概率统计在建模方法的简单案例
2
29 30
3.75
3.70 3.90
4.00
4.29 4.50
5.61
6.79 6.80
0.25
0.59 0.60
10
9.5 系列1 系列2 系列3 线性 (系列3)
9
8.5
8 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
用EXCEL作出 y与 x2 的散点图，如图所示：
9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 0 2 4 6 8
y = 0.072x2 - 0.4042x + 8.7476 系列1 多项式 (系列1)
（2）假设x1,x2对y的影响有交互作用，设 y=β+β1x1+β2x2+β3x2^2+β4x1x2+ε 程序如下：
>> x1=[-0.05 0.25 0.13 0.45 0.1 0.1 0.43 0.05 0.55 0.07 0.09 0.12 0.15 0.17 0.18 0.21 0.24 0.28 0.31 0.33 0.38 0.41 0.44 0.47 0.5 0.52 0.57 0.58 0.59 0.6]; >> x2=[1.62 5.61 3.8 6.53 3.15 3.13 6.63 1.42 6.72 2.41 3.03 3.73 4.01 4.5 4.94 5.28 5.54 5.77 5.96 6.13 6.28 6.41 6.51 6.59 6.65 6.7 6.74 6.77 6.79 6.8]; >> x3=[2.6244 31.4721 14.44 42.6409 9.9225 9.7969 43.9569 2.0164 45.1584 5.8081 9.1809 13.9129 16.0801 20.25 24.4036 27.8784 30.6916 33.2929 35.5216 37.5769 39.4384 41.0881 42.3801 43.4281 44.2225 44.89 45.4276 45.8329 46.1041 46.24]; >> x4=[-0.81 1.4025 0.494 2.9385 0.315 0.313 2.8509 0.071 3.696 0.1687 0.2727 0.4476 0.6015 0.765 0.8892 1.1088 1.3296 1.6156 1.8476 2.0229 2.3864 2.6281 2.8644 3.0973 3.325 3.484 3.8418 3.9266 4.0061 4.08]; >> y=[8.38 8.51 8.48 9.21 8.27 8.28 9.1 8.09 9.26 8.12 8.22 8.31 8.36 8.43 8.5 8.57 8.62 8.75 8.78 8.8 8.91 8.99 9.14 9.17 9.23 9.31 9.45 9.5 9.5 9.6]; >> save data x1 x2 x3 x4 y >> load data; >> t=ones(30,1); >> x=[t x1' x2' x3' x4']; >> Y=y'; >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,0.05)
8.51
9.50 9.60
问题的分析
题中香皂的销售量受到价格以及广告 投入这两者的影响，单独分析销售量 与价格之间的关系，由作出散点图， 我们发现它们呈线性告投入的平方呈线性关系，因此， 当两者共同作用时，我们建立了以下 模型。
模型的主要符号变量说明
结果如下：
参数 参数估计值 置信区间
β
8.0333
[7.6706 , 8.3960]
β1
17.0089
[7.8054 , 26.2125]
β2
-0.4174
[-0.6174 , -0.2175]
β3
0.0467
[0.0219 , 0.0715]
β4
0.0467
[-3.1797 , -0.7731]
置信区间
[ 8.1001 , 8.7475] [ 1.1336 , 2.7325]
β2
β3 R^2= 0.9598
-0.1889
0.0255 F=207.0772 P=0
[ -0.3586 , 0.0192]
[0.0005 , 0.0504] S^2=0.0096
由上可知， y的95.98% 可由以上模型确定,F 远大于F检验的临界值,
概率统计在建模方法的简单案例
香皂的销售量
主讲人： 组员：朱小丹 丛轶颖 秦思思
问题的提出
