例谈二次曲线的类型判断
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的关系一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将会探讨一次函数和二次函数之间的关系，并解释它们在数学和实际问题中的不同用途。
首先，我们来谈谈一次函数。
一次函数也被称为线性函数，因为它们的图像通常是一条直线。
一次函数的标准形式是y = mx + c，其中m是斜率，c是常数项（或y轴截距）。
一次函数是一个非常简单但也非常重要的函数。
它们用于描述直线的特征和趋势。
例如，在经济学中，一次函数可以用来表示成本和产量之间的关系，以帮助企业找到最优的生产方式。
一次函数也可用于解决诸如速度、距离和时间之间的关系等问题。
一次函数的图像通常是一个直线，其斜率表示直线的倾斜度。
如果斜率为正，说明直线向上倾斜；如果斜率为负，说明直线向下倾斜。
斜率为零表示直线是水平的；斜率不存在表示直线是垂直的。
在一次函数中，斜率决定了函数的变化率。
假设我们有一条直线的方程y = 2x + 1，斜率为2。
这意味着当x增加1个单位时，y就会增加2个单位。
同样，当x减少1个单位时，y就会减少2个单位。
斜率也可以表示为Δy/Δx，即y的变化量与x的变化量之间的比率。
相比之下，二次函数是一种更复杂的函数类型。
它们的图像通常呈现出一个弯曲的形状，称为抛物线。
二次函数的标准形式是y = ax² +bx + c，其中a、b和c都是常数项，且a≠0。
二次函数的图像有两种情况：当a>0时，抛物线以向上开口；当a<0时，抛物线以向下开口。
二次函数常用来描述物体的运动、轨迹和形状等方面。
二次函数的重要特点是它们的顶点。
顶点是抛物线的最高点或最低点，具体位置取决于抛物线的开口方向。
顶点坐标可以通过公式x = -b/2a来计算。
这个公式以二次函数的标准形式为基础，并通过求导数来确定顶点的横坐标。
然后，将横坐标代入二次函数中，计算得到顶点的纵坐标。
除了顶点外，二次函数还有一个与一次函数不同的性质，即两个不同的x值可以对应相同的y值。
例谈分段函数在高考中的四个考查方向
例谈分段函数在高考中的四个考查方向景宝洪【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】3页(P83-85)【作者】景宝洪【作者单位】226600 江苏省海安县实验中学【正文语种】中文分段函数是高中数学中一类重要的函数类型，不仅能考查函数的概念、表示及性质，而且能有效考查学生数学思想方法，因此在高考中被频繁考查.下面，从四个方面说明分段函数在高考中的考查方向.一、对应性与分段函数相关的函数值、方程、不等式问题，由于自变量的取值范围不同，对应法则不同，应根据定义域分类讨论.分段函数在高考中首先考查对应性，由于对应的不确定，实质考查分类讨论思想.例1 (2010江苏-11)已知函数则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是________.错解：由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,即分析：由于分段函数中自变量的取值范围不同，对应法则不同.因此必须考虑所求参数是否满足相应的取值范围.错解中的错误就是忽视了条件1-x2>0.即当1-x2≤0时，不能满足f(1-x2)>f(2x)；而在条件1-x2>0及1-x2>2x下，不论2x<0还是2x≥0，都能满足f(1-x2)>f(2x).正解：由f(1-x2)>f(2x) 得即例2 (2009辽宁文)已知函数满足则f(2+log23)=________.解：∵2+log23∈(3,4)，∴3+log23∈(4,5).∴说明： 2+log23的取值范围确定了f(2+log23)代入方向，此时的对应性实质考查的是自变量的取值范围.例3 (2012江苏-10)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上其中a,b∈R,若则a+3b的值为________.解：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以∴说明：隐含条件f(-1)=f(1)的挖掘来源于对自变量的深刻理解：±1在解析式中对应解析式不同，但数值相等.二、整体性函数某些性质如奇偶性、最值等，是函数在其定义域上的整体性质，因此研究分段函数这些性质时，必须注意从整体上考查研究.分段函数也是一个函数，在高考中考查分段函数，实质上是将其作为一个载体，考查的仍是函数性质，着重一般化的等价转化思想.例4 (2007浙江理-10)设是二次函数，若f(g(x))的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是( )A. (-∞,-1]∪[1,+∞)B. (-∞,-1]∪[0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)解： g(x)的值域实质为f(g(x))的定义域.而当x∈[0,+∞)时，f(x)的值域是[0,+∞),又二次函数的值域要么是[m,+∞)，要么为(-∞,n]；因此选C.说明：值域是函数在其定义区间上整体性质，需从整体上研究分段函数的值域分布情况.例5 (2009天津)已知函数若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是________.解：本题若分类讨论，则较繁.但从整体考虑，就会发现函数在R上为单调递增函数，即由f(2-a2)>f(a)可得2-a2>a,即a>1或a<-2.说明：分段函数是一个函数，自变量对应的不确定性并不影响其整体上的性质. 例6 判断函数的奇偶性.解：函数f(x)的定义域为R,且所以函数f(x)是奇函数.说明：研究分段函数的奇偶性，要先将解析式中所有的x都变成-x,包括定义区间上的x,再整体分区间考虑f(x)与f(-x)的关系.三、分界点的特殊性分段函数分界处点特殊性是高考试题设计的一个知识点，也是复习时应注意的热点.高考考查的是综合分析能力.例7 已知函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是________.错解：函数g(x)=(3a-1)x+4a(x<1)与h(x)=logax(x≥1)都是减函数，所以⟹分析：错解只考虑各段函数在相应定义区间上的单调性，而忽视分界点处函数值大小关系对单调性的影响.实际上，要使得函数在R上为单调减函数，还需使得在分界处的上界不大于下界.正解：说明：分界点是“连接”函数性质的特殊点.例8 设定义域为R的函数若关于x的方程2f2(x)+2bf(x)+1=0有5个不同的实数根，则实数b的值为________.解：由图形可知，分界处点的函数值是使得方程的根成单数的根本原因，即f(x)=1是关于f(x)的方程2f2(x)+2bf(x)+1=0的一个解，解得此时f(x)=1或满足f(x)=1的x有3个，满足的x有2个，共5个.说明：分界处点的独特性是解决本题的着眼点.四、直观性分段函数的展示形式多姿多彩，从函数图像理解、分析、解剖是考查重点，数形结合思想是高考考查方向.