函数奇偶性经典总结

x

x x f 1)(+=1)(2+=x x

x f x

x f 1)(=函数的奇偶性

一、函数奇偶性的基本概念

1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。

注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。

（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及

)

()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。

题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4)

(5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8)

提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断

（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。

（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=，

（3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，)

()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，)

()(x g x f 是偶函数。

（6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。

（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为偶函数；若()x g 为奇函数，()x f 为奇函数,则()x F 为奇函数;若()x g 为奇函数，()x f 为偶函数,则()x F 为偶函数.

题型二 三次函数奇偶性的判断

已知函数d cx bx ax x f +++=23)(，证明：（1）当0==c a 时，)(x f 是偶函数

（2）当0==d b 时，)(x f 是奇函数

提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如c bx ax x f ++=2)(，当0=b ，)(x f 是偶函数；当0==c a ，)(x f 是奇函数。

题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值

1函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]1 2a a -，

，则a b += 31 ． 2设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是 []10,2- ．

3 已知)

)(1(sin )(a x x x x f +-=是奇函数，则a 的值为 1 4已知)ln(sin )(2a x x x x f ++=是偶函数，则a 的值为 1

提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。

（2）因为是填空题，所以还可以用)1()1(),1()1(f f f f =--=-。

（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。 题型四 利用函数奇偶性的对称

1下列函数中为偶函数的是（ B ）

A ．2sin y x x = x y =

B ．2cos y x x =

C ．ln y x =

D ．2x y -= 2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A

A ．x e x y +=

B ．x x y 1+=

C ．x x y 2

12+= D ．21x y += 3下列函数中，为偶函数的是（ C ）

A ．1y x =+

B ．1y x =

C ．4y x =

D ．y x = 4函数1()f x x x

=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称

5已知函数)1(+x f 是R 上的奇函数，且4)1(=-f ，则)3(f =-4

6已知函数)2(+x f 是R 上的偶函数，则3)3(-=-f ，则)7(f =-3

提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。

(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。

(3)在原点有定义的奇函数必有0)0(=f 。

（4）已知函数)(t x f +是R 上的奇函数，则)(x f 关于点)0,(t 对称。

(5)已知)(t x f +是偶函数，则)(x f 关于直线t x =对称。

题型五 奇偶函数中的分段问题

1设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=-3 2已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()2f x x x =-，求0x <时，()f x 的表达式。2)(+=x x x f

3已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，232)(x x x f -=，则)3(-f =-45

4已知()f x 是偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，求)4(-f 24

5设偶函数()f x 满足)0(42)(≥-=x x f x ，则(){}

20x f x ->={|04}x x x <>或 提示：（1）已知奇函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0

（2）已知偶函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0

类型六 奇函数的特殊和性质

1已知函数2)(3+=ax x f ，求)2()2(f f +-的和为4

2已知753()6f x x bx cx dx =-+++，且(3)12f -=，则(3)f =0

3已知8)(35-++=bx ax x x f ，10)2(=-f ，)2(f =_-26__

4已知函数()f x ＝2211

x x x +++，若32)(=a f ，则=-)(a f ( 43 ) 提示：已知)(x f 满足，t x g x f +=)()(，其中)(x g 是奇函数，则有t a f a f 2)()(=-+。

题型七 函数奇偶性的结合性质

1设()f x 、()g x 是R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则结论正确的是

A .()f x ()g x 是偶函数

B .|()f x |()g x 是奇函数

C .()f x |()g x |是奇函数

D .|()f x ()g x |是奇函数

2设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是

A ．)()(x g x f +是偶函

B ．)()(x g x f -是奇函数

C ．)()(x g x f +|是偶函数

D ．)()(x g x f -|是奇函数

3设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式, 21()1f x x =-，2()1

x g x x =-。 提示：（1）已知)(x f 是奇函数，则)(x f 是偶函数。

（2）已知)(x h 是R 上的函数，且)(x f 也是R 上的偶函数和()g x 也是R 上的奇函数，满足)()()(x g x f x h +=，则有2)()()(x h x h x g +-=，2