在实际生产销售过程中，我们发现香 皂的销售量与香皂的价格以及广告投 入之间有很大的关系，不同的价格， 不同的广告投入会导致销售量的不同。 那么香皂的销售量与这两者有满足怎 样的关系呢？
现在我们收集了30个销售周期本 公司香皂销售量、价格、广告费用， 及同期其他厂家同类牙膏的平均售 价 ，并制成如下表格：
y ~公司香皂销售量 x1其他厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用 y~被解释变量（因变量） x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) β,β1,β2,β3,β4~回归系数 ε~随机误差（均值为零的正态分布随 机变量）
基本模型的建立与问题的求解
用EXCEL作出y 与 x1 的散点图，如图所示：
>> save data x1 x2 x3 >> load data; >> t=ones(30,1); >> x=[t x1' x2' x3']; >> Y=y' >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,x,0.05)
结果如下：
参数
β β1
参数估计值
8.4238 1.9331
（1）假设x1,x2对y影响独立：设
y=β+β1x1+β2x2+β3x2^2+ε 由MATLAB解出回归系数，程序如下：
>> x1=[-0.05 0.25 0.13 0.45 0.1 0.1 0.43 0.05 0.55 0.07 0.09 0.12 0.15 0.17 0.18 0.21 0.24 0.28 0.31 0.33 0.38 0.41 0.44 0.47 0.5 0.52 0.57 0.58 0.59 0.6]; >> x2=[1.62 5.61 3.8 6.53 3.15 3.13 6.63 1.42 6.72 2.41 3.03 3.73 4.01 4.5 4.94 5.28 5.54 5.77 5.96 6.13 6.28 6.41 6.51 6.59 6.65 6.7 6.74 6.77 6.79 6.8]; >> x3=[2.6244 31.4721 14.44 42.6409 9.9225 9.7969 43.9569 2.0164 45.1584 5.8081 9.1809 13.9129 16.0801 20.25 24.4036 27.8784 30.6916 33.2929 35.5216 37.5769 39.4384 41.0881 42.3801 43.4281 44.2225 44.89 45.4276 45.8329 46.1041 46.24]; >> y=[8.38 8.51 8.48 9.21 8.27 8.28 9.1 8.09 9.26 8.12 8.22 8.31 8.36 8.43 8.5 8.57 8.62 8.75 8.78 8.8 8.91 8.99 9.14 9.17 9.23 9.31 9.45 9.5 9.5 9.6];
R^2=0.9724
F=220.5493
P=0
S^2=0.0069
（3）两模型销售预测量比较 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5 百万元 y= β+ β1x1+β2 x2+ β3x2^2+ε y的估计值为8.66； y= β+ β1x1+β2 x2+ β3x2^2+β4x1*x2+ε y的估计值为8.126； y略有减少
x2=6.5
x1=0.2
（4）交叉作用影响的讨论
1.当X2>8.5时，价格差越小，销售量Y增长越快；即价格优势会 是销售量增加； 2. 加大广告投入会使销售量增加；
(5)结论：
价格差较小时增加的速率更大 价格差较小时更需要靠广告来吸引顾客 的眼球。
由回归分析得出的商家销售策略
从上面的分析中我们可以看出，在同 一广告投入的条件下，商品价格与其 他商家的差值越小 ，销售量增长的 速率越快，因此商家可以保持商品价 格与其他商家的一致性；同时，广告 投入也会使商品的销售量有所增长， 所以商家也可以适量增加广告投入， 以吸引消费者的眼球，从而促进销售 量的增长。
概率论与数理统计中的数学建模案例
概率论与数理统计中的数学建模案例孙建英【摘要】Three examples are presented to explain the application of mathematical modeling in probably and mathematical statistics ,w hich develops student’s ability ,arouses their learning interest and improves teaching quality .%通过3个数学建模案例说明数学建模在概率论与数理统计中的应用，培养了学生的应用能力，激发了学习兴趣，提高了教学质量。
