专题2.2 与三角形相关的范围问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)
一．方法综述与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、方程与不等式思想、转化与化归思想求解．二．解题策略类型一结合基本不等式求解问题【例1】【湘赣十四校（湖南省长郡中学、江西省南昌市第二中学等)2019届高三下学期第一次联考】在中，角，，的对边分别为，，，若，且恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】又又，当且仅当时取等号设，即当时，恒成立设则可知可得：本题正确选项：【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosA的范围，通过构造函数，应用二次函数的图象和性质，求出的范围．【举一反三】1、【江西省上饶中学2019届高三上学期期中】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理得，化简得.，当且仅当时等号成立，由于故为锐角，故，所以.故选A.2、【安徽省六安市第一中学2019届高三高考模拟考试（三)】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】∵在△ABC中，∴（2a﹣c）cos B＝b cos C，∴（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，约掉sin A可得cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，∴△ABC的面积S＝ac sin B＝ac≤故选：A．3、【山西省2019届高三考前适应】的内角的对边分别为，若的面积为，周长为6，则b的最小值是（）A．2 B．C．3 D．【答案】A【解析】因为的面积为所以整理得，即，因为，所以又因为周长为6，所以，即所以，所以的最小值是2故选A类型二利用消元法求解问题【例2】【安徽省A10联盟2019届高三11月段考】在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为（）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】由题意得，，∴，又，∴，∴，则的最大值为，故选C【指点迷津】利用余弦定理，结合三角形面积可化为，从而可得结果.一般地，利用正弦定理、余弦定理实施边角转化，利用辅助角公式实现“消元”，求得范围．【举一反三】1、【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（二)】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】即又，即本题正确选项：2、圆221x y +=上任意一点P ，过点P 作两直线分别交圆于A ， B 两点，且60APB ∠=o ，则22PA PB +的取值范围为__________． 【答案】(]3,6【解析】在ABP n 中，由正弦定理得：22PA PBr sin PBA sin PAB===∠∠,设()θθ0,120PBA ∠=∈︒，又60APB ∠=o ，所以120120θPAB PBA ∠=︒-∠=︒-，()2θ,PB 2sin 120θPA sin ==︒-.()222224θ4sin 120θ32θ23432242sin 26PA PB sin sin sin cos sin cos πθθθθθ⎛⎫+=+︒-=++=+-=+- ⎪⎝⎭27θ0,,2,3666ππππθ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(]42sin 23,66πθ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭.答案为： (]3,6. 3.【云南省2019届高三第一次统一检测】在中，内角，，对的边分别为，，，，平分交于点，，则的面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 设，则，， ，平分交于点，，在三角形中，，由正弦定理可得，，在三角形中，，由正弦定理可得，，面积，，，，，当时，即时，面积最小，最小值为，故选：类型三与三角形的周长有关的最值问题【例3】【安徽省芜湖市2019届高三上期末】锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，，则周长的最大值为（）A．B．C．3 D．4【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得，即，由于三角形为锐角三角形，故，由正弦定理得，故三角形的周长为，故当，即三角式为等边三角形时，取得最大值为，故选C.【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值. 【举一反三】1、【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四)】已知的内角，，的对边分别是，，，且，若的外接圆半径为，则的周长的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，，，,因此.即,因为,所以,选B.2、在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对应的边分别为a ， b ， c ，若1bc =， 2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，三角形的周长为（ ）A. 23+B. 22+C. 3D. 32+ 【答案】A【解析】在△ABC 中，由正弦定理得： sin 2sin cos 0B C A +=∵cos 02bA c=-< ∴A 为钝角．∴0cosAcosC ≠，由2sinAcosC cosAsinC cosAsinC +=﹣， 可得30tanA tanC tanC =﹣，＞，tanB=﹣1tanA tanC tanAtanC +-=()2213tanC tan C--+=213tanC tanC+=3，当且仅当B 取得最大值 ∴2163c b C B A ππ=====，．．∴a=2×16cosπ⨯类型四 与三角形面积有关的最值问题【例4】在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若1sin cos sin cos 2b C A A C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2a =，则ABC ∆的面积的最大值为__________．1【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在1cos12sinbAB⋅⋅=的基础上在利用正弦定理得到sin cosA A=.对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件.【举一反三】1、【陕西省汉中市2019届高三上学期第一次检测】在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D.2.已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】因为，所以，在△ABD中，由余弦定理可得，，作CE⊥BD于E，因为，所以，所以，当时，的最大值为. 故答案为：3、【河南省焦作市2019届高三三模】如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．【答案】【解析】在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得，在中， ,则,由正弦定理，得，在中，因为，所以，即，所以，所以故答案为：类型五 与三角形解的个数有关的最值问题【例5】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 2,sin 6sin A C B b A B +==，若符合条件的三角形有两解，则b 的取值范围是__________． 【答案】()33,6【解析】 因为2,A C B A B C π+=++=，所以3B π=，又sin 6sin b A B =，则6ab b =，则6a =， 由sin a B b a <<，所以336b <<.【指点迷津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键. 【举一反三】1、【湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研】已知a ，b ，c 分别为的三个内角A ，B ，C 的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 解：在中，由正弦定理得：，即，可得：，由题意得：当时，满足条件的有两个，所以，解得：，则a 的取值范围是．故选：B ．2、在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知030,2A b ==，如果这样的三角形有且只有一个，则a 的取值范围为________. 【答案】1a =或2a ≥【解析】由题意得，在ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由030,2A b ==，所以sin 1b A =，所以当2a b ≥=或1a =时，此时满足条件的三角形只有一个． 类型六 转化成三角函数最值问题【例6】【湖南省湘潭市2019届高三下学期二模】分别为锐角内角的对边，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以. 由余弦定理，得，整理得，即，所以， 由正弦定理，得，即，所以，所以，所以或（舍），故， 结合锐角，，则，，所以，由，又因为，所以，即的取值范围是，故选D.【指点迷津】对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.. 【举一反三】1. 在锐角三角形中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，则ab的取值范围是（ ） A. 32,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.()2,2 C.()2,3 D. 02（，）【答案】A【解析】2,B A =∴Q 由正弦定理sin sin a b A B =得： sin sin sin 1sin sin22sin cos 2cos a A A A b B A A A A====， B Q 为锐角，即090B <<o，且2,B A A =∴ C 为锐角， 0290{ 0180390A A ︒︒︒<<<-< ,所以233045,cos 22A A <<∴<<o o ，即22cos 3A <<， 3122cos A ∴<<，则ab 的取值范围是32,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故选A. 2.【江苏省南京市、盐城市2019届高三二模】在中，若，则的最大值为______. 【答案】【解析】 在△ABC 中，有,所以==,当即时取等.故答案为：三．强化训练1．【陕西省彬州市高2019届高三上学期第一次监测】在中，三内角的对边分别为，且，，则角的大小是（）A．或B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴cos A，由0＜A＜π，可得A，∵，∴sinBsinC=∴，即解得tan2C=，又∴2C=或，即C=或故选：A2.【黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第三次月考】中，角、、所对的边分别为、、，且满足，，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，由正弦定理得，又由在中，，即，即，因为，所以，在中，由余弦定理可知，且，即，当且仅当时，等号成立，即，所以的最大面积为，故选A.3．曲线的一条切线l与轴三条直线围成的三角形记为，则外接圆面积的最小值为A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l与曲线的切点坐标为（），函数的导数为．则直线l方程为，即，可求直线l与y＝x的交点为A（），与y轴的交点为，在△OAB中，，当且仅当2＝2时取等号．由正弦定理可得△OAB得外接圆半径为，则△OAB外接圆面积，故选：C．4．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知锐角外接圆的半径为2，，则周长的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵锐角外接圆的半径为2，，∴即，∴，又为锐角，∴，由正弦定理得，∴a＝4sin A，b＝4sin B，c＝∴a+b+c＝24sin B+4sin（B）＝6sin B+2cos B+24sin（B）+2，∴当B即B时，a+b+c取得最大值46．故选：B．5．【中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月】在中，、、的对边分别是、、.若，，则的最大值为（）A．3 B．C．D．【答案】B【解析】因为，，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理可得,所以，故其中.所以.6．【安徽省巢湖市2019届高三三月份联考】已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：因为：，所以，在三角形ADC中，，在三角形BDC中，，，，．设结合二次函数的性质得到：．故选：D．7．【2019年高考模拟试卷（一)】的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，得，所以，所以当且仅当取等号，且为三角形内角，所以. 故选：D8．【广东省东莞市2019届高三第二次调研】若的面积为，且为钝角，则的度数以及的取值范围为A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】解：由余弦定理可得，，，，，，由正弦定理可得，，，故选：C．9．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】在锐角三角形中，已知分别是角的对边，且，则面积的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在中，由正弦定理得，，解得为锐角三角形，则由余弦定理得,，，当且仅当时，等号成立故选B项.二、填空题10. 【江西省红色七校2019届高三第二次联考】在中，角所对的边分别是，若，且，则的周长取值范围为__________________.【答案】【解析】由余弦定理得,整理得即a+b≤4当且仅当a=b=2取等，又a+b>c=2,所以a+b+c故答案为11．【四川省巴中市2019届高三零诊】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，则A的取值范围为______【答案】（0，]【解析】由得，化简得，，，且余弦函数在上是递减函数，，故答案为（0，]．12．【四川省成都石室中学2019届高三二模】四边形中，，，，，则的最大值为__________．【答案】【解析】设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则在△ABC中，由余弦定理得AC2＝10﹣6cosα．由正弦定理得，即sinβ＝,∵,，∴CD=在△BCD中，由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos（900+β），即DB2＝9++2×3××＝-2cosα+2sinα ＝+4sin（）∴当α＝时，对角线BD最大，最大值为，则的最大值为,故答案为：13．