第六章图论
v4
e5 e9 v3 e7
C
b5
A b7
e4
v5
e6 e3
v1
e1 e2
e8
v2
b4
b6
b1
b3
B
b2
D
几点说明:
(c)图的拓扑不变性质. 需要注意的是,我们讨论 的图不但与节点位置无关,而且与边的形状和 长短也无关. 有n个节点的图称为n阶图,有n个节点m条边的图 称为(n, m)图. 在图G = (V, E)中, 称V = 的图为空图, 记为.
问题二：四色问题
四色问题是世界近代三大数学 难题之一。 四色问题的内容是：任何一 张地图只用四种颜色就能使具有 共同边界的国家着上不同的颜色。 它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯· 格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
(1)由于序列7, 5, 4, 2, 2, 1中, 奇数个数为奇数, 根据握 手定理的推论知, 不可能存在一个图其度数序列为7, 5, 4, 2, 2, 1. (2)因为序列4, 4, 3, 3, 2, 2中, 奇数个数为偶数, 可以得到 一个无向图,其度数序列为4, 4, 3, 3, 2, 2.
6.3 子图、图的运算和图同构
例
A
A
子图
A
e
B
v1
e
A B B B
子图
v2
v3
v1
v2
v3
(1)
v1 v2 ( 4) v1 v2 v1
v3 (5)
( 2)
v2
(3)
v3
( 6)
v1 v2
若 V 但E = 的图称为零图, n阶零图可记为 N n.
N5
仅一个节点的零图称为平凡图.
N1
2.邻接 定义：设G = (V, E)是图, 对于任意u, v V,若从 节点u到节点v有边, 则称u邻接到v或称u和v是邻 接的. e u v 无向图? 有向图?
u
e
v
u
e v
(无向图的两条边邻接是指它们有公共端点.)
4.简单图
(1)简单图 定义： 设G = (V, E)是图, 若G中既无吊环又无 多重边,则称G是简单图.
彼得森(Petersen, 1831~1910)图, 是一种妖怪图.
妖怪图? Petersen图称为单星妖怪.下面的图称为双星 妖怪.
(2)完全无向图 Def 设G = (V, E)是n阶简单无向图, 若G中任 意节点都与其余n - 1个节点邻接, 则称G为n阶 完全无向图，记为Kn. K5: n(n 1) | E ( K n ) | . 2
又如果已知不同役龄机器年末的处理价格 如下表所示，那末在这计划期内机器的最优更 新计划又会怎样？
年度 机器处理价（万元） 第1年末 2.0 第2年末 1.6 第3年末 1.3 第4年末 1.1
关于第二问，类似于第一问，可转化为求下 图中从 v1 到 v5 的最短路问题。
按照最短路算法可得最短路 {v1, v2, v3, v5}，即计划 期内机器更新最优计划为第 1 年、第 3 年初各购进 一台新机器，4 年总的支付费用为 6.8万元。
v4
v3
v1
一个环算2度?
v2
图论第一定理,常称为“握手(?)定理”. Theorem 6-1 在任何(n, m)图G = (V, E)中, 其所 有节点度数之和等于边数m的2倍,即
deg( v) 2m.
vV
Corollary 在任意图G = (V, E)中, 度数为奇数的 节点个数必为偶数. Proof
vV
(G) min deg (v), (G) min deg (v). vV
vV
对于无向图G = (V, E), V = {v1, v2, …, vn},称 deg(v1), deg(v2), …, deg(vn)为的度数序列. 对于 有向图, 还可以定义其出度序列和入度序列. 例6-3 是否存在一个无向图G, 其度数序列分别为 (1)7, 5, 4, 2, 2, 1. (2)4, 4, 3, 3, 2, 2.
问题三：Hamilton问题
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计了一个名为 周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十个端点表示世界上的二 十座大城市（见图），提出的问题是要求游戏者找一条沿着十二面体 的棱通过每个端点恰好一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个 给定的图是否存在一条含所有顶点的回路。
将n阶完全无向图Kn的边任意加一个方向所得到的 有向图称为n阶竞赛图. 设G = (V, E)是n阶简单有向图, 若G中任意节点都与 其余n - 1个节点邻接, 则称G为n阶完全有向图。
(3)补图 Def 设G = (V, E)是n阶简单无向图,由G的所有 节点以及由能使G成为Kn需要添加的边构成的 图称为G的补图,记为 G. (u和v在G中不邻接 u和v在 G 中邻接)
e1 e2
(平面图的面相邻?)
e3 e4 e5
Hale Waihona Puke 4123
3.关联
定义： 设G = (V, E)是图, e E, e的两个端点分 别为u和v, 则称边e与节点u以及边e与节点v是关 联的.
