本讲目的晶体周期性结构及其数学描写-FudanUniversity
晶体结构的周期性和点阵
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§1·2 空间点阵
平移满足群的定义，这个群称之为平移群。
证明：(I) 封闭性，TiTj=Tk (II) 主操作，T1存在 (III) 逆操作，Ti的逆操作T-i也存在 (IV)结合律，(TiTj)Tk=Ti(TjTk)
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§1·2 空间点阵
点阵
– 直线点阵 – 平面点阵 – 空间点阵
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§1·2 空间点阵
归结为两类： 素单位：每个单位中包含一个点阵点者 复单位：每个单位中包含2个或2个以上的点阵点。
设构成素单位两边的向量为a, b, c，空间点阵对 应的平移群为 Tmnp=ma + nb +pc (m,n,p = 0,±1,±2,…)
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如：H2O 的C2v群是阿贝尔群——它的群表相对于主 对角线是对称的.
NH3 的C3v群则是非对易群——它的群表对于主 对角线不对称.
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§1·2 空间点阵
4. 群的阶和子群 群的阶——群中元素得数目 C2v: 四阶群； C3v: 六阶群 子群——群中所包含的小群
2. 群的举例 G={i, -1, -i, +1} 其中i= 1
封闭性：群中任两元素相乘必是群元素之一
结合律：i(-1)(-i)=i[(-1)(-i)]=-1
单位元素： +1
逆元素：i (-i) (-1) (-1) (+1) (+1)
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§1·2 空间点阵
3. 对易群(阿贝尔群) 群中所有元素的乘积均满足交换律, 即AB=BA
晶体的结构的周期性1讲解
v a1 (a2 a3 )
等于晶体中每个格点平均所占据的体积。 —— 原胞是体积最小的结构单元。
2、 维格纳 – 赛茨原胞： 原胞的选取不是唯一的，也不一定是平行六面体， 只要求它是体积最小的结构单元即可。
以任意格点为中心作它与最近邻（有时也包括次近邻等 各格点）连线的垂直平分面，由这些面所围成的最小的封闭 多面体，也满足原胞的要求。 —— 维格纳 – 赛茨原胞。 ① 每个维格纳 – 赛茨原胞只含一个格点且位于原胞中心。 ② 维格纳 – 赛茨原胞外形的对称性高于平行六面体原胞。 它是一种对称性原胞，它具有晶体所属点阵点群的全部对称性。 一切保持点阵不变的旋转、 反映和反演操作都将保持 W-S原胞不变。
具有NaCl 结构的化合物如：LiF、LiCl、NaF、NaBr、 MgO、CaO、BaO、MnO、FeO、NiO 等。
2、CsCl 结构： CsCl结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成。
基元：取相邻的一对Cs+和Cl-作为组成CsCl晶体的基元。 结点：取基元中的Cs+所在的点为结点。显然这些基元的代表 点（即结点）构成的是简单立方的晶格 具有CsCl 结构的化合物如：CsBr、CsI、TlCl、TlBr 等。
原胞体积
=
a3
0.5a3
= 2 = 晶胞中所包含的格点数
(3) 面心立方的晶胞与原胞:
关于晶胞：
a ˆ ˆ a1 ( j k ) 2 ˆ k 基矢 a ˆ ˆ a2 (i k ) a a2 1 2 a ˆ ˆ ˆ j a a ( i j ) 3 原胞体积 3 2 ˆ i 1 3 v0 a1 (a2 a3 ) a 面心立方的晶胞与原胞 4
复旦大学高等结构分析X-ray单晶
衍射仪的基本结构
19
X射线管如何工作？
water
X-rays
electrons
cathode
Filament
20
Mo靶的特征X射线
21
衍射仪的种类
四圆单晶衍射仪
面探测器单晶衍射仪
22
四圆单晶衍射仪数据收集过程
• • • • • 安置单晶于测角仪上，对心于衍射仪中心 确定晶胞参数和方位矩阵 确定晶系和劳埃对称性 确定衍射数据收集的独立区 收集衍射强度数据
空间群可以明确说明一种晶体可能具有的 对称元素种类和这些元素在晶胞中的位置。
7
晶体结构=结构基元+点阵
2d hkl sin n
8
测 定 衍 晶 射 测 结 结 体 定 胞 数 果 构 参 的 结 据 衍 模 选 构 的 射 数 解 型 择 强 与 解 还 释 的 基 与 析 原 度 精 安 与 数 本 表 修 置 据 对 校 达 称 正 性
Diamond
Diamond
单晶结构分析程序简介
之程序包
Oscail-X
58
WinGX
59
X射线单晶体衍射资源
晶体学信息文件-CIF
• 定义：是一种用于计算机传输的晶体学档 案文件，属于自由格式，有一定的弹性， 可供人和计算机阅读。 • 内容：晶体结构测量过程的方法与参数； 化合物分子式、晶胞参数、空间群 全部原子坐标及其原子位移参数； 精修结果的有关参数； 其他信息如二面角，氢键等
23
面探测器衍射仪与数据收集
• 晶体与探测器间的距离d 50~60mm • 扫描角度 0.5~1 • 准直器与晶体大小 0.3mm or 0.5mm • 曝光时间：5~10s • 收集数据范围 半球以上
固体物理：1_2 晶格的周期性(periodicity)
东北师范大学物理学院
