高一数学上学期摸底考试试题及答案
甘肃省靖远县第一中学2019-2020学年高一上学期入学摸底考试数学试题 PDF版含答案
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安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期分科诊断摸底联考试题 数学含答案
2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学试卷（答案在最后）注意事项:1．本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟;2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效;3．考生作答时,请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1．下列关系中，正确的是（）A ．e R ∈B ．{}12φ∈，C ．{}01x x ∉>-D ．{}}{200x x x x ≤⊆>2．设命题,0)5)(1(,:>-+∈∀x x R x p 则“命题p 的否定”是（）A ．,(1)(5)0x R x x ∃∈+->B ．,(1)(5)0x R x x ∃∈+-<C ．,(1)(5)0x R x x ∀∈+-≤D ．,(1)(5)0x R x x ∃∈+-≤3．[]2"1,2,20"x x a ∀∈--≤恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．0a ≤B ．1a ≤C ．3a ≥D ．2a ≥4．已知0,>>cb a ，下列不等式一定成立的是（）A ．-a c b>B ．c ca b >C ．a bc c >D ．a bc c>5．如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ,若321=l l ,则=21S S（）A ．9B ．8C ．4D ．3．．C ．D ．7．已知12(1cos 60)a ︒=-，3log 2b =，bc a =，则（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b c a<<8．已知函数x x f x -+=-)14(log )(12，则不等式)3()3(+<x f x f 的解集为（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．33,42⎛⎫-⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．下列命题中正确的有（）A ．2()1m f x m m x =--（）是幂函数，且在），（∞+0单调递减，则1-=mB ．22()log 2f x x x =-（）的单调递增区间是），（∞+1C ．21()1f x ax ax =++的定义域为R ，则[]4,0∈aD ．()f x x =+的值域是(]5，∞-10．下列选项中，结果为正数的有（）A ．sin1cos1+B ．sin 2cos 2+C ．sin3cos3+D ．sin 4cos4+11．已知正数2,++=b a ab b a 满足,则（）A ．2a b ++的最小值为B ．1ab +的最小值为C ．111a b+D ．310a b +的最小值为12．高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家。
新人教A版高一上学期摸底试卷数学试卷(三)A卷及答案解析
⑩,纷 内,则 实数〃的取值范围是
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高一数学试题 第 1页
贝刂Δ=臼 |2)2-4× 4× :≥=0,解之得:曰 ≥4或 ε≤0.
∴实数曰的取值范围是←∞,0lUⅡ ,+∞ ). r。 命题“31r∈ R,使 ⒋ 2+臼 -2》 +:≤ 犷是假命题时实 数 曰的取值范围是 G4)。 7.若 关于艿的方程4苈2+⒄ -2》 +〃 -5〓 0的 一个根在区间←1,OJ内 ,另 一个根在区间
新人教 ^版 高一上学期摸底试卷
数 学 试 巷 (三 )^卷
考生注意:1。 本试卷分第 I卷 (选 择题)和 第二卷 (非 选择题)两 部分,共 1so
分,考 试时间 120分 钟. 2.请 将各题答案填写在答题卡上。
第 I卷 (选择题 共 sO分 冫
一、单项选择题 (每 小题 5分,共 00分 )
∴/∩ B〓 {丬 0(艿 ζ1)=(0,1].
∴选择答案 【B】 。
∶≡ 刁Ξ 4.
已知
',3∈
R+,勿
+3〓
2,贝
刂 +:的
詈
最犭、值为
(A)
(:) +1
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答案 【B】
Ξ (D) 2√
解析 本题考查利用基本不等式求最值。
·。·%b∈ R十,2夕 +b=2
2021年高一上学期第二次摸底考试数学试题含答案
2021年高一上学期第二次摸底考试数学试题含答案一．选择题1．在实数，，0.101001，，0，中，无理数的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个2.若⊙的半径是5，⊙的半径是3，，则⊙与⊙的位置关系是A.相交B.内含C. 外切D.内切3．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0,n)是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是A．(0，) B．(0，) C．(0，3) D．(0，4)4．股市有风险，投资需谨慎。
截至今年五月底，我国股市开户总数约95000000，正向1亿挺进，95000000用科学计数法表示为（）A. 95×106B. 9.5×107C. 0.95×108D. 9.5×106科网5.小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为（）A. B. π C. π D.6．在平面直角坐标系内P点的坐标（，），则P点关于y轴对称点P／的坐标为（）A． B． C． D．7．两圆的圆心距为3，两圆的直径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（）A 外离B 外切 C相交 D内含8.如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么指针同时落在偶数的概率是（）A B C D二．填空题1．计算：tan30°－2－2 + xx0＋＝_________2.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的底面半径等于_______.3. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______ 。
4. 当= ______ 时，分式方程无解？5.如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格格点、、，若点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________.三．解答题1．化简求值：(x－1x－x－2x＋1)÷2x2－xx2＋2x＋1，其中x满足x2－x－1＝0．2．计算：．3.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面离地面的距离为lm，求该车大灯照亮地面的宽度BC．(不考虑其它因素,参考数据sin8°= ,）D4.某校团委计划在“七·一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲。