【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】在中，角，，所对的边分别是，，，若，且边上的高等于，则的周长的取值范围为____【答案】【解析】由题可知：故，即又，则又，则所以的周长的取值范围为本题正确结果：14．【2019年安徽省马鞍山市高考一模】在中，角、、所对的边分别边、、，若，，则的取值范围是__．【答案】【解析】，，，，，又，，因此，，，故答案为．15．【福建省2019届高三适应性练习（四)】设锐角三角形的三个内角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】由，得，由，，故，所以，所以．16．【湖南省衡阳市2019届高三第二次联考（二模)】的内角，，的对边分别为，，，若，，则周长的最小值为______．【答案】8【解析】由余弦定理得（亦可作高求之）：，由正弦定理得：.法一：几何法.如图，由面积定值，可知边上的高为定值，不妨作的平行线，再作关于的对称点，.周长的最小值为8.法二：代数法.如图建系，，∵，为偶函数，不妨考虑.求导易得，.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>，2a =，则b c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅-> 故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈，可得130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，330))2o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题3．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值.因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.5．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．6．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx ﹣3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=76π+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．7．在ABC ∆中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．2D ．1【答案】C 【解析】 11210sin 1sin 25BCD BCD ⨯⨯⨯∠=∴∠= 22222102210425BD BD ∴=+-⨯⨯⨯=∴=,选C8．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC + D ．841515AB AC + 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =表示为以,AB AC 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =. 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解【详解】由正弦定理：2sin sin b cR B C==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中，A B C π++=故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题10．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（ ）A ．15 B ．14C ．12D ．34【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=,故1sin 22θ=. 所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.12．已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-【答案】C 【解析】 【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由π1cos α25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．13．已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．35C ．35D ．53【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =， 综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )A．y =B．3y x =± C ．y x =± D ．2y x =±【答案】A【解析】【分析】 因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=可得:b =双曲线渐近线方程为:b y x a=± 则双曲线渐近线方程为: y =故选:A.【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.16．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC．D或【答案】D【解析】【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=， 即220a a +-=，解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或.故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=， 当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证； 必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯， 故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.18．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sinB ．cosC ．tanD ．cos2θ【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可．【详解】由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C【点睛】本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．19．化简21sin 352sin 20︒︒-=（ ）A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】B【解析】【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=-，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论：①()f x 是奇函数；②()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案.【详解】 ()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=， 所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》单元汇编及答案解析
新高考数学《三角函数与解三角形》专题解析(2)一、选择题1．已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则cos α的值为( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，结合三角函数的定义即可得到cos α的值. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -， 所以34,,155x y r =-==， 所以3cos 5α=-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.4．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，5||2MN =，则点M 的横坐标为（ ）A ．12B ．25-C ．1-D ．23-【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56πϕ=，由5||23MN πω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.【详解】由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象，可得(0)2sin 1f ϕ==，56πϕ∴=， 22512||2243MN ππωω⎛⎫==+⋅= ⎪⎝⎭， ∴函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 得52,0362x k k ππππ+=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3πω=，属于中档题.5．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( )A ．277B ．52C ．72D ．7【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得222214962c a a a =+-⨯，2247c a =，所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．6．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.7．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =c =（ ）A B ．1CD 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos a B b A +=，所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以sin()A B +=sin C =因为sin 0C ≠，所以cos C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B 【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c，若()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，b =2c =，则角B =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B 【解析】 【分析】先由()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭求出3A π=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】因为()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以11sin sin 022A A A A A +==所以tan A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=所以由余弦定理得：22222co 12322s a b c bc A -=+-=+=⎝⎭所以a =所以2222322cos 2a c b B ac ⎛+- +-===因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4B π=故选：B【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.9．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35,22⎛⎤⎥⎝⎦C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx ﹣3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=76π+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A=322ππωω+，x B=46ππωω+，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜．故选B．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin sin(sin cos)0B AC C+-=，a=2，c，则C=A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵π2＜A＜π，∴A= 3π4，由正弦定理可得csin sinaC A=，∵a=2，，∴sinC=sinc Aa=12=22，∵a＞c，∴C=π6，故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.11．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）A ．1B 1CD ．2【答案】A 【解析】由题意，得()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+π2114x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭；故选A.12．已知函数()3cos(2)2f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4 B ．1C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min22Tx x -==，故选D ． 【点睛】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．13．将函数cos y x =的图象先左移4π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为（ ）A ．sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．13sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，变为3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.14．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.15．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC ．D 或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】1sin A ===cos A =,所以222122c c =+-，整理得2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos A =0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.17．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．18．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π= 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D . 【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确；6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.19．化简21sin 352sin 20︒︒-=（ ）A ．12 B ．12-C ．1-D ．1【答案】B 【解析】 【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=对称 B ．直线6πθ=对称 C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．极点对称【答案】A 【解析】 【分析】 由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-=，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y =过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》知识点总复习有解析