图的任意一条边都关联两个节点. 关联相同两个 节点的边称为吊环,可简称环.关联的起点相同与 终点也相同的边称为多重边或平行边,其边数称 为边的重数.
问题二：四色问题
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上 是按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于 1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950 年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39 国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了 50国。 1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不 同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断， 终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。 然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学 家仍为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
2m deg( v)
vV deg(v ) 偶数
deg( v) deg( v).
deg(v ) 奇数
由定理及其推论很容易知道,在任何一次聚会上, 所有人握手次数之和必为偶数并且握了奇数次 手的人数必为偶数.(环的解释?) Theorem 6-2 在任意有向图中,所有节点的出度 之和等于入度之和. 在任意图中, 度数为0的节点称为孤立点。度数 为1的节点称为悬挂点。
例6-1 证明: 对于任意n(n 2)个人的组里,必有 两个人有相同个数的朋友. Proof 将组里的每个人看作节点,两个人是朋 友当且仅当对应的节点邻接,于是得到一个n 阶简单无向图G,进而G中每节点的度数可能 为0, 1, 2, …, n - 1中一个.
当G中无孤立点时,于是每节点的度数可能为1, 2, …, n - 1. 由于共有n个节点,于是必有两节点 度数相同.
G
G
6.2 节点的度数
“七桥”中从一个地方出发的桥的数目就是对 应节点的度数.
边与节点的关联次数?
Def 设G = (V, E)是无向图, v V,称与节点v 关联的所有边的关联次数之和为节点v的度数 (degree),记为deg(v).
deg( v1 ) 2, deg( v2 ) 5, deg( v3 ) 3.
1.图的定义
图G(graph)主要由2部分组成: (1)节点集合V, 其中的元素称为节点. (2)边集合E, 其中的元素称为边. 通常将图G记为G = (V, E).
v4
e5 e9 v3 e7
C
e4
v5
e6 e3
v1
e1 e2
e8
v2
b1 b5 b 4 b3 A b7 b6 b2
B
D
几点说明:
(a)节点又可以称为点、顶点或结点,常用一个实心点或 空心点表示,但在实际应用中还可以用诸如方形、圆形、 菱形等符号. (b)边及其的表示. – 无向边? b3 = AB = BA ={A, B}(可重). 所有边都是无向边的图称为无向图； – 有向边(弧)? 所有边都是有向边的图称为有向图. e8 (v2 , v3 ) v2 , v3 .
第六章
图 论
问题一:哥尼斯堡七桥问題
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
图论中讨论的图
问题：是否能从四块陆地 中的任一块开始，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
1707年出生在瑞士的巴塞尔城，13岁就进巴塞尔 大学读书，师从著名的数学家约翰.伯努利。他 从19岁开始发表论文，直到76岁。几乎每一个数 学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧 拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉 变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉 函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数， 变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。 据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和 论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占 18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道 学、航海学、建筑学等占3%。 1733年，年仅26 岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1741年 到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年， 重回彼得堡，没有多久，完全失明．欧拉在数学 Leonhard Euler 上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解 (公元1707-1783年) 答开创了图论的研究。
2n 3 m.
n 6, m 9
Def 最大度、最小度；最小出度、最小入度 任意图G = (V, E):
e5 e9 v3 e7
C
b5
A b7
e4
v5
e6 e3
v1
e1 e2
e8
v2
b4
b6
b1
b3
B
b2
D
几点说明:
(c)图的拓扑不变性质. 需要注意的是,我们讨论 的图不但与节点位置无关,而且与边的形状和 长短也无关. 有n个节点的图称为n阶图,有n个节点m条边的图 称为(n, m)图. 在图G = (V, E)中, 称V = 的图为空图, 记为.
