2016_2017学年高中数学第二章解析几何初步2.1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式课件
[边听边记]
y－3 x＋2 (1)由两点式得－1－3＝4＋2，化简得 2x＋3y－5＝0.
x y (2)由截距式得4＋－5＝1，化简为 5x－4y－20＝0. (3)当直线过原点时，所求直线方程为 3x－2y＝0； x y 当直线不过原点时，设直线方程为a＋a＝1. 2＋3 因为直线过点 P(2,3)，所以 a ＝1，即 a＝5. 直线方程为 y＝－x＋5. 所以所求直线方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
正解二：设直线方程为 y－3＝k(x－2)， 当 x＝0 时，y＝3－2k； 3 当 y＝0 时，x＝2－k. 3 由题可知，2－k＝3－2k. 3 解之得 k＝－1 或 k＝2. 3 ∴所求直线方程为 y－3＝－(x－2)或 y－3＝2(x－2)， 即 x＋y－5＝0 或 3x－2y＝0.
2 所以直线 l 的方程可化为 y＝－k－3x＋2， 2 由题意得－k－3＝－1，解得 k＝5. x y (2)直线 l 的方程可化为k－3＋2＝1， 由题意得 k－3＋2＝0，解得 k＝1.
[规律方法]
(1)直线的一般式方程 Ax＋By＋C＝0 中要求 A，B 不同时为 0；
(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化 为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式 方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．
解析：
A 错，直线斜率不存在时，不能用点斜式表示直线方程；C 错，a，
b 中有一个或两个都为 0 时，不能用截距式表示直线方程；D 错，斜率不存在时， 不能用斜截式表示直线方程．
答案：
B
2．经过点 A(2,1)，B(6，－2)两点的直线方程不是( 3 A．y－1＝－4(x－2) x y C.10＋5＝1 3 2 B．3x＋4y－10＝0 y－1 x－2 D．1＋2＝6－2
答案：
(1)C
直线方程的应用 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围．
[思路探究] 先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限
内的某点，可证得第(1)问；第(2)问，可先画出草图，借助图形，然后用“数形结 合”法求得．
解析：
(1)由点斜式可得直线方程为
3 y－3＝－5(x＋2)． 化为一般式为 3x＋5y－9＝0. x y (2)由直线方程的截距式可得－3＋4＝1， 化为一般式得 4x－3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋12＝0.
合作探究· 课堂互动
直线方程的两点式方程和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点 A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4，－5； (3)过点 P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
m－1＜0， (2)由已知得 1－2m＜0，
1 得2＜m＜1.
答案：
(1)D
1 (2) 2，1
◎直线 l 经过点 P(2,3)，且在 x，y 轴上的截距相等，试求该直线方程．
【错解】 x y 设直线方程为a＋a＝1，
2 3 又过 P(2,3)，∴a＋a＝1，求得 a＝5. ∴直线方程为 x＋y－5＝0.
(4)特别地，当 A、B 两点为直线与坐标轴的交点(非原点)时，两点式可化为 截距式，所以截距式是两点式的特殊情况． (5)截距式方程的适用条件是 a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直 线，也不能表示与坐标轴平行的直线．
直线方程的一般式
不同时为0 表示的是 关于 x ， y 的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0(A ， B__________) 一条直线 ，我们把它叫作直线方程的一般式． __________
[规律方法]
直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的
形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．
1．(1)过 A(1,1)、B(0，－1)两点的直线方程是( y＋1 A.1＋1＝x y－1 x－1 C.0－1＝－1－1 y－1 x－1 B． －1 ＝ －1 D．y＝x
)
(2)若直线 l 过点 A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线 l 的方 程为________．
解析：
3 1 (1)证明：法一：将直线 l 的方程整理为 y－5＝a(x－5)，
1 3 1 3 ∴l 的斜率为 a，且过定点 A(5，5)，而点 A(5，5)在第一象限，故不论 a 为何 值，l 恒过第一象限． 法二：直线 l 的方程可化为(5x－1)a＋(3－5y)＝0. 当定点为(x，y)时，上式对任意的 a 总成立， 1 x＝5， 5x－1＝0， 必有 即 3－5y＝0， 3 y＝5，
[强化拓展] (1)当 A≠0，B≠0 时，直线与两条坐标轴都相交． (2)当 A≠0，B＝0，C≠0 时，直线与 y 轴平行，与 x 轴垂直． (3)当 A＝0，B≠0，C≠0 时，直线与 x 轴平行，与 y 轴垂直． (4)当 A＝0，B≠0，C＝0 时，直线与 x 轴重合． (5)当 A≠0，B＝0，C＝0 时，直线与 y 轴重合．
2．(1)斜率为－3，且在 x 轴上截距为 2 的直线方程是( A．3x＋y＋6＝0 C．3x＋y－6＝0 B．3x－y＋2＝0 D．3x－y－2＝0
)
(2)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． ①斜率是 3，且经过点 A(5,3)； ②斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； ③经过 A(－1,5)，B(2，－1)两点； ④在 x，y 轴上的截距分别是－3，－1.
