒙日自1771年起发表的一系列工作,则使微分几何在十八世纪的发展臻于高峰; 解析几何的基本课题是对称的坐标轴概念、平面曲线的系统研究等;帕伦于1705年、1713年将解析几何推广至三维情形,该项工作被克莱罗所继续;解析几何突破了笛卡儿以来作为求解几何难题的代数技巧的界限;对综合几何的兴趣直到十八世纪末才被重新唤起,这主要归功于蒙日的画法几何学;蒙日指出画法几何只是投影几何的一个方面,这促进了更一般的投影几何学与几何变换理论的发展;投影几何在十九世纪整整活跃了一个世纪,而几何变换则已成为现代几何学的基本概念;十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代;复变函数论的创立和数学分析的严格化,非欧几何的问世和射影几何的完善,群论和非交换代数的诞生,是这一世纪典型的数学成就;它们所蕴含的新思想,深刻地影响着二十世纪的数学;十九世纪最富革命性的创造当属非欧几何;自古希腊时代始,欧氏几何一直被认为是客观物质空间惟一正确的理想模型,是严格推理的典范;16世纪后的数学家在论证代数或分析结果的合理性时,都试图归之为欧氏几何问题;但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注,以弄清它和其他公理、公设的关系;这个烦扰了数学家千百年的问题,终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决;高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明,得到在逻辑上相容的非欧几何,其中平行公设不成立,但由于担心受人指责而未发表;1825年左右,波尔约和罗巴切夫斯基分别得到同样的结果,并推演了这种新几何中的一些定理;罗巴切夫斯基1829年的文章论几何基础是最早发表的非欧几何着作,因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几何;这项发现的技术细节是简单的,但观念的变革是深刻的,欧氏几何不再是神圣的,数学家步入了创造新几何的时代;非欧几何对人们认识物质世界的空间形式提供了有力武器,但由于它背叛传统,创立之初未受到数学界的重视;只是当高斯有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去世后出版时,才因高斯的名望而引起数学家们的关注;十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何;1822年,彭赛列发表论图形的射影性质,这是他1813～1814年被俘关在俄国时开始研究的总结;他探讨几何图形在任一投影下所有截影共有的性质,他的方法具有象解析几何那样的普遍性;1827年左右,普吕克等人引进齐次坐标,用代数方法研究射影性质,丰富了射影几何的内容;对纯几何问题兴趣的增长,并未减弱分析在几何中的应用;高斯从1816年起参与大地测量和地图绘制工作,引起他对微分几何的兴趣;1827年他发表的关于曲面的一般研究,为这一数学分支注入了全新的思想,开创了微分几何的现代研究;参考书目1КостинВ.И.,几何学基础,苏步青译,商务印书馆,19562沈纯理等,经典几何,科学出版社,20043郑崇友等,几何学引论第二版,高等教育出版社,20054李文林,数学史概论第二版,高等教育出版社,20025吴文俊主编,世界着名数学家传记,科学出版社,20036张顺艳,数学的美与理,北京大学出版社,2004。
几何发展现状及未来趋势分析
几何发展现状及未来趋势分析概述：几何学是数学的一个分支，研究空间、形状、大小、相对位置以及其他属性的图形和物体。
它被广泛应用于建筑、工程、地理、计算机图形学和许多其他领域。
本文将探讨几何学的发展现状以及未来的趋势。
一、几何学的发展历程几何学的起源可追溯至古埃及和古希腊时期。
古埃及人利用几何学来测量土地和建筑物的面积和体积。
古希腊人如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德等人奠定了几何学的基本原理和定理，这些原理和定理成为后世几何学研究的基础。
随着科学方法的发展，几何学逐渐从实证研究转变为抽象研究。
在19世纪，非欧几何学的出现打破了传统几何学的框架，引发了对几何学基本概念的重新思考。
同时，向量和矩阵等代数方法的引入也为几何学的发展带来了新的契机。
二、几何学的现状几何学在不同领域有着广泛的应用。
以下是几个领域中几何学的现状：1. 建筑与设计：几何学在建筑和设计领域中扮演着重要角色。
通过几何分析和建模，设计师可以将二维和三维几何形状转化为具体的建筑和产品。
2. 工程：几何学在工程领域中被广泛应用于测量和设计。
通过几何分析，工程师可以确定建筑和结构的尺寸、角度和形状，确保设计的准确性和可靠性。
3. 地理信息系统（GIS）：GIS利用几何学和地理数据，帮助我们理解和分析地球表面的空间关系。
它在城市规划、环境管理和农业等领域起着重要作用。
4. 计算机图形学：计算机图形学利用几何学和计算机算法来生成和处理图像。
它在电影、游戏开发和虚拟现实等领域发挥着重要作用。
5. 生物学：生物学中的形态学研究了生物体的结构和形状。