1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
布拉伐格子(Bravais lattice)
晶格周期性的数学描述
简单晶格，任一原子A的位矢 Rl l1a1 l2 a2 l3a3
Rl 2a1 3a23
Rl 3a1 a2 a3
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1 – 2 晶格的周期性
（5）简立方、体心立方、面心立方的晶胞
与原胞的体积之比
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第一章 晶体的结构
二维三角晶格
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1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
关于晶胞选取 晶胞有时是原胞，有时不是原胞； 各种不同结构格子的原胞与晶胞的选取有统一的规定。
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1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
原胞与晶胞的区别与联系
原胞
晶胞
晶格中体积最小的周期单元 体积较大的周期单元
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1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
k 简立方、体心立方和面心立方晶格的原胞和基矢
j
i
v0 a3 / 2
v0 a3
简立方结构原胞
a1
=ai
a2 =aj
a3=ak
v0 a3
体心立方原胞
面心立方原胞
a1 =a/2( i j k ) a2 =a/2( i j k )
每个原胞平均不只含
一用个a格, b点, c，来其表基示矢；常
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1 – 2 晶格的周期性
第一章 晶体的结构
维格纳-赛茨原胞 (Wingner-Seitz)
定义：由某一个格点为中心，做出最近各点和次近 各点的连线的中垂面，这些面所包围的封闭空间称 为维格纳-赛茨原胞。
复旦固体物理讲义-16空晶格模型—_能带概念
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空晶格模型 能带概念
4
1、空晶格模型
• 假定
V (r R ) V (r )
• 即仍然具有周期性势，但
V 0
• 思考：与自由电子气有无关系、异同？
2 n (k , r ) En k n (k , r ), 仍用原子单位
——方程的解是否相同？ ——边界条件是否相同？
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空晶格模型 能带概念
m k a
7
广延区图
E (k ) k
2
空晶格布里渊区？
4
3
2 1
a
2
3
4
10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型 能带概念
a
8
4
4
2 k m k a
2 En k E m k a
* 简并打开 * 打开的宽度，定量计算（微扰法）
a
13
4
3
2 1
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a
微扰法能隙
• 空晶格零级近似能带
* 微扰
芯区外电子受 Z d 到势 ~ r
• 回顾Sommerfeld模型
* 把价电子处理成自由电子气，如何 处理离子实？ 正电背景：均匀分布保持电中性
2 2
动能
24
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空晶格模型 能带概念
令 0
E Tn V ( n )
n k E Tn V ( n ) a n k' E Tn V ( n ) a
复旦固体物理讲义-12晶体结构衍射理论
• 满足衍射条件是不是一定看得到光斑？
* Bragg条件和von Laue方程仅给出衍射极大的条件
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体结构衍射理论
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3、散射强度和结构因子
• 衍射束(光斑)的强度由什么来决定？ • von Laue方程也给出了物理原因：受电子散射
e
i K k ' k r
i k ' r
(r ) K eiK r
F (K )e
dr
1 iK r K V ( r ) e dr • 电子密度的傅立叶分量
k 'k K
F V (K )
S K (r )e iK r dr
* 衍射强度由此得到 * X射线与晶体的相互作用，实际上是晶体中每个原 子中电子分布对X射线的散射 * Bravais格子的结构决定了衍射极大的条件
• 一个原子中所有电子对X射线的散射总和可以 归结为以这个原子为中心的散射
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晶体结构衍射理论
15
• 晶胞内原子具体位置决定了散射的位相（热振 动对此有影响）——几何结构因子 • 每个原子中电子的数目和分布决定了该原子的 散射能力——原子形成因子
http://10.107.0.68/~jgche/ 晶体结构衍射理论
12
讨论：布里渊区边界？
• 点是倒格点，改 写von Laue公式
