数据结构课程设计-Floyd算法求解最短路径
最短路径算法--Floyd算法
Floyd’s Algorithm 4
The subproblems
• Let D(k)[i,j]=weight of a shortest path from vi to vj using only vertices from {v1,v2,…,vk} as intermediate vertices in the path
Floyd's Algorithm: Using 2 D matrices
Floyd 1. D W // initialize D array to W [ ] 2. P 0 // initialize P array to [0] 3. for k 1 to n // Computing D’ from D 4. do for i 1 to n 5. do for j 1 to n 6. if (D[ i, j ] > D[ i, k ] + D[ k, j ] ) 7. then D’[ i, j ] D[ i, k ] + D[ k, j ] 8. P[ i, j ] k; 9. else D’[ i, j ] D[ i, j ] 10. Move D’ to D.
Floyd’s Algorithm 14
Can we use only one D matrix?
• D[i,j] depends only on elements in the kth column and row of the distance matrix. • We will show that the kth row and the kth column of the distance matrix are unchanged when Dk is computed • This means D can be calculated in-place
最短路径算法--Floyd算法
• To print the intermediate nodes on the shortest path a recursive procedure that print the shortest paths from i and k, and from k to j can be used
Floyd’s Algorithm 4
The subproblems
• Let D(k)[i,j]=weight of a shortest path from vi to vj using only vertices from {v1,v2,…,vk} as intermediate vertices in the path
1 0 0 0
D1[3,2] = min( D0[3,2], D0[3,1]+D0[1,2] ) = min (-3,) = -3
Floyd’s Algorithm 11
1
4
5
2 -3
D1 = 1
3 2 3 2 4 0 -3 2 0 0 0
1 0 2
2
2 4 0 -3
3 5 7 0
1 2 D = 2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
D3[1,2] = min(D2[1,2], D2[1,3]+D2[3,2] ) = min (4, 5+(-3)) =2
P=
1 2 3
Floyd算法——最短路径算法_C语言实现_阿涵_新浪博客
for(i=0;i<n;i++){//初始化
for(j=0;j<n;j++){
if(G->A[i][j]<MAX_INT){
path[i][j]=j;
}else{
path[i][j]=-1;
}
D[i][j]=G->A[i][j];
}
}
for(k=0;k<n;k++){//进行n次试探
}MGraph;//邻接矩阵表示的图
//Floyd算法
//求网G（用邻接矩阵表示）中任意两点间最短路径
//D[][]是最短路径长度矩阵，path[][]最短路径标志矩阵
void Floyd(MGraph * G,int path[][MAX_VERTEX_NUM],int D[][MAX_VERTEX_NUM],int n){
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
if(D[i][j]>D[i][k]+D[k][j]){
D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];//取小者
path[i][j]=path[i][k];//改Vi的后继
}
}
}
}
}
int main(){
int i,j,k,v=0,n=6;//v为起点，n为顶点个数
刘启诚
与客户共同创新（一）
惠普中国研究院
有一种生活叫“Smarter lif络低俗广告的鉴定标准
阿祥
告诉大家一个更加透明的华为
第11周图(下)第4讲-求最短路径的Floyd算法
path3
3
0
1
2
3
7
0
-1
0
31
0
2
1
2 -1 31
1
2
2
2
2
-1
2
0
3
2
2
3
-1
求最终结果
A3
0
1
2
3
0
0
5
8
7
1
6
0
3
2
2
3
3
0
2
3
4
4
1
0
path3
0
1
2
30-10301
2
-1
3
1
2
2
2
-1
2
3
2