通过几何学的应用，可以揭示生物体的内部和外部结构之间的关系，并帮助解决生物学领域中的许多问题。
三、几何学的未来趋势几何学作为一门学科，仍然在不断发展和演变。
以下是几何学未来发展的几个趋势：1. 三维几何学的发展：随着三维扫描和建模技术的进步，三维几何学成为几何学研究的一个重要方向。
三维几何学的应用不仅包括建筑和设计领域，还包括医学、机器人技术和虚拟现实等领域。
解析几何的发展简史
解析几何的发展简史解析几何学是数学的一个分支，研究点、线、面及其相互关系的形状和性质。
它起源于古代文明，随着时间的推移，逐渐发展成为现代数学的一部分。
下面是解析几何发展的简史。
古代：解析几何的起源可追溯到古埃及和古希腊时期。
古埃及人以地理测量和土地标记为目的，开始研究几何学。
而在古希腊，数学家毕达哥拉斯和欧几里得作出了关于点、线和面的基本定义和公理，为几何学建立了坚实的基础。
17世纪：解析几何在17世纪得到了重要的发展。
法国数学家笛卡尔提出了坐标系，将代数与几何学相结合，从而建立了现代解析几何的基础。
笛卡尔坐标系将点的位置通过坐标表示，使得几何问题可以转化为代数方程。
这为后来的数学家们提供了研究平面和空间中几何图形的新方法。
19世纪：19世纪是解析几何学发展的黄金时代。
法国数学家拉格朗日和欧拉等人进一步发展了解析几何的方法和理论。
此外，高斯、黎曼和庞加莱等数学家的研究推动了解析几何学的进一步发展。
他们建立了非欧几何学，推翻了欧几里得几何学的一些公理，为后来的几何学发展开辟了新的方向。
20世纪：20世纪是几何学发展的一个重要时期。
在这一时期，解析几何研究的焦点逐渐从平面和空间的几何图形转向了更抽象的代数和拓扑几何。
19世纪末和20世纪初，法国数学家庞加莱提出了拓扑学的概念，这是一种研究几何形状变化的新方法。
庞加莱的工作对后来拓扑学的发展产生了重要影响。
当代：在当代，随着计算机技术的发展，解析几何学得到了进一步发展和应用。
计算机辅助几何设计（CAGD）是解析几何的一个重要应用领域，它将几何形状的描述和计算机图形学相结合，用于工程设计、制造和动画等领域。
总结起来，解析几何经历了几个重要的发展阶段。
古代时期几何学的基本概念和公理得到确立；17世纪随着笛卡尔坐标系的引入，解析几何开始研究代数与几何的关系；19世纪期间，非欧几何学和拓扑学的发展对解析几何的发展起到了重要作用；20世纪以来，解析几何进一步发展和应用于计算机技术。
几何发展简史综述
• （6）欧几里德（前300年左右生活在亚历山大城并在该处 授徒）著《几何原本》，确立几何学的逻辑体系，成为世 界上最早的公理化数学著作。《原本》共十三篇，第一篇 到第四篇讲直边形和圆的基本性质；第五篇讲比例论；第 六篇讲相似形；第七、八、九篇是数论；第十篇是不可公 度量的分类；第十一、十ห้องสมุดไป่ตู้、十三篇是立体几何及穷竭法。 • 西方曾有两本影响最广的书，一本是《圣经》，另一本就 是《几何原本》。《原本》是使用时间最长的数学教科书。 《原本》实际上是古希腊古典时期一些个别发现的整理， 是众多学者智慧的结晶，欧几里德对前人的成果加以整理、 归纳、完善和发展，他依然是个大数学家。虽然它的内容 存在缺陷，而且与现代教学趋势日益不相适应，但从历史 的角度看，它确实是一部伟大的著作，无愧于“西方数学 的代表作”的称号。
• 非欧几何对人们认识物质世界的空间形式 提供了有力武器，但由于它背叛传统，创 立之初未受到数学界的重视。只是当高斯 有关非欧几何的通信和笔记在他1855年去 世后出版时，才因高斯的名望而引起数学 家们的关注。
• 十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影 几何。1822年，彭赛列发表《论图形的射 影性质》，这是他1813～1814年被俘关在 俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形 在任一投影下所有截影所共有的性质，他 的方法具有象解析几何那样的普遍性。 1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标， 用代数方法研究射影性质，丰富了射影几 何的内容。
• 1825年左右，波尔约和罗巴切夫斯基分别 得到同样的结果，并推演了这种新几何中 的一些定理。罗巴切夫斯基1829年的文章 《论几何基础》是最早发表的非欧几何著 作，因此这种几何也称为罗巴切夫斯基几 何。这项发现的技术细节是简单的，但观 念的变革是深刻的，欧氏几何不再是神圣 的，数学家步入了创造新几何的时代。
几何学发展史简介
“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。
我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553- 1610）1607年合译《几何原本》时首次采用。
几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代。
最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。