问题二：四色问题
四色问题是世界近代三大数学 难题之一。 四色问题的内容是：任何一 张地图只用四种颜色就能使具有 共同边界的国家着上不同的颜色。 它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯· 格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
(1)由于序列7, 5, 4, 2, 2, 1中, 奇数个数为奇数, 根据握 手定理的推论知, 不可能存在一个图其度数序列为7, 5, 4, 2, 2, 1. (2)因为序列4, 4, 3, 3, 2, 2中, 奇数个数为偶数, 可以得到 一个无向图,其度数序列为4, 4, 3, 3, 2, 2.
6.3 子图、图的运算和图同构
例
A
A
子图
A
e
B
v1
e
A B B B
子图
v2
v3
v1
v2
v3
(1)
v1 v2 ( 4) v1 v2 v1
v3 (5)
( 2)
v2
(3)
v3
( 6)
v1 v2
若 V 但E = 的图称为零图, n阶零图可记为 N n.
N5
仅一个节点的零图称为平凡图.
N1
2.邻接 定义：设G = (V, E)是图, 对于任意u, v V,若从 节点u到节点v有边, 则称u邻接到v或称u和v是邻 接的. e u v 无向图? 有向图?
u
e
v
u
e v
(无向图的两条边邻接是指它们有公共端点.)
4.简单图
(1)简单图 定义： 设G = (V, E)是图, 若G中既无吊环又无 多重边,则称G是简单图.
彼得森(Petersen, 1831~1910)图, 是一种妖怪图.
妖怪图? Petersen图称为单星妖怪.下面的图称为双星 妖怪.
(2)完全无向图 Def 设G = (V, E)是n阶简单无向图, 若G中任 意节点都与其余n - 1个节点邻接, 则称G为n阶 完全无向图，记为Kn. K5: n(n 1) | E ( K n ) | . 2
又如果已知不同役龄机器年末的处理价格 如下表所示，那末在这计划期内机器的最优更 新计划又会怎样？
年度 机器处理价（万元） 第1年末 2.0 第2年末 1.6 第3年末 1.3 第4年末 1.1
关于第二问，类似于第一问，可转化为求下 图中从 v1 到 v5 的最短路问题。
按照最短路算法可得最短路 {v1, v2, v3, v5}，即计划 期内机器更新最优计划为第 1 年、第 3 年初各购进 一台新机器，4 年总的支付费用为 6.8万元。
v4
v3
v1
一个环算2度?
v2
图论第一定理,常称为“握手(?)定理”. Theorem 6-1 在任何(n, m)图G = (V, E)中, 其所 有节点度数之和等于边数m的2倍,即
deg( v) 2m.
vV
Corollary 在任意图G = (V, E)中, 度数为奇数的 节点个数必为偶数. Proof
vV
(G) min deg (v), (G) min deg (v). vV
vV
对于无向图G = (V, E), V = {v1, v2, …, vn},称 deg(v1), deg(v2), …, deg(vn)为的度数序列. 对于 有向图, 还可以定义其出度序列和入度序列. 例6-3 是否存在一个无向图G, 其度数序列分别为 (1)7, 5, 4, 2, 2, 1. (2)4, 4, 3, 3, 2, 2.
问题三：Hamilton问题
Hamilton问题源于1856年，英国数学家Hamilton设计了一个名为 周游世界的游戏：他用一个正十二面体的二十个端点表示世界上的二 十座大城市（见图），提出的问题是要求游戏者找一条沿着十二面体 的棱通过每个端点恰好一次的行走路线。反映到图论上就是判断一个 给定的图是否存在一条含所有顶点的回路。
将n阶完全无向图Kn的边任意加一个方向所得到的 有向图称为n阶竞赛图. 设G = (V, E)是n阶简单有向图, 若G中任意节点都与 其余n - 1个节点邻接, 则称G为n阶完全有向图。
(3)补图 Def 设G = (V, E)是n阶简单无向图,由G的所有 节点以及由能使G成为Kn需要添加的边构成的 图称为G的补图,记为 G. (u和v在G中不邻接 u和v在 G 中邻接)
e1 e2
(平面图的面相邻?)
e3 e4 e5
Hale Waihona Puke 4123
3.关联
定义： 设G = (V, E)是图, e E, e的两个端点分 别为u和v, 则称边e与节点u以及边e与节点v是关 联的.
图的任意一条边都关联两个节点. 关联相同两个 节点的边称为吊环,可简称环.关联的起点相同与 终点也相同的边称为多重边或平行边,其边数称 为边的重数.
