第三节逆Z变换
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信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
第三节逆Z变换
例5：求 F (Z ) (Z 1)( Z 2 4) , Z 解：由已知得：极点为
Z1 1, Z 2,3 j 2e
j
Z3 6
2
的逆Z变换
2
k0 F (Z ) Z3 6 k1 k2 k 2 2 Z Z Z 1 Z j2 Z j2 Z Z 1 Z 4 F (Z ) k0 Z Z 0 1.5 Z
第三节
逆Z变换
本节研究求F(Z)的逆变换，既由象函数F(Z)求原序列f(k)的问 题。求逆变换的方法有三种：幂级数展开法、部分分式展开法和 反演积分（留数法）等，本节重点讨论最常用的部分分式展开法。 一般而言，双边序列法f(k)可分为因果序列 f1(k ) 和反因果序列 f 2 (k )两部分，当已知象函数F(Z)时，根据给定的收敛域分别求得 F1( Z ) 和 F2 ( Z ) 并分别求得它们的原序列，然后利用线性将二者相加就得 到F(Z)对应的原序列f(k)。因此本节重点研究因果序列象函数 的逆变换，显然那它是单边的变换 。 具体做法如下 1 1 Z 5 j 63.4。 e 2
F (Z ) 1 j2 Z j2 Z 4 5 j 63.4。 e Z 所以： F ( Z ) 1.5 4 Z 1 j Z 2e 2 k2 (Z j 2)
f (k ) 1.5 k (1) k k
3 Z 1
3 Z 2
1 2 ( 1) k ( 2) k ] (k ) 3 3 当：︱Z︱>2时， 1 2 k k 当：︱Z︱<1时， f (k ) [ 3 (1) 3 (2) ] (k 1) 2 2 k k 1 ( 1) k k 当：1<︱Z︱<2时， f k 1 3 3 1 1 Z Z 3 4Z 2 Z 2 2 ,1 Z 2 例4：已知 F Z 1 Z Z 1Z 2 Z 3 2 求其逆Z变换 f (k ) [
逆z变换.
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
§6.3 逆z变换PPT课件
§6.3 逆z变换
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
信号与系统第六章(3) 逆Z变换
根据给定的F(z)及收敛域，不难求得F1(z)和F2(z),并分 别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)。根据线性性 质，将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k)。
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2) z2 z 2
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
F(z)
z2
z
K1 K2
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2) z2 z 2
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
F(z)
z2
z
K1 K2
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
信号与系统 6.3 逆Z变换
第 7 页
思路：将F(z)展开为上式的形式，其系数即为f(k)
板书简单例题
第
二、部分分式展开法
B( z ) bm z m bm 1 z m 1 b1 z b0 F (z) A( z ) z n a n1 z n 1 a1 z a0
3 页
将 F ( z ) 展开为部分分式，然后再乘以Z；其方法与第五章中
§6.3 逆Z变换
一、幂级数展开法 二、部分分式展开法
西安邮电学院电子与信息工程系
一、幂级数展开法
F (z)
k
第 2 页
f (k )z k
2 1 2
f (2)z f (1)z f (0) f (1)z f (2)z
Z的幂级数 Z-1的幂级数
F(s)展开方法相同。
A(z)为F(z)的分母多项式，A(z)=0的n个根zi 为F(z)的极点。 根据极点的类型，F ( z ) 的展开有几种情况：
z
z
1）单极点 2）共轭单极点
3）重极点
第
1）F（z）有单极点
若F(z)的极点都是互不相同的实根，则： n Kn Ki F (z) K1 K2 z z z1 z z2 z z n i 1 z z i
(若A( z )实系数，则K 2 K 1 ) 将F(z)的极点和系数写成指数形式，则：
K 1 K e j K 2 K e j z1, 2 c jd e j K e j z K e j z Fa ( z ) j z e z e j 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k ) 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k 1)
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
逆z变换(部分分式展开法)
hk 2 K11 k k 1 cos[( k 1) 1 ) (k ) 2 K12 k cos( k 2 ) (k )
X
第
例题
13 页
同学练习：
z2 １求单边z变换F ( z ) 2 的原序列 . z 1
3z ２分别求象函数F ( z ) 2 . 2 z 5z 2 在下列三种收敛域下所对应的时间序列 1) z 2 2) z 0.5 3)0.5 z 2
X
二．部分分式展开法（重点）
1．z变换式的一般形式
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1 z b0 X (z) D( z ) z n an1 z n1 an 2 z n 2 a1 z a0
双边序列
Z逆变换的思路:
X ( z) 对 进行展开, 并要求X ( z ) : n m z
X
第
2．极点性质决定部分分式形式
X z 的极点 : 单极点, 共轭单极点和重极点。 1)单极点 X ( z ) A0 A1 A2 AN z z z p1 z p 2 z pN
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 4z 4 3z 5 4z 4 8z 5 4z 6 所以 xk , 4, 3, 2, 1 5z 5 4z 6 n 1
