§7.4 逆Z变换
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第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
反Z变换
A = Re s[ X (z) ] P 4 0 表2 - 1 k z=zk z 1 d r−k r x(z) Ck = r−k [(z − zi ) (r − k)! dz z z=z , k=1,2⋯r i
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
逆z变换.
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
7.4 z变换
Tz z z 1 2 2 Z[ x( t T ) x( t )] Z[2Tt T ] 2T T T z 2 ( z 1) z 1 ( z 1)2
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
Z反变换
域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）
12.帕塞瓦定理(parseval)
如果 X (z) Z[x(n)], Rx z Rx ;
H (z) Z[h(n)], Rh z Rh ; 且Rx Rn 1 Rx Rn .
*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。
X (z)
z
A1 A2
z (4 z)(z 1) 4 z z 1
4
4
A1 [(4 z)
X
( z
z
)
]z
4
4 4 1
16 15
4
1
A2
[( z 1 ) 4X (z) Nhomakorabeaz
]z 1 4
4 4 1
1 15
4
X (z) 16 /15 1/15 z 4z z1 4
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
X
(z)
16 15
4
z
z
1 15
z
z
1
4
1 15
(
16z 4z
z
z
1
)
4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
12.帕塞瓦定理(parseval)
如果 X (z) Z[x(n)], Rx z Rx ;
H (z) Z[h(n)], Rh z Rh ; 且Rx Rn 1 Rx Rn .
*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。
X (z)
z
A1 A2
z (4 z)(z 1) 4 z z 1
4
4
A1 [(4 z)
X
( z
z
)
]z
4
4 4 1
16 15
4
1
A2
[( z 1 ) 4X (z) Nhomakorabeaz
]z 1 4
4 4 1
1 15
4
X (z) 16 /15 1/15 z 4z z1 4
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
X
(z)
16 15
4
z
z
1 15
z
z
1
4
1 15
(
16z 4z
z
z
1
)
4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
对差分方程两边进行Z变换
二.典型序列的收敛域 1.有限长序列：
x( z )
0 n1 n n2 x(n) 其它 0
n
n
x(n) z
n n1
n x ( n ) z (1)
n2
①
n1 0 n2 0
0 n n n1
（ 1 ）式 x(n) z
1 a n2 1 1. an 1 a n 0 n2 1
n2
a 1 a 1
a n1 a n2 1 a 1 n 2. a 1 a n n1 n2 n1 1 a 1
n2
1 n 3. a a 1 1 a n 0
n
a z
n 0
结论：（1）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极点 1 z z z （2）根据x(n)是左边、右边、还是双边序列，直接 a z z a z b 1 1 写出收敛域形式 z b
a 1 z
n
a z b z
冲激，抽样 n 0
对上式取拉氏变换
xs (t ) x s (t )e st dt
0
[ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
x( z ) x(n) z n x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 x(n) z n
z 1
z 0.5
0.5 z 1
求三种可能收敛域的逆变换 解：1. 三种可能收敛域 2. 收敛域|z|>1时 （1）先求围线内所包含的极点个数x(z)zn-1
x( z ) z
n 1
z2 z n1 n 1 z ( z 1)(z 0.5) ( z 1)(z 0.5)
§7.4 常系数线性差分方程的求解
yn C
yn C r
n
xn r （r与
n
n
X
三．零输入响应+零状态响应
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 齐次解： yzi ( n) C zi k k
k 1 N n
第 6 页
C zi k由 y( 1), y( 2), , y( N )确定（相当于0-的条件）
第
7.4 常系数线性差分方程的求解 求解方法
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应 4. z变换法反变换y(n)
1 页
X
第
一．迭代法
解差分方程的基础方法
2 页
缺点：得不到输出序列 yn 的解析式
X
二．时域经典法
1.齐次解：齐次方程的解
X
小结
y( n) C zi k C zs k D( n)
k 1 n k k 1 n k N N
第 7 页
零输入响应
零状态响应
C zi k由 y( 1), y( 2), , y( N )确定 C zs k由 yzs (0), yzs (1), , yzs ( N 1)确定 ( y( 1) y( 2) y( N ) 0)
2.零状态响应：初始状态为0，即
y 1 y 2 0
n y ( n ) C ( ) zs k k D(n) 经典法：齐次解+特解 zs N
C zs k由 yzs (0), yzs (1), , yzs ( N 1)确定
k 1
卷积法 yzs ( n) x( n) h( n)
Z反变换
n m1
又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故
因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 1 z
上收敛。所以可取z 1的极限。
n
lim (z 1)X (z) lim [x(m 1) x(m)1m
z1
n m1
lim {[ x(0) 0] [x(1) x(0)] [x(n 1) x(n)]}
]zzk
Ck
1 d rk
(r
k
)!