问题二：四色问题
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上 是按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于 1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950 年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39 国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了 50国。 1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不 同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断， 终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。 然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学 家仍为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
2m deg( v)
vV deg(v ) 偶数
deg( v) deg( v).
deg(v ) 奇数
由定理及其推论很容易知道,在任何一次聚会上, 所有人握手次数之和必为偶数并且握了奇数次 手的人数必为偶数.(环的解释?) Theorem 6-2 在任意有向图中,所有节点的出度 之和等于入度之和. 在任意图中, 度数为0的节点称为孤立点。度数 为1的节点称为悬挂点。
例6-1 证明: 对于任意n(n 2)个人的组里,必有 两个人有相同个数的朋友. Proof 将组里的每个人看作节点,两个人是朋 友当且仅当对应的节点邻接,于是得到一个n 阶简单无向图G,进而G中每节点的度数可能 为0, 1, 2, …, n - 1中一个.
当G中无孤立点时,于是每节点的度数可能为1, 2, …, n - 1. 由于共有n个节点,于是必有两节点 度数相同.
G
G
6.2 节点的度数
“七桥”中从一个地方出发的桥的数目就是对 应节点的度数.
边与节点的关联次数?
Def 设G = (V, E)是无向图, v V,称与节点v 关联的所有边的关联次数之和为节点v的度数 (degree),记为deg(v).
deg( v1 ) 2, deg( v2 ) 5, deg( v3 ) 3.
1.图的定义
图G(graph)主要由2部分组成: (1)节点集合V, 其中的元素称为节点. (2)边集合E, 其中的元素称为边. 通常将图G记为G = (V, E).
v4
e5 e9 v3 e7
C
e4
v5
e6 e3
v1
e1 e2
e8
v2
b1 b5 b 4 b3 A b7 b6 b2
B
D
几点说明:
(a)节点又可以称为点、顶点或结点,常用一个实心点或 空心点表示,但在实际应用中还可以用诸如方形、圆形、 菱形等符号. (b)边及其的表示. – 无向边? b3 = AB = BA ={A, B}(可重). 所有边都是无向边的图称为无向图； – 有向边(弧)? 所有边都是有向边的图称为有向图. e8 (v2 , v3 ) v2 , v3 .
第六章
图 论
问题一:哥尼斯堡七桥问題
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
图论中讨论的图
问题：是否能从四块陆地 中的任一块开始，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
1707年出生在瑞士的巴塞尔城，13岁就进巴塞尔 大学读书，师从著名的数学家约翰.伯努利。他 从19岁开始发表论文，直到76岁。几乎每一个数 学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧 拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉 变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉 函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数， 变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。 据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和 论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占 18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道 学、航海学、建筑学等占3%。 1733年，年仅26 岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1741年 到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年， 重回彼得堡，没有多久，完全失明．欧拉在数学 Leonhard Euler 上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解 (公元1707-1783年) 答开创了图论的研究。
2n 3 m.
n 6, m 9
Def 最大度、最小度；最小出度、最小入度 任意图G = (V, E):
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第6-8章 图论2
