线性代数2_6初等变换与逆矩阵的初等变换求法 - 副本
消法矩阵
0 1 0 0 0 1 0 k 0 0 1 0 0 0 1 0
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1 0 E= 0 0 1 0 E= 0 0
《线性代数》
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
r2+kr4
———→
1 0 0 0 1 0 0 0
0 k =E = r(2,4(k)) 0 1 0 0 =Ec(2,4(k)) 0 1
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
r2↔r4
———→
1 5 −1 −1 1 −9 3 7 3 8 −1 1 1 −2 1 3
下页 结束
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. .----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 交换第i列与第j列记为ci↔cj . 例如
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
r3−3r1
———→
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 0 −7 2 4 1 −9 3 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上.----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
c3+c1
———→
1 5 1 −2 3 8 1 −9
下页
0 −1 2 3 2 1 4 7
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结束
6.2 初等矩阵 1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵） 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 下面是几个4阶初等矩阵 阶初等矩阵： 例: 下面是几个 阶初等矩阵：
结束
0 0 4 c3 ———→ 0 1
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6.2 初等矩阵 1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵） 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 下面是几个4阶初等矩阵 阶初等矩阵： 例: 下面是几个 阶初等矩阵：
《线性代数》
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定理1 是一个m× 矩阵 矩阵， 施行一次初等行变换相当于在A 定理 设A是一个 ×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在 是一个 施行一次初等行变换相当于在 的左边乘以相应的m阶初等矩阵 阶初等矩阵； 施行一次初等列变换相当于在A 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在 施行一次初等列变换相当于在 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 的右边乘以相应的 阶初等矩阵
第6节 初等变换与逆矩阵的初等变换求法
一、初等变换 二、初等矩阵
初等矩阵的作用、 初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性
三、求逆矩阵的初等行变换法
注意： 注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记. 节与教材内容及次序有所不同,请作笔记.
《线性代数》
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结束
6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. .----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 交换第i行与第 行记为 i↔rj . 交换第 行与第j行记为 行与第 行记为r 例如
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
c1↔c3
———→
−1 5 1 −2 −1 8 3 −9
下页
1 −1 1 3 3 1 1 7
结束
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. .----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 用数k乘以第i行记为kri . 例如
a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14 a31 a32 a33 a34
0 1 0 0 a11 a12 a13 a14 1 0 0 0 AE(1, 2)= a21 a22 a23 a24 = a a a a 0 0 1 0 31 32 33 34 0 0 0 1
倍法矩阵
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0
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1 0 = E= 0 0 1 0 E= 0 0
《线性代数》
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
