流函数与势函数.docx
一、流函数
流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得
du dv
--- =—―
dx dy
平面流动的流线微分方程为吗一血" ⑵
式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即
于是
很显然，在流线上(1屮二0或屮二C。
每条流线对应一个常数值, 所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:
(1)
dr dd
dy/
流函数具有明确的物固愿契：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中，为保证流函数变化值（1屮与流量增量值dq、同
号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流
量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1 ,通过B点的流线的流函数值屮2 ，则通过AB柱面的体积流量为
¥ r w 辛
q v = \V -dZ = J \u cos(n7 x) +v cos(再y)](S
A A
["字 + v(-务问二j (T -vdx)
A
B
\(1屮=屮2_屮\
A
在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也 没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流 体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动, 就存在流函数，
dv du .
----- —=0
对于xoy 平面内的无旋流动，有CO Z =0,即：去Oy
口
2 才屮 d 2
i// 门
VV=—r + —r=0
也可得
dx
创
即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和 函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为
d 2u/ 1 du/ 1 d 2
u/ c
+ -- +——^=0 dr 2 r dr r 2 d02
二、速度势函数
屮】
对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知， 沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流
r = o
动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有 AL \BL 2A
即
•念二
J 必•念+J = o
AL^BI^A
AL^B
BL^A
J v = J v• ds
AL^B
AL 2B
对于理想流体无旋流动，从参考点A 到另一点B 的速度线积分与点A 至 点B 的路径无关，上式中ds 表示连接点A 与点B 的任意微元曲线。
也 就是说，速度线积分仅仅取决于B 点相对于A 点的位置，具有单值势函 数的特征。
由无旋流动的充要条件可知© = ® = 2 = °
因此有
A gB
上式是 皿+咧+w 力成为某-函数0(兀y z,『)的全微分 的必要且充分条件。
函数0(x ，y ，z,°成为速度势函数，简称速度势。
当以t 作为参变量时，即流体作定常流动吋，速度势函数的全微分可写
=udx+ vdy+ wdz
u 輕
4
于是可以得到 dx
dz
写
成
矢
量
形
式
上式说明了速度势函数的一个昌兮坚圃：速度在笛卡尔直角坐标系 屮三个坐标轴X 、y 、7方向上的分量等于速度势函数关于相应坐标的偏 导数。
dv _ du
§p ：
dx d
y
du _ dw dz dx
dw _ dv
— 11
dy dz
翌&
+ r.J
翌
卽
+ r-z 05X 3 5
流场中有速度势
（P 存在，它关于方向S 的偏导数为：
dx dy dz =U — + V —
+ W — ds ds ds
=V cos(K,x) — +cos(K,j)—+ cos(K,z)— ds
ds
ds
=K[cos(K ?x) cos (昂 x) + cos(E, y) cos($』)+ cos(K, z) COS (J ,Z )] = 7cos/s) = K
上式中 cos (r, x) COS0
』)cos (r, z)和 COS (J ,X ) COS (J ,J )
CO 心Z )分别表示速度矢量卢和方向矢量"对于X 、y 、Z 轴的方向
余弦。
它在方向s 上的分量为Vs 。
由于