例9 求f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值.解：此题是函数fn(x)=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|,(x1≤x2≤…≤xn)的最小值问题. 先考虑特殊情况：当n=1时，易知当x=x1时，f1(x)取得最小值；当n=2时，当x1≤x≤x2时，f2(x)取得最小值；以此类推可知：当n=2k-1(k∈Z)时，当x=xk时，fn(x)取得最小值；当n=2k(k∈Z)时，当xk≤x≤xk+1时，fn(x)取得最小值.由得n=1+2+…+2011=2011×1006，所以f(x)在最中间的两个零点之间取得最小值,而最中间的两个零点都是从而说明：带绝对值的函数实质上也是分段函数.从两个特殊情况：n=1时为“V型”函数；n=2 时为“平底锅”函数，直观归纳出其一般化情况：图像两端为两条射线，并向上无限延伸，而中间n-1条线段连接成折线形.例10 (2013辽宁理-11)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8. 设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值,记H1(x)得最小值为A,H2(x)得最小值为B,则A-B=________.解：由图形可知H1(x)为两曲线y=f(x),y=g(x)在交点上方部分，其最小值对应较低交点的函数值；H2(x)为两曲线在交点下方部分，其最大值对应较高交点的函数值，所以A-B=-|f(x1)-f(x2)|=-|(x1-x2)(x1+x2-2a-4)|，其中x1,x2为方程x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0两个根:x=a±2.由|x1-x2|=4,x1+x2=2a得A-B=-|4×(-4)|=-16.说明：函数H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}实质上是分段函数.其分段点为两曲线的交点，其性质就可直观展示.。
例谈二次曲线的类型判断
例谈二次曲线的类型判断作者：李彬来源：《中学数学杂志(高中版)》2017年第02期问题1以下二元二次方程在平面直角坐标系中所对应的是什么类型的二次曲线？x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1）此问题对于高中生来说是比较棘手的，中学阶段接触到的二次曲线通常是不含交叉项的，如果（1）中去掉4xy，只需分别对x，y配方不难判断其所对应的曲线类型.容易发现，（7，0）、（-1，0）均为（1）所对应的二次曲线上的点. 由于二次方程所对应的曲线（若存在）有且仅有圆、椭圆、双曲线、抛物线、一个点及两条（相交或平行或重合）直线这几种类型[1]. 圆与点的情形可排除，为了判断该曲线是余下哪种类型之一，我们可考虑其与如下一族平行直线的交点情况：问题2（1）中所对应的二次曲线离心率是多少？试求出其焦点坐标及准线方程.问题1中我们给出了对二次曲线类型做定性判断的方法，但要进行精确的定量计算还需另辟蹊径.注在高等代数（大学课程）中对此问题常规的处理方法是对二次型所对应的实对称矩阵做正交相似变换从而消掉交叉项再行配方，正交相似变换的本质即为旋转（或反射）坐标轴，与我们所采取的上述办法是殊途同归的. 另外，对更一般的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0，判断其类型甚至作定量计算都可采取上述方法，并且利用此法我们能证明（图象存在的）二次曲线确实有且仅有上文提到过的圆、椭圆、双曲线、抛物线、点和两条（相交或平行或重合）直线这几种类型.下面我们将尝试利用待定系数法求解问题2. 若（1）的方程可写为如下形式：注当含有交叉项的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0为椭圆、双曲线、抛物线、两条相交或重合直线时均可写为类似（11）或（13）的如下形式用待定系数法求解：其中k≥0且A，B不全为0. 当k=0时显然为两条重合直线. 当k>0时将（16）改写作参考文献[1]陈志杰.高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.。
相关性分析回归分析
Sig. .000a
a. Predictors: (Constant), j3 b. Dependent Variable: s1
定量变量的线性回归分析
和刚才简单的回归模型类似，一般的有k 个（定量）自变量x1, x2…, xk的对因变量 y的线性回归模型为（称为多元回归）
y 0 1 x1 2 x2 k xk e
定量变量的相关
Kendall t 相关系数（Kendall’s t）这里的 度量原理是把所有的样本点配对（如果每 一个点由x和y组成的坐标(x,y)代表，一对 点就是诸如(x1,y1)和(x2,y2)的点对），然后 看每一对中的x和y的观测值是否同时增加 （或减少）。比如由点对(x1,y1)和(x2,y2)， 可以算出乘积(x2-x1)(y2-y1)是否大于0；如 果大于0，则说明x和y同时增长或同时下 降，称这两点协同（concordant）；否则 就是不协同。如果样本中协同的点数目多， 两个变量就更加相关一些；如果样本中不 协同（discordant）的点数目多，两个变量 就不很相关。
a. Predictors: (Constant), j3
ANOVAb Sum of Squares Regression Residual Total 4307.206 2502.794 6810.000
Model 1
df 1 48 49
Mean Square 4307.206 52.142
F 82.606
问题的提出
该数据中，除了初三和高一的成 绩之外，还有一个定性变量（没 有出现在上面的散点图中）。它 是学生在高一时的家庭收入状况； 它有三个水平：低、中、高，分 别在数据中用1、2、3表示。
立足教材,一题多解,回归本质
的交点M在准线l上.(3)以AB为直径的圆切与准线l与点M•(由Z AMD=Z ABM,可证得)得y2=^^~y+p x T,x t即x T y2-2p qy-px T=0.⑷AB丄MF.(对于点M(-彳，,M)，则k AB________=--p/2-p/2p即k AB k MF=-1)于是，例4又有解法：k=—=k MF-11/(-1-1)=2．此时，可以用它来解2018年全国H卷理科数学第19题：设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F 且斜率为k(k>0)的直线l与C交A,B两点，于是h+y2=迥,y1y2=-px t,x t即(H+『2”1『2+2p2q=o.(8)同理，A2A3与抛物线x2=2qy相切，有结论：02+『3”2y3+2P2q=0.⑼由(8)和(9)得y1+y2+y3=0,从而03+y g”+2p2q=0.(10)即A3£与抛物线x2=2qy相切.|AB|=8.(1)求l的方程；⑵求过点A,B且与C 的准线相切的圆的方程．如图5，由于|MG|=4.