数学《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题1．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B =，所以，1cos sin sin 2C A B +=，即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b c ab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．4．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
【精编版】2020年高考数学(理)重难点专练02 三角函数与解三角形(解析版)
重难点02 三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形：从返几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有，1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型.三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高.总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2019·吉林高考模拟（理））已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B 【名师点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.2．（2020·云南高三月考（理））ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，sin 7C =，2c =，则ABC ∆的面积等于（ ）A B ．C D 【答案】A 【解析】 【分析】先通过已知求出sin ,cos ,cos B B C ，进而根据sin sin()A B C =+求出sin A ，再利用正弦定理求出b ，则利用面积公式可求出ABC ∆的面积． 【详解】解：120B =︒Q ，1sin 22B B ∴==-，又sin 7C =，C 为锐角，cos C ∴=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+12⎛⎫=-=⎪⎝⎭由正弦定理得sin sin b cB C=，sins in 27c b B C ∴=⋅==11sin 222142ABC S bc A ∴==⨯=V ， 故选：A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理解三角形，以及求三角形的面积，关键是对公式的灵活应用，缺什么，求什么即可，是基础题．3．（2019·山东高考模拟（理））函数sin 22y x x =+的图象可由2cos 2y x =的图象如何变换得到( ) A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由题意化简得sin 222cos[2()]12y x x x π=+=-，然后再把函数2cos 2y x =的图象经过平移后可得到所求答案． 【详解】 由题意得sin 222sin(2)2cos[(2)]2cos(2)3236y x x x x x ππππ==+=-+=-+2cos(2)2cos[2()]612x x ππ=-=-，所以将函数2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位可得到函数2cos[2()]12y x π=-，即函数sin 22y x x =+的图象． 故选B ． 【名师点睛】在进行三角函数图象的变换时要注意以下几点：①变换的方向，即由谁变换到谁；②变换 前后三角函数名是否相同；③变换量的大小．特别注意在横方向上的变换只是对变量x 而言的，当x 的系数不是1时要转化为系数为1的情况求解．4．（2019·辽宁高考模拟（理））已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89C ．79D ．79-【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果.【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【名师点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.5．（2019·辽宁高三月考（理））已知ABC V 的面积为1,cos23A AB ==,则BC = （ ）A BC D 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及平方关系求得cos ,sin A A ，由面积公式求出6AC =，再由余弦定理 求解即可 【详解】因为21coscos 2cos 1223A A A =∴=-=-,sin A ABC ==Q V 的面积为1sin 2AB AC A =g g 又1AB =,所以6AC =,由余弦定理,得,2222cos 41BC AB AC AB AC A =+-=g g ,BC ∴=故选：C 【名师点睛】本题考查正余弦定理，考查面积公式，意在考查计算能力，是基础题. 二、填空题6．（2019·江西新余一中高考模拟（理））已知平面四边形ABCD 中，23ABC π∠=，AC =23AB BC =，2AD BD =，BCD ∆的面积为BD =______.【答案】【解析】 【分析】由题意，根据余弦定理先求解出AB 的长度；设DBC θ∠=，则∠DBA ＝2θ3π-，利用余弦定理建立方程组即可求解BD 的长度． 【详解】设DBC θ∠=，（20θ3π<<）,BD=x,则AD=2x ， 在△ABC 中，由余弦定理可得：AC 2＝BC 2+AB 2﹣2BC•AB•cos ∠ABC=419⨯，又2233AB BC ABC ，π=∠=，∴AB=6,BC=4，又1sin θ2BCD S BD BC =V n =∴sin θx=； 在△ABD 中，由余弦定理可得：AD 2＝BD 2+AB 2﹣2BD•AB•cos(2θ)3π-， 计算得到262θ0x xcos --=，即26θ2x cos x -=，由2sin θ+2cos θ=1，即2262x x-（）+2=1，解得4x-162x +48=0，解得2x =12或4，又20θ3π<<，cos θ>-12,所以2x=12，x=故答案为【名师点睛】本题考查了正余弦定理的应用和计算能力．属于中档题．7．（2019·安徽高考模拟（理））在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是_______;【答案】⎭【解析】 【分析】本道题运用向量方法，计算AD 的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc 的范围，即可. 【详解】设,AB c AC b ==，2BC a ==，对sin sin 2sin B C A +=运用正弦定理，得到24b c a +==，解得4c b =-，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组()()()22222222224444444b c b b c b b b c b ⎧+=+->⎪⎪+=-+>⎨⎪+>=-⎪⎩，解得3522b <<，故()244bc b b b b =-=-+，结合二次函数性质，得到1544bc <≤，运用向量得到()12AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，所以AD ==u u u v==bc 的范围，代入，得到AD u u u v的范围为⎭【名师点睛】本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难.8．（2019·浙江高考模拟）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，2c =，3A π=，则sin a C =__________．a b +的取值范围是__________．1,4+【解析】 【分析】由正弦定理可得sin a C 的值.由正弦定理可以把a b +表示为角C 的函数，由锐角三角形得出角C 的取值范围，进而可得a b +的取值范围. 【详解】由正弦定理，可得sin sin a c A C =，则πsin sin 2sin 3a C c A ===.由sin sin sin a b c A B C ==，可得sin sin c A a C ==，2π2sin sin 3sin sin C c B b CC⎛⎫- ⎪⎝⎭== ， 所以)21cos 2111sin 2sin cos tan 222CC a b C C C ++==+=+=+. 由ABC △是锐角三角形，可得π02C <<，2ππ032C <-<，则ππ62C <<， 所以ππ124C <<，2tan 12C<<.所以11a b ++<+【名师点睛】本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键. 三、解答题9．（2019·天津高考模拟（理））在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅰ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅰ）1114-【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅰ）根据余弦定理求a ，代入条件求得sinB =，解得cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果. 【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+. 由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =. （Ⅰ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sinB =b a <，故cos B =.因此sin22sin cos 7B B B ==，21cos22cos 17B B =-=. 所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.10．（2019·广东高考模拟（理））在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、， 2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）b =【解析】【分析】(1)根据已有等式2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，利用正弦定理作角化边，可得22cos 2bc A a cb +=，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；最后，根据等式可化简出b c =，故可证ABC V 为等腰三角形.(2)由 2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠可得ACD DAC ∠=∠， 然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.【详解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=Q ，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=， 由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=； 化简得：222b c bc +=,所以()20b c -=即b c =，故ABC V 为等腰三角形．（2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠Q ，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，得2229b c +=，由（1）可知b c =，得b =解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===， 2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，AE ∴===b AC ∴====解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠， 又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠Q ，CAB CDA ∴V V ∽， 即CB CA CA CD =，即31b b =，b ∴=【名师点睛】本题考查解三角形的问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.11．（2019·江西高三月考（理））已知向量()1cos ,1,,2a x b x ⎫=-=-⎪⎭r r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r ． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知函数()f x 的图像经过点1,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,b a c 成等差数列，且9AB AC ⋅=uu u r uuu r ，求a 的值． 【答案】（1）π，(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）a = 【解析】【分析】 （1）利用向量的数量积和二倍角公式化简()f x 得()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，故可求其周期与单调性；（2）根据图像过1,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得到()12f A =，故可求得A 的大小，再根据数量积得到bc 的乘积，最后结合余弦定理和2b c a +=构建关于a 的方程即可．【详解】（1）()()2122cos 22sin 2226f x a b a a a b x x x π⎛⎫=+⋅-=+⋅-=+=+ ⎪⎝⎭r r r r r r ， 最小正周期：22T ππ==， 由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由()1sin 262f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得：()5222666A k k k Z πππππ+=++∈或， 所以3A π=．