K K k 2 2
2
KC 2 KD 2
• 从原点出发到 Brillioun区边界面 上的任何矢量都 满足衍射条件！
k1
k2
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固体物理CH1-1 晶体结构的周期性
特征：
● 不一定是最小重复单元 （图E，书中图1.5）
● 可能含有多个格点，其数目=原胞体积的整数倍, 书中图1.5 : 4
Wigner-Seitz原胞（书中p4，图1.3）
概念：既反映平移不变的周期性，又反映旋转对称性的最小
重复单元 特征： ● 最近邻格点垂直平分面（线）的包络─不在格点上 （图 b） ● 仅含一个格点
二. 微结构整体几何描述之一─空间点阵
Po,NaCl, YBa2Cu3O7, ABO3, A2B2O7 Why 引入：晶体千千万万，一一描述 繁、难 引入抽象，便于分析归类观念 找出同一类的通性 How引入：基本的两个问题： 由什么组成、 如何组成
1. 基元（basis）：
晶体中由一种或数种粒子组成的最小重复单元
原胞 ： 一个原子加上原子周围长度为a的区域 [图（b）]
例1(b)：一维复式格子：以两种原子说明，设A、B两种原子组成的无限 周期性点列，所有A原子形成一个子晶格，所有
B原子也形成一个子晶格
原胞： 两种选法，包含两个原子
例2：二维格子的原胞
以任一结点为顶点，两个独立 方向上（不共线）最小周期边 长所围成的平行四边形
|ai|≠1
晶胞基矢：
概念： 支撑起晶胞的n个独立矢量：(a, b, c)
特征：
基矢 与晶轴同向
= a•(b x c)
例1: 一维格子
布喇菲格子
基矢 : a
复式格子：
基矢 : a
例2：二维格子的基矢
支撑起原胞的n个独立矢量
面心与体心立方的原胞和晶胞基矢
基矢的起点与终点一般选在格点上
原胞
ai 不一定是单位矢量 ai 1 a (a a ) 1 2 3
复旦大学材料物理第6课
第6课 热膨胀如果晶体中的振动是严格的简谐振动，晶体将不会因受热而膨胀。
这里只以双原子分子为例，定性地讨论热膨胀问题，所得结果可以直接应用于一维品格。
如图7．5．1所示，假定左边的原子固定不动，而右边的原于可以自由地振动。
如果势能曲线对原子的平衡位置对称，则当原子振动后，其平均位置将和振幅的大小无关，如果这种振动就是热振动，则两原子间的距离将和温度无关。
实际上，两原子之间的互作用势能曲线并不是严格的抛物线，而是不对称的复杂函数，如图7．5．1中的实曲线所示。
平衡位置的左边较陡，右边较平滑，因此当原子振动后，随着振幅(或总能量)的增加，平均位置将向右边移动。
例如，当振动的总能量为某一个E l 时，平均位置移至p 1。
与各个能量相应的平均位置如图7．5．I 中的AB 曲线所示。
物体的热膨胀就是由于势能曲线的这种不对称性所导致。
可以用经典的方法计算平均位置向右边移动的距离。
设r 0是原子的平衡位置，δ是离开平衡位置的位移。
把原子在r 0十δ点的势能u(r 0十δ)对平衡位置r 0展开，则0002323002311()()()()()......2!3!r r r U U U U r U r r r rδδδδ∂∂∂+=++++∂∂∂右边第一项是常数，可令之为0；0()0r Ur ∂=∂；令 0022331();2!1()3!r r U f r Ug r∂=∂∂-=∂ 忽略δ的高次项，有230()U r f g δδδ+=-根据玻耳兹曼统计，位移平均值可表为//BB U k T U k Te d ed δδδδ∞--∞∞--∞=⎰⎰如果在势能的展开式中只保留2δ项．即假定力是准弹性的，振动是简谐振动，则0δ=，即原子的平均位置和平衡位置相同，原子间的平均距离没有发生改变，即没有热膨胀现象发生。
如果计入非对称项3δ，则0δ≠。
设δ很小，则上式中的分子、分母部分可分别写成：23223/()//344/2(1)())B B B B U k Tf g k Tf k TB f k TB B B g ed ed ed k Tk T g g e d k T k T fδδδδδδδδδδδδδδ∞∞∞-----∞-∞-∞∞--∞≈≈+==⎰⎰⎰⎰与21//2()B B U k Tf k TB k Ted ed fδπδδ∞∞---∞-∞==⎰⎰【注意：23/()0B f k TB g ed k Tδδδ∞--∞=⎰！因为被积函数是个奇函数。
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本讲目的：晶体周期性结构及其数学描写1.晶体中原子排列结构有何特征？2.如何描写这种原子排列？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元1第6讲、晶格和基元1.为何要研究晶体中原子排列结构？2.晶体的结构特征3.晶格(=空间点阵=Bravais格子)4.基元(原胞、Wigner-Seitz原胞和晶胞)5.实战http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元21、为何要研究晶体中原子排列结构？*超高温、超高压下石墨 金刚石*金刚石：绝缘体，C-C键长=1.57A*石墨：良导体，C-C键长=1.42A#石墨：不同方向上电导率也相差很大，电导率各向异性#石墨是层状结构，纯净的石墨在平行和垂直层方向的电导率差五个量级•自由电子气模型根本无从描写电导率如此大的差异http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元3http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元4处理1029粒子数/立方米的需要！•自由电子气模型的局限使我们首先放弃自由电子近似*注意，对i, J 的求和是1029/m 3数量级•根据绝热近似先假定原子保持在平衡位置不动•如哈密顿满足平移不变性，1029就可办法处理*这可通过晶体中原子的位置理想化，并忽略缺陷和边界等达到。