则4=x M-x G=x M+1,2即x M=3•又-1=k MF k GF=-告3-1=一¥，即y G其实，本题可以直接利用射影几何的布列安双定理(塞瓦定理的推广)：三角形三边外切一二次曲线的充要条件是三角形的顶点与切点连线共点.=2.于是以AB且为直径与C的准线相切的圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=16.另外，可求得以AB且为弦与C的准线相切的圆的方程是(x-11)2+(y-6)2=144.例5(1982年高考全国卷•理8)抛物线y2= 2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切.证明如图6,不妨设p,q>0,抛物线y2=2px 的内接A A A2A3两边A A?,A2A3与抛物线x2=2qy相切，记A t(x i,y i)(i=1,2,3)，其中y,(i=1,2,3)不相等且都不等于0,AA2与抛物线x2=2qy相切的切点为T(x T,y T)(x r主0)，则AA2关于抛物线x2=2qy的图5DMEOA/F尸=2p x推论6二次曲线的内接三角形的三边外切于另一条二次曲线．切线方程是：x t x=q(y+y T)=qy+1x；.(7)由(7)和抛物线y2=2px,参考文献[1]吴江媛.方程x o x=p(y+y o)的几何意义[J].数学通报，2008(47) 9：51-52[2]杨兵.与圆、圆锥曲线切线、切点弦有关的定点、定直线问题解法浅探[J].中学数学，2018(15):70-71[3]赵临龙.二次曲线配极理论及其应用[J].河南科学，2013,31(12): 2119-2120[4]赵临龙.完全四点(边)形中三点(线)共线(点)的理论J].河南科学，2014,32(8):1389-1390(本文系安康学院硕士点培育学科一教育硕士(学科教学•数学)建设项目(2016AYXNZX004)部分成果)立足教材，一题多解，回归本质雷石平福建省厦门外国语学校(361026)立足教材，从不同角度去探究问题，便会有不同的收获.同时在探究的过程中，也会潜移默化地提高我们各方面的素养.本文主要以人教版选修2-1中的一道求点的轨迹方程练习题为例，从一位学生的最普通的理解方式切入，产生解法，再对解法进行改进，或从其他角度看问题，产生其他解法,并归纳，最终说明这些解法的本质，表达自己的所思所想.1立足教材，扎根课堂教材是最好的学案，能用好教材，挖掘教材中每一题背后的隐藏的东西，是对学生们一种较好的教育引导.在对选修2-1的2.1.2求曲线的方程授课时,笔者在课堂上选用了教材第37页练习的第3题,让学生们进行课堂练习，并通过学生们的回答,引发了一些思考与探究.具体题目如下：如图1,已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与%轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B•点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.卜/O/A”%图1本题看似不复杂，但拿给学生测试时，却不能一眼就看出解法.其实笔者一开始想到的方法也较为普通，直到后面在深入探究思考时，才有了更上位的方法，由此也体会到了反思与思考的重要性.学生思考了3分钟后，笔者特意点名一名成绩中等偏下的学生分享他的想法.笔者：此题的目标是什么？你的想法是什么？请与大家分享.学生：我知道点M的轨迹方程就是要找到点M的坐标满足的方程.但目前我还没有想法.当听到“没有想法”这句话时，笔者的心里有点慌.因为如果没有想法，就不会有尝试，就不会出现任何结果，包括错的结果.于是笔者想鼓励这位学生，让他尽可能得有一些想法，无论对错.笔者：很高兴你知道求点M的轨迹方程的目标，老师也相信你多少也有一些自己的想法，只是怕错，对吗？学生点点头，笔者继续鼓励道：我们要知道，没有想法是比想错了更可怕的.只要我们有想法，不管对错，就都有完善的可能，最终成为正确的好想法.最终学生完整地描述了他的想法：设M(%,y)，当k C A存在时，设1C a:y-2=k(%-222)，令y=0得%=2-，所以A(2,0).同理设k k12l CB-y-2=~T(%-2),%=0得y=2+〒，所以B(0,2+ k k22k・由M是AB中点有|MA冃MB|，即[%-(2-2+y2=[y-(2+—)]2+%2•k到此步后，操作发生了困难：k消不掉.回头审视思考，同学发现了问题所在：M为AB的中点，等价条件是MA=B m,而非|MA冃MB|,从而得到了正确解法.2一题多解，反思提高同学们和笔者在此基础上进行共同探究，有了其他的一些方法后，激发起了同学们的热情，促使他们从不同角度看问题，产生了不同方法，并对方法进行了小结.(1)按被提问的学生改善后的思路，做法如下：设M(%,y)，由M是AB中点有IMA=.当k CA存在时，设l CA：y-2=k(%-2),22令y=0,得%=2~~,所以A(2~~,0)•k k同理设l CB:y-2=—(%-2),%=0,22得y=2+疋,所以B（0,2+疋）根据IMA=,22有（2一工-%,0一y）=（%一0,y一（2+牙））,2k-%=%,---2,-y yk2%=2—，①k2y=2+—,②两式相加化简得%+y-2=0③.当k CA不存在时，此时M(1,1)也满足方程③.综上所述，点M的轨迹方程为%+y-2=0.像这种设出点M坐标，表示出A,B的坐标后,直接根据已知关系MA=B乔建立方程(组)，化简整理并检验得到轨迹方程的方法，称之为直接法.(2)前面一种方法是采用了设直线的斜率k,然后AB的坐标用k来表示.我们也可以直接设点A的坐标为(t0)，然后根据CA丄CB有关系式k C A -k CB=-1,用/表示B点的坐标，具体如下：设A(t,0)，当心2时，由CA丄CB，有k CA-k CB=•_—=-1,解得=4-1，即点B（0,4-1）,接下来的处理步骤同(1)中的解法.(3)无论是设直线的斜率，还是设点A 的坐标，在利用CA 丄CB 时，都需要分类讨论.这促使 我们去思考：有没有什么工具可以避开这种分类讨 论？于是我们有向量的做法：设 A (r ,0) , B (0,y ),由 CA 丄 CB ,有 CA • CB =设 M (x , y )，由 /BOA = 90° = Z BCA ,且 M 为 AB 中点，有 |MO |= j|AB |=|MC | ,即 J (x - 0)2 + (y - 0)2 = J (x - 2)2 + (y - 2)2 , 化简得x + y - 2 = 0,即为点M 的轨迹方程.(t - 2,0 - 2) • (0 - 2,y - 2) = 0 ,即(t - 2) x (-2) + (-2) x(y - 2) = 0,解得 y = 4 -1，所以 B (0,4-t ) •接下来同(1)中的解法.这样便顺利地避开了分类讨论, 享受到了简洁之美.⑷前面用参数t 表示出A (t ,0) ,B (0,4-t )后，其实A,B 的中点坐标M (x,y)也确定了,t + 0①,②即彳x =20 + (4 -1)y = 一2由①式有t = 2x ，代入②式，便可消去参数t , 整理得到关于x , y 的方程x + y -2 = 0 .事实上，有时如果不好直接找到动点的横、纵坐标的关系时，可引进一个适当的参数，将动点的横、纵坐标都用参数表示，最后消参，得到动点满 足的方程，这样的方法称之为参数法求轨迹方程.