)()()(x h x h x f --=。 题型八 函数的奇偶性与单调性

1下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）

A ．1y x

= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 2下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为

（A ）cos 2y x =，x ∈R （B ）x y 2log =，x ∈R 且x ≠0

（C ）2

x x

e e y --=，x ∈R （D ）31y x =+，x ∈R 3设()sin

f x x x =-，则()f x =（ B ）

A 既是奇函数又是减函数

B 既是奇函数又是增函数

C 有零点的减函数

D 没有零点的奇函数

4设奇函数()f x 在(0)+∞，

上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x

--<的解集为（ (10)(01)- ，， ） 5已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是)3,1(-. 6已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是)3

2,31( 提示：（1）已知)(x f 是奇函数，且在)0,(-∞上是增（减）函数，则在),0(+∞上也是增（减）函数。

（2）已知)(x f 是偶函数，且在)0,(-∞上是增（减）函数，则在),0(+∞上也是减（增）函数。

（3）已知)(x f 是偶函数，必有)()()(x f x f x f ==-。

题型九 函数的奇偶性的综合问题

1已知函数()f x ,当,x y R ∈时，恒)()()(y f x f y x f +=+，且()0,0x f x ><时，又()112

f =-（1）求证：()f x 是奇函数；（2）求证：)(x f 在R 上是减函数；（3）求)(x f 在区间[]2,6-上的最值。最大值1，最小值-3。

2设()上递增，上是偶函数，在区间在0R )(∞-x f ，且有()()

3221222+-<++a a f a a f ，求a 的取值范围。),3

2(+∞

练习题

一、判断下列函数的奇偶性

（1） 1)(2+=x x x f （2）1)(2-=x x f （3）()())1,1(,111-∈-+-=x x

x x x f （4）2)(2--=x x x f （5）R x x f ∈=,1)(（5）]2,2[,0)(-∈=x x f （6）x e x f ln )(=

(7)x x x f -=3)( (8)x x x f tan sin )(+=（9）1)(2+=x x f ，(10)1)(+=x x f ，

(11)x x e e x f -+=)(，(12)x x x f sin )(= (13) x x x f +=2)( ，(14)x x x f cos )(2=，(15)x x f 2)(=，(16))1ln()(2x x x x f -+=,(17)21()ln(1||)1f x x x =+-

+ 二、利用函数的奇偶性求参数的值

1若函数()2(1)23f x m x mx =-++是偶函数，求m 的值。0

2若函数4)1()(23-++++=c bx x a x x f 是奇函数，求5)(2-+c a 的值。4

3函数x x b ax x f +++=23)1()(是奇函数，定义域为),1(a b -，则2)2(++b a 的值是 9 ． 4若1()21x f x a =+-是奇函数，则a = 12 5若函数a x x x f +-=2)(为偶函数，则实数=a ___0_____.

6设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数=a _______-1________

7若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a = 22 .

8若(2)()()x x m f x x

++=为奇函数,则实数m =__-2____. 9若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a 1

10若()()

ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a ____32-________. 三、 函数奇偶性定义的应用

1函数y=22log 2x y x

-=+的图像A （A ）关于原点对称 （B ）关于直线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称

2已知函数()1f x =-2

x ，x R ∈则 （B ） A. ()f x -=-()f x B.()f x 为偶函数 C.()()0f x f x -+= D.()f x 不是偶函数

3若()f x 是偶函数，则()kf x （k 为常数） ( A )

A.是偶函数

B.不是偶函数

C.是常数函数

D.无法确定是不是偶函数

4函数()f x =?

??<->0,1.0,1x x 则()f x 为 （ B ） A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

5已知()f x 为奇函数，则()f x x -为 （ A ） A 奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

6已知点()1,3是偶函数()f x 图像上一点，则()1f -等（B ）

A.-3

B.3

C.1

D.-1

7若点()1,3-在奇函数()y f x =的图象上，则()1f 等于（D ）

A.0

B.-1

C.3

D.-3

8已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g ____-1___ .

9设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是（ A ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

10设()f x 是R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2

1=x 对称，则 =++++)5()4()3()2()1(f f f f f 0

11已知偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，3)3(=f ，则(1)f -=___3____.