解析：
(1)由点斜式得 y＝－3(x－2)，
化为一般式得 3x＋y－6＝0. (2)①由点斜式方程可知， 所求直线方程为 y－3＝ 3(x－5)， 化为一般式为 3x－y＋3－5 3＝0. ②由斜截式方程可知，所求直线方程为 y＝4x－2， 化为一般式为 4x－y－2＝0.
③由两点式方程可知， y－5 x－－1 所求直线方程为－1－5＝2－－1. 化为一般式方程为 2x＋y－3＝0. x y ④由截距式方程可得，所求直线方程为－3＋－1＝1， 化成一般式方程为 x＋3y＋3＝0.
方程确定后，点 A，B 能否确定？
[提示]
可以确定．
[问题2]
根据上图知建立平面坐标系后，A，B两点的坐标值相当于在x轴、
y轴上的什么量？ [提示] 在x轴、y轴上的截距．
[问题3]
若已知直线在坐标轴的截距可否确定直线方程？
[提示] 可以．
1．会利用两点式求直线方程． 2．掌握直线方程的一般式． 3．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．
[自主练习] 1．下面四个说法中正确的是( )
A．经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示 y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2 B． 经过任意两个不同的点 P1(x1， －x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 x y C．不经过原点的直线都可以用方程a＋b＝1 表示 D．经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示
对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键．在变形后，特殊点还不明显的 情况下，可采用方法二的解法．
3.(1)已知直线 ax＋by＋c＝0 的图像如图，则( A．若 c＞0，则 a＞0，b＞0 B．若 c＞0，则 a＜0，b＞0 C．若 c＜0，则 a＞0，b＜0 D．若 c＜0，则 a＞0，b＞0
[强化拓展] (1)直线方程的两点式应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜率不存 在及斜率为零时，没有两点式方程． 当 x1＝x2 时，直线方程为 x＝x1； 当 y1＝y2 时，直线方程为 y＝y1. (2)直线方程的两点式与直线上两点的顺序无关． (3) 两点式方程若变形为 (y － y1)(x2 － x1) ＝ (x － x1)(y2 － y1) ，则此方程不再受 x1≠x2 且 y1≠y2 的限制，可表示过(x1，y1)，(x2，y2)的所有直线．
第二课时
直线方程的两点式和一般式
自主学习· 新知突破
某区商业中心 O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、 北大街东侧 P 处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为 2 km 和 4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于 A，B 两处， 并使区商业中心 O 到 A，B 两处的距离之和最短． [问题 1] 在上述问题中，实际上解题关键是确定直线 AB，那么直线 AB 的
)
(2)若直线(m－1)x－y－2m＋1＝0 不经过第一象限，则实数 m 的取值范围是 ________．
解析：
a (1)由 ax＋by＋c＝0，斜率 k＝－b.
c c 直线在 x，y 轴上的截距分别为－a，－b. a 如题图，k＜0，即－b＜0，∴ab＞0. c c ∵－a＞0，－b＞0，∴ac＜0，bc＜0. 若 c＜0，则 a＞0，b＞0；若 c＞0，则 a＜0，b＜0，故选 D.
直线方程的一般式 设直线 l 的方程为 2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分 别确定 k 的值： (1)直线 l 的斜率为－1； (2)直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0.