(5)对于本题中的动点问题， M 为何会动？当我们有这样思考后，便又会产生如下的思路：其实是因为A ,B 在动，所以才引起M 在动.而A , B 在 动的过程中，始终要满足CA 丄CB ，即CA • CB = 0 . 如果A ,B 点的坐标直接能用点M (x , y )中的x , y 来表示，便可建立起关于x , y 的方程了.x 0设M (x , y )，因为M 为A,B 中点，且A , B 分别在x 轴和y 轴上，所以A (2x , 0) , B (0, 2y ).又CA 丄CB ，即 CA • CB = (2x - 2, 0 - 2) • (0 - 2, 2y - 2) = 0 ,化简得x + y - 2 = 0 ,此即为点M 的轨迹方程.像这种所要求的动点轨迹，与已知曲线上其他动点有关，且其坐标可用所要求动点的坐标表示，我们便可依据这种选择相关关系，得到动点的轨迹方程，这样的方法称之为相关点法求轨迹方程.(6)此题是一道解析几何题，是培养直观想 象的好素材.本题若不直接给图，我们首先要将题意图形化.在我们自己亲自作图的过程中，或许又会发现新思路，那便是M 为直角三角形斜边的中 点，想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个性质定理，于是有了以下更为简单的做法：图2像这种依据平面几何性质或有关定理推出动点坐标满足的关系式，然后求出动点的轨迹方程，可称之为几何法求轨迹方程.对几何法进一步探究，学生们还想到了 O , A ,C , B 四点共圆等•其中一位同学创造了全等(相似) 的方法，发现了新东西：如图2,过C 作x 轴的垂线，交x 轴于点P , 过C 作y 轴的垂线，交y 轴于点Q ，则有|CP |=|CQ =2 , /CPA = 90° =/CQB ,又 /1+ /3 = 90° =/3 + /2，所以/1 = /2，所以A CPA 坐A CQB ,因此有|CB |=|CA |的关系.此一发现，赢得了同学们的热烈掌声.(7)接(6)中的方法，得到|MO |=|MC |,而 O , C 都为定点，由此想到点M 的轨迹符合线段的 垂直平分线的定义.据此，设M 的轨迹方程为y - y o = k (x -x o ),其中(x o , y o )为线段OC 的中点.而0 + 22y o =竽=1，k占=T ，代入k OC得y -1 = -1(x -1),即M 的轨迹方程为x + y - 2 = 0 .若所求动点的轨迹符合我们学过的一些曲线(或直线)的定义，我们可先设出方程，然后通过待定系数等方法求得方程.此法称为定义法求轨迹方程.3回归本质，所思所想以上从不同方面理解问题，从而产生了一条线牵动多条鱼的情况.日常学习中，我们应尽可能地从不同角度去寻找不同的方法，然后进行归纳小结 模型，最终应用于其他题.但有一点要留意，就是 不管方法有多少，一定要抓住本质.何谓本质？笔者觉得本质就是牵动多条鱼的那条线，就是数学概念•像上面的那么多种方法，其本质都是建立动点M (x ，y )满足的方程•另外，对于千变万化的考题，不同类型的题，笔者认为其实都是有题根在的，而这些题根，往往都来源于教材，需要我们去挖掘.一题多解不仅有助于我们构建知识体系，而且有助于我们展开联想，帮助我们更好地发展核心素养.立足于教材，借助教材中的题根，在课堂中与学生共同探讨思考，引导鼓励学生产生想法，改进想法，小结归纳思路，甚至创造新想法.参考文献[1]赵林.例谈点的轨迹方程的求法[J].中学数学教学参考，2016(9)：41-42[2]穆妍，武瑞雪.动点的轨迹方程的常见求法[J].福建中学数学，2016 (12)：40-42应用元认知体验策略，培养数学运算素养一一以一道圆锥曲线题的教学为例李华仙广东外语外贸大学实验中学(510540)1背景分析数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.它主要包括理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等能力[1].数学元认知体验是认知主体伴随着数学认知活动而产生的认知体验或情感体验[2].它包括在数学认知活动中对知识获取的觉知和情感经历的觉察.它持续的时间可长可短，可以发生在数学教学认知活动之前、之中或之后.数学元认知体验下的教学实践活动就是引导学生在学习前，对运算对象的敏感程度和畏难程度，以及对完成学习任务的成功或失败的判断；在学习过程中，遇到学习障碍和运算困惑的体验，激活选择策略方法的体验；在学习结束后，对学习成功的喜悦和自我效能感，对完成学习任务和提高数学运算的体验，在体验中完善知识体系、树立学好数学的信心、提高数学运算核心素养.本文以一道圆锥曲线调研题的教学为例，呈现基于元认知体验策略来培养数学运算核心素养的课堂实践，结合一些思考与同仁交流.2课堂实录2.1产生元认知体验，呈现问题症结教师引导学生分享解题过程的体验，如对题型的熟悉程度、畏难程度和对成功解题的把握度.在学生解题成功时，教师应给予充分的肯定.这有助于学生获得成功的体验，产生积极的元认知体验，在体验中明确学习的目标，提出数学问题，树立解决问题的信心.题目(2020届广州市高三年级调研测试第2022题)已知椭圆C:笃+?=1(a>0)的右焦点F到左a3顶点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不在%轴上)，若OE=OA+ OB，延长AO交椭圆于点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.师：今天我们一起来研究2020届广州市高三年级调研测试卷的第20题即直线与圆锥曲线的综合问题.请大家一起看题.师：请同学们回想一下你们当时做此题的感想，并与大家进行分享.生1：第一问比较简单，快速做出来了；对于第二问，不清楚怎么做，只是觉得直线与圆锥曲线的题型，所以先设直线AB方程，再联立直线AB与椭圆方程，用韦达定理，后面时间比较赶，也没想出怎么做.生2：当时只做了第一问，没有时间，第二问看都没看就跳过去了•生3:做了第一问，而第二问，本来看到求面积就觉得会很难，还有涉及向量OE=OA+OB，立刻放弃了.师：同学们分享后，基本能成功解决第一问，现让一位同学上来投影展示他的解答过程.生3：展示第一问的解答过程：。
y=x^2的图像和性质教案
y=x 的图像和性质教案篇一：26.2.3y=a(x-h)2的图象和性质(教案)26.2.2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【教学目标】1.知道二次函数y?a(x?h)2与y?ax2的图象之间的关系；2.能说出二次函数y?a(x?h)2的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解其增减性；【教学重点】掌握二次函数y?a(x?h)2的图象特点及其性质。
【教学难点】灵活运用y?a(x?h)2类型函数的性质解决问题。
【多媒体准备】课件【教学过程】篇二：二次函数的图像和性质教案教学过程一、课堂导入同学首先在演算本上画出一次函数y=x+1的图像，利用列表、描点、连线的方式，然后使用同样的方法画出y＝2x2的图像，并根据图像谈论他的性质.二、复习预习二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.三、知识讲解考点1形如：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。