又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+ 而1cos 9,182AB AC bc A bc bc ⋅===∴=u u u r u u u r ， ()22222214cos 11,223612b c a bc a a a A a bc +---∴===-=-∴=．12．（2017·四川高考模拟（理））若函数f （x ）=Asin （ϖx+φ）（A ＞0，0,)22ππωφ>-<< 的部分图象如图所示．（I ）设x ∈（0，3π ）且f （α）=65，求sin 2a 的值； （II ）若x ∈[5,1212ππ]且g （x ）=2λf （x ）+cos （4x ﹣3π）的最大值为32，求实数λ的值．【答案】（1（2）1 2【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的图象求出最值和周期，可得,Aω，进而求出ϕ值，可得函数的解析式，再利用和差公式进行求解；；（Ⅰ）分类讨论满足条件的实数λ的值，综合讨论结果，可得答案.试题解析：（Ⅰ）由图得，A=2．…，解得T=π，于是由T=，得ω=2．…∵，即，∴，即，k∈Z，又，故，∴．…由已知，即，因为，所以，∴．∴= ==． …（Ⅰ）由（Ⅰ）知，===，…∵x ∈，于是0≤≤，∴0≤≤1．…①当λ＜0时，当且仅当=0时，g （x ）取得最大值1，与已知不符． ②当0≤λ≤1时，当且仅当=λ时，g （x ）取得最大值2λ2+1，由已知得2λ2+1=，解得λ=．③当λ＞1时，当且仅当=1时，g （x ）取得最大值4λ﹣1，由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾．综上所述，λ=．…【名师点睛】：由三角函数的图象求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式的一般思路：先利用最高点和最低点的纵坐标列出关于,A k 的方程组求得值,A k ，利用相邻零点间的距离、相邻对称轴间的距离、零点和对称轴间的距离求出ω值，再代入最高点或最低点的坐标求出ϕ值. 13．（2019·山东高三期中）△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，满足222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅰ）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小． 【答案】(1)；(2). 【解析】【详解】（Ⅰ）由222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r已知2222cos 2bc A a b c bc =---，· 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π=． （Ⅰ）∵23A π=，∴3BC π=-，03C π<<.241cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-2sin()3C π=+． ∵03C π<<，∴2333C πππ<+<，∴当32C ππ+=，24sin()23C B π--2+，解得6B C π==． 14．（2019·安徽高考模拟（理））在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅰ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v的值最小时，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅰ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；（Ⅰ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】（Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++= 2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈Q sin sin 0C B ∴≠ 1cos 2A ∴= ()0,A π∈Q 3A π∴=（Ⅰ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点可得：2AI =，AD AE == b c a ∴+-=(222b c b c bc ∴+-=+-，化简得()4b c =+≥b c =时取等号）12bc ∴≥或43bc ≤又b c +> 12bc ∴≥，即[)1cos 6,2AB AC bc A bc ⋅==∈+∞u u u v u u u v ， 当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v的最小值为6此时三角形ABC 的面积：11sin 12sin 223bc S A π==⨯⨯=【名师点睛】 本题考查解三角形的相关知识，涉及到利用两角和差余弦公式化简求值、根据三角函数值求角、余弦定理的应用、三角形中最值问题的求解等知识；解题关键是能够灵活应用三角形内切圆的性质构造出三边之间的关系，代入余弦定理中，利用基本不等式求得两边之积的最值.。
高考数学压轴题讲义(选填题)：与三角函数相关的最值问题
与三角函数相关的最值问题一．方法综述三角函数相关的最值问题历来是高考的热点之一，而三角函数的最值问题是三角函数的重要题型，其中包括以考查三角函数图象和性质为载体的最值问题、三角函数的有界性为主的最值问题时屡见不鲜的题型，熟悉三角函数的图象和性质和掌握转化思想是解题关键．二．解题策略类型一与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题【例1】【重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测】已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A．1 B．C．D．2【答案】D【解析】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【指点迷津】1.()sin()f x A x ωϕ=+具有奇偶性时，k ϕπ=（k z ∈）或2k πϕπ=+（k z ∈）.2. 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．【举一反三】1、将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A.12π B. 6π C. 4π D. 3π【答案】B【解析】将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数： ()2sin 23y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又其为奇函数， ∴2sin 203πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()22k πZ 3k πϕ+=∈，， k π23πϕ=-， ()Z k ∈，又0ϕ> 当k 1=时， ϕ的最小值为6π故选：B2、若函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线x m =（0m <）对称，则m 的最大值为（ ） A. 4π-B. 1112π-C. 512π-D. 712π- 【答案】C【解析】由题意得， ()232m k k Z πππ+=+∈，即()212k m k Z ππ=+∈， 0m <， 1k ∴=-时， m的最大值为512π-.3、【山东省2019届高三第一次大联考】已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.【答案】 【解析】 依题意，，当时，，，所以，所以或，因为，所以， 函数的零点可由求得，有四个零点，函数的零点可由求得，有四个零点，不符合条件.当时，，，所以，所以或，因为，所以， 函数的零点可由求得，有三个零点，函数的零点可由求得，有三个零点，综上，的最大值是.类型二 与三角函数的单调性相关的最值问题 【例2】已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. 15[24⎤⎥⎦， B. 13[ 24⎤⎥⎦， C. 102⎛⎫⎪⎝⎭， D. ](0 2， 【答案】A【指点迷津】熟记三角函数的单调区间以及五点作图法做函数图象是解决单调性问题的关键． 【举一反三】1、【山西省吕梁市2019.4统一模拟】若在上单调递增，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 解：∴f （x ）＝sin x +cos x +ax ＝2sin （x +）+ax ，在（0，π）上单调递增， ∴在（0，π）上，f ′（x ）＝a +2cos （x +）＞0，即a ＞2cos （x +）恒成立．在（0，π）上，x +∈（，）上，2cos （x +）的最大值趋于，则a ≥，故选：B ．2、将函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象向右平移4πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上为增函数，则ω的最大值为（ ）A.54 B. 32C. 2D. 3 【答案】B3. 已知函数，)，若对于恒成立，的一个零点为，且在区间上不是单调函数，则的最小值为______________.【答案】【解析】试题分析：根据条件对于恒成立可得到函数在处取得最大值，的一个零点为，可列出 解得w 的范围即可.详解： 根据条件对于恒成立得到，函数在处取得最大值，又因为的一个零点为，故根据图象可得到在区间上不是单调函数，则 结合，得到故答案为：9.类型三 转化为()sin()f x A x ωϕ=+型的最值问题【例3】【山东省淄博实验中学2019届高三4月模拟】若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为，因为平移后的图象关于点对称，所以，故，又，所以．所以，由得，所以当或，即或时，函数取得最小值，且最小值为．故选C．【指点迷津】本题考查三角函数的性质的综合应用，解题的关键是求出参数的值，容易出现的错误是函数图象平移时弄错平移的方向和平移量，此时需要注意在水平方向上的平移或伸缩只是对变量而言的．【举一反三】1、【甘肃省白银市靖远县2019届高三第四次联考】已知函数，则（）A．的最小正周期为,最小值为B．的最小正周期为,最小值为C．的最小正周期为,最小值为D．的最小正周期为,最小值为【答案】A【解析】则的最小正周期为，最小值为本题正确选项：2、函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π内的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则ω的取值范围是 A. 35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 2,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D. 23,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】如图所示，2433πππωω≤≤，解得2433ω≤≤，故选B.3.【河北省衡水市2019届高三下学期第三次检测】若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ∵，函数的图象向右平移个单位可得，所得图象关于y 轴对称，根据三角函数的对称性，可得此函数在y 轴处取得函数的最值，即，解得=，， 所以，，且，令时，的最小值为 .故选：D ．类型四 转化为二次函数型的最值问题【例4】函数()()2cos2,43sin f x x g x a x ==-，当()()f x g x ≥对[],x n m ∈恒成立时， m n -的最大值为53π，则a =__________． 【答案】-7【指点迷津】分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 【举一反三】1、函数()3f x x =，关于θ的为等式()()()cos2342cos 0f f m m f θθ-+->对所有0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数m 的范围为__________．【答案】()422,-+∞令cos ,0,2t πθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， []0,1t ∈，设()222f t t mt m =-+- 当02m≤即0m ≤时， ()()min 0220f t f m ==-> ∴1m >（舍） 当12m≥即2m ≥时， ()()min 112210f t f m m m ==-+-=-> ∴2m ≥当012m <<即02m <<时， ()222min 222202424m m mm f t f m m ⎛⎫==-+-=-+-> ⎪⎝⎭，即2880m m -+<∴422422m -<<+∴4222m -<< 综上所述， 422m >-故答案为()422,-+∞2、求函数()()2sin 12cos 1y x x =++的值域.【解析】()()()2sin 12cos 14sin cos 2sin cos 1y x x x x x x =++=+++[令sinx+cosx=t,则21sin cos 2t x x -=,其中[]2,2-∈t所以2213221222y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭ ,故值域为3,3222⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.类型五 转化为三角函数函数型的最值问题【例5】【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 由题设,其中.可以由题得≤5，此时.故选：C【指点迷津】本题关键由题设,其中，先利用两点间的距离公式将转化成三角函数问题，利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图象和性质求最值得解. 【举一反三】1．【北京市石景山区2019届高三3月一模】在直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）是单位圆x 2+y 2=1上两点，|AB|=1，则∠AOB=______；|y 1+2|+|y 2+2|的最大值为______． 【答案】【解析】由|AB|=1，单位圆的半径为1，则△AOB为等边三角形，故∠AOB=；根据题意可设A（cosα，sinα），B（cos（α+），sin（α+）），则|y1+2|+|y2+2|=4+sinα+sin（α+）=，故|y1+2|+|y2+2|的最大值为．故答案为：．；.2．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知，，满足，则的取值范围为（）A．[4，12] B．[4, ）C．[0，6] D．[4，6]【答案】A【解析】解：可转化为，故可设（为参数），解得所以，因为，所以，，故选A.三．强化训练一、选择题1、【辽宁省抚顺市2019届高三一模】已知函数，若在区间上恒成立，则实数的最大值是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数，由于：，故：，．当时，函数的最小值为．由于在区间上恒成立，故：，所以的最大值为故本题选A．2．