【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】3页(P224-226)【关键词】概率论与数理统计;数学建模;案例【作者】孙建英【作者单位】青岛理工大学琴岛学院基础部，山东青岛 266106【正文语种】中文【中图分类】G6420 引言《概率论与数理统计》与《高等数学》、《线性代数》并称为理工类高等本科院校的三大基础学科，它的重要性已不言而喻。
尤其是随着计算机的迅猛普及，概率统计在经济、管理、金融、保险、医学、生物等方面的应用更是得到了长足的发展，但是概率论与数理统计中有很多抽象的概念、定理，学生理解起来都比较困难，更别提应用自如了，而且现在很多院校使用的教材从知识的讲解角度来讲，虽无可挑剔，堪为经典，但是案例过于陈旧，数量不足，这就要求高校教师要不断地自我学习，更新案例，使学生深刻体会到概率论与数理统计这门学科强大的生命力和发展动力［1－6］。
文中将数学建模的案例和思想引入概率论与数理统计课堂中，教学中从问题到理论，再从理论到应用，让学生体会到“学以致用”的真正含义，从而激发学生的学习兴趣和探索精神。
1 数学建模案例在概率论与数理统计中的应用1.1 案例1：概率论与数理统计课程的引入“兴趣是最好的老师”，紧紧抓住学生的好奇心，是概率论与数理统计课程第一堂课要做的事情。
数学建模蒙特卡洛模拟方法详细案例
数学建模蒙特卡洛模拟方法详细案例
数学建模中的蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成和概率统计的方法，可以用于求解各种复杂的问题。
下面是一个详细的案例，以帮助你更好地理解蒙特卡洛模拟方法的应用。
案例：估计圆周率
假设我们要求解圆周率（π）的值。
我们可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计π的值。
1. 定义问题的概率模型：在这个案例中，我们使用一个简单的概率模型，即在一个边长为1的正方形内随机生成点，并计算这些点到正方形中心的距离。
2. 生成随机数：使用随机数生成器生成一系列的随机数，这些随机数代表点在正方形内的坐标。
3. 计算点到中心的距离：对于每个生成的点，计算它到正方形中心的距离。
4. 计算落在圆内的点的比例：将落在半径为1的圆内的点的数量除以总的点数。
这个比例近似于圆的面积与正方形的面积之比，也就是π/4。
5. 通过比例求解π：将步骤4中的比例乘以4，即可得到π的近似值。
通过多次重复上述步骤并取平均值，可以进一步提高估计的准确性。
需要注意的是，蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成和概率统计的方法，其结果具有一定的随机性和误差。
因此，在应用蒙特卡洛模拟方法时，需要选择合适的随机数生成器和概率模型，以确保结果的准确性和可靠性。
数学建模中的概率统计模型1
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
概率论与数理统计在数学建模中的应用
概率在数学建模中:的应用姓名：邓洪波高强庞宁班级：文电082-2专业：电子计算机与科学技术电话：?概率论与数理统计在数学建模中的应用通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识，包括：概率模型，统计回归模型，以及马氏链模型。
通过这三个方面的学习，大体上了解了概率在数学建模中的应用以及它所能解决的问题类型。
下面就这三个方面的内容做一下简单的介绍 。
首先对概率模型做一下简单的介绍。
对于实际问题我们所研究的对象无非是制定计划使效率最高，收入最高，费用最小，浪费最小以及变化趋势的估计等问题。
在这类问题中，题目往往给出的是实际背景，我们需要从这些实际背景中，抽象出数学模型，设出所需要的变量，然后用所学的知识解决问题，并且每一个模型都要进行“模型假设”，这是用数学知识解决问题的一个前提条件，下面就一个实际的题目进行各个方面的分析。
比如有如下问题：以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
用到的知识是（s ，S ）存贮策略，即制丁下界s ，上界S ，当周末库存小于s 时订货，是下周初的库存达到S;否则，不订货。