d (p _ d (jp dx d (p dy dcp dz ds dx cis dy ds dz ds
流场中任取一点M 的速度为/
，
在圆柱坐标系下，径向速度卩厂、切向速度"°、轴向速度Vz分别为:
dq>
速度势函数仅仅是一个数学上的概念，没有所对应的物理意义。
在是常流动中速度势与时间无关，仅是空间位置的函数。
当不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在，这种流动乂被称为有势流动，即无旋流动等同于有势流动。
在有势流动中，沿曲线AB的切向速度线积分等于终点B与起点A的速
度势之差。
沿任一曲线AB切向速度的线积分「力$可写成
在有势流动中，沿任一封闭周线（A、B点重合）的速度环量为:
如果速度势是单值的和连续的，则沿任一封闭周线的速度环量等于零。
对于不可压缩流体，有％/引二°,有
上式中5x2夕&2为拉普拉斯算子。
当不可压缩流体作有势流动时，速度势满足拉普
拉斯方程。
满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。
由于拉普拉斯方程7串二“是线性齐次方程，该方程的不同解的叠加后仍然是该方程的解。
设4和卩2是调和函数，则'I% +勺® （其中5和C2为任意常数）也是调和函数。
因此，简单的调和函数可以叠加成复杂的调和函数，这为简单无旋流动的叠
加提供理论基础。
对于圆柱坐标系，拉普拉斯方程变为
吩护署右甥+黔。
应当指出的是，速度势函数满足拉普拉斯方程的前提条件是不可压缩流体的无旋流动，而并未限制流动是定常或非定常，速度势函数（P也可以是时间的函数。
三、流网
对于不可压缩流体的平面无旋流动（即有势流动），必然同时存在速度势函数（P和流函数屮。
根据它们与速度分量U、V的关系，可以得到（p 和屮之间的重要关系式：
dx dy
dy dx
上式称为柯西-黎曼条件。
流函数线 屮二C1，屮=X2…等，构成一簇流线，它们和等势线 q)=K 】,(p=K2…等构成一张描述平面流动特征的网，称为流网。
流线和等势线"籤的交点为M 。
在等势线"瓦上,
妇諛+辭"
僚
L
由此可得等势线的斜率为
如=陂亦也dy =
有
氐®
K1
= :c;c.
可得到等势线和流线线簇的斜率的乘积
e (p dy/ _ OX _ n
■ zz — I dq> dip dy dy
可见，在流线与等势线在其交点处相互止交。
习惯上，采用相等的流 函数增量来画流线，用相等的速度势函数增量人卩来画等势线，
由此可得流线的斜率为
dx
di//
IT
dy/ 药
氐可知，流场中速度越大，则对应的流线之间及
dn
及
等势线之间的距离越小，因此，流网可以比较直观地描绘出流动的特征。
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流函数与势函数是描述流体运动的两个重要概念，在流体力学中被广泛应用。
本文将介绍流函数和势函数的基本概念、性质以及求解方法。
1.流函数的概念和性质流函数是描述在二维定常流动中，各个流线上速度矢量的旋转情况的函数。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则流函数Ψ(x,y)定义为：V=∇Ψ=(∂Ψ/∂x,∂Ψ/∂y)其中，∇Ψ是流函数Ψ的梯度向量。
流函数的性质如下：1)斜率定理：沿着流线的方向，流函数的局部斜率等于流体的速度分量。
2)流线定理：流线上的流函数值保持不变，即Ψ为常数。
3)流函数的连续性：在空间中的流函数是连续的，除非在相应的流体内有边界。
4)流函数的耗散性：流函数对时间是线性的，即流函数在时间方向上是耗散的。
2.势函数的概念和性质势函数是描述流体在无旋力场中流动时所具备的性质的函数。
无旋力场是指速度场的旋度等于零。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则势函数φ(x,y)定义为：V=∇φ=(∂φ/∂x,∂φ/∂y)其中，∇φ是势函数φ的梯度向量。
势函数的性质如下：1)势函数的梯度向量是速度向量。
2)势流是不可压缩的，即∇·V=0。
3)势函数满足拉普拉斯方程，即∇²φ=0。
4)由于速度场的旋度等于零，势函数是无旋的。
3.流函数和势函数的关系在二维流动中，流函数和势函数之间存在一种特殊的关系，称为流函数-势函数耦合关系。
根据流函数和势函数的定义，可以得到流函数和势函数的关系：Ψ = ∫(∂φ/∂y)dx + f(y)φ = ∫(∂Ψ/∂x)dy + g(x)其中，f(y)和g(x)是任意常数函数。
根据流函数-势函数耦合关系可以求解流体的速度场，并且满足连续性方程和运动方程。
4.求解流函数和势函数的方法求解流函数和势函数的方法有多种，常用的方法有分离变量法、解析法和数值法。
