2023届重庆市璧山来凤中学校高三上学期10月第二次月考(春招班)数学试卷(含解析)

高三数学春招10月月考试题考试时间：120分钟；第I 卷（选择题）一、单选题1．已知幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =（ ）A ．9B ．3C ．13D ．192．已知向量(2,1)a =，(1,)b x =，若a b +与a 垂直，则x 的值为 A ．7B ．7C ．12D ．12-3．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}4．设f (x )是可导函数，且()013(1)li 2m x f x f x∆→-∆-=∆，则()1f '=（ ）A ．2B ．23-C ．-1D ．-25．若函数2()10f x x mx =-+在(2,1)-上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[4,)-+∞ C ．(,2]-∞D ．(,4]-∞-6．若{}01A x x =<<，{}4B x x =<，则A 是B 的条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知曲线()()xf x x a e =+在点()()1,1f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．2aeB ．12e +C ．e 2-D ．2e8．已知0,1a b >>，且(1)4a b -=，则a b +的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB CC ==，CA CB ⊥，1CC ⊥底面ABC ，则异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值是（ ） A ．33B ．63C ．22D ．2310．已知函数2()3sin cos cos f x x x x =+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 的图象关于直线6x π=对称第II 卷（非选择题）二、填空题11．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．12．已知函数32()2f x x ax ax =--的一个极值点为1，则()f x 在[-2，2]上的最小值为_____________． 13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()(1)f x x x =-，则当0x >时，()f x = __________. 14．在△ABC 中，若2a =，cos B =△ABC 的面积为1，则b =_____.15．已知函数()1ln f x x x =--，对定义域内的任意x 都有()2f x kx ≥-，则实数k 的取值范围是______. 三、解答题16．已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .17．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若b a cμλ+=，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若b a B A+=，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线. 18．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最大值及相应的x 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间.19．如图，已知在直三棱柱111C C AB -A B 中（侧棱垂直于底面），C 3A =，5AB =，C 4B =，点D 是AB 的中点．()1求证：1C C A ⊥B ；（7分） ()2求证：1C //A 平面1CD B ．（8分）20．．已知函数()2ln f x ax x x x =+-．(1)若0a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若()2e ef =，且在()0,∞+上，()220f x x mx --≥恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1．D 解析：设幂函数()af x x =，代入点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得124a =，解得2a =-，所以()2f x x -=， 则()21339f -==， 故选：D ． 2．B 因为a b +与a 垂直，所以()()()3,12,1610a b a x x +=+=++=，解得7x =-．故选B ． 3．B 解析：由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=， 故选：B.4．B 解析：由题设，()0(1)1323()lim 31x f f f x x ∆→--∆=-∆'=. 故选：B5．A 解析：函数2()10f x x mx =-+的对称轴为2mx =，由于()f x 在(2,1)-上是减函数，所以122mm ≥⇒≥. 故选:A 6．A 解析：由题意可得A B ∴A 是B 的充分不必要条件 故选A7．D 解析：()()()1x x xf x e x a e x a e '=++=++，()11(1)f a e --=-，切线的斜率为()11f ae k -'-==， 因为切线与直线210x y +-=垂直，所以()121ae --=-，解得2ea =. 故选：D. 8．C 解析：解：因为0,1a b >>且(1)4a b -=，所以41a b =-，所以()()444112115111a b b b b b b b +=+=+-+≥⋅-+=--- 当且仅当411b b =--，即3b =，2a =时取等号； 所以a b +的最小值为5 故选：C9．A 解析：在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ， ∴异面直线1AB 与BC 所成的角为11AB C ∠或其补角，连接1AC ，1CC ⊥底面ABC ，CB ⊂平面ABC ，1CC CB ∴⊥，又CA CB ⊥，1CACC C =，CB ∴⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，1CB AC ∴⊥， 由11//CB B C ，可得111B C AC ⊥，CA CB ⊥，AB ∴又111BB CC ==，1AB ∴=∴在Rt △11AB C 中，11111cos B C AB C AB ∠==即异面直线1AB 与BC 故选：A ．