第三章信号的检测 ,信号检测与估计
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第三章信号的检测 ,信号检测与估计
作业：
1 z2 exp( )dz 1 [ (1 ) E / N0 ] 2 2
x
[ x]
1 e 2
z2 2
dz
1 同理 ＝ p(G | H1 )dG＝ [ (1 ) E / N0 ]
l0*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
• 对于通信最佳检测系统，通常用最小总错误概 率准则。即贝叶斯准则C11=C00=0,C01=C10=1
(C10 C00 )q q l0 (C01 C 11 ) p p
• 通常先验概率p及q一般都设计得近似相等，这 样可得到更小的总错误概率。
• 假设p=q=1/2 ， 此时l0=q/p=1，则
H1
2 1 T T x ( s1 s0 ) ln l0 ( s1 s1 s0 s0 ) 2
H0
T
H1
代入得
T
0
x(t ) s1 (t )dt
0
* 1 1 x(t ) s0 (t )dt l0 N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
H0
H1
0
T
Var[G | H 0 ] E{[G E (G | H 0 )]2 } N0 = 2
T
0
[s1 (t ) s0 (t )]2 dt N 0 E (1 )
[G ( E E0 )]2 1 p(G | H 0 ) exp{ } 2 N0 E (1 ) 2 N0 E (1 )
xt s1 t nt
xt s0 t nt
0t T
3.3.2 二元信号检测系统
信号检测与估计教学资料 第三章 信号检测与估计1new-PPT精选文档
4 二元信号判决概率
P H | H pH x | d, x ， i j 0 , 1 i j j
R i
P H | H pH x | j d, x ， i j 0 , 1 i j
R i
5 M元信号检测模型
信源
概率转移机构
信源的输出称为假设 将信源的输出(假设)以一定的 概率关系映射到整个观察空间中 接收端所有可能观测量的集合 将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
H H
1 1
4 二元信号判决概率
判决 假设
H0
H1
H0 H P 0H 0
H P 1H 0
H P 1H 1
H1 H P 0H 1
3 二元信号判决结果
判决 假设
H0
H1
H0 H0 H0
H H
1 0
H1 H0 H1
H H
1 1
四种检测状态 ① 目标不存在，干扰信号没有超过门限，检测没有发生 ② 目标存在，合成的信号（目标和干扰）超过门限，检测发生 ③ 目标不存在，干扰信号超过了门限，虚假的检测产生 ④ 目标存在，合成的信号（目标和干扰）没有超过门限，检测没有发生
2 二元信号检测判决域 二元信号的检测问题，可归结为对观察空间的划分问题，即按照 一定的准则，将观察空间R分别划分为R0和R1两个子空间。
H 0 成立
R0
H 1 成立
R0
R1
2 二元信号检测判决域
3 二元信号判决结果
判决 假设
H0
H1
H0 H0 H0
H H
1 0
H1 H0 H1
观测量落入观测空间后,就可以用来推断哪一个
第三章 信号检测与估计
第三章 信号的统计检测理论
1
3.3 Bayes Criterion(贝叶斯准则)
基本要求： ① 充分理解平均代价(Average Risk)的概念 ② 贝叶斯准则的判决表达式 ③ 判决性能分析
贝叶斯准则的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小.
2
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
通信系统中，二元信号的平均解调错误概率：
PH1 c01 c11 px H1 0 PH0 c10 c00 px H0 0
因此，平均代价C的大小与判决区域R0有关。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
即可保证平均代价最小。
12
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
合并
C P H 0 c10 c00 p x H 0 dx c10 p x H 0 dx
P H1 c11 c01 p x H1 dx c11 p x H1 dx
R0 R0
R0
R0
11
合并
C c10 PH 0 c11 PH1 R PH1 c01 c11 p x H1 PH 0 c10 c00 p x H 0 dx 0
9
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
3. 平均代价取到最小值的条件 C PH 0 c00 R px H 0 dx c10 R px H 0 dx 0 1 PH1 c01 R px H1 dx c11 R px H1 dx 0 1
注：一般假设
c10 c00 c01 c11
5
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
1
3.3 Bayes Criterion(贝叶斯准则)
基本要求： ① 充分理解平均代价(Average Risk)的概念 ② 贝叶斯准则的判决表达式 ③ 判决性能分析
贝叶斯准则的基本原理：在划分观察空间时，使平均风险最小.
