正弦函数余弦函数的性质PPT课件.ppt
合集下载
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件(人教版)
由此可知，2π,4π,……,－2π,－4π， ……2kπ (k∈Z且k≠0)都是正弦函数和余弦函数 的周期,最小正周期是2π.
学习新知
注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有 x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定 义域无下界； (2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？
在数学当中，有没有周期现象？
学习新知 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔 2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说 明.
解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
(2)设函数y=sin2x, x∈R的周期为T，则 sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x ∵正弦函数的最小正周期为2π ，
所以，2T 2得T 2
2 ∴ y=sin2x ,x∈R的周期为π
课堂小结
函数 性质
y=sinx
y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
最大值
仅当x 2k , k Z
2
时取得最大值1
最小值
仅当
x
2k , k Z
时取2得最小值-1
奇偶性
奇函数
仅当
x 2k , k Z
时取得最大值1
仅当
x (2k 1) , k Z
学习新知
注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有 x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定 义域无下界； (2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就 不为周期函数（如f (x0+T)f (x0)）；
(2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？
在数学当中，有没有周期现象？
学习新知 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； (2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔 2k，kZ重复出现）； (3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说 明.
解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
(2)设函数y=sin2x, x∈R的周期为T，则 sin2(x+T)=sin(2x+2T)=sin2x ∵正弦函数的最小正周期为2π ，
所以，2T 2得T 2
2 ∴ y=sin2x ,x∈R的周期为π
课堂小结
函数 性质
y=sinx
y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
最大值
仅当x 2k , k Z
2
时取得最大值1
最小值
仅当
x
2k , k Z
时取2得最小值-1
奇偶性
奇函数
仅当
x 2k , k Z
时取得最大值1
仅当
x (2k 1) , k Z
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）（18张PPT）课件
45
5
4
例3
求函数
y
sin
1 2
x
新π3 知，x探 究2π，2π的单调递增区间．
解π，2π
，则 z
2π ，4π 33
．
因为
y
sin
z，z
2π 3
，4π 3
的单调递增区间是
z
π 2
，π 2
，
且由 π ≤ 1 x π ≤ π 得 5π ≤ x ≤ π ，
22 32 3
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第二课时
新知探究
问题1 对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？
前面学习了正弦函数和余弦函数的周期性和奇偶性， 今天继续学习其他性质：单调性和最值。
单 调 性
观察图象，完成下面的表格:
-1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1
2
，3
2
-
2
，
2
-
2
2k
,
2
（1）sin( π )与sin( π ) ；
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（1）因为 π π π 0 ， 2 18 10
正弦函数y＝sinx在区间 π2，0 上单调递增，
所以 sin( π ) sin( π ) ．
18
10
新知探究
例2 不通过求值，比较下列各数的大小：
π 2
2kπ，π 2
2kπ ，k
Z
π 2
2kπ，3π 2
2kπ ，k
Z
x π 2kπ，k Z 2
x 3π 2kπ，k Z 2
余弦函数 x kπ，k Z ( π kπ，0) ，k Z 2
正弦、余弦函数的图像和性质PPT优质课件
作三角函数图象
描几点何法法:作查图三的角关函键数是表如得何三利角用函单数位值圆,描中点角(xx的,s正in弦x),线连，线巧. 妙地
如移:动x 到 直3 角查坐表标y系内s，i从n3而确0.8定对6应6的0点 (x,sinx).
y
描点 (3 ,0.866)0
1-
y
P
-Hale Waihona Puke 023 2
2
x
1 -
3
O M 1x
2020/12/10
9
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
2020/12/10
10
四川省天全中学数学组
2005.03
2020/12/10
11
余弦曲线
-
-
y-
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
由于 ycox scosx)(sin [(x) ]sin x()
几何法：作三角函数线得三角函数值，描点(x,sinx),连线
如: x
3
作
3
的正弦线 MP ,
平移定点 (x, MP)
2020/12/10
5
函数 y six ,n x 0 ,2图象的几何作法
y
作法: (1) 等分
(2) 作正弦线
1-
P1
p
/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11A
o 6
3
正 弦 函 数、余 弦 函数的图象和性质
2020/12/10
1
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦函数、余弦函数的图象和性质PPT课件.ppt
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
2 0
2
5
●
11
6 32 3 6
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
sin(2k +x)= sinx (k Z)
y y=sinx (xR)
1
2 0
-1
2 3 4 5
6 x
二、正弦函数的“五点画图法”
(2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表
x
0
2
3
2
2
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2
1
0
1
y
2
●
y=1+sinx x [0, 2 ]
1●
●
●
●
o
3
2
x
2
2
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3
2
2
cosx 1 0 -1 0 1
y
y=sinx的图象
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
y=cosx的图象
6 x
余弦函数的“五点画图法”
(0,1)、(
2
,0)、( ,-1)、( 3 2
,0)、(2, 1)
y
1●
●
o
●
●
3
2
5．4.1正弦函数、余弦函数的图象(共36张PPT)
作直线 y＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与 y＝sin x，x∈[0，2π] 图象的交点横坐标为π6和56π；作直线 y＝ 23，该直线与 y＝sin x，x∈[0，2π] 图象的交点横坐标为π3和23π，则不等式的解集为π6，π3∪23π，56π.