12设函数()x f 对于任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，求证：()x f 是奇函数。

13已知t R ∈，函数2,0,()(),0,

x t x f x g x x ?+≥=?

14已知奇函数()f x 的，且方程0)(=x f 仅有三个根321,,x x x ，则321x x x ++的值 0

15 设函数()x f 是R 上为奇函数，且)2()()2(f x f x f +=+，在)5(f 的值2

5 16已知偶函数)0(42)(≥-=x x f x ，求03)(4)(2=+-x f x f 的个数7

17 已知偶函数)0(64)(2≥+-=x x x x f ，求048)(44)(12)(2

3=-+-x f x f x f 的个数9

四、 函数奇偶性的性质

1已知)3(+x f 是偶函数，且2)0(=f ，则3)6(2-f 的值为1

2已知2)(+=x x f ，则)3()3(f f +-的值4

3已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( -10 )

4已知2)(-=ax x f ，则)3()3(f f +-的值 -4

5已知2)(-+

=x b ax x f ，则)3

1(ln )3(ln f f +的值 -4 6已知3sin )(+-+=x c x b ax x f ，则)31(ln )3(ln f f +的值 6

7已知函数())ln 2f x x =+，则()1lg5lg 5f f ??+= ???（ 4 ）

8已知函数())

()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ??=++= ???则2 9已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f =3

10设函数1

sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=_2___ 11已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则(2)f = 11在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f (a ＞0,且0a ≠).若()2g a =，则()2f = 154

12若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（ D ）

A ．(2)(3)(0)f f g <<

B ．

(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f << D ．(0)(2)(3)g f f << 13若函数()f x 为R 上的偶函数，且当010x <<时，()ln f x x =，则()()

2f e f e -+= 3 ． 14函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)2

5(f 的值是0 15函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+，则))2

5((f f 的值是0 16若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为___2()1

x f x x =+_____.

17设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1)f x x =，则当(,0)x ∈-∞时

()f x =__(1x _

18已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = 12+--x x .

19函数(31()ln 1

x x e f x x e +=++在区间[],(0)k k k ->上的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M 4 ．

20奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ 1 ）

21设定义在R 上的奇函数，满足)2()(+=x f x f ，那么)2017

()2()1(f f f +++ 的值0 22已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，

)1(log )(2+=x x f ，则有)2017()2016

(f f +-的值 1 五、函数奇偶性和单调性的应用

1已知函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 [)0,+∞

2设奇函数()f x 在(0)+∞，

上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ (1

0)(01)- ，， ） 3已知函数1

()3()3

x x f x =-，则()f x （A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数

（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数

4已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5

a f

b f

c f =-==，则,,a b c 的大小关系为

5已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当[3,0]x ∈- 时，()6x f x -=，

则(919)f = .

6已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是)3,1(-. 7已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是)32,31( 8若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ D ）

A )2()1()23(f f f <-<-

B ．)2()23()1(f f f <-<-

C ．)23()1()2(-<-

D ．)1()2

3()2(-<-

9设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= {|04}x x x <>或

10已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(),-∞+∞上单调递减，若()()3110f x f ++≥，则x 的取值范围是__),3

2(+∞-__． 11已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足

)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ )2

3,21( ） 12已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为c a b <<

13)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(

14已知函数)(x f 是偶函数，在),0[+∞上单调递减，则)1(2x f -的单调递增区间是

]1,0[]1,( --∞

15 已知函数)4(+x f 是偶函数，在),4(+∞上单调递减，则))54((log 22++-x x f 的单调递减

区间为)4,1(-

16已知)(),(x g x f 都是奇函数，如果0)(>x f 的解集是)10,4(，0)(>x g 的解集为)5,2(，则

0)()(>?x g x f 的解集为)5,4()4,5( --

17 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上是增函数，令)7

5(tan ),75(cos ),72(sin πππf c f b f a ===，则c b a ,,的大小，b a c >> 18已知函数)(x f 是R 上的奇函数，若当),0(+∞∈x 时，)4lg()(+=x x f ，则满足0)(>x f 的解集，),5()0,5(+∞-