【数学】周南中学2022-2023学年高一上学期入学摸底测试(解析版)
2022年周南中学高一新生入学摸底考试数学试题时间90分钟，分值120分姓名__________考生号__________一、选择题（本大题共12小题，共36.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.根据纸张的质量不同，厚度也不尽相同，500张A4打印纸()280g /m 约厚0.052m ，因此，一张纸的厚度大约是0.000104m ，数据“0.000104”用科学记数法可表示为（）A.30.10410-⨯B.510.410-⨯ C.31.0410-⨯ D.41.0410-⨯【答案】D 【解析】【分析】利用科学记数法求解即可.【详解】数据“0.000104”用科学记数法可表示为41.0410-⨯.故选：D.2.在3317，π，2022这五个数中无理数的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据无理数的定义可得答案.【详解】在33172=-，π，2022π，共有两个.故选：A .3.如图，这个组合几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】根据组合体直观图可知，几何体下面是长方体，长方体的左上方是圆柱，故左视图下面是矩形，左上方是矩形.故选：A4.下列计算正确的是（）A.=B.1-=C.2= D.3=【答案】C 【解析】【分析】利用二次根式运算，逐项判断作答.【详解】对于A 不是同类二次根式，不能进行加减运算，A 错误；对于B ，115-==，B 错误；对于C 2÷==，C 正确；对于D ，-=，D 错误.故选：C5.世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络.5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是（）A.5005004510x x -= B.5005004510x x -=C.500050045x x-= D.500500045x x-=【答案】A 【解析】【分析】分别求在4G 网络峰值速率下传输500兆数据的时间和在5G 网络峰值速率下传输500兆数据的时间，从而得解.【详解】设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则在4G 网络峰值速率下传输500兆数据需要500x秒，5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在5G 网络峰值速率下传输500兆数据需要50010x秒，而5G 网络比4G 网络快45秒，所以5005004510x x-=.故选:A.6.已知一组数据5，5，6，6，6，7，7，则这组数据的方差为（）A.47B.447C.547D.6【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差公式求解即可.【详解】将数据从小到大排列：5566677，，，，，，，.平均数为5+5+6+6+6+7+767x ==，方差为()()()22221425636627677s ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，故A 正确.故选：A7.下列说法正确的是（）A.海底捞月是必然事件B.明天的降雨概率为80%，则明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨C.为了调查长沙市所有初中学生的视力情况，适合采用全面调查D.甲、乙两人各进行了10次射击测试，方差分别是21.3s =甲，21.1s =乙，则乙的射击成绩比甲稳定【答案】D 【解析】【分析】利用事件、概率的意义判断AB ；利用抽样、方差的意义判断CD 作答.【详解】对于A ，海底捞月是不可能事件，A 错误；对于B ，概率反映的是事件发生的可能性大小，明天的降雨概率为80%，说明明天降雨的可能性为80%，B 错误；对于C ，长沙市的初中学生很多，采用全面调查比较困难，适合抽样调查，C 错误；对于D ，由于22s s >甲乙，则乙的射击成绩比甲稳定.故选：D8.已知点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A.132y y y >>B.123y y y >>C.123y y y <<D.213y y y <<【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出1y 、2y 、3y 的值即可作答.【详解】由点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y 在反比例函数2y x=-的图象上，得1232,2,1y y y ==-=-，所以132y y y >>.故选：A9.如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A.53,22E ⎛⎫-⎪⎝⎭，(0,2)F B.(2,2)E -，(0,2)F C.53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(2,2)E -，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】作C 关于y 轴的对称点G ，作C 关于4y x =+的对称点D ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，有++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，即此时CEF △周长最小，求出D 点坐标，可得直线DG 方程，与4y x =+联立求出E 点坐标，令0x =可得F 点坐标.【详解】作(2,0)C -关于y 轴的对称点(2,0)G ，作(2,0)C -关于4y x =+的对称点(,)D a b ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，所以,==FG FC EC ED ，此时CEF △周长最小，即++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，由(2,0)C -，直线AB 方程为4y x =+，所以122422ba b a ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以(4,2)D -，可得直线DG 方程为022042--=---y x ，即1233y x =-+，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令0x =可23y =，所以20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠，分别交BC ，BD 于点E ，P ，连接OE ，若60ADC ∠=︒，122AB BC ==，则下列结论：①30CAD ∠=︒，②14OE AD =，③ABCD S AB AC =⋅，④BD =.