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次教学质量检查】已知函数，先将图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到的解析式为，考虑该函数在轴左侧且最靠近轴的对称轴，该对称轴为，故只需把的图象向右平移个单位，所得的函数的图象关于轴对称，此时平移为最小平移.3．【广东省2019届广州市高中毕业班综合测试（一)】函数最大值是A．2 B．C．D．【答案】C【解析】，，．的最大值为．故选：C．4．【山西省2019届高三考前适应】已知函数，将其图象向左平移（＞0）个单位长度后得到的函数为偶函数，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，将其图象向左平移个单位长度后得到的图象，因为得到的函数是偶函数，所以，又因为＞0，所以故选B5．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知函数与轴交于点，距离轴最近的最大值点，若，且，恒有，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，，，，由五点作图法知，解得，，令，.解得，.，，故选:C.6．【湖南省郴州市2019届高三第二次监测】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数则函数的最大值为2，存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即故答案为：B.7．【山东省烟台市2019届高三高考一模】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象；∵所得图象关于轴对称，∴，．∵，即，.∴，,则当取最小值时，取，可得，∴函数的解析式为.故选：C．8．【重庆市西南大学附属中学校2019届高三第九次月考】将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移（＞0）个单位，可得y＝2sin[2（x﹣φ）]＝2sin（2x2）的图象；再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y＝2sin（x2）．再根据所得图象关于直线x对称，可得2＝kπ，k∈z，即，故的最小正值为，故选：C．9．【天津市第一中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数，若，且在区间上有最小值，无最大值，则A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，由，在区间上有最小值，无最大值结合三角函数的性质，可得在处取得最小值可得，化简可得：,∵,当时，．当时，，考查此时在区间内已存在最大值．故选：B．10．【广东省佛山市第一中学2019届高三上期中】若函数f（x）=2sin x+cos x在[0，α]上是增函数，当α取最大值时，sinα的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，设，则.由于在[0，α]上是增函数，所以，的最大值为，.故选B.11．【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知，，满足，则的取值范围为（）A．[4，12] B．[4, ）C．[0，6] D．[4，6]【答案】A【解析】解：可转化为，故可设（为参数），解得所以，因为，所以，，故选A.二、填空题12．【河南省郑州第一中学2019届高三第二次联合】将的图象向右平移个单位后（），得到的图象，则的最小值为__________．【答案】【解析】将图象向右平移个单位后，得到图象因为，所以，则，则，又因为，所以当k=1时，取得最小值.故答案为：.13．【河北省中原名校联盟2019届高三3.20联考】若函数在间上是单调函数，则实数a的最大值是______．【答案】【解析】令，即，∴函数图象在区间上单调递减，所以的最大值为故答案为：14．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，若在处取得最大值，则___．【答案】【解析】由图象得的最大值为，最小正周期为8，且过点，所以，又，所以，将点代入，得，因为，所以，所以.由题意可得，所以，其中，当，即时取得最大值，所以，所以，故答案为．15．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】若函数在区间内有最值，则的取值范围为_______．【答案】【解析】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间内有最值.所以时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.16．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知函数的最小值为，若点是函数图象的对称中心，直线是函数图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，函数________．【答案】【解析】由题意，．因为的周期，且在区间上单调，则由及，可得①；又因为点是函数图象的对称中心，直线是函数图象的对称轴，所以，即（）②．由①②得是小于或等于11的正奇数，所以的最大值为11．当时，将代入，解得，又，取可得，故实数取最大值时．。
2020届高考数学压轴题讲义(选填题)：平面向量中范围、最值等综合问题
平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，【例2】，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3π 【解析】由题意得2212a b a b ⋅=，()24a b +=，整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅，即1a b ⋅≤ 11cos ,22a b a b a b a b ⋅==⋅≤，,3a b ππ∴≤≤，夹角的最小值为3π.2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3-【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15⎛⎤⎥ ⎝⎦ B.25,15⎛⎤⎥⎝⎦ C. 5,15⎛⎤⎥⎝⎦ D. 5-,15⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D当λ0=时， 0,x =当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ-+⎛⎫>==-+=-+ ⎪⎝⎭，故当λ1=时，1x 取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤， 当λ0<时， 222215844825215x λλλλλλ-+⎛⎫=-=--+=--+=- ⎪⎝⎭，即15x <- 505x ∴-<< 综上所述]5( ,1x ∈-故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE DC的最大值为（）A. 1B. 12C.3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，向量，且，可得点D在边BC上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD λμ=+，255， 255sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且OC 与OA 的夹角为030，设(),OC mOA nOB m n R =+∈，则mn的值为（ ） A. 2 B. 52C. 3D. 4 【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB ==，，则10033OA OB OC mOA nOB m n ==∴=+=（，），（，），（，）， 3330n tan ∴︒==， 3mn∴=． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC ∆的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()222c b b =-，则AO BC ⋅的取值范围是__________． 【答案】2,23⎛⎫-⎪⎝⎭【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB =+（m ， n R ∈），则（ ） A. 2m n +≤- B. 21m n -≤+<- C. 1m n +<- D. 10m n -<+< 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1， 又OC mOA nOB =+， ∴|OC |=| mOA nOB +|，可得2OC =22m OA +22n OB +2mn OA ⋅OB ，而OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |cos ∠A 0B <|OA |⋅|OB |=1. ∴1=2m +2n +2mn OA ⋅OB <22m n ++2mn ，∴m n + <−1或m n + >1，如果m n + >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n + <−1， 故选：C.3、在ABC ∆中， 3AB =， 5AC =，若O 为ABC ∆外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则·AO BC 的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC ⊥，则：()()()()()222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=⋅=+-=-=-=三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（ ）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时，取得最小值.故选：D．8．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】在直角三角形中，，，，在斜边的中线上，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，以AB，AC方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则B（2，0），C（0，4），中点D(1,2)设，所以，时，最大值为．故选：B．二、填空题9.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2【解析】由，两边平方得，，则，则，又，则，即，由，从而，即，，从而问题可得解.10.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知的内角所对的边分别为，向量，，且，若，则面积的最大值为________．【答案】【解析】由，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又，当且仅当时等号成立，所以，所以，即．故答案为：．11.【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为______．【答案】【解析】解：等腰梯形ABCD中，已知，，，，，，，，，，，则当且仅当即时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形，三角形的外接圆半径为，以外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考】在中，已知为直角，，若长为的线段以点为中点，则的最大值为________【答案】0【解析】即的最大值为0.14．【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.【答案】【解析】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区2019届高三二模】已知为的外心，，，则的最大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，解得，因为在圆上，所以，即，所以，所以，解得或，因为只能在优弧上，所以，故。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》图文解析
《三角函数与解三角形》考试知识点一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．2．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）A ．23B ．49C ．3D ．9【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可． 【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π），∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得126cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12sin x x -=，故()21sin x x -故选C ． 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．3．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A B C A B A B A B π++=--=-=-=---⋅， 所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.6．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-． 由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==，tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．8．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.9．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】 【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c == ∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v， ∴12MF MF ⊥， ∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．10．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） A 162+ B 53C 243+D 43【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <；当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >.故()min 33f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确；∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-，∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ） A．)+∞ B．)+∞C．()+∞D．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】 ∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.13．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =， 综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A．y = B．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a =在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=可得:b =Q 双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.15．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC ．D 或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.16．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.17．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A B ．C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论． 【详解】 如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD ABCD AC=， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 14B ⎛⎫=--=⎪⎝⎭ 1sin 152ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.18．设函数()()sin 3f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确；6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.19．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案解析