一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标）考点2二次函数的图象与性质二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是以（?b4ac?b2b,）为顶点，以直线y＝?为对称轴的抛物线。
2a2a4abb时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞?2a2a在a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜?时，y随着x的增大而增大。
在a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x＜?＞?b时，y随着x的增大而减小。
2ab时，y随着x的增大而增大。
在对称轴的右侧，即当x2a篇三：《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y 轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数y?()2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.2解：（1）y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x22【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x 轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x(2)根据函数y=2x2知x【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x（五）当堂检测反馈1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.抛物线y=-对称轴是y轴.2.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=2.【分析】a与-2互为相反数13.在同一坐标系中：①y=x2，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大212x的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），4的是①y?12x2，开口向下的是②y=-x21解：∵||2∵函数y=-x2中，二次项系数为-114.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=x22点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,即a=22,.∴y=x2,∴当x>0时，y随x的增大而增大.99篇四：《二次函数y=ax 的图象和性质》教学设计《二次函数y=ax2的图象与性质》教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课为沪科版九年级数学第22章第二节的内容，学习二次函数y=ax2的图象与性质.这是学习一次函数的延续，是对函数内容的再认识，也是学生理解二次函数定义，建立二次函数模型的后续学习.它既是前面函数学习的一次升华，又是后续的y=ax2+bx+c的性质和二次函数应用学习顺利进行的保证，还是学生升入高一级学校学习函数的基础，具有承上启下的作用，因此该内容在教材中的地位十分重要. （二）教学对象分析学生在八年级上学期已经学习了函数及一次函数等内容，对函数已经有了初步的认识.学生通过从特殊到一般的数学研究方法，先学习y?ax2这一最简单的二次函数图象与性质，再进一步研究y?ax2?bx?c(a?0)的图象与性质，可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法.由于学生在认知方式、动手能力、语言表达和思维方式等方面存在差异，教师要及时了解并尊重学生的个体差异.教学中要多鼓励学生，对学有困难的学生要及时给予帮助和指导，让他们敢于发表自己的见解，丰富教学活动的经验，发展数学能力. （三）教学环境分析充分利用优质的教学资源，尽量采用现代教育技术手段，用计算机展示函数的图象，形象显示图形的变化与联系，提高教学效果与质量.二、教学目标（一）知识与技能1．能够利用描点法作出二次函数y=x2的图象，并能根据图象总结和理解二次函数y=x2的性质；12．能作出y=-x2,y??x2和y=2x2的图象，并比较它们与y=x2的图象的异同，初步体2会二次函数关系式与图象之间的联系；3．能根据二次函数y=x2的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）.（二）过程与方法1．经历探索二次函数y=x2的图象和性质的过程，获得用图象研究函数性质的经验；2．由二次函数y=x2的图象及性质类比地学习二次函数y=-x2的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法，发展学生的求同求异思维.（三）情感态度与价值观1．通过探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；2．在利用图象讨论二次函数的性质时，尽可能多地合作交流，以便能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.三、教学重点难点（一）教学重点作出二次函数y?ax2的图象，并根据图象观察分析出二次函数y?ax2的性质.（二）教学难点经历探索二次函数y=x2的图象的作法与性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y?ax2的图象与性质方面，实现“探索―经验―运用”的思维过程.四、教学过程篇五：22.1.2二次函数y=ax2图像与性质教案21竭诚为您提供优质文档/双击可除23。
例谈二元齐次方程条件下最值求解策