5.设D是有向图，当且仅当D中有一条通过每个 D 结点的通路时，D为（ ）连通的。 答案：单向 6.设有向图D=<V，E>，V={a,b,c,d}, E={<a,b><a,d><d,c><b,d><c,d>},则D是 （ ）连通的，c的可达集为()，d(c,a)=()
6.设有向图D=<V,E>，V={a,b,c,d,}， E={<a,b>,<a,d>,<d,c>,<b,d>,<c,d>}, 则D是（ ）连通的，c的可达集为（ ），d(a,b)=（） 答案：单向 ｛c,d｝ 7.图６－１的点连通度为（），边连通度为（） 答案： １ １ 8.k5的点连通度为（），边连通度为（）。 答案： ４ ４
7.若无向图中恰有2个度数为奇数的结点，则这两个结 点必连通。（ ） 答案：T 8.在有向图中，结点间的可达关系是等价关系。（ ） 答案：F 9. 若有向图中有两个奇度结点，则它们中一个可达另 一个或互相可达。（ ） 答案：F
10.若图G不连通，则 G 必连通。（ ） 答案：T 11.有向图的每个结点恰位于一个单向分图中。（ ） 答案：F 12.图6-3为无强分图（ ） 答案：F 13.若图G的边e不包含在G的某简 图6-3 单回路中，则e是G的割边。（ ） 答案：T
22.设G= <V,E>为连通的简单平面图，若|V|>=3，则 所有结点v，有deg(v)<=5.（ ） 答案：F
第7章 树 章
树是图论中最重要的概念之一，它是基尔霍夫在解决 电路理论中求解联立方程时首先提出的。它又是图论 中结构最简单，用途最广泛的一种平面图，在计算机 科学的算法分析、数据结构等方面有着广泛的应用， 本章主要介绍树的基本概念、性质和若干应用。
《离散数学》第6章图的基本概念
一、通路，回路。 1、通路 (回路)
—— G 中顶点和边的交替序列
v0e1v1e2
el vl ，其中 ei (vi 1 , vi )(无向图)，
或 ei vi 1 , vi (有向图)， v0 ——始点，
vl ——终点，称 为 v0 到 vl 的通路。当 v0 vl
时， 为回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)， 但反之不真。
4、通路，回路 的长度—— 中边的数目。
例1、(1)
图(1)中，从 v1 到 v6 的通路有：
1 v1e1v2e5v5e7v6
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6 3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
设 V v1, v1,
, vn 为图 G 的顶点集，称 , d (vn ) 为G 的度数序列。
d (v1 ), d (v2 ),
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1, v1,
则
, vn ，E m ( m为边数)，
d (v ) 2 m
图论简介 图论是一个古老的数学分支，它起源于游戏 难题的研究。图论的内容十分丰富，应用得相当 广泛，许多学科，诸如运筹学、信息论、控制论、 网络理论、博弈论、化学、生物学、物理学、社 会科学、语言学、计算机科学等，都以图作为工 具来解决实际问题和理论问题。随着计算机科学 的发展，图论在以上各学科中的作用越来越大， 同时图论本身也得到了充分的发展。本课程在第 六、七章中介绍与计算机科学关系密切的图论的 基础内容。
离散数学 第六章 图论(3)
16
i 1
离散数学
定义2.森林(forest) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是无圈的，则称图G为 森林。
注：森林是无圈的无向图； 森林中每一个连通分图都是一棵树，所以森林是由树构成的；
定理2.具有n个结点、p个分图的森林，有m=n-p条边。 [证].比较容易，留给读者。
定义3.生成树(generating tree) 设G=( V, E ) 是无向图，G̃=( Ṽ, Ẽ )是 G的生成子图， 若G̃ 还是一棵树，则称 G̃ 是G 的一棵生成树或支撑树 (shanning tree)。
9
离散数学
中产生(不然，去掉u,v间所增加的边，此圈仍存在，这 与已知G无圈矛盾！) ，所以，此圈只能在这两个分图之 间存在；因此，去掉u,v间所增加的 u v 边，这两点间还有路可通，这就与 已设G不连通， u,v间无路矛盾！ 图4
(参见图4所示) (6)(2)： 只需证明G中任二结点间最多只有一条路即可(有一条 路由G的连通性保证)；采用反证法证明如下： 假若不然，G中必至少存在着两个结点，设其是u,v， u,v间有两条不同的路可通。其中必有某一路上的某条边 e，不在另一条路上(否则，两条路将相同。参见图5所示 )。因此，删去此路上的这一条边e，不会破坏另一条路 10
3
离散数学
在人工智能及机器人设计、软件体系结构设计、层次控 制结构设计、VLSI-设计理论、总线设计理论及网络设 计理论中都有相应的树模型设计理论。 定义1.自由树(free tree) 无向树(undirected tree) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是连通的且是无圈的， 则称图G为自由树或无向树，简称树(tree) 。
注：[证明].(数学归纳法)至少有n-p条边不在具有p个结点的初级圈C 上 当图G\C有n-p=1个结点时，有1条边不在C上(参见图6(a)) ； 当图G\C有n-p=2个结点时，有2条边不在C上(参见图6(b)) ；
i 1
离散数学
定义2.森林(forest) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是无圈的，则称图G为 森林。
注：森林是无圈的无向图； 森林中每一个连通分图都是一棵树，所以森林是由树构成的；
定理2.具有n个结点、p个分图的森林，有m=n-p条边。 [证].比较容易，留给读者。