2
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
通信系统中，二元信号的平均解调错误概率：
PH1 c01 c11 px H1 0 PH0 c10 c00 px H0 0
因此，平均代价C的大小与判决区域R0有关。
把使被积函数取负值的观察值x值划分给R0区域，而把其余的观察值x值划分给R1，
即可保证平均代价最小。
12
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
合并
C P H 0 c10 c00 p x H 0 dx c10 p x H 0 dx
P H1 c11 c01 p x H1 dx c11 p x H1 dx
R0 R0
R0
R0
11
合并
C c10 PH 0 c11 PH1 R PH1 c01 c11 p x H1 PH 0 c10 c00 p x H 0 dx 0
9
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
3. 平均代价取到最小值的条件 C PH 0 c00 R px H 0 dx c10 R px H 0 dx 0 1 PH1 c01 R px H1 dx c11 R px H1 dx 0 1
注：一般假设
c10 c00 c01 c11
5
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
第三章信号的检测 ,信号检测与估计
1 2
N k 1
s12k s02k
2
H0
H1
则
xT
(s1
s0 )
2
ln l0
1 2
(s1T
s1
s0T s0 )
H0
代入得
H1
T
0 x(t)s1(t)dt
T 0
x(t)s0 (t)dt
l0*
1 2
N0
ln
l0
1 2
(E1
E0 )
H0
3.3.3 二元通信系统的检测性能
第三章 信号的检测
主要内容
引言
二元假设检验和判决准则 二元已知信号的检测 随机参量信号的检测 多元信号的检测 序贯检测 非白正态噪声中的信号检测
§3.3 二元已知信号的检测
• 已知信号：信号出现后，所有的参数（幅度、
频率、相位、到达时间等）都已知。
• 二元已知信号在高斯白噪声中的检测：
假设H1： xt s1t nt
1
S1k
xk
t
2 N0
T
0 s1
t
xt
dt
lim N S0k xk 2
N
t 0
k 1
2
N0
T
0 s0
t
xt
dt
同理
N
lim
S12k
1
2 N
t 0
k 1
2
N0
s T 2
01
t dt E1 N0
N
lim
p xN H0 p xN H1
第三章信号检测与估计理论3
判决的代价因子cij （i , j 0,1,,M 1）赋定的条件下，使平 均代价
最小的准则，就是M元信号检测的贝叶斯准则。 平均代价 C 的分析表示式
根据判决域Ri的划分3.6.1式，将3.6.2式写为3.6.3式
M 1
因为判决域Ri可表示为 Ri R Rj ,
jj0i
平均代价C的分析表示式为
其中, s0 1,
s1 2 ,
s2 3 ,
s3
4;
nk
~
N
0,
2 n
,相互统计独
立;先验概率 PH j 相等; cij 1 ij。设计最佳检测系统。
解 由题意得各假设下的似然函数为
p x | H j
1
2
2 n
N
2 exp
p l | H j
N
2
2 n
1
2
exp
N
l sj
2
2 n
2
，j 0,1,2,3
于是各判决概率为
P Hi | H j Li p l | H j dl
其中，Li 是各假设成立的判决域。最小平均错误概率为
Ii x 0
于是应当满足Ii x＝MinI0 x, I1 x..., IM 1 x
的x划归R i 域，判决假设Hi 成立，即当满足
Ii x I j x ，j 0,1, , M 1, j i
时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域 是通过求解M-1个不等式组成的联立不等式获得的。
Pe
13
3
最小的准则，就是M元信号检测的贝叶斯准则。 平均代价 C 的分析表示式
根据判决域Ri的划分3.6.1式，将3.6.2式写为3.6.3式
M 1
因为判决域Ri可表示为 Ri R Rj ,
jj0i
平均代价C的分析表示式为
其中, s0 1,
s1 2 ,
s2 3 ,
s3
4;
nk
~
N
0,
2 n
,相互统计独
立;先验概率 PH j 相等; cij 1 ij。设计最佳检测系统。
解 由题意得各假设下的似然函数为
p x | H j
1
2
2 n
N
2 exp
p l | H j
N
2
2 n
1
2
exp
N
l sj
2
2 n
2
，j 0,1,2,3
于是各判决概率为
P Hi | H j Li p l | H j dl
其中，Li 是各假设成立的判决域。最小平均错误概率为
Ii x 0
于是应当满足Ii x＝MinI0 x, I1 x..., IM 1 x
的x划归R i 域，判决假设Hi 成立，即当满足
Ii x I j x ，j 0,1, , M 1, j i
时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域 是通过求解M-1个不等式组成的联立不等式获得的。
Pe
13
3
第三章 信号检测与估计(1)
第三章信号的统计检测理论
本章主要内容
① 信号统计检测理论的基本概念； ② 二元信号的最佳检测准则,信号的状态判决方 法和检测性能的分析；
③ M元信号的最佳检测；
④ 参量信号的统计检测； ⑤ 信号Байду номын сангаас序列检测.