1．函数 y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是
第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质 5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
了解利用正弦线作正弦函数图象
正弦函数、余弦函 的方法，
数的图象 会用“五点法”画正弦函数、余
弦函数的图象
正、余弦函数图象 会用正弦函数、余弦函数的图象
解析：选 A.由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1， (2π，0)，故选 A.
3．函数 y＝cos x，x∈R 图象的一条对称轴是
A．x 轴
B．y 轴
C．直线 x＝π2 答案：B
D．直线 x＝32π
()
4．请补充完整下面用“五点法”作出函数 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的 列表．
的简单应用 解简单问题
核心素养 数学抽象、
直观想象
直观想象
问题导学 预习教材 P196－P200，并思考以下问题： 1．如何把 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象变换为 y＝sin x，x∈R 的图象？ 2．正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
图象
1．函数 y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是
第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质 5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
了解利用正弦线作正弦函数图象
正弦函数、余弦函 的方法，
数的图象 会用“五点法”画正弦函数、余
弦函数的图象
正、余弦函数图象 会用正弦函数、余弦函数的图象
解析：选 A.由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1， (2π，0)，故选 A.
3．函数 y＝cos x，x∈R 图象的一条对称轴是
A．x 轴
B．y 轴
C．直线 x＝π2 答案：B
D．直线 x＝32π
()
4．请补充完整下面用“五点法”作出函数 y＝－sin x(0≤x≤2π)的图象时的 列表．
的简单应用 解简单问题
核心素养 数学抽象、
直观想象
直观想象
问题导学 预习教材 P196－P200，并思考以下问题： 1．如何把 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象变换为 y＝sin x，x∈R 的图象？ 2．正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？
正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
图象
正弦函数、余弦函数的性质-PPT课件
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x
2
时，有最大值 y 1
最小值：当x
2
时，有最小值y 1
探究：余弦函数的最大值和最小值
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值： 当 x 0
时，有最大值 y 1
最小值：当 x
时，有最小值y 1
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
(1)y cos x 1, x R;
(2)y 3sin 2x, x R.
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
故 2k 1 x 2k ,
2
2 32
得 5 4k x 4k , k Z.
3
3
则函数y sin(1 x )，x R的单调递增区间是[ 5 4k, 4k]。
23
33
练习：求函数y sin( 1 x)，x R的单调递增区间 32
得 5 4k x 11 4k , k Z.
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
26
2
6
要并且至少要增加到z+4π，函数值才能重复取
得，即T=4π
总结：
一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R或 Y=Acos(ωx+φ),x∈R（A、ω、φ为常数，
且A≠0， ω>0）的周期是：
T 2
性质4、奇偶性
• 奇偶性的定义： 若函数f(x)的定义域关于原点对称，且对任意的定 义域内的x都有： f(-x)=-f(x) 则称f(x)为这一定义域内的奇函数 f(-x)=f(x) 则称f(x)为这一定义域内的偶函数
• 正余弦函数的奇偶性： 正弦函数在R上为奇函数、余弦函数在R上为偶
函数 • 奇函数、偶函数的图象特征：
奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴 对称
从函数奇偶性角度观察下列图象：
1
0.5
-6
-4
-2
-0.5
-1 1
0.5
2
4
6
-6
-4
-2
-0.5
-1
2
4
6
思考：
函数 y x3 与 y x4 的奇偶性
性质3：周期性
• 周期函数的定义： 对定义域内的任意的x的值，存在一个常数
T≠0，使得
f (x T ) f (x)
• 周期性的图象理解
1 0.5
-5
-2.5
-0.5
-1
2.5
5
7.5
10
12.5
1 0.5
-5
-2.5
-0.5
-1
2.5
5
7.5
10
12.5
例题1、
求下列函数的周期：
1：y=3cosx x ∈R
解：因为余弦函数的周期是2π，所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π，余弦函数的值才会重复取得， 函数y=3cosx的值才能重复取得， 所以T=2π。
2、y=sin2x x ∈R
解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需 z∈R，且函数y=sinz，z∈R的T=2π，即 变量z只要并且至少要增加到z+2π，函数 y=sinz，z∈R的值才能重复取得，而 z+2π=2x+2π=2（x+π）
正弦函数、余弦函数的性质（2）
1 0.5
-0.5 -11 0.512 Nhomakorabea3
4
5
6
-0.5
-1
1
2
3
4
5
6
一、知识点回顾
• 1、正余弦函数的定义域 • 2、正余弦函数的值域 • 3、练习（口答）：
函数 y 3sin x x R 的值域和最值
函数 y cos x 3 x R 的值域和最值
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
3、y 2sin( 1 x ) x∈R
26
解：令 z 1 x ，那么x∈R必须并且只要
26
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
于 z 2 1 x 2 1 (x 4 ) 。所以自变量z只