【最新】数学《三角函数与解三角形》高考复习知识点一、选择题1．在ABC ∆中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：因为2sin sin cos2CA B =，所以，1cos sin sin 2C A B +=，即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。
2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】 【分析】设AE BF a ==，13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFa a V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，方法一：连接A E'，AF，则352A E'=，352AF=，2292A F AA AF''=+=，13222EF AC==，因为//EF AC，所以A FE'∠即为异面直线A F'与AC所成的角，由余弦定理得222819452424cos93222222A F EF A EA FEA F EF+-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯，∴4A FEπ'∠=．方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A，()3,0,0C，()0,3,3A'，3,0,02F⎛⎫⎪⎝⎭，∴3,3,32A F⎛⎫'=--⎪⎝⎭u u u u r，()3,3,0AC=-u u u r，所以9922cos,92322A F ACA F ACA F AC+'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u ru u u u r u u u r，所以异面直线A F'与AC所成的角为4π．故选：C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.3．在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且ABC∆的面积25S C=，且1,25a b==c=（）A15B17C19D21【答案】B【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos 5C =， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，330))22ob c B∴+=+∈故选：B【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题5．已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A．3BCD．【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cosb Cc B=，∴2sin cos sinCcosB C B=，∴tan2tanC B=.又A B Cπ++=，∴()()tan tan tanA B C B Cπ=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan3tan3tan1tan tan12tan2tan1B C B BB C B B+=-=-=---，∴21112tan111tan tan tan3tan tan2tanBA B C B B B-++=++27tan36tanBB=+.又∵在锐角ABC∆中, tan0B>,∴27tan36tan3BB+≥=，当且仅当tan2B=时取等号，∴min111tan tan tan3A B C⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.6．在ABC∆中，若sin:sin:sin2:3:4A B C=，则ABC∆是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b c ab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．7．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.8．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.9．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．10．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u v B ．2155AB AC +u u uv u u u v C ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.11．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） A．13+ BCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 3f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.13．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.14．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求得2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可. 【详解】 因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由余弦二倍角公式可得22237cos 212sin 1233525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以27sin 2cos 26325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα⎛⎫+==± ⎪⎝⎭ 因为()0,απ∈ 则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭ 所以,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭则,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又因为7sin 20625πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故cos 206πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以24cos 2625πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.15．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案.【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.16．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sinsin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.17．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确；()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.18．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π【答案】C 【解析】 【分析】先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可. 【详解】在ABC V中，AB AC ==23BAC π∠=，可得6ACB π∠=， 则ABC V的外接圆的半径π2sin 2sin 6AB r ACB ===ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 则222OA OG AG =+，即外接球半径4R ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=. 故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.19．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲副题02 三角函数的图象和性质(含答案)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题02 三角函数的图象与性质【主题考法】主题点考题形式为选择填空题，主要考查三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值、有 界性、图象的平移和伸缩变换及图像及图像应用，考查运算求解能力、转化化归思想、数形结合思想。
分值为5分，在复习时应予以关注.【主题回扣】1.常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数偶函数 奇函数 对称 中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；学科-网 当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ――――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． 【易错提醒】1.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．2.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间.3.三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为||ωπ，而不是φ.【主题考向】考向一 三角函数的单调性【解决法宝】求三角函数的单调区间时应注意以下几点：（1）形如sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的函数的单调区间，基本思路是把x ωϕ+看作是一 个整体，由22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈求得函数的增区间，由322()22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈求得函数的减区间．（2）形如sin()(0,0)y A x A ωϕω=-+>>的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数， 得到sin()y A x ωϕ=--，由22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤-≤+∈得到函数的减区间，由322()22k x k k Z πππωϕπ+≤-≤+∈得到函数的增区间． （3）对于sin()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+等，函数的单调区间求法与sin()y A x ωϕ=+ 类似．例1将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（ ）A. （）B. （）C.（） D.（）【分析】先通过变换求出的解析式，再利用整体代换求出单调递减区间.【答案】C考向二 三角函数的周期性与奇偶性【解决法宝】1．对三角函数的奇偶性的问题，首先要对函数的解析式进行恒等变换，化 为一个角的三角函数，再根据定义、诱导公式去或图像判断所求三角函数的奇偶性，对奇偶性熟记下列结论可以快速解题：①)sin(ϕω+=x A y 是奇函数的充要条件为Z k k ∈=,πϕ；②)sin(ϕω+=x A y 是偶函数的充要条件为Z k k ∈+=,2ππϕ；③)cos(ϕω+=x A y 是奇函数的充要条件为Z k k ∈+=,2ππϕ；④)cos(ϕω+=x A y 是偶函数的充要条件为Z k k ∈=,πϕ；2．对三角函数周期问题，先利用三角公式将函数解析式化为一个角的三角函数，再利用 下列方法求三角函数周期：①利用周期函数的定义；②利用公式：sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2||πω，tan()y x ωϕ=+的 最小正周期为||πω； ③利用图象． 例2 已知函数，下列结论中错误的是（ ）． A. 的图象关于点中线对称 B.的图象关于对称C.的最大值为D.既是奇函数，又是周期函数【分析】通过计算)2()(x f x f -+π是否为0，即可判断选项A 是否正确；通过计算即可判 定)()(x f x f =-π是否成立，即可判定B 是否正确；利用倍角公式、换元法和导数即可求出函数)(x f 的最值；利用函数奇偶性的概念与函数周期定义即可对D 作出判断.【解析】项，因为．即，故函数图象关于点成中心对称．故正确；项，，故函数图象关于直线对称，故项正确；项，，令，，令，得或，根据函数的单调性分析得有极大值，而当时，，时，，所以时，取得最大值，即的最大值为，故项错误； 项，因为，所以函数是奇函数，且图象关于对称，即，，因此，从而．即函数是以为周期的奇函数，故选．