要解决的问题是考在虑订货费，存贮费，缺货费，购进费的情况下，制订（s ，S ）存贮策略，使总费用最小。
首先我们进行模型的假设，设出建模中所用到的变量，如下：1.每次订货费0c ,每件商品的购进价为1c ,每件商品一周贮存费2c ，每件商品缺货损失费3c （1c <3c ）；2.每周销售量r 随机，连续，概率密度p(r)；3.每周库存量x ，订货量u ，周初库存量u x +；4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等，当然有些问题再“模型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设，比如在《传送系统的效率》中我们曾假设：生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的等。
当然有些问题在做一般假设的时候还不能解决问题，还要进行进一步的假设，比如在《随机人口模型》中，在我们假设出生率x b 与t ∆成正比之后，又做了进一步的假设，假设出生率x b 与人口的总数n 成正比。
概率统计方法建模PPT课件
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5.5 随机状态转移模型
状态与状态转移 ➢随机变量Xn：第n年的状态 状态概率 ai (n)
Xn
1, 2,
第n年健康 第n年疾病
ai (n) P(Xn i), i 1, 2, n 0,1,
➢今年处于状态i, 来年处于状态j的概率 pi:j 转移概率
存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可 能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过 库存）的概率不同。
可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的 概率和每周的平均销售量。
马氏链的两个重要类型
设状态i是非吸收状态，j是吸收状态，则首达概率f ij (n) 实际上是i经n次转移被j吸收的概率。而
fij = fij (1) + fij(2) + … + fij(n) + …
则是从非吸收状态i出发终将被吸收状态j吸收的概率。 记 F={f ij} 则 F=MR
例如，可以算出前面第二种情况中
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5. 6 马尔可夫链的应用模型
模型求解 ➢ 估计这种策略下每周的平均销售量
第n周平均售量Rn
需求不超过存 量,销售需求
需求超过存量, 销售存量
3i
Rn [ jP(Dn j, Sn i) iP(Dn i, Sn i)] i1 j 1 3i [ jP(Dn j Sn i) iP(Dn i Sn i)]P(Sn i) i1 j 1
p23 p33
P(Dn k) e1 / k ! (k 0,1, 2 )
概率统计法建模
2
S2
1
2 i 1
2 2 ( X X ) ~ ( n 1); i
n
定理 设总体 X ~ N ( , ), X 1 , X 2 ,, X n 是取自
概率统计法
2015.5.27
概率统计法
一、方法原理 二、基础概念 三、建模过程 四、应用案例
一方法原理
实际系统中，许多系统过程或过程包含着随 机因素和随机事件，其特征可用随机变量 来描述，而概率分布是用数值表示的随机 事件或因素的函数，它反映了这些随机变 量的变化规律。利用概率统计学中的概率 分布及其数字特征建立随机系统或过程的 数学模型谓之概率统计法。这种方法的实 质就是通过理论分析和实验研究寻求适合 于系统随机特征的概率分布。在概率统计 建模中，贝叶斯定理占有相当重要的位置。
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其中 f ( x ) 称为 X 的概率
S
x2
f ( x)d x 1
f ( x)d x
S1
1
o
x1
x1 x 2
S1
x
正态分布(或高斯分布)
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为 1 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
P Ai P( Ai ). i 1 i 1
(2)条件概率的相关内容 在事件B, 已经发生条件下, 事件A发生的概率,称为 事件A在给定事件B的条件下的条件概率, 简称A对B的 条件概率, 记作P(A|B).