2
3
-1
求最短路径长度：
由A3数组可以直接得到两个顶点之间的最短路径长度。 如A3[1][0]=6 说明顶点1到0的最短路径长度为6。
pathx[i][j]表示考虑过0～x的顶点得到i j的最短路径，该路径上顶点j的 前一个顶点。
已经考虑过0～k-1顶 点的情况
k
a
i
……
b
j
现在考虑顶点k
pathk-1[i][j]=b
若经过顶点k的路径更短： pathk[i][j] = a = pathk-1[k][j] 否则： pathk[i][j] = b = pathk-1[i][j] 不改变
Floyd算法示例演示
0
7 34
51
3
2
2
2
3
1
A-1
0
1
2
Floyd算法求解最短路径问题(完整程序代码)
引言在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里求出任意两个节点之间的最短距离。
当节点之间的权值是正值的时候，我们可以采用Dijkstra算法，用贪心策略加于解决。
但当节点之间的权值有负数的时候，Dijkstra就行不通了，这里介绍另外一种算法—Floyd最短路径算法。
对于任意图，选择存储结构存储图并实现FLOYD算法求解最短路经。
将问题分解，分解为两方面。
一是对于任意图的存储问题，第二个是实现FLOYD算法求解最短路经。
首先对于图的创建选择合适的存储结构进行存储，对于合适的存储结构可以简化程序。
本实验采用邻接矩阵存储。
然后是实现FLOYD算法求解最短路经，在FLOYD算法中路径的长度即是图中两定点间边的权值，FLOYD算法要求输出任意两个顶点间的最短路径，而且经过的顶点也要输出。
考虑到问题的特殊性，采用一个二维数组和一个三维数组进行存储。
二维数组存储最短路径，三维数组存储路径经过的顶点，在进行适当的算法后对这两个数组进行输出即可。
通过问题的分解，逐个解决，事先所要求的程序。
最短路径算法问题是计算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。
传统的最短路径算法主要有Floyd算法和Dijkstra算法。
Floyd算法用于计算所有结点之间的最短路径。
Dijkstra算法则用于计算一个结点到其他所有结点的最短路径。
Dijkstra算法是已经证明的能得出最短路径的最优解，但它的效率是一个很大的问题。
对于具有n个结点的一个图，计算一个结点到图中其余结点最短路径的算法时间复杂度为O(n2)。
对于一座大中型城市，地理结点数目可能达到几万个到几十万个，计算最短路径的时间开销将是非常巨大的。
本文根据吴一民老师的建议，分析当前存在的各种求最短路径的算法，提出一种新的基于层次图的最短路径算法，即将一个平面图划分若干子图，子图抽象为一个高层图。
最短路径的计算首先在高层图中进行，缩小了最短路径的查找范围，降低了最短路径计算的时间开销。
求最短路径经典算法详解-迪杰斯特拉（Dijkstra）、弗洛伊德（Floyd）
求最短路径经典算法详解-迪杰斯特拉（Dijkstra）、弗洛伊德（Floyd）什么是“迪杰斯特拉(Dijkstra)”算法？ 迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家于1959 年提出的，因此⼜叫。
是从⼀个顶点到其余各顶点的算法。
迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中⼼向外层层扩展，直到扩展到终点为⽌。
⽤来解决什么样的问题？ 解决的是有权图中最短路径问题，给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径应⽤案例：1.计算机⽹络传输的问题：怎样找到⼀种最经济的⽅式，从⼀台计算机向⽹上所有其它计算机发送⼀条消息。
2.交通运输问题，⾛那条路径最优解决思路步骤 基本思想：设置⼀个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。
以后每求得⼀条最短路径v, …, vk，就将vk加⼊集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相⽐较，取路径长度较⼩者为最短路径。
重复上述过程，直到集合V中全部顶点加⼊到集合S中。
设计数据结构 : 1、图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构。
2、数组dist[n]：每个分量dist[i]表⽰当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。
初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。
3、数组path[n]：path[i]是⼀个字符串，表⽰当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。
初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。
4、数组s[n]：存放源点和已经⽣成的终点，其初态为只有⼀个源点v。