第 2 页
直接用长除法进行逆变换
X z xk z
k 0
k
（是一个z 的幂级数）
X
第
例题
13 页
同学练习：
z2 １求单边z变换F ( z ) 2 的原序列 . z 1
3z ２分别求象函数F ( z ) 2 . 2 z 5z 2 在下列三种收敛域下所对应的时间序列 1) z 2 2) z 0.5 3)0.5 z 2
X
二．部分分式展开法（重点）
1．z变换式的一般形式
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1 z b0 X (z) D( z ) z n an1 z n1 an 2 z n 2 a1 z a0
双边序列
Z逆变换的思路:
X ( z) 对 进行展开, 并要求X ( z ) : n m z
X
第
2．极点性质决定部分分式形式
X z 的极点 : 单极点, 共轭单极点和重极点。 1)单极点 X ( z ) A0 A1 A2 AN z z z p1 z p 2 z pN
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 4z 4 3z 5 4z 4 8z 5 4z 6 所以 xk , 4, 3, 2, 1 5z 5 4z 6 n 1
第 2 页
直接用长除法进行逆变换
X z xk z
k 0
k
（是一个z 的幂级数）
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F (Z )
ZkZZ
i i 0
n
i
假分式Z m , Z 0 ( k m); Z m , Z k m
可以求出F(Z)的逆变换f(k) Z2 例3： F (Z ) ，在
Z 1Z 2
Z 2, Z 1,1 Z 2时的原序列
式中各系数为：ki ( Z Z i ) Z Zi Z kn Z k1Z ...... 两边同时乘以Z得：F (Z ) k0 Z Z1 Z Zn 利用常用序列的Z变换：
1 (k ) Z , Z a a k (k ) Z a Z , Z a a k k 1 Z a
F (Z ) Z2 k1 k 2 解：由题意得： Z Z Z 1Z 2 Z 1 Z 2
其中： k1 ( Z 1)
F (Z ) Z 1 Z F (Z ) k 2 ( Z 2) Z 2 Z
1 3 2 3
则： F ( Z ) 1 Z 2 Z
k 1 1 1 k 0
0 2 2 2 k
k
注：已知象函数求出原函数不仅要注意F(Z)的形式还要注意其收 敛域。
一、幂级数展开法
：
步骤为：先由F(Z)的收敛域确定原序列的形式（因果反因果或双 边），然后再利用长除法将F(Z)展为幂级数，取其系数即可得到 Z2 f(k). Z 2, Z 1,1 Z 2 F (Z ) , ( Z 1)(Z 2) 例1：已知 求收敛域为 的Z 变换。 解:(1)F(Z)的收敛域为︱ z︱>2时,该序列为因果序列，利用长除 Z 1 法展为 的幂级数时F(Z)为降幂级数。
1 e x 1 x x 2 ...... 2
k 0
xk , x k!
，令
x
a Z
k 0
所以：
f (k )
ak (k ) k!
二、部分分式展开法 bm Z m bm 1Z m 1 ...... b0 B( Z ) F ( Z ) 设F(Z)为有理式,令 A( Z ) an Z n an 1Z n 1 ...... a0 ， 式中：m≤n；对上式两边同除Z得：
2 Z 1 1 1 3 F2 ( Z ) , Z 2 为反因果序列展开为： ...... Z 3 Z 2 Z Z 2 12 6 3
1 1 1 1 1 1 1 f (k ) ...... , , , , , , ...... 12 6 3 3 3 3 3
k=0 注意：这种方法一般不写出f(k)的闭合形式，另外也可利用其他幂 级数 的展开式求。（如下例所示） a 例2：已知： 求原序列f(k) F (Z ) e 2 , Z 0 解：因为序列的收敛域为︱Z︱>0, 所以该序列为因果序列
因为： 则：
k 0 a k a ( ) Z 0 k! k!
第三节
逆Z变换
本节研究求F(Z)的逆变换，既由象函数F(Z)求原序列f(k)的问 题。求逆变换的方法有三种：幂级数展开法、部分分式展开法和 反演积分（留数法）等，本节重点讨论最常用的部分分式展开法。 一般而言，双边序列法f(k)可分为因果序列 f1(k ) 和反因果序列 f 2 (k )两部分，当已知象函数F(Z)时，根据给定的收敛域分别求得 F1( Z ) 和 F2 ( Z ) 并分别求得它们的原序列，然后利用线性将二者相加就得 到F(Z)对应的原序列f(k)。因此本节重点研究因果序列象函数 的逆变换，显然那它是单边的变换 。 具体做法如下所示：
k 1) 即： f (k ) f1 (k ) f 2 (k ) f (k ) (k ) f (k ) ( f (k ) F ( Z ) Z [ f1 (k ) f 2 (k )] f (k ) Z k 双边序列： k 因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z 反因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z
F ( Z ) ...... 5 5 3 4 1 3 1 2 Z Z Z Z 0 16 8 4 2 5 3 1 1 f (k ) ...... , , , ,0 16 8 4 2
则：
(3) F(Z)的收敛域为 1<︱Z︱<2 时，序列为双边序列，不同收 敛域对应不同原序列。 具体作法如下：
具体作法如下： Z2 Z 2 Z2
f (k ) 1,1,3,5......
F (Z ) 1 Z 1 3Z 2 5Z 3 ......
即得如下结果： 则：
k=0 (2)F(Z)的收敛域为︱Z︱<1时，序列为反因果序列，利用长除法 1 展为 Z 的幂级数时为时幂级数。 具体做法如下： 2 Z Z 2 Z 2 即得如下结果：
将F(Z)进行分解可得:
2
1 2 Z Z Z 3 3 F (Z ) ,1 Z 2 ( Z 1)(Z 2) Z 1 Z 2 1 Z 1 1 1 1 2 1 3 3 Z Z Z ...... F1 ( Z ) , Z 1 为因果序列，展开为： 3 3 3 3 Z 1
F (Z ) B( Z ) Z ZA( Z )
1、
) Z( F Z
有单极点时：
) Z( F Z ) Z( F Z
不为真分式，先用除法得出常数项； 为真分式，直接将其展开；
kn F ( Z ) k0 k1 ...... Z Z Z Z1 Z Zn
i 0
n
ki Z Zi