再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。
几何学的发展大致经历了4个基本阶段。
1.实验几何的形成与发展几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述。
源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。
据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现的简略几何图案。
相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。
另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。
然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。
但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明；某些计算公式仅是粗略和近似的；直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。
2.理论几何的形成与发展到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入希腊并得到巨大的发展。
这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。
几何学简史
几何学简史
几何学是数学中的一个重要分支，它研究空间中的点、线、面及其相互关系。
几何学的历史可以追溯到古代文明时期，如埃及、巴比伦和印度等国家。
在古希腊时期，几何学得到了极大的发展。
公元前300年左右，欧几里得编写了《几何原本》，这是一本关于几何学的权威著作，对几何学的发展产生了深远的影响。
欧几里得将几何学的基本概念和定理进行了系统化的整理和阐述，成为了后来几何学研究的基础。
在中世纪时期，阿拉伯数学家对几何学做出了重要的贡献。
他们发展了三角学和代数学，并将这些知识应用于几何学中。
阿拉伯数学家还发明了阿拉伯数字和零的概念，这些概念对现代数学的发展产生了重要的影响。
在文艺复兴时期，欧洲的数学家开始重新发现和研究古希腊和阿拉伯的数学知识。
伽利略和笛卡尔等人提出了解析几何的概念，将代数和几何结合起来，为现代数学的发展奠定了基础。
19世纪是几何学发展的黄金时期。
高斯、黎曼、庞加莱等数学家提出了许多重要的几何学理论和定理，如高斯-邦克尔公式、黎曼猜想等。
这些成果不仅推动了几何学的发展，也对其他学科产生了重要的影响。
20世纪以来，几何学的研究进入了一个新的阶段。
数学家们
开始关注非欧几里得几何和非交换几何等领域，并取得了许多重要的成果。
同时，计算机技术的发展也为几何学的研究提供了新的手段和方法。
几何学是一门古老而充满魅力的学科。
从古至今，无数数学家为之奋斗，不断推动着几何学的发展。
未来，随着科学技术的不断进步和发展，相信几何学将会有更加广阔的应用前景和发展空间。
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5.3.2 《原本》中的几何方法
《原本》在证明相关结论中使用了多种 几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几 何证法,等等。这些方法是人类早期研究图 形性质的数学方法，在现代基础教育中仍 发挥着积极的作用。
举例如下： 毕德哥拉斯定理，《原本》使用几何的证 法如下：
如图5.19，先证明△ABD△FBC，推得矩形 BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与正 方形AK等积。
∠B1AB= －a＞∠CAB= － ，（因为α
三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示
圆面积的计算公式是A = (8d/9)2，其中d是
直径。这就等于取π为3.1605。
四边形的面积公式：（a + c）（b + d）/4 （其中a、b、c、d依次表示边长）。
高为h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截
体的体积公式：
V = (1/3) h (a2 + ab +b2)
中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是
OM 的长度。
[插入图5.27]
曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的
含x和y有限次代数方程来表示的曲线
费马的工作
费马关于曲线与方程的思想，源于 对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用 了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数 表述式。
圆锥曲线理论 梅内克缪斯（约公元前4世纪）最先发现 了圆锥曲线： [插入图5.24] 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》将圆锥曲 线的性质全部囊括