原子排列将成无限扩展的、无边界的 理想晶体--=-J i R r V )(1H ˆ电子核电子∑--=-J i R r V ,0)(2H 核()()r R R r V R r Ji J J i J 核电子核电子核电子---=---=-∑H ˆ)(21H ˆ,0'00'http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元5J R 0"0'0J J J R R R +=•因为对理想晶体，求和是无限的，与先后次序无关，对哈密顿的要求转化为*即任何两个R 相加，一定等于第三个R#这即所谓的晶体结构的平移不变性→哈密顿的平移不变性*原子排列结构满足该条件→理想晶体#差别主要是：实际晶体有界，而理想晶体则无界•特别注意：这里R 还是原子坐标；在我们引入新概念格点——晶体基本结构单元的代表点——后，R 就是表示格点的位置矢量，称为格矢。
格矢则更具有普遍性（后面讨论）()()r R R r V R r Ji J J i J 核电子核电子核电子---=---=-∑H ˆ)(21H ˆ,0'00'2、晶体的结构特征•物理*固定熔点，长程有序，解理性•几何外型*凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元6http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元7例子：钇钡铜氧高温超导材料•如果要考虑电子与原子的相互作用，需要把原子的坐标位置表示出来•怎样描写原子排列最有效*当然完全可以按原子，一个个全写出它们的坐标*任何材料，每个原子的坐标肯定很少有相同的，即使相似结构，这样做显然是低效的http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元8以二维结构为例•思考：假定在A，B两种二维材料中，原子无限地排列成相似的矩形，交点可以想象成原子位置。
如何高效地描写所有这些原子的坐标？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元9如何高效地描写所有这些原子的坐标•如果矩形中间还有另一种原子呢？*相似结构*每个原子http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元10规律？•如果写每个原子坐标的话就没有什么规律*不同材料中的原子有不同的坐标！写出每个原子的坐标显然是低效的*要找规律！观察•晶体可以按结构来区分*比如金、银、铜，虽然化学成分不同，如果不查究化学成分，即不管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那它们是完全相同的，就是它们的结构完全相同*这就是数学来抽象描写的依据：不区分物理、化学成分，每个原子都是不区分的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义*是一些结构完全相同的单元排列而成http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元11晶体的外形 对称性•晶体可以看作由全同的基本结构单元在空间有规则地重复排列而构成，这样的单元称为基元•外形与基本形状有一定的关系，形成一系列突多面体，比如可长成如下四个面http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元12外型的规则反映了内部原子排列有序•暴露在最外的面形状不同，即不同的晶面•也可长成另外的形状，但有规律•晶面夹角守恒http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元13http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元14基本重复单元（物理）几何结构（数学）晶体+=描写晶体结构的数学方式就是用几何点代表基元。
这种几何点的结构就是晶体结构。
比如金银铜的结构就完全相同数学上如何描写这样的晶体结构性质http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元15http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元163、晶格（空间点阵、Bravais 格子）•理想晶体：实际晶体的数学抽象(理想化)*以完全相同的基本结构单元(基元)规则地、重复地、以完全相同的方式无限地排列而成•格点(结点)：基元位置，代表基元的几何点•晶格：格点(结点)的总和*晶格也称为空间点阵和Bravais 格子*表示如用几何点来代表基元，那么几何点在空间排列成晶格(点阵、格子)，基元加在格点上形成晶体数学物理基元晶格晶体+=•晶格是晶体结构的数学表示，晶格中的每个格点代表基元。