其中结论正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【解析】【分析】根据平行四边形的性质根据角平分线的定义可得=60BAE DAE ABE ∠=∠︒=∠，从而可得ABE 为等边三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得30CAE ACE ∠=∠=︒，然后根据角的和差即可判断①；根据三角形中位线定理即可判断②；根据90BAC ∠=︒，利用平行四边形的面积公式即可判断③；先在Rt ABC △中，利用勾股定理可得AC 的长，从而可得OA 的长，再在Rt AOB △中，利用勾股定理可得OB 的长，然后根据2BD OB =即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，122AB BC ==，60,120,//,,,4ABC BAD AD BC OA OC OB OD AD BC ∴∠=︒∠=︒====，AE 平分BAD ∠，60BAE DAE ABE ∴∠=∠=︒=∠，ABE ∴ 为等边三角形，2AE BE AB ∴===，60AEB ∠=︒，422CE BC BE ∴=-=-=，CE AE BE ∴==，1302CAE ACE AEB ∴∠=∠=∠=︒，又AD //BC ，30CAD ACE ∠∴∠==︒，结论①正确；,B OA OC E CE == ，111244OE AB BC AD ∴===，结论②正确；90BAC BAE CAE ∠=∠+∠=︒ ，AB AC ∴⊥，ABCD S AB AC ∴=⋅ ，结论③正确；在Rt ABC △中，AC ===12OA AC ∴==在Rt AOB △中，OB ===2BD OB ∴==综上，结论正确的有4个，故选：D ．11.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，并与x 轴交于A ，B 两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；②22()0a c b +-=；③940a c +<；④若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的开口可得0a >，与y 轴的交点在下方可得0c <，抛物线的对称轴可得0b >可判断①；设()1,0A x ，()2,0B x ，由5OA OB =可得1251x x =-=，，从而5c a =-，可判断②③④.【详解】因为抛物线的开口向上，所以0a >，与y 轴的交点在下方，所以0c <，抛物线的对称轴是202bx a=-=-<，可得0b >，所以<0abc ，故①错误；设()1,0A x ，()2,0B x ，抛物线对称轴是22bx a=-=-，即4b a =，可得124x x +=-，因为5OA OB =，所以125x x =-，可得1251x x =-=，，所以125cx x a==-，即5c a =-，所以2222()(5)160=-=+--a c b a a a ，故②正确；可得()94945110+=+⨯-=-<a c a a a ，故③正确；因为0a >，若m 为任意实数，则()222248244am bm b am am a a m a ⎡⎤++=++=++≥⎣⎦，故④正确.故选：C.12.如下图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，其中BC 是斜边，若:8:9HM EM =，2HD =，则AB 的长为（）A.114B.2910C.3D.【答案】B 【解析】【分析】设,9HM t EM t ==，根据给定图形，用t 表示出BG ，NQ ，BC ，再利用勾股定理列式计算作答.【详解】由:8:9HM EM =，设8,9HM t EM t ==，0t >，因为四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，则92BC AD AH HD EM HD t ==+=+=+，2BG BE AB AE AD HM t ==-=-=+，2NQ HD ==，又BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，即222BC BG NQ =+，因此222(92)(2)2t t +=++，即220810t t +-=，而0t >，解得110t =，所以2910AB BC ==.故选：B二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.因式分解：22ab ab a -+=__________.【答案】2(1)a b -【解析】【分析】根据给定条件，利用提公因式法、公式法分解因式作答.【详解】2222(21)(1)ab ab a a b b a b -+=-+=-.故答案为：2(1)a b -14.圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120︒l =__________.【答案】【解析】【分析】由圆锥的底面半径求出底面周长，再利用锥体的侧面展开图的弧长，可求得圆锥的母线.【详解】设圆锥的底面半径为r 2π3，可得圆锥底面周长为2π2πr =圆锥的母线为l ,该圆锥的侧面展开图弧长为2π3l ⨯=解得l =故答案为：.15.已知()2484m n m n ka b a b -+=，则k m n ++=__________.【答案】6或2【解析】【分析】利用指数幂的运算和多项式相等可得答案.【详解】因为()222222484-+-+==m n m nm n m n ka b k a b a b ，所以24224228k m n m n ⎧=⎪-=⎨⎪+=⎩，解得231k m n =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或231k m n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则6k m n ++=，或2k m n ++=.故答案为：6或2.16.若关于x 的分式方程121-=+k x 的解为负数，则k 的取值范围为__________.【答案】3k <且1k ≠【解析】【分析】分析可知1x ≠-，解方程121-=+k x 得出x ，根据题意可得出关于实数k 的不等式组，解之即可.【详解】对于方程121-=+k x ，有10x +≠，可得1x ≠-，由121-=+k x 可得32k x -=，因为关于x 的分式方程121-=+k x 的解为负数，则302312k k -⎧<⎪⎪⎨-⎪≠-⎪⎩，解得3k <且1k ≠.故答案为：3k <且1k ≠.17.代数式||1|1|x x x x -+-的一切可能值为__________.【答案】2-，0，2【解析】【分析】分0x <、01x <<、1x >讨论去绝对值可得答案.【详解】由已知0x ≠，1x ≠，当0x <时，111211--+=--=---x x x xx x ；当01x <<时，111011--+=-=--x x x xx x ；当1x >时，111211--+=+=--x x x xx x .故答案为：2,0,2-.18.如图①，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，BA 长为半径作 AC ，F 为 AC 上一动点，过点F 作 AC 所在圆的切线，交AD 于点P ，交DC 于点Q .（1）图①中DPQ V 的周长等于__________.（2）如图②，分别延长PQ 、BC ，延长线相交于点M ，设AP 的长为x ，BM 的长为y ，则y 与x 之间的函数表达式_________________________.【答案】①.8②.8(04)2xy x x =+<<【解析】【分析】根据过圆外一点的切线长相等可得DPQ V 的周长；连接BF 、BP ，过点P 作PN BM ⊥于点N ，判断出 BAP BFP ≌△可得==PM BM y ，再由222PM MN PN =+可得y 与x 之间的函数表达式.