其中圆锥曲线的定义方法如下： [插入图5.25]
5.5 坐标几何与曲线方程思想
17世纪法国数学家笛卡尔和费马创 立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。 并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起
《几何原本》（约公元前300年，古 希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学 理论体系——几何学。标志着人类科学研 究的公理化方法的初步形成，
《几何原本》共十三卷，其中第一、 三、四、六、十一和十二卷，是我们今天 熟知的平面几何和立体几何的知识，其余 各卷则是数论和（用几何方法论证的）初 等代数知识。全书证明了465个命题。
5.6 罗巴切夫斯基几何学
在欧几里得几何学中第五公设（即 平行公理）的研究过程中，人们不自觉 地将得到了许多第五公设的等价命题。 发现了罗巴切夫斯基几何学
5.6.1 第五公设及其等价命题
等价命题 普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作 一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等 于两个直角； 每个三角形的内角和都相同； 通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截 线； 存在两个相似而不全等的三角形； 毕达哥拉斯定理； 过不在一直线上的三点可作一圆； 圆内接正六边形的一边等于此圆的半径； 四边形的内角和等于四个直角；
5.3.1 《原本》的公理化体系
《原本》的公理化体系：全书 先给出若干条定义和公理，再按由简到 繁的顺序编排出一系列的定理(465个命 题)。使整个几何知识形成了一个演绎 体系
公设：（1） 从任一点到任一点 作直线是可能的。（2） 把有限直线不 断循直线延长是可能的。（注意，这里 所谓的直线，相当于今天我们所说的线 段。）（3） 以任一点为中心和任一距 离为半径作一圆是可能的。（4） 所有 直角彼此相等。（5） 若一直线与两直 线相交，且若同侧所交两内角之和小于 两直角，则两直线无限延长后必相交于 该侧的一点（现今称为平行公理）。
5.2.2 求积方法
勾股术与图证 “析理以辞，解体
用图”—— “弦图”
大方 = 弦方 + 2矩形，
（1） 图5.5 伏羲手持规，女娲手持矩
大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形，
（2）
比较（1）与（2），得
弦方 = 勾方 + 股方。
图5. 11 阿基米德的双 重方法求面积
5.2.3 多边形数
最早的演绎几何学
一。个等价命题的证明：如果任意三角形内角
和都等于π，那么过线a外一点A只能引进 一条直线与a不交。
[证明] 过A引a的垂线AB，并过A引AB的垂线b， 则a与b必定不交。
假如另有一条直线AC
与a
B1、C在AB同侧，且使
∠AB1B=α＜
。
按假设，直角△ABB1内角和等于π，所以
5.4 三大作图问题与《圆锥曲线》
三个作图问题： 倍立方，即求作一立方体的边，使
该立方体的体积为给定立方体的两倍； 三等分角，即分一个给定的任意角
为三个相等的部分； 化圆为方，即作一正方形，使其与
一给定的圆面积相等。
直到19世纪，才证实了只用圆规和直尺来 求解这三个作图题的不可能性，然而对这 三个问题的深入探索引出大量的发现。 其中包括
公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的 例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” [插入图5.18]
图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形
从立体图形到平面图形 图腾崇拜和宗教礼仪
5.2 测量与几何
在几何发展最早的古代埃及，几 何一词具有“土地测量”的含义。在古 希腊几何学传入中国之后，汉字用几何 一词来称谓这门学科，而汉语中“几何” 具有“多少”的意思。
5.2.1 经验公式
古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积 的方法
笛卡尔的工作
几何学》是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果
首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图
实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可 以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未
知长度x，经过代数运算知道x满足
x= a a2 b2
，
他2画出4x的方法如下：如图5.27作直角三角形NLM，其