第3 章
3.1 引言
信号的统计检测理论
信号的统计检测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。
判决H0假设成立
判决H1假设成立
判决H0假设成立
判决H1假设成立 贝 叶 斯 判 决 准 则
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
贝叶斯准则基本思路:
根据给定的代价计算平均代价 按照平均代价最小划分观察空间,得到判决准则 对判决表达式进行化简
2 贝叶斯检测的进一步说明
贝叶斯判决准则
1 p x H1 H PH 0 c10 c00 px H 0 H 0 PH1 c01 c11
问题： 代价因子如何定义？ 平均代价如何计算？
如何获得最小的平均代价？
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
1. 代价因子的定义 对于二元信号统计检测，共有四种事件发生，即
H
0
H0
H
1
H0
H
1
H1
H
0
H1
c00
c10
c11
c01
cij 表示假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价
将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
1 二元信号检测模型
概率转移机构的作用是在信源输出的一个假设为真的基础
之上，把噪声干扰背景中的假设为真的信号Hj(j=0,1),按照一 定的概率关系映射到观测空间中.
本章主要内容
① 信号统计检测理论的基本概念； ② 二元信号的最佳检测准则,信号的状态判决方 法和检测性能的分析；
③ M元信号的最佳检测；
④ 参量信号的统计检测； ⑤ 信号Байду номын сангаас序列检测.
第3 章
3.1 引言
信号的统计检测理论
信号的统计检测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。
判决H0假设成立
判决H1假设成立
判决H0假设成立
判决H1假设成立 贝 叶 斯 判 决 准 则
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
贝叶斯准则基本思路:
根据给定的代价计算平均代价 按照平均代价最小划分观察空间,得到判决准则 对判决表达式进行化简
2 贝叶斯检测的进一步说明
贝叶斯判决准则
1 p x H1 H PH 0 c10 c00 px H 0 H 0 PH1 c01 c11
问题： 代价因子如何定义？ 平均代价如何计算？
如何获得最小的平均代价？
1 平均代价的概念和贝叶斯准则
1. 代价因子的定义 对于二元信号统计检测，共有四种事件发生，即
H
0
H0
H
1
H0
H
1
H1
H
0
H1
c00
c10
c11
c01
cij 表示假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价
将观察空间进行合理划分,使每个观测量 对应一个假设判断的方法
1 二元信号检测模型
概率转移机构的作用是在信源输出的一个假设为真的基础
之上，把噪声干扰背景中的假设为真的信号Hj(j=0,1),按照一 定的概率关系映射到观测空间中.