【详解】 四边形ABCD 是正方形，4AB BC CD DA ∴====，90∠=∠=∠=∠= BAD B BCD D ，AD ∴切 AC 所在圆于点A ，CD 切 AC 所在圆于点C ，又PQ ∵切 AC 所在圆于点F ，AP PF =，CQ QF =，DPQ ∴△的周长8AD CD =+=；如图，连接BF 、BP ，过点P 作PN BM ⊥于点N ，则易得四边形ABNP 为矩形，4PN AB ∴==，BN AP x ==，MN BM BN y x ∴=-=-，在BAP △和BFP △中，AB FB AP FP BP BP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，BAP BFP ∴≌△△，APB FPB ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，APB PBC ∴∠=∠，FPB PBC ∴∠=∠，PM BM y ∴==.在Rt PMN △中，222PM MN PN =+，222()4y y x ∴=-+，即8(04)2x y x x =+<<.故答案为：①8；②8(04)2x y x x =+<<.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.一方有难，八方支援.“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手.某公司用甲，乙两种货车向某市运送爱心物资，两次满载的运输情况如下表：甲种货车辆数乙种货车辆数合计运物资吨数第一次3429第二次2631（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；（2）目前有46.4吨物资要运输到该市，该公司拟安排甲乙货车共10辆，全部物资一次运完，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用.【答案】（1）甲乙分别能运输5吨和3.5吨（2）甲货车8辆，乙货车2辆【解析】【分析】（1）设甲乙每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资，根据已知数据列方程组求x 、y 即可；（2）设甲货车z 辆，乙货车(10)z -辆，结合（1）及已知有5 3.5(10)46.4z z +-≥，求z ，进而确定最节省费用的车辆安排.【小问1详解】设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x 吨和y 吨物资，根据题意得34292631x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得53.5x y =⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资.【小问2详解】设安排甲货车z 辆，乙货车(10)z -辆，根据题意得5 3.5(10)46.4z z +-≥，解得7.6z ≥，z 为整数，则8z =或9或10，因为甲种货车的费用大于乙种货车的费用，所以甲种货车数量最小时最节省费用，∴当8z =时1082-=，最小费用850023004600=⨯+⨯=（元），答：该公司应安排甲货车8辆，乙货车2辆最节省费用.20.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长.（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b 米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度.（用含a ，b ，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度.【答案】（1）(tan )a b α+米（2）3.8米.【解析】【分析】（1）利用在Rt AEC △中tan tan AE CE a αα=⋅=，可得AB AE BE =+；（2）由ABH GCH ∽△△得211AB BC =+，由ABF EDF ∽ 得233 1.8AB BC=++，从而求出BC ，可得答案.【小问1详解】如图：由题意得：BE CD b ==米，EC BD a ==米，90AEC ∠= ，ACE α∠=，在Rt AEC △中，tan tan AE CE a αα=⋅=（米），()tan AB AE BE b a α∴=+=+米，∴灯杆AB 的高度为()tan a b α+米；【小问2详解】由题意得：2GC DE ==米， 1.8CD =米，90ABC GCD EDF ∠=∠=∠=︒，AHB GHC ∠=∠ ，ABH GCH ∴∽△△，CG CH AB BH ∴=，211AB BC∴=+，F F ∠=∠ ，ABF EDF ∴∽△△，DE DF AB BF ∴=，233 1.8AB BC ∴=++，1313 1.8BC BC ∴=+++，0.9BC ∴=米，2110.9AB ∴=+， 3.8AB ∴=米，∴灯杆AB 的高度为3.8米.21.如图，O 的直径10AB =，弦6AC =，ACB ∠的平分线交O 于D ，过点D 作//DE AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD .（1）由AB ，BD ， AD 围成的曲边三角形的面积是多少？（2）求证：DE 是O 的切线；（3）求线段DE 的长.【答案】（1）2525π24+；（2）证明见解析；（3）354.【解析】【分析】（1）连接OD ，利用给定条件，证明OD AB ⊥，再计算扇形面积和三角形面积作答.（2）证明OD DE ⊥，再利用切线的判定推理作答.（3）过A 作AF D E ⊥，再借助相似三角形求解作答.【小问1详解】连接OD ，由O 的直径10AB =，得90ACB ∠=︒，又ACB ∠的平分线交O 于D ，则2290AOD ABD ACD ACB ∠︒=∠=∠=∠=，即OD AB ⊥，扇形AOD 面积2125ππ44S OA '=⋅=，所以由AB ，BD ， AD 围成的曲边三角形的面积12525π224BOD S S S OD OB S ''=+=⋅+=+ .【小问2详解】由（1）知OD AB ⊥，而//DE AB ，则OD DE ⊥，所以DE 是O 的切线.【小问3详解】由（1）知90ACB ∠=︒，又10AB =，6AC =，则8BC ==，过点A 作AF D E ⊥于点F ，由（1）（2）知，四边形AODF 是正方形，即5FD AF OD ===，又90EAF CAB ABC ∠=︒-∠=∠，则Rt Rt EAF ABC ∽，于是EF AC AF BC =，即561584EF ⨯==，所以1535544=+=+=DE DF EF .22.已知：如图，抛物线22y x x c =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，该抛物线的顶点为M .（1）求点A 、B 的坐标以及c 的值.（2）证明：点C 在以BM 为直径的圆上.（3）在抛物线上是否存在点P ，使直线CP 把BCM 分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）点(1,0)A -，点(3,0)B ，3c =；（2）证明见解析；（3）存在，点P 坐标为57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点C 的坐标代入，再解方程作答.（2）利用两点间的距离公式，结合勾股定理推理作答.（3）设出直线CP 所对函数解析式，再利用等面积法求解作答【小问1详解】将点(0,3)C -代入22y x x c =--得：3c =，则抛物线的解析式为：2=23y x x --，而抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点，由2230x x --=，解得=1x -或3x =，所以点(1,0)A -，点(3,0)B .