详细步骤及相关说明迪杰斯特拉算法（详细）Dist ：存储了当前起点到其余各顶点的最短路径长度Path ：存储了起点到其余各顶点的路径Set：标记了哪些顶点已经被选⼊了最短路径说明：+：表⽰起点到顶点没有直接相连-1：当前顶点在其最短路径上⾯没有前⼀个顶点或者没有关系初始状态0123456Dist0466+++Path-1000-1-1-1Set1000000从某个定点到其余各个顶点的最短路径选择距离起点最近的那个顶点，将其并⼊，然后扫描图中未被并⼊顶点的所有顶点。
floyd算法求最短路径问题的步骤
floyd算法求最短路径问题的步骤Floyd算法是一种用于求解最短路径问题的动态规划算法。
它能够计算出任意两点之间的最短路径长度，并且可以同时得到最短路径的具体路径。
下面是Floyd算法求解最短路径问题的步骤：
1. 创建一个二维数组dist，用于存储任意两点之间的最短路径长度。
初始化时，将所有的元素设为无穷大（表示不可达），但对角线上的元素设为0。
2. 创建一个二维数组path，用于存储任意两点之间最短路径的中间节点。
初始化时，将所有的元素设为-1。
3. 根据给定的图或者网络，将直接相连的两个节点之间的距离填入`dist`数组中。
如果两个节点之间不存在边，则将距离设为无穷大。
4. 使用三重循环进行计算。
外层循环遍历所有可能的中间节点，中间层循环遍历所有可能的起始节点，内层循环遍历所有可能的目标节点。
如果通过中间节点k可以使得从起始节点i到目标节点j的路径更短，即dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]，则更新dist[i][j]为新的最短路径长度，并更新path[i][j]为中间节点k。
5. 循环结束后，dist数组中存储的就是任意两点之间的最短路径长度，path数组中存储的是最短路径的中间节点。
6. 如果需要获取具体的最短路径，可以通过回溯path数组来获取。
以起始节点i和目标节点j为例，可以通过不断查找path[i][j]，直到找到-1为止，得到最短路径
的节点序列。
以上就是Floyd算法求解最短路径问题的步骤。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点的数量。
数据结构最短路径课程设计
数据结构最短路径课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解图的基本概念，掌握图的表示方法及其特性；2. 掌握最短路径的两种经典算法：Dijkstra算法和Floyd算法；3. 能够运用所学算法解决实际生活中的最短路径问题。
技能目标：1. 能够运用数据结构中的图，进行实际问题的建模；2. 能够编写并实现Dijkstra算法和Floyd算法，解决最短路径问题；3. 能够通过分析、比较两种算法，选择合适的算法解决特定问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生面对复杂数据结构问题时，保持积极探究、解决问题的态度；2. 培养学生的团队协作能力，学会在团队中分享、交流、互助；3. 通过解决实际生活中的问题，培养学生将所学知识应用于实践的意识。
课程性质分析：本课程为数据结构中的图部分，以最短路径为具体实例，帮助学生理解图的概念及其在实际中的应用。
学生特点分析：学生已具备一定的编程能力和数据结构基础知识，但对图的相关概念和算法掌握不足，需要通过具体案例和实际操作，提高理解和应用能力。
教学要求：1. 以实际问题引入，激发学生的学习兴趣；2. 采用任务驱动法，引导学生自主探究、实践；3. 结合课堂讲解和实际操作，使学生在实践中掌握知识；4. 注重团队合作，培养学生的沟通与协作能力。
二、教学内容1. 图的基本概念：图的定义、图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）、图的遍历（深度优先搜索、广度优先搜索）。
2. 最短路径问题：最短路径的定义、最短路径算法的应用场景。
3. Dijkstra算法：算法原理、算法步骤、实例分析、编程实现。
4. Floyd算法：算法原理、算法步骤、实例分析、编程实现。
5. 算法比较与分析：Dijkstra算法与Floyd算法的优缺点比较、适用场景分析。
6. 实践项目：设计一个实际场景的最短路径问题，要求学生运用所学算法进行解决。
教学内容安排与进度：第一课时：图的基本概念、图的表示方法、图的遍历。
第二课时：最短路径问题、Dijkstra算法原理与实例分析。
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4.输入不符合要求的数据会使程序自动停止。
参考文献
[1]张长海.C语言程序设计[M].北京：高等教育出版社，2006
[2]吴启武.C语言课程设计案例精编.北京:清华大学出版社,2011.
参考资料：
《算法与数据结构》
《C语言程序设计》
教研室审核意见：教研室主任签字：
指导教师（签名）
年
月
日
学生（签名）
年
月
日
第一章需求设计
1
给出一张无向图，图上每一个顶点表示一个城市，顶点之间的边表示城市之间存在路径，边上的权值表示城市间的路经长度。利用弗洛伊德（Floyd）算法求解最短路径求解任意两个城市之间的最短路径问题。
3.依次输入每条边连接的两个顶点用空格间隔，边的权值。
图3.1.3
4.得到每两个顶点城市间的最短距离以及经过的城市。
图3.1.4
.4
第四章
4.1
图4.1
பைடு நூலகம்4.