例谈二元齐次方程条件下最值求解策略张志刚(山东省宁阳县复圣中学㊀２７１４００)摘㊀要:通过剖析梳理二元齐次方程条件下的二元函数最值问题ꎬ将该类试题分门别类地细化为各种具体题型ꎬ再研究各种题型相应的通性通法ꎬ帮助学生快速有效地甄别试题所属的模型ꎬ选择相应的解题策略ꎬ增强解题的针对性和有效性.关键词:二元方程ꎻ极值问题ꎻ逻辑推理ꎻ数学运算中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００７０－０４收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:张志刚(１９８３－)ꎬ男ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀二元齐次方程条件下的二元函数最值问题作为热门题型ꎬ频频出现在高考㊁竞赛㊁高校强基计划测试等考试中.该类问题综合性强㊁方法灵活㊁变化多端ꎬ要求考生具备较高的逻辑推理㊁数学运算㊁数学抽象等核心素养.本文按照二元齐次方程条件的结构特征ꎬ将此类试题梳理细化为各种具体题型ꎬ再研究各种题型相应的最优或通用的解法ꎬ以帮助学生快速甄别题型ꎬ按图索骥ꎬ选择合适的解题策略.１已知直线型条件ａｘ＋ｂｙ＝ｃꎬ求ｆｘꎬｙ()的最值若已知实数ｘꎬｙ满足直线型条件ａｘ＋ｂｙ＝ｃ(其中ａꎬｂꎬｃɪＲ)ꎬ求二元函数ｆｘꎬｙ()的最值.对于此类问题ꎬ我们可考虑构造等差数列的方法ꎬ具体解题过程为:首先由已知条件ａｘ＋ｂｙ＝ｃ＝２ｃ２ꎬ可知ａｘꎬｃ２ꎬｂｙ成等差数列ꎬ设此等差数列的公差为ｔꎬ于是ａｘ＝ｃ２－ｔꎬｂｙ＝ｃ２＋ｔꎬ解得ｘ＝ｃ２ａ－ｔａꎬｙ＝ｃ２ｂ＋ｔｂꎬ代入ｆｘꎬｙ()ꎬ从而成功地将二元函数转化为关于ｔ的一元函数ꎬ达到了消元的目的ꎬ而后根据函数的单调性㊁导数㊁基本不等式等方法求解即可.例１㊀(２０１９年高考天津卷文科第１３题)设ｘ>０ꎬｙ>０ꎬｘ＋２ｙ＝４ꎬ则ｘ＋１()２ｙ＋１()ｘｙ的最小值为.解析㊀由于ｘ>０ꎬｙ>０ꎬｘ＋２ｙ＝４ꎬ设ｘ＝２－ｔꎬ２ｙ＝２＋ｔ－２ɤｔɤ２()ꎬ从而ｘ＋１()２ｙ＋１()ｘｙ＝３－ｔ()２＋ｔ＋１()２－ｔ()２＋ｔ()＝２５４－ｔ２＋１æèçöø÷－２ɤｔɤ２().显然ꎬ当ｔ＝０时ꎬ４－ｔ２取到最大值ꎬｘ＋１()２ｙ＋１()ｘｙ取得最小值９２.例２㊀(２０２０年新高考全国Ⅰ卷第１１题)已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且ａ＋ｂ＝１ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ２＋ｂ２ȡ１２㊀㊀㊀㊀Ｂ.２ａ－ｂ>１２Ｃ.ｌｏｇ２ａ＋ｌｏｇ２ｂȡ－２Ｄ.ａ＋ｂɤ２分析㊀通过观察可以发现ꎬ尽管四个选项中表达式的结构类型(如二次多项式㊁指数式㊁对数式㊁根式)不尽相同ꎬ但本质上都是在共同的二元一次方程约束条件ａ＋ｂ＝１下ꎬ探求二元函数的最值问题ꎬ于是可以考虑上述构造等差数列的方法.㊀㊀解析㊀由于ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且ａ＋ｂ＝１＝２ˑ１２ꎬ即１２是ａꎬｂ的等差中项ꎬ所以设ａ＝１２－ｔꎬｂ＝１２＋ｔ－１２<ｔ<１２æèçöø÷.对于选项Ａꎬａ２＋ｂ２＝１２－ｔæèçöø÷２＋１２＋ｔæèçöø÷２＝２ｔ２＋１２－１２<ｔ<１２æèçöø÷ꎬ当ｔ＝０时ꎬａ２＋ｂ２取到最小值１２ꎬ故选项Ａ正确ꎻ对于选项Ｂꎬ２ａ－ｂ＝２１２－ｔ()－１２＋ｔ()＝２－２ｔ＝１４æèçöø÷ｔ－１２<ｔ<１２æèçöø÷ꎬ又ｙ＝１４æèçöø÷ｔ在－１２ꎬ１２æèçöø÷上单调递减ꎬ所以２ａ－ｂ＝１４æèçöø÷ｔ>１４æèçöø÷１２＝１２ꎬ故选项Ｂ正确ꎻ对于选项Ｃꎬｌｏｇ２ａ＋ｌｏｇ２ｂ＝ｌｏｇ２ａｂ()＝ｌｏｇ２１２－ｔæèçöø÷１２－ｔæèçöø÷[]＝ｌｏｇ２－ｔ２＋１４æèçöø÷(－１２<ｔ<１２)ꎬ由复合函数的单调性知ｙ＝ｌｏｇ２－ｔ２＋１４æèçöø÷在－１２ꎬ０æèç]上单调递增ꎬ在０ꎬ１２æèçöø÷上单调递减ꎬ当ｔ＝０时ꎬｙ＝ｌｏｇ２－ｔ２＋１４æèçöø÷取到最大值－２ꎬ即ｌｏｇ２ａ＋ｌｏｇ２ｂɤ－２ꎬ故选项Ｃ错误ꎻ对于选项Ｄꎬａ＋ｂ()２＝ａ＋ｂ＋２ａｂ＝２ａｂ＋１＝２１２－ｔæèçöø÷１２＋ｔæèçöø÷＋１＝２－ｔ２＋１４＋１(－１２<ｔ<１２)ꎬ易知当ｔ＝０时ꎬｙ＝２－ｔ２＋１４＋１取到最大值２ꎬ即ａ＋ｂ()２ɤ２ꎬ从而ａ＋ｂɤ２ꎬ故选项Ｄ正确.本题选ＡＢＤ.２已知ａｘ＋ｂｙ()ｃｘ＋ｄｙ()＝ｅꎬ求ｆｘꎬｙ()的最值若已知条件通过因式分解等可变形为二元二次方程ａｘ＋ｂｙ()ｃｘ＋ｄｙ()＝ｅ的形式ꎬ可考虑局部换元法ꎬ即设ａｘ＋ｂｙ＝ｔꎬ则ｃｘ＋ｄｙ＝ｅｔꎬ将上述两式联立ꎬ从中解出ｘꎬｙꎬ代入目标表达式ꎬ最终将二元最值问题转化为关于ｔ的一元函数最值问题ꎬ以达到消参减元的目的.例３㊀(浙江省２０２０年３月 超级全能生 联考(Ｂ)第１０题)已知实数ｘꎬｙꎬ满足ｘ２－４ｘｙ－５ｙ２＝５ꎬ则ｘ２＋２ｙ２的最小值为.分析㊀通过观察已知条件ｘ２－４ｘｙ－５ｙ２＝５ꎬ发现该等式可以通过因式分解等价变形为ｘ－５ｙ()ｘ＋ｙ()＝５ꎬ由 积为定值 的结构特征ꎬ联想到可以实施局部换元法ꎬ即令ｔ＝ｘ－５ｙꎬ则ｘ＋ｙ＝５ｔꎬ将上述两式联立ꎬ从中解出ｘꎬｙꎬ代入目标表达式ꎬ最终将问题转化为关于ｔ的一元函数的最小值问题ꎬ达到了消元的目的.解析㊀由ｘ２－４ｘｙ－５ｙ２＝５ꎬ得ｘ－５ｙ()ｘ＋ｙ()＝５.设ｔ＝ｘ－５ｙꎬ则ｘ＋ｙ＝５ｔ.联立上述两式ꎬ解得ｘ＝１６ｔ＋２５ｔæèçöø÷ꎬｙ＝１６５ｔ－ｔæèçöø÷.代入ｘ２＋２ｙ２ꎬ得ｘ２＋２ｙ２＝１６ｔ＋２５ｔæèçöø÷[]２＋２１６５ｔ－ｔæèçöø÷[]２＝１１２ｔ２＋７５４ｔ２＋５６ȡ２１１２ｔ２ ７５４ｔ２＋５６＝１０３ꎬ当且仅当１１２ｔ２＝７５４ｔ２ꎬ即ｔ＝ʃ１５时等号成立ꎬｘ２＋２ｙ２的最小值为１０３.例４㊀(２０１７年清华大学中学生标准学术能力测试第１２题)已知实数ｘꎬｙ满足５ｘ２－ｙ２－４ｘｙ＝５ꎬ则２ｘ２＋ｙ２的最小值是.解析㊀由５ｘ２－ｙ２－４ｘｙ＝５ꎬ得ｘ－ｙ()５ｘ＋ｙ()＝５.设ｔ＝ｘ－ｙꎬ则５ｘ＋ｙ＝５ｔ.联立上述两式ꎬ解得ｘ＝１６ｔ＋５ｔæèçöø÷ꎬｙ＝５６１ｔ－ｔæèçöø÷.代入２ｘ２＋ｙ２ꎬ得２ｘ２＋ｙ２＝３４ｔ２＋２５１２ｔ２－５６ȡ２３４ｔ２ ２５１２ｔ２－５６＝５３ꎬ当且仅当３４ｔ２＝２５１２ｔ２ꎬ即ｔ＝ʃ１５３时等号成立ꎬ２ｘ２＋ｙ２的最小值为５３.３已知圆型条件ｘ－ａ()２＋ｙ－ｂ()２＝ｒ２ꎬ求ｆｘꎬｙ()的最值㊀㊀若已知条件可变形为二元二次方程ｘ－ａ()２＋ｙ－ｂ()２＝ｒ２的形式ꎬ此时它表示一个圆心为ａꎬｂ()ꎬ半径为ｒ的圆ꎬ联想到同角三角函数基本关系式ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝１ꎬ可考虑三角代换法ꎬ设ｘ－ａ＝ｒｃｏｓθꎬｙ－ｂ＝ｒｓｉｎθꎬ{ꎬ即ｘ＝ａ＋ｒｃｏｓθꎬｙ＝ｂ＋ｒｓｉｎθꎬ{ꎬ代入目标表达式ｆｘꎬｙ()ꎬ最终将二元最值问题转化为关于θ的一元函数最值问题ꎬ以达到消参减元的目的.例５㊀(２０２０届高考浙江省宁波市高三上学期期末)已知４５ｘ２－１２ｘｙ＋５２ｙ２＝２０ꎬ求３ｘ２＋４ｙ２的范围.㊀解析㊀因为４５ｘ２－１２ｘｙ＋５２ｙ２＝２０ꎬ配方得３２ｘ－１５ｙæèçöø÷２＋８５ｙæèçöø÷２＝１.令３２ｘ－１５ｙ＝ｃｏｓθꎬ８５ｙ＝ｓｉｎθꎬìîíïïïï解得ｘ＝１１２ｓｉｎθ＋２３ｃｏｓθꎬｙ＝５８ｓｉｎθ.ìîíïïïï代入３ｘ２＋４ｙ２ꎬ得３ｘ２＋４ｙ２＝３１１２ｓｉｎθ＋２３ｃｏｓθæèçöø÷２＋４５８ｓｉｎθæèçöø÷２＝１６ｓｉｎ２θ－１８ｃｏｓ２θ＋３５２４＝５２４ｓｉｎ２θ－φ()＋３５２４(其中ｔａｎφ＝３４)ꎬ从而３ｘ２＋４ｙ２ɪ５４ꎬ５３[].事实上ꎬ上述三角代换法也适用于 圆面型 条件下的二元最值问题.例６㊀(２０２０年清华大学强基计划测试第１题)已知ｘ２＋ｙ２ɤ１ꎬ则ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的取值范围为.