[思路探究] k的方程求解．
将一般式方程分别化为斜截式方程和截距式方程，建立关于
解析：
(1)因为直线 l 的斜率存在，
直线方程的两点式和截距式 (1)直线方程的两点式 设 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线 l 上的任意两点． y1 ≠ y2 x1≠x2 且______ ①两点满足的条件：______ y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1 . ②形式：_____________ (2)直线方程的截距式 x y ①形式：a＋b＝1. y 轴上的截距． x 轴上的截距；b 为直线在___ ②a、b 的几何意义：a 为直线在___
高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
高中数学必修2第2章212第二课时两点式课件(_1
1．直线的两点式方程
(1)条件：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)． (2)方程：_y_y2－_－_yy_11_＝__xx2_－－_x_x1_1 __ 2．直线的截距式方程 (1)条件：A(a,0)，B(0，b)且___a_b_≠__0_______ (2)方程：__xa_＋__by_＝__1______
1．在例1的条件下，求过点B且平行于AC的直线方程． 解：设所求的直线为 l，由于 l 与直线 AC 平行，则这两条直线 的倾斜角相等，所以 kl＝kAC＝3－0－－22＝－25， 故直线 l 的方程为 y－2＝－25(x－3)．
直线的截距式方程 求过定点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程．
(本题满分 12 分)求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的 截距的绝对值相等的直线 l 的方程．
[解] 当直线过原点时 ，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0， 满足题意，此时，直线的斜率为12，所以直线方程为 y＝12x.2 分 当直线不过原点时 ，由题意可设直线方程为xa＋by＝1，又过 点 A，所以4a＋2b＝1①，4 分 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b| ②，
[错因与防范] (1)方程xa＋by＝1 中的 a 与 b 是直线在 x 轴与 y 轴上的截距，而不是距离，所以由三角形面积为 4，应该有12|a||b| ＝4. (2)直线的截距是指直线在坐标轴上对应的坐标，因此可为正、 可为负、可为零；而距离是线段的长度，是非负的．截距不是 距离，解题中应注意准确把握两者的区别．
2．求过点 A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的 方程． 解：(1)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且不为 0 时，可 设直线 l 的方程为xa＋－ya＝1.又 l 过点 A(3,4)， 所以3a＋－4a＝1，解得 a＝－1.
高中数学 第二章 解析几何初步 1.2.2 直线方程的两点式和一般式练习(含解析)北师大版必修2-北
第二课时 直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称 两点式 截距式已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 适用X 围y 1≠y 2且x 1≠x 2 ab ≠02.直线的一般式方程把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A ，B 满足A ，B 不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√) 2．截距式可表示除过原点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．(√)5．过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)6．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1.(×) 7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax ＋By ＋想一想1.过点(1,3)和，(5,3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是( )答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是( ) A ．x ＝2018 B ．x ＝2019 C ．y ＝2018 D ．x ＋y ＝2020 答案：A3．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135° 答案：A4．在x 轴、y 轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( ) A.x 5＋y 3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y3＝0 答案：B5．直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________． 答案：3知识点一 直线的两点式方程1.已知直线l 经过点A (1，－2)，B (－3,2)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－－2＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C.25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二 直线的截距式方程3.过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C. 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b )，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a )．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值X 围是________．解析：将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 答案：(知识点四 直线方程的应用7.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值X 围．解析：(1)证明：方法一 将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. 当定点为(x ，y )时，上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)如图，直线OA 的斜率为 k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，某某数k 的取值X 围． 解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1， 得y －1＝k (x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1.若－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3≥0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1. 综合知识 直线的方程9.(1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3， 整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.10．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋－52＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0 解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－C B>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由题图可知，直线l 1的斜率－1a >0，在y 轴上的截距－ba<0，因此a <0，b <0；直线l 2的斜率－1c >0，在y 轴上的截距－d c >0，因此c <0，d >0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a >－1c，因此a >c ，故选C.答案：C7．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠0 B．m ≠－32C ．m ≠1 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：∵当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1，要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1，故选C.答案：C 二、填空题 8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足． 所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
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第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第1课时
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的 取值范围是多少？
【提示】 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距 b，以及与y轴交点P的坐标． 【提示】 ∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y ＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
【答案】 y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为 ________． 【解析】 过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程 为x＝1.
【答案】 y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
4－1 【解析】 k＝ ＝1，l的方程为y－1＝1· (x＋1)，即y＝x＋2. 2－－1
【答案】 y＝x＋2
教材整理2
直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
y＝kx＋b 斜截式方程：__________________ ，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的
截距 ． 直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的______
【导学
【解析】 直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－ 1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135° .
【答案】 135° ，－1
5．求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
【解】 设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)． 当x＝0，y＝4＋3k， 4 当y＝0，x＝－ k－3，
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2
∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直 的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于 直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】 由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2
2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.2 圆与圆的位置关系 北师大版必修2
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)∵m=1,∴两圆的方程分别可化为 C1:(x-
解:设所求圆的圆心为 P(a,b),
易错辨析
所以 (������-4)2 + (������ + 1)2=1.