4 r3
———→
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 =E(3(4)) = 0 1 0 0 =E(3(4)) 0 1
结束
0 0 c2↔c4 ———→ 0 1
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6.2 初等矩阵 1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵） 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 下面是几个4阶初等矩阵 阶初等矩阵： 例: 下面是几个 阶初等矩阵：
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
4c3
———→
1 5 −4 −1 1 −2 4 3 3 8 −4 1 1 −9 12 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. .----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
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对矩阵A作初等变换可以转化 对矩阵 作初等变换可以转化 为初等矩阵与矩阵A的乘积 为初等矩阵与矩阵 的乘积. 的乘积
a11 + 2a31 a12 + 2a32 a13 + 2a33 a14 + 2a34
a11 a12 a13 a14 例如，设 例如 设 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 0 1 0 a11 a12 a13 a14 E(1, 2)A= 1 0 0 a21 a22 a23 a24 = 0 0 1 a a a a 31 32 33 34
换法矩阵
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
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1 0 = E= 0 0 1 0 E= 0 0
《线性代数》
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
r2↔r4
———→
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 =E(2, 4) = 0 0 0 1 =E(2, 4) 0 0
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a12 a11 a13 a14 a22 a21 a23 a24
a32 a31 a33 a34
与交换A的第一行 列 与第二行 与第二行(列 所得结果相同 所得结果相同. 与交换 的第一行(列)与第二行 列)所得结果相同 的第一行
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定理1 是一个m× 矩阵 矩阵， 施行一次初等行变换相当于在A 定理 设A是一个 ×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在 是一个 施行一次初等行变换相当于在 的左边乘以相应的m阶初等矩阵 阶初等矩阵； 施行一次初等列变换相当于在A 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在 施行一次初等列变换相当于在 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 的右边乘以相应的 阶初等矩阵
线性代数课件2-6利用初等变换求逆矩阵
kA j Aj A m m 1 A1
定理3
任一 m n 矩阵 A ，一定存在有限
个 m 阶初等阵 P1 , P2 , , Ps 和 n 阶初等阵 Q 1 , Q 2 , , Qt , 使
Er Ps P1 AQ 1 Q t 0
E ( i k ( j ))
( i 列） ( j 列 )
初等矩阵具有下列性质 （1）初等矩阵都是可逆阵，且它们的逆阵
仍为同类初等阵，即
E (i, j ) E (i, j )
1
E ( i ( kLeabharlann )) E1(i(
1 k
))
E ( i k ( j )) E ( i ( k )(
1
j ))
（2）对m×n矩阵A作一次初等行变换，相 当于在A的左边乘上一个m阶相应的初等阵； 对m×n矩阵A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘上一个n阶相应的初等阵。
证明：
仅证行变换的情况。
将 m n 阵 A ( a ij ) 按行分成
a 11 a 21 A a m1
E ( i ( k ))
（ i列 ）
(3)消法初等阵 将E的第j行的k倍加到第i行
（或第i列的k倍加到第j列）得到的方阵，
记为E(i+k(j)),即
1 1 k 1 (i行 ) ( j行 ) 1
1 0 1 1 1 0 1 1
( i 行） （ j 行） 1
(2)倍法初等阵 用非零常数k乘E的第i行
（列）得到的方阵，记为E(i(k)),即
矩阵的逆初等变换法
矩阵的逆初等变换法
矩阵的逆初等变换法是指通过一系列初等矩阵的乘法，将一个矩阵转化为单位矩阵，进而求出该矩阵的逆矩阵的方法。
步骤：
1.构造增广矩阵（即将单位矩阵并在原矩阵的右侧）。
2.对增广矩阵进行逆初等变换的操作，使左侧成为单位矩阵，右侧的矩阵则为所求的逆矩阵。
逆初等变换包括三种形式：
1.交换矩阵的两行/列：初等行列变换矩阵P。
2.将矩阵的某一行/列乘以一个非零常数k：初等缩放矩阵D。
3.将矩阵中某一行/列加上另一行/列的k倍：初等转换矩阵T。
每一种初等矩阵都有一个相应的逆矩阵。
这样，在对矩阵进行逆初等变换的操作时，我们可以对增广矩阵的左侧应用相应的初等矩阵的逆矩阵，来达到使左侧变为单位矩阵的目的。