解析㊀令ｘ＝ｒｃｏｓθꎬｙ＝ｒｓｉｎθ{０ɤｒɤ１ꎬ０ɤθ<２π()ꎬ则ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝ｒ２ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ－ｓｉｎ２θ()＝ｒ２ｃｏｓ２θ＋１２ｓｉｎ２θæèçöø÷ɪ－５２ｒ２ꎬ５２ｒ２[]⊆－５２ꎬ５２[].４已知椭圆型条件ｘ－ｃ()２ａ２＋ｙ－ｄ()２ｂ２＝１ꎬ求ｆｘꎬｙ()的最值㊀㊀若已知条件可变形为二元二次方程ｘ－ｃ()２ａ２＋ｙ－ｄ()２ｂ２＝１ａ>０ꎬｂ>０ꎬａʂｂ()的形式ꎬ此时它表示一个中心在ｃꎬｄ()的椭圆ꎬ类比圆型条件的解答ꎬ同样考虑三角代换法.设ｘ－ｃａ＝ｃｏｓθꎬｙ－ｄｂ＝ｓｉｎθꎬìîíïïïï即ｘ＝ｃ＋ａｃｏｓθꎬｙ＝ｄ＋ｂｓｉｎθ.{代入目标函数式ｆｘꎬｙ()ꎬ将二元最值问题转化为关于θ的一元函数最值问题.例７㊀(２００９年华南理工大学自主招生测试第３题)已知ａꎬｂɪＲꎬａ２＋２ｂ２＝６ꎬ则ａ＋ｂ的最小值为.解析㊀令ｘ＝６ｃｏｓθꎬｙ＝３ｓｉｎθ０ɤθ<π()ꎬ则ａ＋ｂ＝６ｃｏｓθ＋３ｓｉｎθ＝３ｓｉｎθ＋φ()ꎬ其中ｔａｎφ＝２ꎬ所以ａ＋ｂ的最小值为－３.例８㊀(２００４年复旦大学自主招生暨保送生考试第１(７)题)已知ｘ－４()２４＋ｙ２９＝１ꎬ则ｘ２４＋ｙ２９的最大值为.解析㊀由已知ｘ－４()２４＋ｙ２９＝１ꎬ可设ｘ＝４＋２ｃｏｓθꎬｙ＝３ｓｉｎθ０ɤθ<π()ꎬ则ｘ２４＋ｙ２９＝４＋２ｃｏｓθ()２４＋３ｓｉｎθ()２９＝４ｃｏｓθ＋５０ɤθ<π().所以ꎬ当θ＝０时ꎬｘ２４＋ｙ２９取到最大值９.５已知双曲线型条件ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ꎬ求ｆｘꎬｙ()的最值.㊀㊀若已知条件可变形为二元二次方程ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>０ꎬｂ>０()的形式ꎬ此时它表示一个中心在ｃꎬｄ()的双曲线ꎬ类比椭圆型条件的解答ꎬ同样考虑三角代换法ꎬ设ｘ＝ａｃｏｓθꎬｙ＝ｂｔａｎθꎬìîíïïï代入目标函数式ｆｘꎬｙ()ꎬ依然将二元最值问题转化为关于θ的一元函数最值问题.例９㊀(２０１７年全国高中数学联赛四川赛区初赛第９题)若点Ｐｘꎬｙ()是双曲线ｘ２８－ｙ２４＝１上的点ꎬ则ｘ－ｙ的最小值是.解析㊀令ｘ＝２２ｓｅｃθꎬｙ＝２ｔａｎθꎬ则ｘ－ｙ＝２２ｓｅｃθ－２ｔａｎθ＝２ｓｉｎθ－２ｃｏｓθ－０.设ｋ＝ｓｉｎθ－２ｃｏｓθ－０ꎬ它可视为点Ｐ０ꎬ２()与单位圆上的点Ｑｃｏｓθꎬｓｉｎθ()连线的斜率.显然ꎬ当点Ｑ为过点０ꎬ２()的直线与单位圆的切点时ꎬｋ取到最小值１ꎬ所以ｘ－ｙ的最小值是２.例１０㊀(２００８年南京大学自主招生测试第５题)已知实数ａꎬｂ满足２ｂ２－ａ２＝４ꎬ则ａ－２ｂ的最小值是.解析㊀由已知２ｂ２－ａ２＝４ꎬ得ｂ２２－ａ２４＝１.令ｂ＝２ｓｅｃθꎬａ＝２ｔａｎθꎬ则ａ－２ｂ＝２ｔａｎθ－２２ｓｅｃθ＝２ｓｉｎθ－２ｃｏｓθ－０.下同例９.通过以上各例可以看出ꎬ二元齐次方程条件下的二元函数最值问题意蕴丰富ꎬ包含函数㊁方程㊁不等式㊁三角代换㊁解析几何等高中数学主干知识ꎬ综合应用函数与方程㊁转化与化归㊁数形结合㊁分类讨论㊁配方法㊁换元法㊁构造法㊁放缩法㊁判别式法等数学思想方法ꎬ通过多种手段实现消元㊁降幂㊁化繁为简之目的.减元思想是贯穿其中的一条主线.教学过程中ꎬ要认真剖析题设条件和结论的结构特征和属性ꎬ及时提取数学模型ꎬ从代数消元㊁三角代换㊁不等式放缩㊁几何意义等视角寻求解题突破口ꎬ提升学生的逻辑推理㊁数学抽象㊁数学运算㊁直观想象等核心素养.参考文献:[１]张天德ꎬ安学保.新高考数学思维突破１００题[Ｍ].济南:山东科学技术出版社ꎬ２０２１.[２]徐章韬.中学数学教材核心内容分析:经验型面向教学的数学知识[Ｍ].北京:科学出版社ꎬ２０２１.[责任编辑:李㊀璟]。
例谈分类讨论的类型及解题策略
例谈分类讨论的类型与解题策略湖南中方县第一中学（418005）杨自西在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
本文就分类讨论的若干类型及解法作一总结，供参考.1．数学中的某些概念、定理、性质、法则、公式是分类定义或分类给出的，在运用它们时要进行分类讨论.例1. 设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小.分析： 对数函数的性质与底数a 有关，可分两类讨论.解： ∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1＋x>1当0<a<1时，|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)－[－log a (1＋x)]＝log a (1－x 2)>0;当a>1时，|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝- log a (1－x)- log a (1＋x)=- log a (1－x 2)>0 由①、②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|.例2. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C∩A≠φ .分析： 由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。
并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种.解：C 121·C 82＋C 122·C 81＋C 123·C 80＝1084.另解：（排除法）： C 320- C 012·C 38=1084.评注：本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求.并且要确定C 中元素如何取法.2．研究含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的“量变”而导致结果发生“质变”，因而也要进行分类讨论.例3．(2003年北京西城模拟试题)解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R).分析： 含参的一元不等式的解集问题，先讨论二次项系数，再对开口方向讨论，再对其两根大小进行分类讨论.解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0,(1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1].(2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120aa ，此时a 不存在. ② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x ax ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120aa ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120aa ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -. 