考向三 三角函数的对称性【解题法宝】先利用三角公式将函数解析式化为一个角的三角函数，再利用正弦函数、余 弦函数、正切函数的对称性及整体思想，求解对称轴和对称中心，也可以利用对称轴过最值点解题.例3已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为( )A. B. C. D.【分析】根据图象求出)(x f 的解析式，再用整体代换法即可求出)(x f 对称轴. 【解析】,,,所以,右移的到,将选项代入验证可知选项正确.考向四 三角函数的值域与最值【解题法宝】先利用三角公式将函数解析式化为形如)sin(ϕω+=x A y 的一个角的三角函 数，再根据所给自变量的范围，利用不等式性质求出ϕω+x 范围，再利用函数x y sin =图像与性质求出)sin(ϕω+=x y 的值域（最值），即可求出)sin(ϕω+=x A y 的值域（最值）.例4 已知函数()23sin cos f x x x ωω=⋅ 22cos 1(0)x ωω+->的最小正周期为2π，则当 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域是（ ） A. []2,1-B. []2,2-C. []1,1-D. []1,2-【分析】先利用降幂公式对()f x 降幂，再利用辅助角公式化为一个角的三角函数，利用周期公式求出ω的值，再利用复合函数求值域的方法，即可当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域.【答案】D考向五 三角函数的图象及其应用【解决法宝】1.函数sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤（1）确定sin()(0,0,||)y A x k A ωϕωϕπ=++>><中的参数的方法：在由图象求解析式时， 若最大值为M ，最小值为m ，则2M mA -=，2M m k +=，ω由周期T 确定，即由2T πω=求出，ϕ由特殊点确定．（2）由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再 周期变换(伸缩变换)，平移的量是||ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是||(0)ϕωω>个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于x ω加减多少值．2.已知三角函数图像求三角函数解析式：思路①，先用三角函数的最值列出关于振幅的方 程，从而解出振幅，再利用五点作图法，列出关于ϕω,的方程，解出ϕω,，即可求出解析式；思路②，先用三角函数的最值列出关于振幅的方程，从而解出振幅，利用周期求出ω，再利用特殊点（一般为为最值点）求出ϕ，即可写出解析式.3.在求三角函数在某个区间上的值域（最值）时，常常要用到三角函数图像与性质. 例5已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数 ()f x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin 4g x x =B. ()2sin2g x x =C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】先由()f x 的图象求出函数()f x 的解析，再通过对函数的图象变换即可求出()g x 的解析式.【解析】由图象可得2,4T A π==，故14,2T πω==，∴()12sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵点（0,1）在函数的图象上，∴()02sin 1f ϕ==，∴1sin 2ϕ=，又02πϕ<<，∴6πϕ=．∴()12sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将函数()f x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14所得图象对应的解析式为12sin 42sin 2266y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后再向右平移6π个单位，所得图象对应的解析式为2sin 22sin(2)666y x x πππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()2sin(2)6g x x π=-．选D ．【主题集训】 1.已知函数，则下列说法不正确的是( )A. 的一个周期为B. 向左平移个单位长度后图象关于原点对称C.在上单调递减 D.的图象关于对称【答案】B2.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在 区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)32cos(2)(π-=x x g ,故该函数的单调递增区间为ππππk x k 2322≤-≤-,即)(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ,由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤3263πππa a ,解之得23ππ≤≤a ,应选 A.3.将函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移56π个单位得到函数()y g x =的图象，则 712g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A. 2- B. 2 C. 3- D. 3【答案】A【解析】()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，向左平移56π个单位得到函数()y g x ==22sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭，故7722sin 212123g πππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4.已知函数，其中，，是奇函数，直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C.在上单调递增D.在上单调递增【答案】B 【解析】函数，其中，，是奇函数,故，，根据直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为得到周期为，故得到w=4,故函数表达式为，单调减区间为故得在上单调递减，故选B.5.若函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++为奇函数，且在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，则θ的一个值为（ ） A. 3π-B. 6π-C.23πD.56π 【答案】D 6.设函数 ，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】由题意得，∵函数为偶函数，∴．又，∴．选A ．7.将函数()3sin cos 22x x f x =-的图象向右平移23π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递减区间是（ ）A ．(,)42ππ-B ．(,)2ππC ．(,)24ππ--D ．3(,2)2ππ 【答案】C【解析】 因为()2sin()26x f x π=-，所以2()()2sin()2cos 32632x xg x f x πππ=-=--=-，则()g x 在(,)24ππ--上递减．8．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，然后再将所得图象上的每一点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一条对称轴方程可能是( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】由题得，所以它的对称轴方程是故选C.9.若将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的图象向左平移个单位长度后的解析式为图象关于原点对称，将代入，∴，解得，∵，当时，，故选10.若函数的导函数，的部分图象如图所示，，当时，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图得再将代入中，得，则，结合，令可得，（为常数），当时，，则：，故选C.11．已知函数，若，在上具有单调性，那么的取值共有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个12.函数()()13tan cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．31+ 【答案】C【解析】()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=6sin 2sin 3cos cos tan 31πx x x x x x f ，因为63ππ<<-x ，所以366πππ<+<-x ，故()f x 的最大值为3，故选C.13.函数的部分图象如图所示，已知，，且，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，函数的周期满足：，当时，，据此可得：，令可得，则，由，，且，可得：，则，故选C .14.若函数()()()()3sin 2cos 20f x x x θθθπ=+++<<的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．-1B ．3- C. 12- D ．32-【解析】因为()3sin(2)cos(2)2sin(2)6f x x x x θθθπ=+++=++，则由题意，知()2sin()026f θππ=π++=，又0θ<<π，所以6θ5π=，所以()2sin 2f x x =-，在[,]44ππ-上是减函数，所以函数()f x 在[,]46ππ-的最小值为()2sin 363f ππ=-=-，故选B ．15.函数（其中，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】A 【解析】根据函数（其中，）的图象过点，可得A=1，．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，函数f （x ）=sin （2x+）．故把f （x ）=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=sin （2x++）=cos2x 的图象，故选：A ．16.已知函数（），若是函数的一条对称轴，且，则所在的直线为（ ） A. B. C. D.【答案】C 【解析】函数（），若是函数的一条对称轴，则是函 数的一个极值点，，根据题意有，又，故，结合选项，点所在的直线为，故选C.17.将函数的图像向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向左平移个单位，可得的图象，再向下平移1个单位，得到的图象，若，且，则，则，即，，得，当时，取最大值，故选A.18.已知函数，若，则函数恒过定点__________．【答案】【解析】由题意是图象的一条对称轴，∴，化简得，因此在中令，则，即过定点．19.设函数，给出下列结论：①的一个周期为；②的图象关于直线对称；③的一个零点为；④在单调递减，其中正确结论有__________（填写所有正确结论的编号）．【答案】①②③20.将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像．若，且在上单调递减，则__________．【答案】3【解析】函数图像上所有点向左平移个单位得，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，因为，所以为一个对称中心，即=，因为在上单调递减，所以即21.设函数，已知常数且满足，，则关于的不等式的解集为________.【答案】22.设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则__________．【答案】【解析】把函数的图象向左平移个单位长度后，可得的图象，结合得到的函数为一个奇函数，则，因为令可得，故答案为.20.【山东省烟台市2018届自主练习】已知函数与的图象有两个公共点，则满足条件的周期最大的函数可能为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】由题得是一个偶函数，当由得，由得，所以函数的增区间是，减区间是，所以函数的草图如下，且.函数与的图象有两个公共点,所以，所以函数的最长周期为1-（-1）=2，所以.所以，故选A.。
高三数学二轮复习冲刺：解三角形范围问题讲义
解三角形范围问题讲义第1讲：消角构造三角函数例1.（2020浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =．（1）求角B ；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．解析：（1）由2sin b A =结合正弦定理可得：32sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（2）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11sin cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤+⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦.第2讲.对边对角模型对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.例2.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 周长的最大值为3+.小结1.结合余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式可得：()()2221cos a b c bc A =+-+此公式在已知,a A 的情况下，可得到b c +和bc 的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.2sin sin sin a b cR A B C===第3讲.正弦定理边角转化在正弦定理中：此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析.例2.（2019全国3卷）ABC ∆的内角,,A B C 对边为,,a b c ，A b CA a sin 2sin ⋅=+⋅.（1）.求角B 的值；（2）.若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．解析：(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅=+.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABC S << .故ABC S的取值范围是,82第4讲.齐次边型分式结构在这一部分中，我们经常会看到诸如：222,a cb ac b ++等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理.例3.（2022新高考1卷）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．（1）若2π3C =，求B ；（2）求222a b c +的最小值．