1.无向图的顶点信息只能用一个字符表示。将存储顶点信息的字符型改为字符数组就可以完善该缺陷。
2.将两点的最短路径输出时只能显示经过的顶点有哪些，无法显示真实的路径顺序。
1
一个无向图用每个顶点代表城市，顶点之间边的权重表示城市之间的路径，将顶点信息和边的信息输入程序，即可得到每两个城市之间的最短路径长度值以及这条路径经过的城市。可以为建址问题提供参考。
设计环境：（1）WINDOWS 7系统
（2）VisualC++开发环境
开发语言：C语言
第二章
2
2
图2.1功能模块图
将问题分解为三个方面，第一个方面是对于无向图的存储问题，第二个方面是实现弗洛伊德（Floyd）算法求解最短路径，第三个方面是将最短路径输出。首先对于图的建立选择合适的存储结构，考虑到之后要用的弗洛伊德算法所以选择采用邻接矩阵存储无向图。然后采用弗洛伊德算法，该算法又叫插点法。是利用三重循环产生一个存储每个结点最短距离的矩阵，基本思想是设置一个n阶矩阵D(k)，D(k)[i][j]表示从i到j的路径长度，k表示运算步骤。用两个顶点之间边的权值作为路径长度，无边连接记做无穷，多次循环，向原路径加入新的顶点，若增加的顶点使得路径比原路径短，则用新路径代替原始路径，将顶点信息存储在另一个三维数组p中，p[v][w][u]存储的是由i到j路径经过的所有顶点。三重循环执行完毕最短路径的信息存储在两个数组中。最后将最短路径的信息输出。
本人签名:日期：2015年1月5日
沈阳航空航天大学
课程设计任务书
课程设计名称
数据结构课程设计
专业
计算机科学与技术（物联网方向）
学生姓名
孙思
班级
34010105
学号
2013040101204
题目名称
起止日期
2015
年
1
月
5
日起至
2015
年
1
月
16
日止
课设内容和要求：
给出一张无向图，图上每一个顶点表示一个城市，顶点之间的边表示城市之间存在路径，边上的权值表示城市间的路经长度。利用弗洛伊德（Floyd）算法求解最短路径求解任意两个城市之间的最短路径问题。
数据结构课程设计报告撰写要求
（一）纸张与页面要求
1．采用国际标准A4型打印纸或复印纸，纵向打印。
2．封页和页面按照下面模板书写（正文为：小四宋体1.5倍行距）。
3．图表及图表标题按照模板中的表示书写。
（二） 课设报告书的内容应包括以下各个部分：（按照以下顺序装订）
1.封页(见课设模版)
2、学术诚信声明，所有学生必须本人签字，否则教师拒绝给予成绩。
2
Find：根据名称得到指定顶点在顶点集合中的下标，利用此函数找到顶点所在位置，进而对无向图赋权值。
Create：创建无向图的邻接矩阵，因为每条边都有权值，创建的是无向网的邻接矩阵，用权值代替1，没有边连接则为无穷。
FLOYD：设置一个n阶矩阵D(k)，D(k)[i][j]表示从i到j的路径长度，k表示运算步骤。用两个顶点之间边的权值作为路径长度，无边连接记做无穷，多次循环，向原路径加入新的顶点，若增加的顶点使得路径比原路径短，则用新路径代替原始路径，将顶点信息存储在另一个三维数组p中，p[v][w][u]存储的是由i到j路径经过的所有顶点。三重循环执行完毕最短路径的信息存储在两个数组中。
主函数：在主函数里定义一个无向图，一个三维矩阵p，二维矩阵D，对各个函数进行调用，实现无向网的建立，运用弗洛伊德算法求解出最短路径，将路径长度以及经过的顶点信息输出。
2
图2.2.2Find函数
图2.2.3Main函数
第三章
3.
1.将顶点数和边数输出，中间用空格隔开。
图3.1.1
2.输入顶点信息。
图3.1.2
课程设计名称：数据结构课程设计
课程设计题目：利用弗洛伊德（Floyd)算法求解最短路径
院（系）：计算机学院
专业：计算机科学与技术(物联网方向)
班级：34010105
学号：
姓名：
指导教师：
说明：结论（优秀、良好、中等、及格、不及格）作为相关教环节考核必要依据；格式不符合要求；数据不实,不予通过。报告和电子数据必须作为实验现象重复的关键依据。
学术诚信声明
本人声明：所呈交的报告（含电子版及数据文件）是我个人在导师指导下独立进行设计工作及取得的研究结果。尽我所知，除了文中特别加以标注或致谢中所罗列的内容以外，报告中不包含其他人己经发表或撰写过的研究结果，也不包含其它教育机构使用过的材料。与我一同工作的同学对本研究所做的任何贡献均己在报告中做了明确的说明并表示了谢意。报告资料及实验数据若有不实之处，本人愿意接受本教学环节“不及格”和“重修或重做”的评分结论并承担相关一切后果。
（4)涉及到的函数的描述 ;
（5)主要算法描述( 程序流程图)
（6) 给出程序测试/运行的结果
设计多组数据加以描述（包括输入数据和输出结果）
（7) 课程设计的总结及体会
（8)参考文献
格式要求：[1]作者，等. 书名.出版地：出版社，出版年
5.附录：程序清单 (应带有必要的注释)
沈阳航空航天大学
课 程 设 计 报 告
2.任务书(学生教师均要签字,信息填写完整)
3.目录
4.正文一般应包括以下内容:
（1)题目介绍和功能要求（或描述）
课程设计任务的详细描述(注意不能直接抄任务书),将内容做更详细的具体的分析与描述；
（2)系统功能模块结构图
绘制系统功能结构框图及主要模块的功能说明；
（3)使用的数据结构的描述:数据结构设计及用法说明;