定义3.生成树(generating tree) 设G=( V, E ) 是无向图，G̃=( Ṽ, Ẽ )是 G的生成子图， 若G̃ 还是一棵树，则称 G̃ 是G 的一棵生成树或支撑树 (shanning tree)。
9
离散数学
中产生(不然，去掉u,v间所增加的边，此圈仍存在，这 与已知G无圈矛盾！) ，所以，此圈只能在这两个分图之 间存在；因此，去掉u,v间所增加的 u v 边，这两点间还有路可通，这就与 已设G不连通， u,v间无路矛盾！ 图4
(参见图4所示) (6)(2)： 只需证明G中任二结点间最多只有一条路即可(有一条 路由G的连通性保证)；采用反证法证明如下： 假若不然，G中必至少存在着两个结点，设其是u,v， u,v间有两条不同的路可通。其中必有某一路上的某条边 e，不在另一条路上(否则，两条路将相同。参见图5所示 )。因此，删去此路上的这一条边e，不会破坏另一条路 10
3
离散数学
在人工智能及机器人设计、软件体系结构设计、层次控 制结构设计、VLSI-设计理论、总线设计理论及网络设 计理论中都有相应的树模型设计理论。 定义1.自由树(free tree) 无向树(undirected tree) 设G=(V, E) 是无向图。若图G 是连通的且是无圈的， 则称图G为自由树或无向树，简称树(tree) 。
注：[证明].(数学归纳法)至少有n-p条边不在具有p个结点的初级圈C 上 当图G\C有n-p=1个结点时，有1条边不在C上(参见图6(a)) ； 当图G\C有n-p=2个结点时，有2条边不在C上(参见图6(b)) ；
图论课件第六章平面图
A6
A2
A5
A3
A4
7
第7页，本讲稿共35页
例子3：3间房子和3种设施问题
问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管 道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道 不与另外的线或管道相交，能否办到？
上面问题可以模型为如下偶图：
G
W
E
H1
H2
H3
问题转化为，能否把上面偶图画在平面上，使得边与边 之间不会交叉？
1、平面图的次数公式
12
第12页，本讲稿共35页
定理1 设G=(n, m)是平面图，则：
deg(f )2m
f
证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义 ，它也给总次数贡献2次。于是有：
19
第19页，本讲稿共35页
所以， l (n2)4(62)8
l2
2
而m=9，这样有：
m l (n 2) l 2
所以，由推论2，K3,3是非平面图。
推论3 设G是具有n个点m条边ф个面的简单平面图， 则：
m3n6
20
第20页，本讲稿共35页
证明：情形1，G连通。 因为G是简单图，所以每个面的次数至少为3，即l=3 。于是，由推论2得：
如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且 仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应 的图为：
A1
A6
A2
A5 A3
A4
于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不 会相互交叉？
6
第6页，本讲稿共35页
通过尝试，可以把上图画为：
运筹学第06章图论概述
对于无向图，邻接矩阵存储方式如下 若顶点vi 和vj 之间没有边，则aij =aji=0 若顶点vi 和vj 之间存在n条边，则aij =aji=n 注：一般 i≤ j
v1
v2
v5
0 2 0 0 1 2 0 1 1 0 A 0 1 0 2 0
v3
v4
0 1 2 0 1
1 0 0 1 1
图的存储方式(3)
该问题已经证明无解
A D
B
图的基本概念(1)
图：顶点和边的集合 点的集合用V表示，边的集合用E表示，则图可以表示为G=(V, E) 如下图
A
e6
e5
G=(V, E)
e1
其中，V={A, B, C, D}
E={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 }
C
e3
D E中，e1=(A, D), e2=(B, D), e3=(C, D)
书上介绍的三种算法，不需要明确的划分阶段，较为适合计算机运算
狄克斯拉(Dijkstra)算法(1)
该算法有两个依据 从v1 到vn 的最短路线也是从vn 到v1 的最短路线 对于无向图必定成立 对于有向图而言，vn 到v1 的最短路线是指将图中弧的方向反过来，但权 值不变时的最短路线 以vn 为起点，v1 为终点应用动态规划的最优性原理 第一条依据保证了按这种方法求得的结果是从v1 到vn 的最短路线
狄克斯拉(Dijkstra)算法(3)
该算法适用于无负初等回路的赋权连通图(有向图或无向图皆可)，但算法本身 不能判定图中是否存在负初等回路
因此，该算法一般应用于无负权值的赋权连通有向图或无向图
示例(6.1-1)
路线图如下所示，箭头表示通行方向，线上数字表示道路长度，试用 Dijkstra 算法求s到t的最短路线
v1
v2
v5
0 2 0 0 1 2 0 1 1 0 A 0 1 0 2 0
v3
v4
0 1 2 0 1
1 0 0 1 1
图的存储方式(3)
该问题已经证明无解
A D
B
图的基本概念(1)
图：顶点和边的集合 点的集合用V表示，边的集合用E表示，则图可以表示为G=(V, E) 如下图
A
e6
e5
G=(V, E)
e1
其中，V={A, B, C, D}
E={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 }
C
e3
D E中，e1=(A, D), e2=(B, D), e3=(C, D)
书上介绍的三种算法，不需要明确的划分阶段，较为适合计算机运算
