专题：椭圆的离心率解法大全
椭圆与双曲线综合练习题(培优专题练习)
椭圆与双曲线综合练习题 1.已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( ) A ． B ． － C ． D ． － 2. 若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点,1F 、2F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ，若021=?PF PF , ） A.4 B. 3 C. 2 D. 1 4.已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ． (0，] B ． (0，] C ． [，1) D ． [，1) 5.已知为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B (0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C 的方程为( )A ．＋＝1 B ．＋＝1 C ．＋＝1 D ．＋＝1 7.过椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若 ＝λ1，＝λ2，则λ1＋λ2等于( )A ． 10 B ． 5 C ． －5 D ． －10 8. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ＋5y ＝0 C ．5x ±4y ＝0 D ．4x ±3y ＝0 9.设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ． 椭圆 B ． 线段 C ． 不存在 D ． 椭圆或线段 10.已知F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P 是椭圆上的点，I 是△F 1PF 2内切圆的圆心，直线PI 交x 轴于点M ，则|PI |∶|IM |的值为( ) A ． B ． C ． D ． 11.已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜ ｜PD ｜② e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三
角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5 2 (舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个 顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e= 5-1 2 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的
关于椭圆离心率专项练习(1)
关于椭圆离心率的演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，222 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥， 则椭圆的离心率为 6..已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆1 22 22=+n y m x 的的离心率为 7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点 分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知 ,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 12.设椭圆22 22b y a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1 且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 。 13.椭圆 12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F
椭圆离心率求法
椭圆离心率求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2 3 ==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆 12 2 22=+b y a x （0>>b a ）的左 准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A 3 3 B 31 C 2 2 D 2 1 解：由题意知，入射光线为()32 5 1+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则 ?? ???=+-=05532 c c a 解得3=a ，1=c ， 则3 3==a c e ，故选A 二、构造a 、c 的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。 例2：已知1F 、2 F 是双曲线12 2 22 =-b y a x （0,0>> b a ）的两焦点， 以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1 MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 21 3+ D. 13+
圆锥曲线离心率专题
. . .. . 圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值围是（） A． [，1）B． [，1） C． （0，] D． （0，] 2．二次曲线时，该曲线离心率e的围是（） A．B．C．D． 3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的围是（） A． [，1）B． （，1） C． [，） D． （0，） 4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值围是（） A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12） 5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（）A．B．C．D． 6．已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值围（）A．B．C．D． 7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值围是（） A．B．C．D． 8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值围是（） A． （0，）B． （，） C． （，） D． （，1） 9．椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值围是（）A．B．C．D．
10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值围为（） A．[2，+∞）B．（，+∞）C． [，+∞） D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线 的距离之和为S，且S，则离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭 圆离心率e的取值围是（） A．B．C．D． 13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则 的取值围是（） A．B．C．D． 14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值围为（）A．B．C．D． 15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离 心率的取值围是（） A．B．C．（1，2）D． 16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值围是（） A． （1，]B． （1，） C． （2，] D．（，2]
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜ ｜BO ｜④ e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜ BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正
三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e?
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法： (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用 22 1a b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a 的值，通常由已知寻求a ， b ， c 的关系式，再与a 2 ＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围. 1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点??? ??0,2b 分成5∶3 的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.25 5 解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2 ＝5 3，∴c ＝2b ，∴a ＝ b 2＋ c 2＝5b ，∴e ＝ 2b 5b ＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°， 求椭圆离心率的取值范围. 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.② ①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2 3 .④
椭圆、双曲线离心率难题专题
椭圆、双曲线离心率难题专题 1. （2018学年杭高高三开学考15）已知1F ，2F 分别是椭圆()22 22133 x y a a +=>的左右焦点，A 是椭圆上 一动点，圆C 与1F A 的延长线以及线段2AF 相切，若()2,0M 为一切点，则椭圆的离心率为 ． 2. （2018学年杭十四中4月月考2）已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y ，则双曲线的 离心率为（ ） A B C D 3. （2018学年浙江名校协作体高三上开学考2）双曲线2 213 x y -=的焦距为（ ） A ．2 B ． C ． D ．4 4. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考12）已知直线l 为双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的一条 渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，点1F 关于直线l 的对称点在双曲线C 的另一条渐近线上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 ，离心率e 的值为 ． 5. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考3）已知双曲线2 221y x a -=的一条渐近线方程为y =， 则该双曲线的离心率是（ ） A ． 3 B C ．2 D 6. （2019届超级全能生2月模拟16）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆
上点P 满足122PF PF =，射线PM 平分12F PF ∠，过坐标原点O 作PM 的平行线交1PF 于点Q ，且 121 4PQ F F =，则椭圆的离心率是 ． 7. （2019届慈溪中学5月模拟6）若椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点 的 曲线，且都过点B ，它们的离心率分别是1e ，2e ，则2212 11 e e +=（ ） A ． 32 B ．2 C ．3 D ． 52 8. （2019届杭二仿真考16）存在第一象限的点()00,M x y 在椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点,02c ?? ??? （c 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取 值范围是 ． 9. （2019届杭州4月模拟10）已知椭圆()22 22:10x y a b a b Γ+=>>，直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点， 以线段MN 为直径的圆经过原点．若椭圆Γ ，则a 的取值范围为（ ） A ．( B ．? C ．? ?? D ．? ?? 10. （2019届湖州三校4月模拟17）已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个顶点()(),0,0,A a B b ，过,A B 分别作AB 的垂线交该椭圆于不同的顶点C ，D 两点，若23BD AC =，则椭圆的离心率是 ． 11. （2019届稽阳联谊4月模拟16）已知,C F 分别是椭圆22 22:1x y a b Γ+=的左顶点和左焦点，,A B 是椭圆 的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若2CD DB =u u u r u u u r ，则椭圆Γ的离心率为 ．
数学-高中数学求椭圆的离心率习题专题
圆锥曲线的离心率问题的求解 离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线形状的重要参数． 椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据； 双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据； 而抛物线的离心率是特征值1. 圆锥曲线的统一定义是按离心率的范围不同，确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型. 求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法: １.利用曲线定义。圆锥曲线的统一定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题． ２.利用曲线变量范围。圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题． ３.利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题． ４.利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径． 5.联立方程组。如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解． 6.三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解． 7.用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解 8.构造关于e 的方程求解. 9.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。 圆锥曲线的离心率练习题 1、已知椭圆的方程 222 2 1(0)x y a b a b +=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆上的一点 若12PF PF =，求椭圆离心率的取值范围。 2、已知椭圆的方程 222 2 1(0)x y a b a b + =>>，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点 若123 F PF π ∠= ，求椭圆离心率的取值范围。
圆锥曲线离心率专题 历年真题
1．（福建卷）已知双曲线(a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A 作斜率为1的直线,若与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ) A. B. C. D. 3．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 5．(陕西卷)已知双曲线x2a2－y22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为 A.2 B. 3 C.263 D.233 6.(全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ） 7.（广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则m=() （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 8.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A．B．C．D． 9．[全国]设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（）A．B．C．D． 10．（福建理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A．B．C．D． 11．（重庆理）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（） A．B．C．D． 12.（福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B. C.(3,+)D. 13.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D． 14.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 15.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为 的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）
圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练 1．已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点Ｐ,使得ＰF１⊥PF２,则椭圆离心率的取值范围是（） A. [,1）B. ［，１） Ｃ. （０，] Ｄ. (０，] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的范围是（) Ａ. Ｂ． C. D． 3.椭圆焦点在ｘ轴上，A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（) A． [,1) Ｂ. (，1) C. ［，) D. （0，） 4．双曲线的离心率e∈(1，２）,则k的取值范围是（) A．(﹣∞,0）Ｂ．（﹣３,0) C. （﹣１2，0）Ｄ. (﹣60,﹣12) 5.设F１,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2＝120°,则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B. C．D． 6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率ｅ的取值范围( ) A． B. C． D. 7.已知椭圆x2+my２＝1的离心率,则实数m的取值范围是（) Ａ. B．Ｃ．Ｄ. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为Ｐ,△PF１F２是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（） A. （0，) B. （,） C． （，） D． （，1) ９.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3ｂ2，4b2］，则该椭圆的离心率e的取值范围 是（） A． B. C. D.
1０．如图，等腰梯形ＡBCＤ中,AB∥CD且ＡB=2，ＡＤ=１，ＤＣ＝2x（x∈（0,1)）.以A,B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e１;以Ｃ，D为焦点，且过点Ａ的椭圆的离心率为ｅ2,则e1+e２的取值范围为(） A. [2,+∞) B．（,+∞）Ｃ. [，+∞) D．(,+∞) 1１.已知双曲线的焦距为2c，离心率为ｅ,若点（﹣1，0)与点(１，0)到直线 的距离之和为S,且S，则离心率e的取值范围是() Ａ． B. C. D. １2.已知F１,F２是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F１PＦ２=60°,则椭圆离 心率e的取值范围是() A．B． C. D． 1３．已知方程x3+2ax２+３ｂx+c=0（a,b,ｃ∈R)的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是( ） A. Ｂ. Ｃ. D. 14.已知椭圆上到点A(0,b）距离最远的点是B（0，﹣b)，则椭圆的离心率的取值范围为（) A．B．C． D. １5.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是(） A. B. C. (1,2) D． 1６．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点Ｐ在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段Ｆ１F2的比为5:1，则双曲线离心率的取值范围是（) A. （1,]Ｂ． (1,) Ｃ. (２,] D．(，２]
椭圆的离心率求法
椭圆3 例7.椭圆22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程. 122x +92 y =1 例8．根据条件，求出椭圆的方程：中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上， 短轴的一个顶点B 与两个焦点12,F F 组成的三角形的周长为4+1223F BF π∠=. （2）设长轴为2a ，焦距为2c ，则在2F OB ?中，由23 F OB π∠= 得：2c a =，所以21F BF ? 的周长为2224a c a +==+ 22,1a c b ∴==∴=故得：22 141 x y +=. 四.怎么求椭圆的离心率. 引例. 已知椭圆长轴与短轴的比为2：1，求离心率. 例8、已知椭圆一焦点与短轴两端点连线的夹角为90?，求椭圆的离心率. 解：∵ |FO| = c , |OA| = b , |AF| = a ∴ 在△AOF 中, θcos =a c , θ = 45? ? cos45?=22 ∴ 椭圆的离心率e =22 说明：离心率与角度关系：θcos =e 例9.椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？ ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2| . ( ) A. 16x 2＋9y 2＝1 B. 16x 2＋12y 2＝1 C. 4x 2＋3y 2＝1 D. 3x 2 ＋4 y 2＝1 变式：椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF ∣，求椭圆的离心率.（3 6） 10.焦点在Y 轴上的椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m .
椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练 一．选择题（共29小题） 1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值围是（） A． B． C． D． 2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（） A． B． C． D． 3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值围为（） A． B． C． D． 4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（） A． B． C． D． 6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（） A． B． C． D． 7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值围是（） A． B．C．D． 8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（） A． B．2﹣C．2（2﹣） D． 9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值围是（） A． B．C．D．或 10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（） A． B． C． D． 11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值围是（） A．（0，）B．（0，）C． D． 12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（） A． B． C． D．
椭圆离心率常见求法整理归纳
5 椭圆的离心率 1．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使 1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为 ． 2．设椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点， 212PF F F ⊥，1230PF F ∠=?，则椭圆C 的离心率为_____________. 3．设1F 、2F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线 段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为 . 4．已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为12,F F ,以12F F 为边作正三角形，若椭 圆恰好平分正三角形的另外两条边，且124F F =，则a 等于___________. 5．椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若 1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 6．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________． 7．设椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ， ，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 8．过点(1,1)M 作斜率为1 2 -的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 . 9．椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 左右焦21,F F ，若椭圆C 上恰有4个不同的点P ，使 得21F PF ?为等腰三角形，则C 的离心率的取值范围是 _______
巧解椭圆离心率的取值范围
巧解椭圆离心率的取值范围 河北容城中学 牛文国 邮编071700 在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题，就教学中的一些体会提供此类问题的常规解法，供大家参考。 设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的两焦点为21,F F ，若在椭圆上存在一点p ，使21PF PF ⊥，求椭圆e 的取值范围。 解析1：设()y x P ,，由21PF PF ⊥得1-=-?+c x y c x y ，即222x c y -=，代入12222=+b y a x 得()22222c b c a x -= ，2220b c x ≥∴≥ 即222c a c -≥，2 2≥=∴a c e 又1 222a c b a c b <≤?<≤ ∴2222a c c a <≤-12 2<≤∴ e 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。 解析4：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 此题是否可以得到启示呢？ 无妨设满足条件的点P 不存在 ，则∠21PF F <090 2 245sin sin 001=<∠=<∴OPF a c 又10< 1、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? （θ为参数），直线l的参 数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. （1）若a=?1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l a. 2、已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1 ，P4（1 ，）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 22 22 =1 x y a b + 2 3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分 别为12,F F ，离心率为 1 2 ，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程； （2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标. 4 、 5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22 221x y a b +=()0a b >>，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k = M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的 最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率. 水深火热的演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，22 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 2 1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12 。 5.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22 。 6..已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为23 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为= e 2 2 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF , 321α=∠PF F 椭圆的离心率为= e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 3 6 13.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于2 1 ∣AF∣， 则椭圆的离心率是36 。 14.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则 椭圆的离心率是 2 1 5- 椭圆离心率的解法 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离 心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜ ｜BA ｜ ⑤e=｜FO ｜ ｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2 c ∴ 有③。 题目1：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，点 P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB 为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜ = b a 又∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 5 5 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦 点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 椭圆离心率问题专题练习 1． 已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 2.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等 于 2 1 ∣AF ∣，椭圆的离心率为 3.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过 焦点，椭圆的离心率为 4. 以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，椭圆的离心率为 5.以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O 并且与椭圆交于M 、N 两 点，如果∣MF ∣=∣MO ∣，椭圆的离心率为 6. 如图所示，A 、B 是椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两个端点，F 2是右焦点， 且AB ⊥BF 2，椭圆的离心率为 7.已知直线L 过椭圆 122 22=+b y a x （a>b>0）的 顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L 距离为2 a ，椭圆的离心率为 · 8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，椭圆离心率e 的取值范围为 9.椭圆12222=+b y a x （a>b>0）和圆x 2＋y 2=(c b +2 )2有四个交点，其中c 2=a 2－b 2 , 椭圆离心 率e 的取值范围为 10.设椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一高二数学圆锥曲线(椭圆专题训练)
关于椭圆离心率求法(供参考)
椭圆离心率的解法讲课稿
椭圆离心率问题专题练习