【小问2详解】由（1）知2(1)4y x =--，即点(1,4)M -，而点(3,0)B ，点(0,3)C -，则BC ==BM ==CM ==，因此22220BC CM BM +==，即有=90BCM ∠︒，所以点C 在以BM 为直径的圆上.【小问3详解】设直线CP 与BM 的交点为F，如图，由直线CP 把BCM 分成面积相等的两部分，得CMF BCF S S = ，而CMF 和BCF △是等高的两个三角形，即有FM BF =，点F 是BM 的中点，由点(3,0)B ，点(1,4)M -，得点F 坐标为(2,2)-，设直线CP 的解析式为y mx n =+，把点C 、点F 得坐标代入得322n m n =-⎧⎨+=-⎩，解得123m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，于是直线CP 解析式132y x =-，而点P 是直线CP 与抛物线2=23y x x --的交点，则由213232x x x -=--解得：0x =或52x =，显然点P 与C 不重合，即点P 的横坐标不为0，当52x =时，74y =-，所以点P 坐标为57(,)24-.23.如图，在半径为3的圆O 中，OA 、OB 都是圆O 的半径，且90AOB ∠=︒，点C 是劣弧 AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），延长AC 交射线OB 于点D .（1）如果设AC x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当185AC =时，点E 在线段OD 上，且1OE =，点F 是线段OA 上一点，射线EF 与射线DA 交于点G ，如果以点A 、G 、F 为顶点的三角形与DGE △相似，求AGF DGE S S 的值.【答案】（1）3x y x-=，0x <<；（2）2581.【解析】【分析】（1）连接OC ，AB ，过点O 作OH AC ⊥于点H ，利用相似三角形性质求出解析式，再由点C 的位置求出定义域作答.（2）利用相似三角形性质求出AF ，结合（1）的信息，及相似三角形性质求解作答.【小问1详解】连接OC ，AB ，过点O 作OH AC 于点H ，如图2，由OA OC =，AC x =，得1122AH AC x ==，OH ===又90AOD ∠=︒，则OAH DOH ∠=∠，而90AHO AOD ∠=∠=︒，即AOH ADO ∽ ，于是AH OA OH OD =，又BD y =，因此13213x y =+，即3363x x y x -=，由点C 是劣弧 AB 上的一个动点（点C 不与点A 、B 重合），得0AC AB <<，而AB ===0x <<，所以y 关于x的函数解析式为3x y x-=，定义域为0x <<.【小问2详解】如图，当185AC =时，由（1）知，1185BD ==，由1OE =，3OB =，得2BE =，3DE =，4OD =，由AGF EGD ∽，得GFA D ∠=∠，而GFA OFE ∠=∠，则OFE D ∠=∠，因此OFE ODA ∽，则OF OE OD OA =，即143OF =，解得43OF =，45333AF OA OF =-=-=，所以225253(()381AGF DGE S AF S ED === .。
陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高一上学期第一次摸底考试数学试题(解析版)
西安市第八十五中学高2023级新生入学摸底考试数学试题一、单项选择题（每小题44分，共32分）1.全称量词命题“R x ∀∈，254x x +=”的否定是（）A.R x ∃∈，254x x +=B.R x ∀∈，254x x ≠+C.R x ∃∈，254x x ≠+D.以上都不正确【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.【详解】全称量词命题“R x ∀∈，254x x +=”的否定为“R x ∃∈，254x x ≠+”.故选：C.2.已知集合{}10,A x x a =≤=，则a 与集合A 的关系是（）A.a A ∈B.a A∉ C.a A= D.{}a A∈【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由元素与集合的关系，即可得到结果.【详解】因为10a =≤，所以a A ∈.故选:A3.设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则（）A.a >bB.a <bC.a ≥bD.a ≤b【答案】C 【解析】【分析】作差比较可得答案.【详解】a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b .故选：C .4.设集合U ＝{－1,1,2,3}，M ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{－1,1}，则实数p 的值为()A.－6B.－4C.4D.6【答案】D 【解析】【详解】∵集合{}1,1,2,3U =-，且{}1,1U C M =-∴{}2,3M =∵{}2|50M x x x p =-+=∴236p =⨯=故选D5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0B.∃x ∈N ，2x 为偶数C.所有菱形的四条边都相等D.π是无理数【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的概念，结合命题的意义判定真假，从而做出判定.【详解】对A ，是全称量词命题，但不是真命题(当1x =-时结论不成立），故A 不正确；对B ，是真命题(当0x =时2x 即为偶数)，但不是全称量词命题，故B 不正确；对C ，是全称量词命题，也是真命题，故C 正确；对D ，是真命题，但不是全称量词命题，故D 不正确，故选：C.6.已知集合{}44A x x =-≤≤，{}B x x a =<，则“5a >”是“A B A = ”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】若A B A = ，即可得到A B ⊆，从而求出a 的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若A B A = ，则A B ⊆，又{}44A x x =-≤≤，{}B x x a =<，所以4a >，所以由5a >推得出A B A = ，故充分性成立；由A B A = 推不出5a >，故必要性不成立，所以“5a >”是“A B A = ”的充分不必要条件.故选：A7.已知集合{}|02A x x =<<，集合{}|11B x x =-<<，集合{}|10C x mx =+>，若()A B C ⊆ ，则实数m 的取值范围为（）A.{}|21m m -≤≤ B.1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C.1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.11|24m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】求出A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，利用集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，分类讨论，可得结论．