解析：（1）由已知条件得：sin 2sin sin 2cos cos cos 2B A B A A B +=+sin 2cos cos cos 2sin sin 2B A A B A B =+-cos cos(2)A AB =++cos[π()]cos[π()2]=-++-++BC B C B cos()cos[π()]=-+++-B C B C 2cos cos B C=-所以sin cos 22cos cos B B B C =-，即(sin cos )cos 0B C B +=，由已知条件：1cos 20B +≠，则π2≠B ，可得cos 0B ≠，所以1sin cos 2BC =-=，π6=B ．2）由（1）知sin cos 0B C =->，则π2=-B C ，πsin sin()cos 2=-=-B C C ，πsin sin()sin(2)cos22=+=-=-A B C C C ，由正弦定理222222222sin sin cos 2cos sin sin a b A B C C c C C +++==2222(12sin )(1sin )sin C C C-+-=4222224sin 5sin 24sin 5sin sin C C C C C+-==+-524-≥当且仅当2sin 2C =时等号成立，所以222a b c +的最小值为5-．例4．在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，则2b cb+的范围是（）A．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C．43,32⎛⎫⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，因为02A π<<，02C <<π，02B π<<,所以022B π<∠<，032B ππ<-∠<，解得,64B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 22B ⎛∈ ⎪⎝⎭，211sin ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而()()sin sin sin 3sin 3C A B B B ππ=--=-=，()sin 3sin +2sin cos 2+cos sin 2B B B B B B B ==()22sin 2cos 1+2sin cos B B B B=-所以()223sin 34cos sin sin 41sin sin sin 3sin 4sin B B B B B B B B B =-=--=-，所以由正弦定理可知：32sin sin sin sin(3)sin 3sin 4sin 22sin 22sin 2sin 2sin B C B B B B BB b b B c B Bπ++-+====-+-，因为211sin ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22sin 1,12B ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以222sin 13,2B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即312,2b c b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A.第5讲.余弦定理求角的最值余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，x y cos =在),0(π∈x 上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值.若bca cb A 2cos 222-+=，倘若再能找到0222=++zc yb xa 这样一个约束条件，代入余弦定理消掉2a ，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析.例5.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222221,4cos 4sin 33c a B b A b =+=-，则tan A 的最大值为（）C．7解：∵222221,4cos 4sin 33c a B b A b =+=-，∴2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，∴由正弦定理得：2222224sin cos 4sin sin 3sin 3sin A B B A B C +=-，即()2222224sin sin cos 4sin 3sin 3sin A B B A B C +==-，222433a b c ∴=-，则2223344a b c =-，222222222331774444cos 22288b c b c b cb c a b c A bc bc bc c b +-+++-∴====+≥4=（当且仅当788b c c b =，即=b 时取等号），cos A ∴∵22sin cos 1A A +=，∴3sin 4A =≤==，∴tan A 的最大值为()()max minsin 37cos 7A A =.例6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2sin sin sin a A c C b B +=，则角A 的最大值为（）A．π6B．π4C．π3D．2π3解析：因为2sin sin sin a A c C b B +=，所以2222a c b +=，进而可得2222a b c =-2222222221()32cos 224b c b c b c a b c A bc bc bc+--+-+===因为223b c +≥=，当且仅当b =时等号成立，所以cos A ≥(0,)A π∈，所以角A 的最大值为6π第6讲.秦九韶公式秦九韶公式求范围是近年来解三角形模考试题中热门考察方向之一，相关内容是人教版新教材的阅读内容，未来完全有可能出现在高考试题中.例7.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：ABCS = 其中a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知ABC 中，cos 2cos a Ab B=-，2b =，则ABC 面积的最大值为（）A．43B．83C．32解析：由cos 2cos a Ab B =-得sin cos sin 2cos A A B B=-，2sin sin cos cos sin A A B A B -=，即2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A B C =+=+=，所以2a c =，ABCS !=所以2209a =，即3a =时，()max 1423ABC S ==!．故选：A ．例8.已知a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边．已知ABC 中，cos cos 2cos cos a A a Ab B B-==-，则ABC 面积的最大值为（）A．43B．83解：ABC 中，因为cos cos 2cos cos a A a Ab B B -==-，所以sin cos cos ,2co s s cos in A A a a A B b BB -==-，则2sin sin cos cos sin sin()sin A A B A B A B C =+=+=，即2c a =，又cos cos a B b A ab +=，则22222222a c b b c a ab c c+-+-+=，即c ab =，则2b =，所以ABC S ∆==当2209a =时，ABC 面积取得最大值为43，故选：A第7讲.爪型三角形与等面积方法如图，设AM 为A ∠的平分线，则设θ=∠=∠CAM BAM ，那么有等面积可得：θθsin )(212sin 21⋅⋅+=⋅=∆AM c b bc S ABC ，进一步可得：AM c b bc ⋅+=⋅)(cos 2θ，于是可以看到，倘若我们知道角θ与角平分线AM 的长度，则可得到c b bc +↔的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.例9.（2022成都一诊）在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.解析：,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=，()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,c bc b c ==，22,22b b b c +===时等号成立.故答案为：6+第8讲.斯特瓦尔特定理与均值不等式基本结论：如图：当设P 为ABC ∆的BC 边中点时，222241)(21BC AC AB AP -+=.注：该结论还可由)(21→→→+=AC AB AP 证得.更一般的情形即斯特瓦尔特定理，此处不再赘述，我们通过例题展示例10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0,A π∈知sin 0A >，则31sin cos 622B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin 3B B =，tan 3B ∴=.又()0,B π∈，因此，3B π=.（2）由13sin 24ABC S ac B ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+ ，等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+，所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥，则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆的面积最大值为343433⨯=.例11．ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 2B Cb a B +=.（1）求角A 的大小；（2）D 是边BC 上一点，且2BD DC =，2AD =，求ABC 面积的最大值.解析：（1）因为cossin 2B Cb a B +=，由正弦定理可得sin cos sin sin 2B C B A B +=，又sin 0B ≠，所以cos sin 2B CA +=，因为ABC π++=，所以coscos sin 222B C A Aπ+-==，则sin sin 2sin cos 222A A A A ==，又sin 02A≠，所以1cos 22A =，因为(0)22A π∈，，所以2233A A ππ=⇒=；（2）根据题意可得2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以222212144()33999AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+，即22136=4()4222c bc b bc bc +-+≥=，所以18bc ≤，当且仅当3,6b c ==等号成立所以121393sin 1823222ABC S bc π=≤⨯⨯=△，ABC 面积的最大值为2.第9讲.恒等变换型目标函数这类最值问题的特点是利用恒等变换化简函数，它们的目标函数往往不是上面的类型，而且有点“丑”，你需要做的就是耐心美化目标函数，直到找到可以入手的结构！例12．已知在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足()1cos cos a B b A +=，则2sin sin B A 的取值范围是（）A．(2,B．)C．0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞解析：由()1cos cos a B b A +=，知()sin 1cos sin cos A B B A +=，sin sin cos cos sin 0A A B A B +-=，()sin sin 0A A B +-=，()()sin sin A B A -=-，因为A 、0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22ππA B --<<，02A π-<-<，因为正弦函数sin y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以，A B A -=-，则2B A =，因为ABC 为锐角三角形，则0202232A A A πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪⎩，可得64A ππ<<tan 1A <<，(222sin sin 22sin cos 22,sin sin sin tan B A A A A A A A ===∈，故选：A.例13．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A ++-的取值范围为（）A．()B．()8,9C．4,93⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D．()4,9解析：∵220c bc a +-=，∴22a c bc -=，∴22cos b bc A bc -=，∴2cos b c A c -=，∴sin 2sin cos sin B C A C -=，∴()sin 2sin cos sin A C C A C+-=，∴()sin sin A C C -=，∴A C C -=或A C C π-+=（不符合题意舍去），∴2A C =，∴()2114sin cos tan tan C C C A ++-()cos cos 412sin cos sin sin C A C C C A=⨯++-cos sin sin cos 44sin 2sin sin C A C A C A C -=++()sin 44sin sin sin A C A A C+=++sin 44sin sin sin C A A C =++144sin sin A A =++，设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0,22AB AC A πππ⎛⎫=--=--∈ ⎪⎝⎭，∴,32A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin ,12A t ⎫=∈⎪⎪⎝⎭，令()14,f t t t t ⎫=+∈⎪⎪⎝⎭，则()2140,f t t t ⎫'=->∈⎪⎪⎝⎭，∴函数()f t 在t ⎫∈⎪⎪⎝⎭上单调递增，故()f t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，∴()21114sin cos 444,9tan tan C C t C A t ⎫++-=++∈+⎪⎪⎝⎭.故选：C．第10讲：构造轨迹找范围常见的轨迹有阿波罗尼斯圆，焦点三角形等，这些问题，实质需要找到背后那个隐藏的轨迹.定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.例13.在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2b C c B +=，3sin 2b C a =．（1）求ABC 的面积；（2）若:b c ，求A ．解析：（1）cos cos 2b C c B += ，222222222a b c a c b b c ab ac+-+-∴⋅+⋅解得：2a =，sin 2b C a ==11sin 222ABC S ab C ∴==⨯= （2）由(1)和余弦定理可得:222cos 41sin 2b b c bc A bc A ⎧⎪=⎪+-=⎨⎪⎪=⎩，化简得：()22sin 222c A c A ⎧=⎪⎨-=⎪⎩消去c，可得sin 2A A +=，即()sin 1,0,,,3326A A A A πππππ⎛⎫+=∈∴+== ⎪⎝⎭ 注：在（1）中解得2=a ，再加之1:3:=c b ，这样顶点A 的轨迹实际是一个阿氏圆，其实第二问可以求ABC 面积的最大值.。