信号检测与估计第三章
+∞
th1
⎛ N1μ − th1 ⎞ = Φ⎜ ⎟ ⎜ N 1σ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ N1μ − N1σΦ −1 (1 − α1 ) ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ −1 PD1 = Φ ⎜ = Φ⎜ − Φ (1 − α1 ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ N σ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• 若采用符号检测器，其检验统计量为：
0 2,1
ARE
N1 = N2
0 2,1
渐近相对效率定义如下:
N1 ARE2,1 = lim ARE = lim H1 → H 0 H1 → H 0 N 2 N →+∞ N →+∞
N 2 →+∞
1
N 2 →+∞
1
渐近相对效率是检测器在 H1 → H 0 条件下样本数趋于无穷时 的相对效率。它是比较两种检测器性能的一种指标。
⎧ H 0 : f ( xi ) = f ( − xi ) ⎨ ⎩ H1 : f ( Asi + xi ) = f ( Asi − xi )
2）若只知道噪声分布的中位数为零，可表示为： 1 ⎧ H0 : F ( 0) = ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ H : F ( As ) = 1 1 i ⎪ ⎩ 2
定义非随机检验函数（连续型）：
( ) ( ) ( )
k >0
• 混合型噪声的概率密度函数为：
⎧ ⎧ x2 ⎫ ε 1− ε ⎪ 2 x f ( x) = exp ⎨ − 2 ⎬ + exp ⎨ − 2πσ 1 2σ 2 ⎩ 2σ 1 ⎭ ⎪ σ2 ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
3.2.1 衡量检测器性能的指标
1. 检测器渐近相对效率 假设二元假设检验问题有两个检测器，若它们具有相同的 虚警概率和检测概率所需的观测样本数分别为 N1 , N 2 ， 则定义第2个检测器对于第1个的相对效率为:
信号检测与估计知识点总结
第三章 估计理论1. 估计的分类矩估计：直接对观测样本的统计特征作出估计。
参数估计：对观测样本中的信号的未知参数作出估计。
待定参数可以是未知的确定量，也可以是随机量。
点估计：对待定参量只给出单个估计值。
区间估计：给出待定参数的可能取值范围及置信度。
(置信度、置信区间) 波形估计：根据观测样本对被噪声污染的信号波形进行估计。
预测、滤波、平滑三种基本方式。
✓ 已知分布的估计✓ 分布未知或不需要分布的估计。
✓ 估计方法取决于采用的估计准则。
2. 估计器的性能评价✧ 无偏性：估计的统计均值等于真值。
✧ 渐进无偏性：随着样本量的增大估计值收敛于真值。
✧ 有效性：最小方差与实际估计方差的比值。
✧ 有效估计：最小方差无偏估计。
达到方差下限。
✧ 渐进有效估计：样本量趋近于无穷大时方差趋近于最小方差的无偏估计。
✧ 一致性：随着样本量的增大依概率收敛于真值。
✧ Cramer -Rao 界： 其中为Fishe r 信息量。
3. 最小均方误差准则模型：假定： 是观测样本，它包含了有用信号 及干扰信号 ，其中 是待估计的信号随机参数。
根据观测样本对待测参数作出估计。
最小均方误差准则：估计的误差平方在统计平均的意义上是最小的。
即使达到最小值。
此时 从而得到的最小均方误差估计为： 即最小均方误差准则应是观测样本Y 一定前提下的条件均值。
需借助于条)()(1αα-≥F V ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-=2212122);,(ln );,(ln )(αααααm m y y y p E y y y p E F )(),()(t n t s t y +=θ)(t n T N ),,,(21θθθθ =),(θt s {}{})ˆ()ˆ()ˆ,(2θθθθθθ--=T E e E {}0)ˆ,(ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M SE e E d d θθθθθθθθθd Y f Y MSE )|()(ˆ⎰=件概率密度求解，是无偏估计。
第三章信号检测与估计理论(4).