【详解】由题意，A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，∵集合C ＝{x |mx +1＞0}，（A ∪B ）⊆C ，①m ＜0，x 1m -＜，∴1m -≥2，∴m 12≥-，∴12-≤m ＜0；②m ＝0时，C ＝R,成立；③m ＞0，x 1m -＞，∴1m-≤-1，∴m ≤1，∴0＜m ≤1，综上所述，12-≤m ≤1，故选：B ．【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．8.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220B x x axxx b =+++=，且 R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（）．A.4B.8C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ⋂=∅R ð可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数.【详解】由题设可知，[]{}{}Z |031,2A x x =∈<<=，又因为()A B ⋂=∅R ð，所以A B ⊆，而()(){}22|20B x x axxx b =+++=，因为20x ax +=的解为=0x 或x a =-，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=-，所以1,2分属方程20x ax +=与220x x b ++=的根，若1是20x ax +=的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=1=8a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =-，故{}0,1,2,4B =-；若2是20x ax +=的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=2=3a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =-，故{}0,1,2,3B =-；所以不管1,2如何归属方程20x ax +=与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16.故选：C二、多项选择题（每小题4分，共16分，全对得4分，少选得2分，错选得0分）9.已知集合{}2{|10,R},560A x ax a B x x x =+=∈=--=，若A B ⊆，则实数a 的值可以是（）．A.19B.17C.0D.18-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，求得{7,8}B =-，再分0a =和0a ≠，求得集合A ，结合A B ⊆，即可求解.【详解】由方程256(8)(7)0x x x x --=-+=，解得7x =-或8x =，即{7,8}B =-，当0a =时，则方程10ax +=无实数解，此时A =∅，满足A B ⊆，符合题意；当0a ≠时，由10ax +=，可得1x a =-此时1A a ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭，要使得A B ⊆，可得17a -=-或18a -=，解得17a =或18a =-.综上可得，实数a 的值为0或17或18-.故选：BCD.10.一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.2a <-C.1a <-D.1a <【答案】BC 【解析】【分析】先根据方程根的分布得到判别式和两根之积的关系式，解出等价条件，再利用真子集是其充分不必要条件即得结果.【详解】若方程()24300ax x a ++=≠有一个正根1x 和一个负根2x ，则121612030a x x a ∆=->⎧⎪⎨=<⎪⎩，解得a<0，则一元二次方程()24300ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为(),0∞-的真子集，故BC 正确，AD 错误.故选：BC.11.下列说法正确的是（）．A.命题p ：“R x ∃∈，210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，210x x ++≥”B.已知,R a b ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分而不必要条件C.“1x ≠”是“2320x x -+≠”的充要条件D.若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题p ：“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”所以A 正确；对于B 中，由1a >且1b >，可得“1ab >，即充分性成立；反正：例如：1,42a b ==，满足1ab >，但1a >且1b >不成立，即必要性不成立，所以1a >且1b >是1ab >的充分而不必要条件，所以B 正确；对于C 中，由2320x x -+≠，可得1x ≠且2x ≠，所以1x ≠是2320x x -+≠的必要不充分条件，所以C 不正确；对于D 中，根据充分条件、必要条件的关系，可得p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，所以D 正确.故选：ABD.12.设非空集合{}S x m x n =≤≤，其中,R m n ∈，若集合S 满足：当x S ∈时，有2x S ∈，则下列结论正确的是（）．A.若12m =-，则114n ≤≤ B.若12n =，则02m -≤≤C.若1m =，则{}1S x x =≥ D.若1n =，则10m -≤≤【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，求得1m ≥或0m ≤，且01n ≤≤，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】因为非空集合{}S x m x n =≤≤，满足：当x S ∈时，有2x S ∈，所以当m S ∈时，由2m S ∈，即2m m ≥，解得1m ≥或0m ≤，同理，当n S ∈时，由2n S ∈，即2n n ≤，解得01n ≤≤，对于A 中，若12m =-，则必有214m S =∈，则201n m n ⎧≥⎨≤≤⎩，解得114n ≤≤，所以A 正确；对于B 中，若12n =，则2212m m m ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得02m -≤≤，所以B 正确；对于C 中，若1m =，则必有21m S =∈，则101n n ≥⎧⎨≤≤⎩，此时1m n ==，所以{}1S =，所以C 不正确；对于D 中，若1n =，则满足221m m m ⎧≤⎨≤⎩，解得10m -≤≤或1m =，所以D 错误.故选：AB.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）13.命题p ：一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限的充要条件是__________．【答案】112k -<<【解析】【分析】根据题意，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】因为一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限，则满足10210k k -<⎧⎨+>⎩，解得112k -<<，即一次函数()121y k x k =-++的图像经过一、二、四象限的充要条件是112k -<<.