①
若两圆外切,
则有 (������-2)2 + (������ + 1)2=1+2=3.
②
由①②,解得 a=5,b=-1.
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1. 若两圆内切,
则有 (������-2)2 + (������ + 1)2=2-1=1.
(1)求线段AB的垂直平分线的方程; (2)求AB所在直线的方程; (3)求公共弦AB的长度. 分析:(1)线段AB的垂直平分线即两圆圆心的连线;(2)两圆方程相 减即得AB所在直线的方程;(3)利用几何法根据勾股定理求AB的长.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)由于两圆相交于 A,B 两点,所以线段 AB 的垂直平分线就 是两圆的圆心的连线.
(1)求公共弦AB所在直线的方程;
(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程.
解:(1)由已知得
������2 ������2
+ +
������2 + 2������ + 2������-8 = 0, ������2-2������ + 10������-24 = 0,
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程224点到直线的距离课件新人教B版必修2
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程224点到直线的距离课件新人教B版必修2
1．点 P(1,0)到直线 x－3y＋4＝0 的距离为( )
A．
10 2
B．12
C．
2 2
D． 5
解析：d＝|1－10＋＋94|＝ 210，故选 A．
答案：A
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程224点到直线的距离课件新人教B版必修2
(1)求与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，且与原 点的距离为 6 的直线方程；
(2)求经过直线 l1：2x＋3y－5＝0 与 l2：7x＋15y＋1＝0 的交 点，且平行于直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程224点到直线的距离课件新人教B版必修2
3．两条平行直线间的距离
两条平行线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 之间
的距离
d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
使用两条平行线间的距离公式时要把直线方程化为直线的
一般式方程，且两条直线方程中 x，y 的系数必须分别相等．
2× 10
110＝15，
∴t＝±15，∴M 点坐标为－35，15或35，－15.
答案：－35，15或35，－15
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高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程224点到直线的距离课件新人教B版必修2
类型 2 求两平行直线间的距离
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
题型一
题型二
题型三
题型四
方法三: 很显然直线l不为直线l2,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0, 由题意,知3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 解得λ=11,则直线l的方程为4x+3y-6=0. 反思本题的三种方法是从三个不同的角度来考虑的.方法一是从 垂直直线的斜率关系来考虑,求出直线l的斜率和一定点坐标;方法 二是从直线l与直线l3垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程;方法三 是从直线l过直线l1和l2的交点来考虑,利用过两条直线交点的直线 系设出方程.
4 3
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二 : 设直线 l 的方程为 4x+3y+m=0. 因为它过两条直线 l1 与 l2 的交点 P, ������-2������ + 4 = 0, 解方程组 得 P(0,2), ������ + ������-2 = 0, 所以 4×0+3×2+m=0, 解得 m=-6. 所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.
������ = -1, 得 所以直线 l1 和 l2 相交,交点坐标是(-1,-2). ������ = -2,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断两条直线的位置关系
【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0 的位置关系. 如果相交, 求出交点坐标.
������ = -2, ������-2������ + 1 = 0, 解:解方程组 得 1 所以直线 l1 与 l2 相交, 交 2������-2������ + 3 = 0, ������ = - , 点坐标是 -2,- 2 .
高中数学 2.1.2直线的方程课件 苏教版必修2
学习
栏
目 链
预习
接
典例
►变式训练
1．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为
30°，求直线l的方程．
分析：求出直线l的倾斜角及相应的斜率，再利用点斜式方
学习
程求解．
栏
目 链
预习
接
典例
解析：∵直线 y＝ 3(x－1)的斜率为 3， ∴其倾斜角为 60°，且过点(1，0)． 又直线 l 与直线 y＝ 3(x－1)的夹角为 30°，且过点(1，0)，由 右图可知，直线 l 的倾斜角为 30°或 90°. ∴直线 l 的方程为 y＝ 33(x－1)或 x＝1.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
的两点式方程得2y－－00＝－x－2－33.
学习
整理可得2x＋5y－6＝0，这就是所求直线AC的方程． 直线AB经过A(－2，2)，B(3，2)，由于其纵坐标相等， 可知其方程为y＝2.
栏
目 链
预习
接
典例
直线BC经过B(3，2)，C(3，0)，由于其横坐标相等，可
知其方程为x＝3.
规律总结：已知直线上两点坐标，应检验两点的 横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式 方程，本题也可用点斜式方程或斜截式方程求 解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。