同时，在每次对左侧应用初等矩阵的逆矩阵时，将右侧的矩阵也应用相同的初等矩阵的逆矩阵，以保证两侧的关系不变。
最终，增广矩阵左侧变为单位矩阵时，增广矩阵的右侧矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
矩阵求逆初等变换法
矩阵求逆初等变换法矩阵求逆是在线性代数中一个非常重要的概念，它可以用于解决大量的问题。
在实际的应用中，我们通常采用初等变换法来求逆矩阵，这样可以极大地简化计算并且提高效率。
本文主要介绍矩阵求逆初等变换法的基本概念和具体实现方法。
一、矩阵求逆的定义和概念矩阵求逆的本质是寻找一个矩阵A的逆矩阵B，使得A 与B的乘积等于单位矩阵I，即AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
矩阵A的逆矩阵可以表示为A^-1。
对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵。
而对于非方阵，则不能直接求逆矩阵，需要通过一些方法先将其转化为方阵，再进行求逆操作。
二、矩阵求逆初等变换法初等变换是线性代数中的一种操作，它可以用来变换矩阵的形式，进而使得矩阵的某些性质更加明显。
初等变换包括以下三种：（1）交换矩阵的两行或两列（2）将矩阵的一行或一列乘以非零常数（3）将矩阵的一行或一列乘以非零常数加到另一行或另一列上去根据初等变换的性质，我们可以使用一组初等变换将任何一个方阵化为一个单位矩阵，进而得到其逆矩阵。
具体实现方法如下：（1）首先，将矩阵A增广为一个n*2n的矩阵（即在A的右边增加一个n* n的单位矩阵I）；（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U；（3）继续通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I；（4）此时矩阵A的右半部分就是其逆矩阵B。
下面，我们通过一个例子来具体说明这个过程：设矩阵为A=[1, 2, 3; 0, 1, 4; 5, 6, 0]（1）将A增广为一个2n* n的矩阵[A，I]=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R2-R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R3-5R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→-R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→R3+4R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, -11, 1, -4, 1]→-R3/11→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2+R3→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→-R1-2R2+3R3→[1, 0, 0, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]得到上三角矩阵U为U=[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0,3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]（3）通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2-3R3→[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R1-2R2-3R3→[1, 0, 0, 7/11, -2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]此时得到的右半部分就是矩阵A的逆矩阵B，即B=[7/11, -2/11, -1/11; 3/11, -1/11, 2/11; -1/11, 4/11, -1/11]三、总结矩阵求逆是线性代数中一个基本的操作，而初等变换法则可以很有效地简化求解的过程。
线性代数(第二版)第六节矩阵的初等变换
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1
1
P (i(k ))
k
i行
1
1
i列
பைடு நூலகம்
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的
(1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m
阶的初等矩阵左乘 A ;
(2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n
阶的初等矩阵右乘 A .
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明 .
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
的 第 j 行 的 k 倍 加 到 第 i 行 上 (不 妨 设 i < j )， 则 相 应
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
A1
1
A
A2
,
E
1 0 0
则
P (1, 3 ( 3 ) ) T
0
1
0 P (3, 1(3) )
0 0 1
3 0 1
(2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵. 其中
P(i, j)1P(i, j)
P(i(k))1 Pik1
P (i,j(k)) 1P (i,j( k))
验证
0 1 0
0
0
0 0 1