P(AB) P(A | B) = P(B)
数学建模概率模型案例
数学建模概率模型案例概率模型是数学建模的重要工具之一，广泛应用于各个领域。
以下是一个基于概率模型的数学建模案例。
问题描述：医院的急诊科接诊员需要根据患者的症状来判断是否需要进行心电图检查。
根据以往的医疗记录，我们知道有一种患者患有心脏病的概率是0.1，有心脏病的患者在进行心电图检查时有90%的准确率，没有心脏病的患者在进行心电图检查时有95%的准确率。
急诊科接诊员在给患者进行评估时会根据患者的症状判断是否需要进行心电图检查，但出于经济和时间的考虑，每天只能对20%的患者进行心电图检查。
问题分析：在这个问题中，我们需要建立一个概率模型来评估患者是否需要进行心电图检查。
我们需要考虑两个因素：患者是否有心脏病以及是否进行了心电图检查。
建立概率模型：1.定义事件：-A：患者有心脏病-B：患者进行了心电图检查-C：急诊科接诊员推荐患者进行心电图检查2.计算概率：-P(A)=0.1，患者有心脏病的概率-P(A')=0.9，患者没有心脏病的概率-P(B，A)=0.9，有心脏病的患者进行心电图检查的准确率-P(B，A')=0.95，没有心脏病的患者进行心电图检查的准确率3.根据贝叶斯定理计算后验概率：-P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)-P(A'，B)=P(B，A')*P(A')/P(B)4.根据给定条件计算先验概率：-P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，A')*P(A')5.根据条件概率计算P(C，B)：-P(C，B)=P(C,B)/P(B)进一步分析：根据模型，我们可以进行一些进一步的分析。
1.如果患者没有进行心电图检查，根据模型我们可以计算出他是否有心脏病的概率。
2.如果患者进行了心电图检查，根据模型我们可以计算出他有心脏病的概率。
3.根据模型的输出，急诊科接诊员可以根据患者的症状和推荐指标来判断是否进行心电图检查。
总结：这个案例展示了如何建立一个基于概率模型的数学建模问题。
数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模
§4 足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。
在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。
已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。
实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。
另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。
下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。
二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。
球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。
影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。
对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。
也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。
某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。
事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。
稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。
将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。
然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。
这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。
数学建模之概率统计-1
概率与统计
概率论中所研究的随机变量的分布都是 已知的。 统计学中所研究的随机变量的分布是未 知的或部分未知的，必须通过对所研究 的随机变量进行重复独立的观察和试验， 得到所需的观察值（数据），对这些数 据分析后才能对其分布做出种种判断， 即“从局部推断总体”。
统计学
给定一组数据，统计学可以摘要并且描述这
……
……
Matlab相关命令介绍
normfit 正态分布中的参数估计
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha) 对样本数据 x 进行参数估计，并计算置信度为 1-alpha 的置信区间 alpha 可以省略，缺省值为 0.05，即置信度为 95%
频率
随机试验进行次数
概率
基本知识
随机变量 数字特征（均值、方差、相关系数、特征函数…）
统计分析（假设检验、相关分析、回归分析…)
Matlab 中的随机函数
rand(m,n)
生成一个满足均匀分布的 m n 随机矩阵，矩阵的每
个元素都在 (0,1) 之间。
注：rand(n)=rand(n,n)
Matlab中的取整函数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数 : 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
取整函数举例
x1=fix(3.9);
x2=fix(-3.9); x3=floor(3.9); x4=floor(-3.2); x5=ceil(3.1); x6=ceil(-3.9); x7=round(3.9); x1=3 x2=-3 x3=3 x4=-4 x5=4 x6=-3 x7=4 x8=-3 x9=-4
数学建模-第四章-概率统计模型PPT参考课件
8
数
学 4.1.2 风险型决策问题
建
模
1．最大可能准则
由概率论知识，一个事件的概率就是该事
件在一次试验中发生的可能性大小，概率越 大，事件发生的可能性就越大。基于这种思 想，在风险决策中我们选择一种发生概率最 大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自 然状态的决策方法，这就是最大可能准则。 这个准则的实质是将风险型决策问题转化为 确定型决策问题的一种决策方法。
建 解 悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的
模 最大效益值为
m i nj {a1 j } min{50,10,5} 5
m i nj {a2 j } min{30,25,0} 0
m i nj {a3 j } min{10,10,10} 10
所以最大效益的最大值为
ma
x
i
m
29
数
学 建
4.2 报纸零售商最优购报问题
模
报纸零售商售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
数学建模
（Mathematical Modeling)
1
数 学 建 模
概率统计模型
2
数
学
建
概率统计模型
模
决策模型
报纸零售商最优购报问题
经济轧钢模型
线性回归模型
排队论模型
建模举例
重点:概率统计模型的建立和求解 难点:概率统计模型的基本原理及数值计算
3
数
学 建
4.1 决策模型
模
决策问题是人们在政治、经济、技术和
9
数
பைடு நூலகம்