不要和代表原子的小球混淆晶格（数学抽象）•定义：空间一组无限排列的点，从其中任一点上看去，它周围其他所有点的围绕方式都相同*数学表示：如果选择一组不共面的平移矢量(a1、a2和a3，也称为基矢)，那么用整数l1, l2, l3和基矢组成的矢量(也称为格矢)R l=l1a1+ l2a2+ l3a3*所给出的所有空间点的集合称为晶格，也可称为空间点阵(简称点阵)和Bravias格子(简称格子)•基矢可以有多种选择，一般选最短•特点：无限(无边界)离散的阵列*无论从这个阵列中的哪一地方去观察，其周围环境，即点的分布和排列方位都是完全相同的http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元17格矢的重要特点•任何一个格矢可由另两个格矢的和来表示R l=R m+R n•这总是成立的，因为任何一个格矢总是由三个, l2, l3和基矢的乘积构成，整数的和整数比如l1依然是整数•平移任一格矢，晶格保持不变，因此它必是无限伸展的http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元18基矢多重选择•只要能够通过平移所选择的基矢，表示所有的格点即可Pa2Q a1http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元194、基元(原胞、Wigner-Seitz原胞、晶胞)•格点代表基元，或者说基元数学上由格点代表*每个格点所代表的内容完全相同，即基元*千万别把原子当作格点，虽然有时它可以是格点•基元=完全相同的重复的基本结构单元*由一个或多个原子组成(一个时原子点可视作格点)•晶体=全同基元平移(没有转动)放在每个格点上*基元之间没有重叠地填满所有空间*基元填充后也没有剩余空间•平移实际已意味着每个基元全同，有两层含义*基元全同：基元内可有多个、多种原子*形状结构全同：单个原子时只有形状，无所谓结构；多个原子时，结构指原子互相之间的位置关系http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元20原胞•原胞：最小的基本结构(很多书上经常会出现：原胞内有且只有一个格点。
这完全是废话)——最小意味着不能再分。
当然只包含一个格点，格点是基元的代表点 那为什么这样说？——这是相对于晶胞来说的(以后会讲到)•用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有任何空间遗漏，也没有任何空间重叠！——因为原胞就是基元•选取原胞的方法可以不只是一种，通常与基矢的选取有关(选表面积最小) ，但体积一定相同——因为它将填满整个空间http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元21原胞？小球是格点，别把小球当作原子，虽然它可以是原子！？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元22原胞的多重选择？设问：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元23Wigner-Seitz原胞•以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域•对称性原胞，不依赖于基矢的选择，与相应的Bravais格子有完全相同的对称性http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元24•在实际研究工作中Wigner-Seitz原胞的选取原胞方法很少用*因为很少有需要，同时也不方便*很多时候，我们不必关心原胞边界在什么位置*这时是将基矢确定的平行六面体当作边界•有时，会有特殊的解能带理论所确定薛定谔方程方法，需要边界具有一定的对称性*比如为边界上波函数衔接方便，需要取这样的原胞*比如有一种方法叫原胞法，就是取这样的原胞•而确定原胞和选择基矢才是最重要的*原胞大，处理的原子数就多•倒格子中(晶格可称为正格子)，与W-S原胞对应的称为布里渊区，构造方法与W-S原胞相同 第8讲http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元25http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元26原胞体积a 1a 3a 2)(321a a a ⨯∙=Ω原胞内组分和结构•原胞内可只有一个原子，当然至少有一个原子•原胞内也可以有多个原子：如两个原子的金刚石•原胞内还可以有十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物晶体，等等http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元27http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元28高温超导材料YBaCuO 结构•钙钛矿结构变形，掺入一些其他元素•别把原子位置当格点晶胞•结晶学上用的基元：保持晶体宏观对称性•反映晶体宏观对称性*如果用原胞，不管怎么选取基矢，都不能正确反映晶体的对称性——原胞基矢只反映格子的对称性*当然有可能原胞等于晶胞，比如SC结构•晶胞包含整数倍的原胞（？）•晶胞的基矢常用a，b，c来表示•晶胞的别称*单胞、结晶学原胞、惯常原胞(conventional unit cell) *相对于结晶学晶胞，原胞则称为物理学原胞http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元29思考：对同一晶体，原胞的形状是不是唯一的？为什么？晶胞的形状是不是唯一的？为什么？http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元30http://10.107.0.68/~jgche/晶格和基元31 5、实战问题：小球表示原子排列结构。