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
用初等变换求矩阵的逆矩阵原理
用初等变换求矩阵的逆矩阵原理用初等变换求矩阵的逆矩阵原理1. 引言在线性代数中，矩阵的逆矩阵是一个非常重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵可以将其与原矩阵相乘得到单位矩阵。
然而，直接求一个矩阵的逆矩阵可能会非常繁琐。
初等变换提供了一种简单而有效的方法来求解矩阵的逆矩阵。
本文将详细介绍初等变换求矩阵的逆矩阵原理。
2. 初等变换初等变换是指通过一系列特定操作将矩阵变换为特定形式的操作。
一般来说，初等变换包括三种操作：•交换矩阵的两行或两列•用非零常数乘以矩阵的某一行或某一列•用一个数乘以矩阵的某一行或某一列，加到另一行或另一列上这些操作可以通过在矩阵的相应位置进行计算来实现。
3. 逆矩阵的定义一个矩阵A的逆矩阵记作A^-1，满足以下条件：A * A^-1 = A^-1 * A = I其中，I表示单位矩阵。
求解逆矩阵可以用初等变换的方法。
4. 求逆矩阵的步骤以下是使用初等变换求解逆矩阵的步骤：步骤1：矩阵扩展将待求逆的矩阵与单位矩阵进行左右拼接，得到一个扩展矩阵。
步骤2：进行初等变换通过一系列的初等变换操作，将扩展矩阵变换为形如[I|B]的形式。
其中，B为原矩阵的逆矩阵。
步骤3：提取逆矩阵从步骤2得到的扩展矩阵中提取出逆矩阵B，即为原矩阵的逆矩阵。
5. 举例说明让我们通过一个例子来说明初等变换求矩阵的逆矩阵的过程。
假设有一个2x2的矩阵A:A = [[1, 2], [3, 4]]我们可以将A与单位矩阵进行扩展：[A|I] = [[1, 2, 1, 0], [3, 4, 0, 1]]接下来，通过一系列的初等变换操作，将扩展矩阵变换为形式[I|B]:[[1, 2, 1, 0] => [1, 0, -2, 1] [3, 4, 0, 1] [0, 1, , -]] 从变换后的矩阵中提取出逆矩阵B：B = [[-2, 1], [, -]]因此，矩阵A的逆矩阵为B:A^-1 = [[-2, 1], [, -]]6. 总结初等变换提供了一种便捷的方法来求解矩阵的逆矩阵。
线性代数2_6初等变换与逆矩阵的初等变换求法 - 副本
a22
a23
a24
0
0 1 a31
a32
a33
a34
a31
a32
a33
a34
1 0 0 0
AE(1,3(2))=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
0 2 0
10 0
0 0
1001
A E 行变换 E A-1
即若 Pm Pm-1 P2P1 A = E ,则 Pm Pm-1 L P2 P1 = A-1, 而 Pm Pm-1 P2 P1 = A-1 ,即 Pm Pm-1 L P2 P1E = A-1,
就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成
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推论 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等 矩阵的乘积.
证 （必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换 可化为单位阵E , 即存在初等矩阵 F1 ,F2 , ,Fs 使 E = Fs F2F1A
A = F1-1F2-1 L
Fs--11Fs-1E = F1-1F2-1 L
0 1 02003 1 2 3 0 0 1 2004 4 5 6
1
0
0
4
5
6
0
1
0
=
1
2
3
0 0 1 7 8 9 1 0 0
7 8 9
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线性代数矩阵的初等变换
r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
矩阵求逆矩阵的方法
矩阵求逆矩阵的方法矩阵求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，对于矩阵的逆的求解方法有多种，下面我们将介绍几种常见的方法。
1. 初等变换法。
对于一个可逆矩阵A，我们可以通过初等变换将其变为单位矩阵I，这时候A经过一系列的初等变换得到I，而I经过同样的一系列初等变换得到A的逆矩阵。
这种方法的优点是简单直观，容易理解，但对于大型矩阵来说计算量较大。
2. 克拉默法则。
对于n阶方阵A，如果A是可逆的，那么它的逆矩阵可以通过克拉默法则来求解。
克拉默法则利用矩阵的行列式和代数余子式的概念，将矩阵A的逆矩阵表示为A的伴随矩阵的转置除以A的行列式。
这种方法的优点是不需要对矩阵进行初等变换，但计算量也比较大。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是通过对矩阵进行一系列的初等行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，然后将I变为A的逆矩阵。
这种方法与初等变换法类似，但是更加注重矩阵的行变换，适合于对行变换较为熟悉的人来说。
4. 矩阵的分块法。
对于特定结构的矩阵，我们可以通过矩阵的分块来求解逆矩阵。
例如对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等，通过分块的方法可以简化逆矩阵的求解过程。
5. LU分解法。
LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过LU分解可以求解矩阵的逆。
这种方法适用于对矩阵分解比较熟悉的人来说，可以简化逆矩阵的求解过程。
总结：矩阵求逆矩阵的方法有多种，每种方法都有其适用的场景和计算复杂度。
在实际应用中，我们可以根据矩阵的特点和问题的需求来选择合适的方法。
希望本文介绍的方法可以帮助读者更好地理解矩阵求逆矩阵的过程，提高解决实际问题的能力。