狄克斯拉(Dijkstra)算法(1)
该算法有两个依据 从v1 到vn 的最短路线也是从vn 到v1 的最短路线 对于无向图必定成立 对于有向图而言，vn 到v1 的最短路线是指将图中弧的方向反过来，但权 值不变时的最短路线 以vn 为起点，v1 为终点应用动态规划的最优性原理 第一条依据保证了按这种方法求得的结果是从v1 到vn 的最短路线
狄克斯拉(Dijkstra)算法(3)
该算法适用于无负初等回路的赋权连通图(有向图或无向图皆可)，但算法本身 不能判定图中是否存在负初等回路
因此，该算法一般应用于无负权值的赋权连通有向图或无向图
示例(6.1-1)
路线图如下所示，箭头表示通行方向，线上数字表示道路长度，试用 Dijkstra 算法求s到t的最短路线
运筹学-第六章 图论1
6、图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
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v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
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v1
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v7 v6
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v2 0 v1
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v5 v4
6 1 2 4 6 3
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v7
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v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
图论第6章-平面图
n–m+r=( n′+1)–(m′ +1)+r′= n′-m′ +r′ =2。
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
v4
R0 R2 R1 v2
v3 v5
v6
又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
v4
v7
v2
R1 v3R0 v5
R2
v6
定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
j
f ejg baFra bibliotekd g
6
36
4
54 12
7
8
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
v4
R0 R2 R1 v2
v3 v5
v6
又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
v4
v7
v2
R1 v3R0 v5
R2
v6
定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
j
f ejg baFra bibliotekd g
6
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7
8
第六章图论(1,2,3,4)
图的几种特殊情况： 图的几种特殊情况： • 若在图G中，|V| = n，|E| = m，则称G为 ( n, m ) 图。 • 若在图G中， V = ∅ ，则称G为空图。Empty graph • 若在图G中，|V| = 1，则称G为平凡图。Trivial graph • 若在图G中， E = ∅ ，则称G为零图。 Null graph • 若在图G中，既有有向边又有无向边，则称G为混合图。 G G Mixed graph
i =1 n
∑ deg ( v ) = m 。
i =1
n
其中 ∣V∣= n，∣E∣= m。 证：由于每条有向边都对应一个入度和一个出度，如一个结点 具有一个出度（或入度），则它必关联一条有向边，并通过此有 向边与另一结点相邻，且为此结点提供一入度（或出度）。所以 在有向图中，入度之和等于出度之和，并等于边数。即有
第2节 图的基本概念 节
2.1 无序积和有序积 2.2 图的定义 2.3 图中的基本术语 2.4 图中节点的度数 2.5 子图与补图 2.6 图的同构
2.1 无序积和有序积 定义1 设A，B是两个集合，称集合{{a,b}| a∈A∧b∈B}为A， 定义 B的无序积，记为A&B。无序积A&B的子集称为A和B上的二元 关系。 当B＝A时，称无序积A&B的子集为A上的二元关系。 例：在哥尼斯堡七桥问题中，可用Χ上的无序积的子集来表示。 设X={A,B,C,D}表示四块陆地，x和y有关系当且仅当x和y有桥 相连。于是有{{A,B},{B,C},{A,C},{A,C},{A,D},{A,D},{B,D}}. 集合中的每个元素表示一座桥。 定义2 定义 设A，B是两个集合，称集合{(a,b) | a∈A∧b∈B}为A，B 的有序积，记为A×B，有序积A × B的子集称为A到B的二元关系。 当B＝A时，称有序积A×B的子集为A上的二元关系。 例：在家族关系图中，均用Χ上的有序积的子集来表示“半序 关系”。
离散数学第6章 图论
New York
San Francisco
Denver
Chicago
Washington
Los Angeles
50
(2) 完全无向图
定义 设G = (V, E)是n阶简单无向图, 若G中任意 节点都与其余n - 1个节点邻接, 则称G为n阶完全 无向图, 记为Kn.