10．解析：2111()cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++ 对于A 选项，因为22T ππ==，故A 不正确； 对于B 选项，因为111()sin 2sin 0012126222f πππ⎛⎫⎛⎫-=⨯-++=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确； 对于C 选项，因为当sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 13122f x =+=，故C 不正确；对于D 选项，因为113()sin 2sin 6662222f ππππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，是()f x 的最大值，所以()f x 的图象关于直线6x π=对称，故D 正确. 故选：D.11．解析：由题意可得2i 3i 3i 13i i i z +-===-，则13i z =+，因此，z =.12．解析：因为2()62f x x ax a '=--，所以(1)630f a '=-=，得2a =． 因为2()6442(1)(31)f x x x x x '=--=-+，所以()f x 在(-2，-13)，(1，2)上单调递增，在（-13，1）上单调递减．因为(2)20f -=-，(1)2f =-，所以()f x 在[-2，2]上的最小值为-20． 故答案为：-20 13．解析：当0x >时，0,()(1)x f x x x -<∴-=---，()f x 是奇函数，()()(1)f x f x x x ∴-=-=---，()(1)f x x x =-+. 故答案为:(1)x x -+14．解析：因为cos B =B 为ABC 内角，所以sin B ==因为11sin 2122ABCSac B c ==⨯=，所以c =由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得2=解得b =15．解析：∵()1ln 2f x x x kx =--≥-，∴1ln kx x x ≤+-，0x >，也即1ln 1x k x x≤+-在0x >时恒成立. 令()1ln 1x g x x -=+，0x >，则()2ln 2x g x x-'=，0x >，令()20g x x e '=⇒=.易知()g x 在()20,x e ∈上单调递减，()g x 在()2,x e ∈+∞上单调递增， 故()()22min 11g x g e e ==-，∴211k e≤-. 故答案为：21(,1]e -∞- 16．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，156a a +=，所以112246a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以1(1)n a n n ；（2）由（1）可得，22n a nn b ==，即数列{}n b 为等比数列，所以数列{}n b 的前n 项和()12122212n n n S +-==--.17．（1）()()()21,22,21,0a b +=-+-=，2101a b +=+；(2)()()()1,251,14,μλ--+-=，所以425λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，解得：13λμ=-⎧⎨=⎩，所以2λμ+=；(3)因为22AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，所以422CD a b AC =-=，所以A ，C ，D 三点共线. 18．解：（1）()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，当22,42x k k Z πππ+=+∈，即,8x k kZ ππ=+∈时，max ()f x =（2）由题意得：24222,2k x k k Z πππππ-+<+<+∈，∴函数()f x 的单调增区间为3(,),88k k k Z ππππ-++∈. 19．证明：（1）在ABC ∆中，∵3AC =，5AB =，4BC =，∴ABC ∆为直角三角形，∴AC BC ⊥ …………2分 又∵1CC ⊥平面ABC ，∴1CC AC ⊥， …………3分1CC BC C =， ∴AC ⊥平面1BCC ，…………5分 （没有相交扣1分）11BCC BC 面⊂,∴1AC BC ⊥． …………7分（没有线在面上扣1分）（2）设1B C 与1BC 交于点E ，则E 为1BC 的中点， 连结DE ， ……8分∵D 为AB 的中点，∴在△1ABC 中，1//DE AC ，…………10分 又1DE CDB ⊂面， ……12分 11AC CDB ⊄面，……14分∴1//AC 平面1B CD ． ……15分20.（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，函数的定义域为()0,∞+， ∴()ln f x x '=-，由ln 0x -=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '>，故()f x 在()0,1上是增函数， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在()1,+∞上是减函数， ∴()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞；（2）由()2e ef =，得22e e e e a +-=， ∴1a =，∴()2ln f x x x x x =+-，由()220f x x mx --≥在()0,∞+上恒成立，得1ln 1xm x x≤--在()0,∞+上恒成立，令()1ln 1x g x x x=--，0x >，可得()2ln '=xg x x ，0x >，令()0g x '>，得1x >，令()0g x '<，得01x <<， ∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴()g x 在1x =处取得极小值，也是最小值，即()()min 10g x g ==， ∴m 的取值范围是(],0-∞．。