当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120aa ，即a=-2时，不等式解为x=-1.综上: a=0时，x ∈(-∞,-1)； a>0时，x ∈),2[]1,(+∞--∞a； -2<a<0时，x ∈]1,2[-a ； a<-2时，x ∈]2,1[a-； a=-2时，x ∈{x|x=-1}. 评述:本题分类讨论后采用分列式归纳结论，即针对变量分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用分列式.例4．（2002年全国高考试题）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值.解：（1）略;（2）（i ）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f . 当21≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ． 若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)()21(a f f ≤． （ii ）当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f 若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-若21->a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ． 综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43; 当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ; 当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +43． 评述: 分类讨论的的原则:①不重复;②不遗漏;③分层次，不越级讨论.含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论.3．在研究几何问题时，由于图形的变化（图形位置不确定或形状不确定），引起问题结果有多种可能，就需要对各种情况分别进行讨论.例5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(222=---by a x ，一条渐近线的斜率为2=ab ， ∴ b=2.∴ 555222==+==a a a b ac e . （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时25=e . 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于255或. 例6.已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图.分析：由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx 2＋y 2＝4的特点，对参数k 分k>1、k ＝1、0<k<1、k ＝0、k<0五种情况进行讨论.解：由方程kx 2＋y 2＝4，分k>1、k ＝1、0<k<1、k ＝0、k<0五种情况讨论如下： ① 当k>1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y 轴上，a ＝2，b ＝2k; ② 当k ＝1时，表示圆，圆心在原点，r ＝2； ③ 当0<k<1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在x 轴上，a ＝2k，b ＝2； ④ 当k ＝0时，表示两条平行直线 y ＝±2；⑤ 当k<0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y 轴上.所有五种情况的简图依次如下所示：y y y y y后，找出满足条件的条件或结论.4．含有特殊元素或特殊位置的排列组合问题，其解题的基本策略，就是按照特殊元素或特殊位置的特征进行恰当的划分，转化为最基本、最简单的排列组合问题，然后结合加法原理或乘法原理完成解答.例7．（1999年全国高考题）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种.解：分类讨论：（1）先考虑作物A种植在第一垄时，作物B有3种种植方法；（2）再考虑作物A种植在第二垄时，作物B有2种种植方法；（3）又当作物A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法。
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例谈二次曲线的类型判断
作者：李彬
来源：《中学数学杂志(高中版)》2017年第02期
问题1以下二元二次方程在平面直角坐标系中所对应的是什么类型的二次曲线？
x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1）
此问题对于高中生来说是比较棘手的，中学阶段接触到的二次曲线通常是不含交叉项的，如果（1）中去掉4xy，只需分别对x，y配方不难判断其所对应的曲线类型.
容易发现，（7，0）、（-1，0）均为（1）所对应的二次曲线上的点. 由于二次方程所对应的曲线（若存在）有且仅有圆、椭圆、双曲线、抛物线、一个点及两条（相交或平行或重合）直线这几种类型[1]. 圆与点的情形可排除，为了判断该曲线是余下哪种类型之一，我们可考虑其与如下一族平行直线的交点情况：
问题2（1）中所对应的二次曲线离心率是多少？试求出其焦点坐标及准线方程.
问题1中我们给出了对二次曲线类型做定性判断的方法，但要进行精确的定量计算还需另辟蹊径.
注在高等代数（大学课程）中对此问题常规的处理方法是对二次型所对应的实对称矩阵做正交相似变换从而消掉交叉项再行配方，正交相似变换的本质即为旋转（或反射）坐标轴，与我们所采取的上述办法是殊途同归的. 另外，对更一般的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0，判断其类型甚至作定量计算都可采取上述方法，并且利用此法我们能证明（图象存在的）二次曲线确实有且仅有上文提到过的圆、椭圆、双曲线、抛物线、点和两条（相交或平行或重合）直线这几种类型.
下面我们将尝试利用待定系数法求解问题2. 若（1）的方程可写为如下形式：
注当含有交叉项的二次曲线ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0为椭圆、双曲线、抛物线、两条相交或重合直线时均可写为类似（11）或（13）的如下形式用待定系数法求解：
其中k≥0且A，B不全为0. 当k=0时显然为两条重合直线. 当k>0时将（16）改写作
参考文献
[1]陈志杰.高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.。