dz
r
k
[( z zi )r
x( z)
z
zzi ,
k 1,2r
分别求出各部分分式的z反变换（查 表），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例]利用部分分式法，求 X (z) 1 (1 2z1)(1 0.5z1) , z 2
的z反变换。
解：
1
z2
X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) (z 2)(z 0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X
4 3
A2
[( z 0.5)
X (z)
z
]z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
又 z 2,
查p54表2.1得
x(n)
4 3
z 1
z
1)
X
(
z)]
Re
s[
X
(
z )] z 1
证明：Z[x(n 1) x(n)] (z 1) X (z)
[x(n 1) x(n)]z n
n
利用x(n)为因果序列这一特性可得：
又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故
因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 1 z
上收敛。所以可取z 1的极限。
n
lim (z 1)X (z) lim [x(m 1) x(m)1m
z1
n m1
lim {[ x(0) 0] [x(1) x(0)] [x(n 1) x(n)]}
]zzk
Ck
1 d rk
(r
k
)!
dz
r
k
[( z zi )r
x( z)
z
zzi ,
k 1,2r
分别求出各部分分式的z反变换（查 表），然后相加即得X(z)的z反变换。
[例]利用部分分式法，求 X (z) 1 (1 2z1)(1 0.5z1) , z 2
的z反变换。
解：
1
z2
X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) (z 2)(z 0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X
4 3
A2
[( z 0.5)
X (z)
z
]z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
又 z 2,
查p54表2.1得
x(n)
4 3
z 1
z
1)
X
(
z)]
Re
s[
X
(
z )] z 1
证明：Z[x(n 1) x(n)] (z 1) X (z)
[x(n 1) x(n)]z n
n
利用x(n)为因果序列这一特性可得：
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x n znzm1dz
2πj c
2πj
c n0
交换积分和求和的顺序，得到
1
X z zm1dz
x n
1
z n m 1dz
2πj c
n0
2πj c
令积分环线为z=Rejθ，则上式右端
1
xn
znm1dz x n
1
π Rmn1e j(mn1) j Rej d
n0
2πj c
x n
1 2该式便是z变换的逆变换表达式。c是 z平面上包含 X(z)zn-1 所有极点的逆时针闭合环路积分路线，如图所示。
X
三、围线积分法
根据留数定理，图中沿围线c的积分等 于c所包围的 X(z)zn-1极点的留数之和， 即
x(n)
c
内极点
Re
s
X
(
z
)z
n1
Re s X (z)zn1
n 0，积分线c内的极点 n 0，积分线c外的极点
c 外极点
Im z
0
r1
r2 Re z
c
（1）若zi 为X(z)zn-1的单极点，则
Re s X (z)zn1 zzi z zi X (z)zn1 zzi
（2）若zi 为X(z)zn-1的K重极点，则
Re s X (z)zn1 zzi
信号与系统
§7.4 逆Z变换
北京航空航天大学电子信息学院 2020/9/30
一、幂级数系数
由序列 z变换的定义
X (z) x(n)zn n
只要把给定的X(z)展开成幂级数形式，则幂级数的系数就 是相应的 x(n)。
for example
X(z)
z2
z 4z
4
当收敛域为|z|>2时， x(n)为右边序列，则将X(z)表示为
n0
2πj π
X
三、围线积分法
1
xn
znm1dz x n
1
π Rmn1e j(mn1) j Rej d
n0
2πj c
n0
2πj π
xn
1 Rmn e d π j(mn)
n0
2π
π
由第三章中讨论的指数函数的正交性可得，若m≠n ，则
上式为0。而当m=n 时，
π e j(mn) d 2π π
X(z)
z2
z 4z
4
z1 +4z2 12z3 n2n1 zn
n2n1 u(n)zn n0
X
一、幂级数系数
x(n)
n2n1 u(n)
0
,1, 4,12, ...
n0
当收敛域为|z|<2时， x(n)为左边序列，则将X(z)表示为
z X(z) 4 4z z2
1 z 1 z2 3 z3 4 4 16
(K
1
dK 1
1)! dz K 1
z zi
K
X
(
z
)
z
n1
z
zi
X
1
n2n1 u(n 1)zn n
x(n)
n2n1
u(n
1)
...,
3 16
,
1 4
,
1 4
n 1
X
二、部分分式分解法
将 X(z)分解
X(z) Xi(z)
i
x(n) xi (n)
i
z变换的表现形式一般为z变量的有理多项式分式，即
X(z)
B(z) A(z)
bm zm an z n
bm1zm1 an1zn1
b1z b0 a1z a0
基本形式:
kz za
1.ROC |z|>a: kanun
1.ROC |z|<a: kanun 1
X
三、围线积分法
对于x(n) 的z变换
X z xn zn n0
上式两端乘以z m-1，再进行围线积分，得到
1 X z zm1dz 1