4.1分离变量法分离变量法是将流函数和势函数分解为各自的变量函数，并通过解偏微分方程的边值问题来确定这些变量函数。
流函数势函数-第一章
V
或
V grad
无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把函数
x, y, z, t 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表
示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。
②引入势函数的优点
流速矢描述流体运动 需要给定三个变量
含有三个变量； 刻画流体的运动情况。
而引进了势函数后：
（1）减少表征流动的变量
（2）表征流体通量
在流体中任取一条有向曲线A B，顺着该有向曲线
流体自右侧向左侧的通量Q：
B
B
Q
V • n dl
A
A Vn dl
流速在曲线法向方向上的分量
曲线法向n方向k的单d位l 矢量定义为：
A
B
dl
而： dl i dx jdy
u ,v
引用流函数，并考虑：n
其流线方程为： dx dy 或vdx udy 0 uv
根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可 知，满足无辐散条件下:
vdx udy 0
d x, y, t vx, y, t dx ux, y, tdy 0
流速与该函数满足： u , v y x
矢量形式：
V k
习题1-6-4 平面流动的流线方程为：dx / u dy / v ； 由流函数全微分 d vdx udy ；
当取 常值时，也可以得到 dx / u dy / v
试问两式是否等价？请说明理由？
本节总结
§6速度势函数和流函数 （概念、理解） ①速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
由流速场与势函数的关系可知：V
4-第四讲 无粘不可压有势流动
第四讲 无粘不可压有势流动一、流函数与势函数1、势函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂=y v x u ϕϕ 02222=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂y x y v x u ϕϕ为调和函数，满足拉普拉斯方程。
2、流函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂=x v y u ψψ 022=∂∂∂-∂∂∂=∂∂+∂∂x y y x y v x u ψψ 若流动无旋，则有 02222=∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂=yx y u x v z ψψω为调和函数，满足拉普拉斯方程。
3、科希-黎曼关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂x yy x ψϕψϕ4、等流函数线与等势线正交 对于等势线和等流函数线，有2100k yx dxdy dy y dx x d k yx dxdy dy y dx x d =∂∂∂∂-=⇒=∂∂+∂∂==∂∂∂∂-=⇒=∂∂+∂∂=ψψψψψϕϕϕϕϕ121-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂=⋅v u v u y yx xk k ψϕ可构成正交网络。
5、等流函数线为流线vdy u dx udy vdx dy ydx x d =⇒=+-=∂∂+∂∂=0ψψψ满足流线方程。
二、基本流动及其合成1、平行来流（1）速度分布 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂==∂∂=∂∂==∞x y v y x V u ψϕψϕ0（2）速度势函数x V ∞=ϕ（3）流函数 y V ∞=ψ 2、点源与点汇（1）速度分布由连续方程，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂==∂∂=∂∂==⇒=r r V r r r q V q V r r r ψθϕθψϕππθ022（2）势函数 r qln 2πϕ= （3）流函数 θπψ2q = 3、点涡（1）速度环量 θπV r l d V C2=⋅=Γ⎰==〉⎪⎩⎪⎨⎧Γ==r V V r πθ20（2）势函数 θπϕ2Γ=（3）流函数 r ln 2πψΓ=4、偶极流点源和点汇配置如图所示，点源位于A 点(-a,0)，点汇位于B 点(a,0)，迭加后的速度势函数为B B A A r Qr Q ln 2ln 2ππϕ-=2222)()(a x y PB r a x y PA r B A -+==++==若B A Q Q =，则有2222)()(ln4ln 2)ln (ln 2a x y a x y Q r r Q r r Q B A B A -+++==-=πππϕ 流函数为P B A Q Q θπθθπψ2)(2-=-=（1） 流线方程常数=ψ 得到流线方程为 常数=P θ流线时经过点A 和点B 的圆线簇。
