2020年高三数学大串讲第19讲(数列单调性、奇偶项、存在性问题)(解析版)

第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）

【目标导航】

中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法． 【例题导读】

例1、设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2

369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()

*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使

221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等

差数列，

（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使1

2m n m

a T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）()

1

*

11,23n n n a n b n N -⎛⎫

==∈ ⎪

⎝⎭

（2）13144323

n n n n T -=

--⋅⋅（i ）（ii ）(9,2)及(3,3)． 【解析】

（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则由条件369a a a +=， 可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，

又由2

5796a a a +=，可得()()()2

1114668a d a d a d +++=+，

将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=

01n d d a n ≠∴=∴=Q ，由423n n S b += ①

当2n ≥时，11423n n S b --+= ②

①-②得：14220n n n b b b -+-=，11

(2)3

n n b b n -∴=≥， 又1111423

02b b b +=∴=≠，{}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1

*

1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭

，

()1

*

11,23n n n a n b n N -⎛⎫

∴==∈ ⎪

⎝⎭

．

（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ， 因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d ，则

1

111111

2323

(2)11

3(1)

n n n n n n b b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

===-

+-++， 则1

11233(1)n nk n n n

k x b kd n -⎛⎫=+=- ⎪

+⎝⎭

，1

1

111(1)233(1)23

n n

nk n

n k n n n

x n n -=+⎛⎫

∴=⋅-

⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333

n n n nn n n

T x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①

则231111133333

n n n n n

T +-=++⋯++ ② ①-②得：21

1111133211111

11333333233

13n

n

n n n n

n n n n T +++⎡⎤

⎛⎫

-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢

⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--

⎪⎝⎭-L ， 13144323

n n n n T -∴=

--⋅⋅， ②若12m n m a T a +=

，因为n a n =，所以m a m =，则131111

44323222n n

n m m m

-+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m ---=⋅⋅，从而3321432n n n m

--=⋅， 故()

23234623462323323323

n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+

------， 当1n =时，*10

232m N =+

=-∉-， 当2n =时，*14

292

m N =+=∈，

当3n =时，*213m N =+=∈，

下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+，即证3690n n -->，

设()369(4)x f x x x =--≥，则4

()3ln 3636360x x f x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，

故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>，即46

01323

n

n n +<

<--， 从而4n ≥时，m 不是整数，故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3)．

例2、有限个元素组成的集合为{}12,,,n A a a a =L ，*n N ∈，集合A 中的元素个数记为()d A ，定义

{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()()()()

12

d A d A d A A ⋅++=

，称

集合A 具有性质Γ．

（1）设集合{}1,,M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+

，其中11

3

d =，数列{}n d 中的前2020项：1232020,,,,d d d d L 组成的集合{}1232020,,,,d d d d L 记作D ，将集合D D +中的所有元素

()*123,,,,k t t t t k N ∈L 从小到大排序，即123,,,,k t t t t L 满足123k t t t t <<<

（3）已知集合{}12,,,n C c c c =L ，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由． 【解析】

（1）集合M 中的三个元素不能组成等差数列，理由如下： 因为集合{}1,,M x y =具有性质Γ，所以()()()()

162

d M d M d M M ⋅++=

=，由题中所给的定义可知：

M M +中的元素应是：2,1,1,2,2,x y x y x y +++这6个元素应该互不相等，假设M 中的三个元素能构

成等差数列，不妨设1,,x y 成等差数列，这时有

21x y =+这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M 中的三个元素不

能能构成等差数列；

（2）111

12(*)2(**)(2,)33

n n n n S S S S n n N *

+-=+⇒=+≥∈，(**)(*)-得：

12n n d d +=，说明数列从第二项起，数列{}n d 是等差数列，