K1 K4
K2 K5
K3
|
E(Kn)
成子图记为G – F.
G[a, b, c]? a v1
v2
v2
b
a b
v1
f g
e G {a,b, c}? v1
d v5 v2
f g
e d v5
v3 c v4
v3 c v4
v3
v4
63
2. 图的运算
定义
(1)并
G1 (V1, E1 ),G2 (V2 , E2 ). G1 G2 . V1∪V2 E1∪E2
|
n(n 2
1) .
51
(3) 补图 定义 设G = (V, E)是n阶简单无向图,由G的所有节
点以及由能使G成为Kn需要添加的边构成的图称 为G的补图, 记为 G.
(u和v在G中不邻接 u和v在 G中邻接)
定义 设 G (V , E) 为 n 阶简单图,从完全图 Kn 中 删去 G 中的所有边而得到的图称为 G 的补图，记为 G .
所有边都是无向边的图称为无向图, 所有边都是有向边的图称
为有向图.
46
(c) 我们讨论的图不但与节点位置无关, 而且与边的形状和长 短也无关.
有n个节点的图称为n阶图, 有n个节点m条边的图称为(n, m)图.
在图G = (V, E)中, 称V = 的图为空图, 记为, 若 V 但 E = 的图称为零图, n 阶零图可记为Nn, 仅一个节点的零图称为平凡图.
图论第6章 平面图
(4) 平面图在加环或平行边后还是平面图。
例： 立方体是平面图。
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由于 每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的顶点 和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少为3.由于 G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的每一条边落 在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来表 示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目.故欧 拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
n3 n3
多面体的一些性质定理
定理 每个凸多面体都至少有一个n度面,其中 3n5.
证明:设F3=F4=F5=0,则: 即有F1/3E,又
n 6
2E nFn 6Fn 6 Fn 6F
n 6 n 6
2E nVn 3Fn 3V
n 3 n 3
定理：设H是G容许的，则对H的每一个片B，有
) FG ( B, H
~
~
这里
) { f f F (H ) , F (H )为H 的面集, 且B在f 内可画出} FG ( B, H
~ 是G容许的,则存在G的一个平面表示 证明:若 H ~ ~ ~ ~ 的子图 G, s.t. H G .显然,H的片B所对应的
i 1
定理： 设G是简单平面图，则G的最小度(G)≤5。 证明：设 G有n个结点，m条边。当n≤6，因为G是 简单图，因此， (G)≤(G)≤5。以下证n≥7的情况， 若 (G)≥6 ，即每个结点的度数大于等于 6n， G 中所有结 点度数之和大于等于6n。于是 2m= deg(vi ) i 1 ≥6n，m≥3n＞3n–6，即m＞3n–6，矛盾。
例： 立方体是平面图。
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由于 每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的顶点 和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少为3.由于 G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的每一条边落 在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来表 示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目.故欧 拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
n3 n3
多面体的一些性质定理
定理 每个凸多面体都至少有一个n度面,其中 3n5.
证明:设F3=F4=F5=0,则: 即有F1/3E,又
n 6
2E nFn 6Fn 6 Fn 6F
n 6 n 6
2E nVn 3Fn 3V
n 3 n 3
定理：设H是G容许的，则对H的每一个片B，有
) FG ( B, H
~
~
这里
) { f f F (H ) , F (H )为H 的面集, 且B在f 内可画出} FG ( B, H
~ 是G容许的,则存在G的一个平面表示 证明:若 H ~ ~ ~ ~ 的子图 G, s.t. H G .显然,H的片B所对应的
i 1
定理： 设G是简单平面图，则G的最小度(G)≤5。 证明：设 G有n个结点，m条边。当n≤6，因为G是 简单图，因此， (G)≤(G)≤5。以下证n≥7的情况， 若 (G)≥6 ，即每个结点的度数大于等于 6n， G 中所有结 点度数之和大于等于6n。于是 2m= deg(vi ) i 1 ≥6n，m≥3n＞3n–6，即m＞3n–6，矛盾。