则信号检测过程便结束，否则继续进行下一步观测,进一步
判决。
(1) 信号的序列检测的基本概念； (2）信号的序列检测的平均观测次数；
4
对于最常用的二元信号的序列检测，其划分问题如下
继续判决
图3.20 序列检测的判决域
R
2 i=0
Ri , Ri
R j，i j
5
检测门限1
检测门限2
6
信号序列检测使用的准则
21
注解：虽然信号的序列检测是有终止的，但有时
候观测次数太大，这时候我们需要规定一个观测次数 的上限N* ；超过N*则转为固定观测次数的判决方式， 称为可截断的序列检测。 结论：对于给定的错误判决概率约束条件，这种 序列检测方式所需的平均观测次数E(N|H1)和E(N|H0) 是最少的。
22
例3.8.1 在二元数字通信系统中,两个假设下的输出 信号分别为 H 0 ： xk nk H1 ： xk 1 nk 各次观测统计独立，且观测是顺序进行的，试确定下 列约束条件下 P( H1 | H 0 )＝0.1;P( H 0 | H1 )＝0.1 (1)序列检测判决表示式 (2)在各个假设条件下，各个观测次数N的平均值。
间相对于固定观测次数N的检测时间有所减小。 即在给定检测性能指标的情况下，它所用的平均 观测次数最少，平均检测时间最短。
3
3.8.1
信号序列检测的基本概念
在进行信号的序列检测时，若不预先规定对信号的检测 次数N，而是在获得第一个观测信号x1时就开始判决所能达 到的指标，如果在满足性能指标要求的前提下能做出判决，
取上限
取下限
12
如用对数形式则
对应检测门限为ln0和ln1
13
3.8.2信号序列检测的平均观测次数
信号检测与估计 第三章 信号的检测1
➢ 把元信号与“假设”联系起来，根据观测数据和判决准则 对各假设进行统计检验，判决哪个假设成立。信号检测 就成为假设检验问题
§3.2 二元信号的假设检验和判决准则
➢ 二元信号基本概念 ➢ 贝叶斯准则 ➢ 最小总错误概率准则 ➢ 奈曼---皮尔逊准则 ➢ 极大极小准则
二元假设检验的模型
信源 P(H1)，P(H0)
X1 p(x | H0 )dx
X0 p(x | H1)dx
1
X1
[
p(x
|
H1)
(C10 (C01
C00 )q C11) p
p(x | H0 )]dx
贝叶斯准则
判决规则 ：
H1
l(x)
l0
(C10 (C01
C00 )q C11) p
H0
3.2.3 最小总错误概率准则
所谓最小总错误概率准则，就是已知信号的
（4） H1 为真，判决 H 0 成立；
虚警概率
第三种判决通常称为第一类错误，用雷 达术语来说是虚警错误，即在没有信号 的条件下判决为有信号。其错误概率为
X1 p(x | H0 )dx
漏报概率
第四种判决通常称为第二类错误，用雷 达术语来说是漏报错误。即在有信号的 条件下判决为无信号。其错误概率密度 为：
p[(C11 C00 ) (C01 C11) (C01 C00 ) ]
极大极小准则
由于 R ~ p的关系是一条直线 ，我们用 R( p) 来表示
R( p) C00(1 ) C10
p[(C11 C00 ) (C01 C11) ( p1) (C10 C00 ) ( p1)]
R
R(P) Rmin ( p)
0 P1
P
Rmin ( p) P
§3.2 二元信号的假设检验和判决准则
➢ 二元信号基本概念 ➢ 贝叶斯准则 ➢ 最小总错误概率准则 ➢ 奈曼---皮尔逊准则 ➢ 极大极小准则
二元假设检验的模型
信源 P(H1)，P(H0)
X1 p(x | H0 )dx
X0 p(x | H1)dx
1
X1
[
p(x
|
H1)
(C10 (C01
C00 )q C11) p
p(x | H0 )]dx
贝叶斯准则
判决规则 ：
H1
l(x)
l0
(C10 (C01
C00 )q C11) p
H0
3.2.3 最小总错误概率准则
所谓最小总错误概率准则，就是已知信号的
（4） H1 为真，判决 H 0 成立；
虚警概率
第三种判决通常称为第一类错误，用雷 达术语来说是虚警错误，即在没有信号 的条件下判决为有信号。其错误概率为
X1 p(x | H0 )dx
漏报概率
第四种判决通常称为第二类错误，用雷 达术语来说是漏报错误。即在有信号的 条件下判决为无信号。其错误概率密度 为：
p[(C11 C00 ) (C01 C11) (C01 C00 ) ]