19设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是（ {}

|303x x x <-<<或 ）

20设()f x 是定义在上R 的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x =.若对任意的[],2x a a ∈+，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 2

3-≤a ． 21函数()f x 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ B ）

A ．)1()0()2(f f f >>-

B ．)0()1()2(f f f >->-

C ．)2()0()1(->>f f f

D ．)0()2()1(f f f >->

22 R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有

2121

()()0f x f x x x -<-.则A. （A ）(3)(2)(1)f f f <-< (B) (1)(2)(3)f f f <-<

(C) (2)(1)(3)f f f -<< (D) (3)(1)(2)f f f <<-

23设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ A ）

A ．奇函数，且在)1,0(上是增函数

B ．奇函数，且在)1,0(上是减函数

C ．偶函数，且在)1,0(上是增函数

D ．偶函数，且在)1,0(上是减函数 24已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则

A ．()f x 在（0,2）单调递增

B ．()f x 在（0,2）单调递减

C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称

D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称 25函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

26函数()()0f x x ≠是奇函数，且当()x ∈+∞0，时是增函数，若()10f =，求不等 式102f x ?

?-< ???

的解集。 27已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点，则函数4()(1)1

g x mx x x =+>-的最小值是（5 ） 28已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间]2,0[上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=-8

29 已知函数x x x f 4)(3-=，求0)2(>-x f 的解集 ),4()2,0(+∞

30已知R 上的奇函数)0(44)(2≥++-=x b x x x f ，求x x x f 83)(2-≤的解集为

六、函数奇偶性综合应用

1已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)32(2

1)(222a a x a x x f --+-=。 若R x ∈?,)()1(x f x f ≤-,则实数a 的取值范围为]66,66[-

2已知函数223()m m f x x -++= ()m Z ∈是偶函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．

（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式； （Ⅱ）2()log [32()]g x x f x =--，求()g x 的定义域和值域． 答案：（Ⅰ）1m =，()2

f x x =；（Ⅱ）(],2-∞ 3已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：

（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2

(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。01a <<

4已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数。

5已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-．

(1)求)2012(f 的值；0 (2)求证：函数)(x f 的图像关于直线2=x 对称；

(3)若)(x f 在区间[0,2]上是增函数，试比较)80(),11(),25(f f f -的大小．)11()80()25(f f f <<-

6已知函数4()2

x x n g x -=是奇函数，4()log (41)x f x mx =++是偶函数. （1）求m n +的值；12

m n += （2）设1()()2h x f x x =+，若4()(l o g (21

))g x h a >+对任意[1,]x ∈+∞恒成立 ，求实数a 的取值范围.1(,3)2-

7已知函数31()log 1x f x x

-=+. （1）求函数()f x 的定义域；(1,1)- （2）判断函数()f x 的奇偶性；

（3）当11[,]22

x ∈-时，()()g x f x =，求函数()g x 的值域.[1,1]- 8已知函数12()2x x b f x a

+-+=+是定义域为R 的奇函数. （1）求a ，b 的值；2a =,1b =

（2）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.1

3

k <- 9已知定义域为R 的函数()122x

x b f x a

+-=+是奇函数． （1）求实数 a b ，的值；21a b =??=?

（2）判断()f x 在() -∞+∞，上的单调性并证明；

（3）若()()33920x x x f k f ?+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．43k <

10已知函数()()()()32436f x x m x mx n x R =+--+-∈的图像关于原点对称(),m n R ∈．

（1）求,m n 的值；4,6m n ==

（2）若函数()()()

2F x f x ax b =-+在区间[]1,2上为减函数，求实数a 的取值范围．[)0,+∞ 11已知定义在R 上的函数()22x

x b f x a

-+是奇函数． ⑴求a b ，的值；1a b ==

⑵若对任意的t R ∈，不等式()()

22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围13??-∞- ???， 12设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈

（1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。

13 已知函数c

bx ax x f ++=1)(2（N c b a ∈,,）是奇函数，3)2(,2)1(<=f f ，且)(x f 在),1[+∞上是增函数，

（1）求c b a ,,的值；（2）当)0,1[-∈x 时，讨论函数的单调性。

14函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )

(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数