1-6 势函数流函数
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
பைடு நூலகம்
V V , V 0 V V , V 0
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
流体力学第6章(16节)
O V
vx vx-ivy
W(z)共轭复变数: W i f(z) z x iy
dW i
dz x x
v x i vy V
dW dz
dW dz
v
2 x
v
2 y
v2
vy
V
依据共轭复变数的运算方
α
法可以求出流场中各点的 O
速度v。
V
复势或复速度
速度场
vx+ivy
vx vx-ivy
为vx、 vy 、 vz 。取势函数的方向导数
cos(s, x) cos(s, y) cos(s, z)
s x
y
z
vx cos(s, x) vy cos(s, y) vz cos(s, z)
vs
势函数沿任意方向的导数值 等于该方向上的速度分量
特性2
证明：设对某一流动，存在势函数Φ(x, y, z)，流动的
a
rcta
y n
y
0
2
x x0
ln 2
( x x0 )2 ( y y0 )2
中心点在坐标原点的复势
W(z) i i lnr 2 2
( i lnr) ln (rei )
2
2i
lnz 2i
源点和汇点在z0点的复势
W(z) 2i l n (z z0 )
最后速度势函数为 vx
虚 线 为 等 势 线
例 2. 一平面恒定不可压缩流动的流线为通过原点的 向外发射的射线，速度大小 v 反比于这点到原心距离
r：v q / 2 r （q 是正常数）。证明这一流动是有势
的，并求解势函数。
解：
vx
q cos 2 r
速度势函数和流函数
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
10
流函数与体积通量：
图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在 该线上任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是
上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体 的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。
称为无辐散涡旋流(流函数对应)
称为无旋辐散流(势函数对应)
14
速度矢的分解
已知速度矢，如何得到速度的分解： 1）根据速度求出涡度和散度，即： 2）我们在前面已经给出了【势函数与散度】的关系，【流函数与 涡度】的关系，如下： 这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数
ห้องสมุดไป่ตู้
15
3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：
根据流线方程的求法，（* ）的流线方程为：
（1.75 ）可积的充要条件是无辐散，与（1.76 ）对比，发现是一 样的。对（1.76 ）积分，得： 上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线， 或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。
9
注意：
① ②
流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
6
流函数：
我们对流函数的讨论是建立在二维运动 XOY，且运动无辐散。即：
由无辐散条件 ，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函 数写成ψ ，ψ 的全微分为：
流函数势函数
(1)无旋条件：
或
<=> ( 2). Vx dx V y dy Vz dz在 流 场 中 与 积 分 路 径 关 无; <=> ( 3).Vx dx V y dy Vz dz是 某 函 数 的 全 微 分 . 即有：
d Vx dx V y dy Vz dz;Vx ,V y ,Vz ,Vs x y z s
称为势函数。 总之，无旋流和有势流是等价的。
2015-6-8