极大极小准则
由于 R ~ p的关系是一条直线 ，我们用 R( p) 来表示
R( p) C00(1 ) C10
p[(C11 C00 ) (C01 C11) ( p1) (C10 C00 ) ( p1)]
R
R(P) Rmin ( p)
0 P1
P
Rmin ( p) P
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因此
=
l0*
p(G | H
0
)dG
1 ( E1 E0 ) 2
[G ( E E0 )]2 1 exp{ }dG 2 N 0 E (1 ) 2 N 0 E (1 )
令
则 式中
Z
G ( E E0 ) N0 E (1 )
(1 ) E / N0
0
T
Var[G | H 0 ] E{[G E (G | H 0 )]2 } N0 = 2
T
0
[s1 (t ) s0 (t )]2 dt N 0 E (1 )
[G ( E E0 )]2 1 p(G | H 0 ) exp{ } 2 N0 E (1 ) 2 N0 E (1 )
如果选择ω0及ω1使得ρ＝0，则错 误概率Pe较小
Pe 1 [ E / N 0 ]
其性能较相参相移键控信号差3dB
启闭载波键控（CASK或OOK）
s0 (t ) 0 s1 (t ) A sin 0t 0t T
此时ρ＝0，E=E1/2，E0=0。 错误概率 判决门限
Pe 1 [ E1 / 2 N 0 ]
第三章 信号的检测
主要内容
引言
二元假设检验和判决准则 二元已知信号的检测 随机参量信号的检测 多元信号的检测 序贯检测
非白正态噪声中的信号检测
§3.3 二元已知信号的检测
• 已知信号：信号出现后，所有的参数（幅度、
频率、相位、到达时间等）都已知。
• 二元已知信号在高斯白噪声中的检测：
假设H1：
假设H0：
E1 d 2 N0
工作特性
检测特性
当α给定之后，检测概率只与信号能量及噪声强度 之比有关
3.3.5 检测系统的工作特性
p(l H 0 )dl
l0
PD p(l H1 )dl
l0
微分得
d p(l0 H 0 )dl0
dP p(l0 H1 )dl0 D
dPD p(l0 H1 ) l0 d p(l0 H 0 )
2 N S1k xk S0 k xk S12k p X H1 S0 k lX exp 2 2 2 2 p X H0 2 2 k 1
判决规则
N
l ( x ) l0
H0
N H1 N 2 1k 2 0k
H1
2 1 T T x ( s1 s0 ) ln l0 ( s1 s1 s0 s0 ) 2
H0
T
H1
代入得
T
0
x(t ) s1 (t )dt
0
* 1 1 x(t ) s0 (t )dt l0 N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
H0
H1
H1
x k s1k x k s0 k 1 s s ln l0 取对数得 2 2 2 2 k 1 k 1 k 1
H0
极限值
取极限情况
t 0, N 2 N 0 B N 0 2t B 1 2t
N S1k xk 2 2 T lim lim 可得 N 2 N N S1k xk t N 0 s1 t x t dt 0 t 0 k 1 0 t 0 k 1 N
xt s1 t nt
xt s0 t nt
0t T
3.3.2 二元信号检测系统
对x(t)在0~T范围内进行N次观测，则
p X H 0 p x1 x2 xN H 0 p x1 H 0 p x2 H 0 p xN H 0 p X H1 p x1 x2 xN H1 p x1 H1 p x2 H1 p xN H1
Ps0 (t ) 及 P s1 (t ) 未知，常用奈曼-皮尔逊准则。
最佳检测系统的方框图仍如前所示。 检验统计量
G x(t )s1 (t )dt
0 T
虚警概率
检测概率
p(G H 0 )dG
l0
ห้องสมุดไป่ตู้
PD p(G H1 )dG
l0
E[G | H0 ] E E0
1 1 1 l0 N 0 Inl0 ( E1 E0 ) ( E1 E0 ) 2 2 2
*
• 取检验统计量 G x(t)s1(t)dt x(t)s0(t)dt
0 0
T
T
• 则判决规则为
* G l0
H0
H1
• 检测系统的总错误概率：
1 1 Pe =q p p(G | H 0 )dG p(G | H1 )dG 2l* 2
3.3.3 二元通信系统的检测性能
• 相关概念及推导 • 几种具体信号模型
– 相参相移键控 – 相参频移键控 – 启闭载波键控
相关概念及推导
• 系统的检测性能，通常是指在假定的信号与噪 声的条件下系统的某种判决概率与输入信噪比 之间的关系。在这里我们求总错误概率Pe与输 入信噪比d之间的关系。
*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
错误概率
Pe 1 [ 2 E / N 0 ]
[ x]
x
1 e 2
z2 2
dz
x(t )
×
T
0
符号鉴 “+”H1 别器 “”H0
S1 (t )
图3.8 相参相移键控检测系统
相参频移键控 （CFSK）
s0 (t ) A sin 0t s1 (t ) A sin 1t 0tT 0t T
令
1 T 2 1 2 E [ s0 (t ) s1 (t )]dt ( E0 E1 ) 2 0 2 1 T s0 (t ) s1 (t )dt E 0
则
E[G | H0 ] E E0
G E[G | H 0 ] n(t )[s1 (t ) s0 (t )]dt
1 l ( E1 E0 ) E1 / 2 2
* 0
按平均信号能量E来说，其性能与相参频移 键控系统相同。
x(t )
×
T
0
+ -
判决
S1 (t )
l
* 0
图3.10 启闭载波键控检测系统
3.3.4 雷达系统的检测性能
H 0： x(t ) n(t )
H1： x(t ) s1 (t ) n(t )
条件概率密度
xk s0 k 2 1 p xk H 0 exp 2 2 2 xk s1k 2 1 p xk H1 exp 2 2 2
其中
似然比检验
在0~T时间内进行N次抽样，得到似然函数比为
作业：
总错误概率，标志着二元通信系统的最佳检测性能。
除与信号平均能量及噪声强度有关，还与ρ 有关。
当ρ ＝－1时Pe最小。
回顾
• 贝叶斯准则 (C10 C00 )q l0 (C01 C 11 ) p –最小平均风险 • 最小总错误概率准则 – C00 = C11=0，C10 = C01=1 • 奈曼---皮尔逊准则 p(l | H 0 )dl –固定使PD最大 l0 • 极大极小准则 –安全平均风险
T
0
E0 s t dt N0
N足够大时，等式近似成立
令
x x1 , x2 ...xN
T T
si si1 , si 2 ...siN
则
T
2 x k s1k N x k s0 k 1 N s12k s0 k 2 2 ln l0 2 2 k 1 k 1 k 1 N H0
• 当α=0时，则有l0=∞，PD=0，对应坐标原点；
• 当α=1时，则有l0=0，PD=1，对应Q点； • 当α给定，d越大则PD也越大； • 曲线上各点的斜率等于门限l0 ，取决于所选的判 决准则；
• 在输入信噪比为d1时，对于奈曼-皮尔逊准则，给 定α1，其解必在α=α1的直线上，如c点；
(G E1 ) 2 1 exp N 0 E1 N 0 E1
1 1 l N 0 ln l0 E1 2 2
2 1 l0 N 0 E1
2 PD 1 l0 d N 0 E1
其中 l0
2 1 1 2 ( N 0 ln l0 E1 ) N 0 E1 2 2 N 0 E1 N0 E1 1 1 ln l0 ln l0 d 2 E1 2 N0 d 2
•
最大似然准则
– C00 = C11，C10 = C01，且P(H0) = P(H1)
•
最大后验概率准则
p( x | H1 ) 1 p( x | H 0 ) H0
H1
– (C10-C00)=( C01-C11) – 与最小总错误概率准则等效； – P(H1)= P(H0)时，与最大似然准则等效。
1 z2 exp( )dz 1 [ (1 ) E / N0 ] 2 2
x
[ x]
1 e 2
z2 2
dz
1 同理 ＝ p(G | H1 )dG＝ [ (1 ) E / N0 ]
l0*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
Var[G | H0 ] N0 E(1 )
1 1 l N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2