6.1.2 平面流的流函数ψ
(1)
<=> ( 2). V y dx Vx dy在 流 场 中 与 积 分 路 径 关 无; <=> ( 3). V y dx Vx dy是 某 函 数 的 全 微 分 . 称为流函数。
2015-6-8
Vy
2.两点流函数值之差6 .1 .4 势函数方程和流函数方程——拉普拉斯方程
2015-6-8
6 .1 .5 等势线和等流线的正交性
2015-6-8
y
即有： d V dx V dy;V ,V y x x y
x
适用条件：二维连续流动，有旋流/无旋流均适用。 6.1.3 流函数ψ的性质 1. 等流函数线就是流线
Vx 若 C d V y dx Vx dy 0 为流线 dy dx
流函数势函数
大气中充沛的水汽和水汽持续的输送是 形成强降水的必需条件,丁一汇等[3 ] 分 析了1998 年中国大洪水时期的全球水汽 背景,得到中国大洪水时期部分水汽收支 图像,揭示了水汽循环的一些规律。 由于2003 年强降水发生的区域和大环境 与1998 年不尽相同,分析对应时期的大范 围的水汽输送特征对理解2003 年江淮流 域暴雨洪涝的形成和维持也是有必要 的。
[4 ] 丁一汇. 天气动力学中的诊断分析方法. 北京:科学出版 社,1989 ,293pp [5 ] 周玉淑. 梅雨锋系的空间结构特征、形成机理及湿位涡 异常的研究. 中国科学院大气物理研究所博士学位论 文,2002 ,189pp [6 ] Gao Shouting ,Zhou Yushu ,Lei Ting. The structure features of the Meiyu front system. Acta MeteorologicSinica ,2002 ,16 :195～204
流函数、势函数的计算
1、对于无旋运动一定存在一个速度势 ，也称
势函数，该运动在任意方向的分速度即在此方 向的微分，对于x,y两个方向应有：
u
（1）
v
x y
只要找到势函数场，则与其对应 的无旋运动场的特点就清楚了。
2 2 u v D ( 2 2 ) 2 x y x y
（8）
实际工作中，常先规定一个误差标准值 运用(9)、（10）、(11)式反复迭代:
R =
n i,j
0
n i+1,j
in1, j in, j 1 2 2 ( 2 2 )in, j Di , j (9) 2 x y 2 x y
n i,j+1
第六章 势流流动
在滞止点，有
vθ
=
−2v∞ sinθ
+
Γ
2πR
=
0
θ
=
sin
−1
⎜⎜⎝⎛
Γ
4πRv∞
⎟⎟⎠⎞
所以，前后驻点的位置向下移动；当然具体位置
取决于 Γ ；此时流动沿y轴对称，而沿x轴不再
对称，所以有升力产生。至于升力的大小，可按
Bernoulli方程求出压强来后，再沿物面积分得到。
结果分别为：
圆柱体面上的压强分布：
vr
=
∂ϕ
∂r
= v∞ cosθ ⎜⎜⎝⎛1 −
R2 r2
⎟⎟⎠⎞,
vθ
=
∂ϕ r∂θ
= −v∞ sinθ ⎜⎜⎝⎛1 +
R2 r2
⎟⎟⎠⎞
根据速度分布，可知物面上径向方向上没有速度
在前、后驻点处：θ = 0,π : vθ = 0 最高点(最低点)处：θ = ± π 2 : vθ = 2v∞
所以最大流速出现在最高点与最低点上，且物面 上，流速关于x和y轴都是对称的。
c、等势线和等流函数线互相垂直。 [证明] 按照等势线和等函数线的定义，
dϕ = 0 dψ = 0
vxdx + vydy = 0 − vydx + vxdy = 0
立即看到，这是互相垂直的。
§6.2 简单势流
a、直匀流(或均匀流)
⎪⎧u ⎨
=
V0
cosα
Δ
=a
Δ
⎪⎩ v = V0 sinα = b
−
R2 r
⎟⎟⎠⎞
+
Γ
2π
ln r
所以，复合流动的速度分别为：
流函数和势函数
流函数（stream function）和势函数（potential function）是描述流体力学中二维流场的数学工具。
流函数：流函数是一个标量函数，用于描述二维流场中的流线。
在一个二维平面上，流函数的等值线与流线垂直。
流函数在二维流场中具有以下性质：
流函数沿流线是常数，即在沿着同一流线的任意点上，流函数的值是相同的。
流函数的梯度与速度场之间有关系，即速度场的分量可以表示为流函数的偏导数。
势函数：势函数是一个标量函数，用于描述二维流场的速度势。
在一个二维平面上，速度场的梯度等于势函数的梯度。
势函数在二维流场中具有以下性质：
速度场可以通过势函数的梯度来计算。
速度场的旋度为零，即速度场是无旋场。
流函数和势函数之间存在一定的关系，这种关系由二维流场的速度分布决定。
在某些情况下，可以通过已知的流函数或势函数来计算出速度场。
流函数和势函数在流体力学和电磁学等领域中具有广泛的应用。
它们是求解流场问题和研究流体运动特性的重要数学工具。