故答案为：112k -<<.14.若集合(){}210|A x k x x k =++-=有且仅有两个子集，则实数k 的值是_______.【答案】－1或12-【解析】【分析】依据题意可知A 中只有一个元素，然后分1k =-，1k ≠-讨论计算即可.【详解】由条件，知A 中只有一个元素．当1k =-时，{}1A =-．当1k ≠-时，()1410k k ∆=++=，解得12k =-，此时{}1A =-．综上所述，实数k 的值为1-或12-．故答案为：－1或12-15.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是________．①11a b<②2ab ab <③2ab a -<-④11a b-<-【答案】④【解析】【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】由0a b <<，可得0,0ab b a >->，对于①中，由110b a a b ab --=>，所以11a b>，所以①不正确；对于②中，由2(1)0ab ab ab b -=->，所以2ab ab >，所以②不正确；对于③中，由2()()0ab a a b a ---=-->，所以2ab a ->-，所以③不正确；对于④中，由11()0a b a b ab ----=<，所以11a b-<-，所以④正确.故答案为：④.16.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合{}1,2A =-，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____.【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a 值，即可求解【详解】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，B ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素1=-时，解得2a =，当,A B 2=时，解得12a =，故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭四、解答题（本题共4小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）化简：；（2）求方程()28120x x x -+=∈R 的解集．【答案】（11-；（2）{}2,2,6,6--．【解析】【分析】（1）将式子分母有理化，即可得解；（2）依题意可得28120x x -+=，解得x ，即可求出x ，从而得解.【详解】（1）+++=11=-+=-；（2）方程()28120x x x -+=∈R ，即28120x x -+=，则()()260x x --=，解得2x =或6x =，所以2x =或2x =-或6x =或6x =-，则方程()28120x x x -+=∈R 的解集为{}2,2,6,6--.18.若12,x x 是方程2220230x x +-=的两个实数根，试求下列各式的值：（1）2212x x +；（2）12x x -．【答案】（1）4050（2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到12122,2023x x x x +=-=-，结合()2221212122x x x x x x +=+-，即可求解；（2）由（1），结合12x x -==，即可求解.【小问1详解】解：因为12,x x 是方程2220230x x +-=的两个实数根，可得12122,2023x x x x +=-=-，则()()22121222122(2)220234050x x x x x x =+-=--⨯-=+.【小问2详解】解：由（1）知12122,2023x x x x +=-=-，则12x x -====.19.已知命题:210p x ≤≤，命题:q x a <或21x a >+，其中0a >．若p 是q 成立的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】10a >或102a <<【解析】【分析】令{}|210A x x =≤≤，{|B x x a =<或()210}x a a >+>，依题意可得A 真包含于B ，即可得到不等式（组），解得即可.【详解】令{}|210A x x =≤≤，{|B x x a =<或()210}x a a >+>，因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 真包含于B ，所以10a >或2120a a +<⎧⎨>⎩，解得10a >或102a <<，故a 的取值范围为10a >或102a <<．法二：由A 真包含于B ，可得如下两种情况，结合数轴得10a >或2120a a +<⎧⎨>⎩，解得10a >或102a <<，故a 的取值范围为10a >或102a <<．20.已知集合[0,2]A =，[,3]B a a =+．（1）若R ()R A B = ð，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使R ()R A B = ð且A B ⋂=∅？【答案】（1）[1,0]-；（2）不存在.【解析】【分析】（1）求出集合A 的补集，再利用并集的结果求解即得.（2）利用（1）的结论，结合交集的结果求得的范围即可.【小问1详解】集合[0,2]A =，则R (,0)(2,)A =-∞+∞ ð，而[,3]B a a =+，且R ()R A B = ð，因此032a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[1,0]-.【小问2详解】由（1）知10a -≤≤，由A B ⋂=∅，得30a +<或2a >，解得3a <-或2a >，所以不存在实数a 使R ()R A B = ð且A B ⋂=∅成立.。
高一数学摸底试题及答案
高一数学摸底试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 22. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 若a, b, c是等差数列，则2b=（）A. a+cC. b+cD. a-b4. 函数y=x^3-3x+1的单调递增区间为（）A. (-∞, +∞)B. (-∞, 1)C. (1, +∞)D. (-∞, -1)∪(1, +∞)5. 已知向量a=(1, 2)，b=(2, 3)，则向量a·b的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(2)的值为（）A. -4C. 4D. 87. 已知等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，则a_3的值为（）A. 18B. 24C. 54D. 728. 函数y=2^x-1/2^x的值域为（）A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, 1)D. (1, +∞)9. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，若a=2，则b的值为（）A. 2√3B. √3C. √2D. 210. 已知直线l: y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k的取值范围为（）A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-1, 1)D. (-∞, -1)∪(1, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3+3x^2-9x-5，求f'(x)的值为______。
12. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=3，公差d=2，则a_5的值为______。
13. 已知向量a=(3, -4)，b=(-2, 6)，则向量a+b的值为______。
14. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(0)的值为______。
15. 已知双曲线x^2/4-y^2/3=1的渐近线方程为______。
湖北省孝感市第一高级中学2024-2025学年高一上学期入学摸底考试数学试卷
湖北省孝感市第一高级中学2024-2025学年高一上学期入学摸底考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．M N MÇ=B ．M N MÈ=C ．M N Ç=ÆD ．M N=7．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程()222130x m x m +-++=的根，则m 等于（ ）A ．-3B ．5C ．5或-3D ．-5或38．若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =--££，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ）A ．124q -££B ．50q -££C ．54q -££D ．123q -££二、多选题9．已知集合{}2|1A x y x ==+，{}2|1B y y x ==+，下列关系正确的是（ ）A ．A B=B ．A B¹C ．A B A=I D ．A B B=I 10．随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ）A ．10月测试成绩为“优秀”的学生有40人B ．9月体育测试中学生的及格率为30%C ．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长四、解答题15．已知集合2{|210}A x R ax x =Î++=，其中a R Î.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中有且仅有一个元素，求实数a 的组成的集合B ；（3）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.16．已知集合{}|33A x x =-<£，{}|221,R B x m x m m =-££+Î．(1)当1m =时，求集合AB ð；(2)若A B B =I ，求实数m 的取值范围．17．（1）求二次函数2235y x x =-+在22x -££上的最大值和最小值，并求对应的x 的值；（2）已知函数221y ax ax =++在区间32x -££上的最大值为4，求实数a 的值.18．已知关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=.(1)判断方程根的情况；(2)若方程的两根1x 、2x 满足()()12116x x --=，求k 值；(3)若ABC V 的两边AB 、AC 的长是方程的两根，第三边BC 的长为5，①则k 为何值时，ABC V 是以BC 为斜边的直角三角形？②k 为何值时，ABC V 是等腰三角形，并求出ABC V 的周长.19．定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分1．C【分析】联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可.【详解】因为221y x y x =+ìí=-î，解得35x y =ìí=î，所以两函数图象交点组成的集合为(){}3,5.故选：C.2．D【分析】观察发现：一、三、四项一组，符合完全平方公式，然后运用平方差公式继续分解．【详解】2212x xy y -++()2221x xy y =++-2()1x y =+-()()11x y x y =+++-．故选：D ．3．A【分析】由图像可知阴影部分对应的集合为()U A B I ð，然后根据集合的基本运算求解即可．【详解】由已知得1,{}1,2B =-，由图像可知阴影部分对应的集合为()U A B I ð，()U {0,3,4}A B \Ç=ð．故选：A.4．C【分析】利用子集的定义即可求解.【详解】{3,3}B =-Q ，∴当0a =时，A =Æ，满足A B Í；2224[(23)]4(32)10b ac k k k D =-=-+-++=>,\方程有两个不相等的实数根．（2）由题知：1223x x k +=+，21232x x k k =++.()()12116x x --=Q 变形为：()121216x x x x -++=()2322316k k k \++-++=．得：3k =-或2k =.（3）()()()222332120x k x k k x k x k -++++=----=Q ．110x k \=+>，220x k =+>，则1k >-．①不妨设1AB k =+，2AC k =+，斜边5BC =时，有222AB AC BC +=，即：22(1)(2)25k k +++=，解得：12k =，215(k x =-、2x 为负，舍去）.当2k =时，ABC V 是直角三角形；②1AB k =+Q ，2AC k =+，5BC =，由（1）知AB AC ¹故有两种情况：当5AC BC ==时，25k +=，则3k =，314AB =+=， 4Q 、5、5满足任意两边之和大于第三边，此时ABC V 的周长为45514++=；当5AB BC ==时，15k +=，4k =，26AC k =+=，6Q 、5、5满足任意两边之和大于第三边，此时ABC V 的周长为65516++=.综上可知：当3k =时，ABC V 是等腰三角形，此时ABC V 的周长为14；。
2024学年第一学期杭州地区新高一开学摸底考试数学试题(含答案解析)
2024学年第一学期杭州地区新高一开学摸底数学模拟试题（1-3章）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{2,4}A =，2{|560}B x x x =−+=，则()U A B ∪= A. {0,1,5}B. {0,4,5}C. {2,3,5}D. {2,3,4}2.“22ac bc >”是“a b >”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知函数()y f x =的对应关系如下表所示，函数()y g x =的图象是如图所示的曲线ABC ，则()2f g 的值为( )x1 2 3 ()f x23A. 3B. 0C. 1D. 24.下列函数中是奇函数的为( ) A. 1y x =−B. 2y x =C. ||y x =D. y x =5.在同一坐标系内，函数(0)m y x x =>和1y mx m=+的图象可能是( ) A. B.C. D.6.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为()[]G x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[ 1.2]2−=−，[1.2] 1.=定义符号函数()sgn x =1,0,0,0,1,0,x x x >= −<， 则[()][()]sgn G G sgn ππ+= ( ) A. 2−B. 1−C. 1D. 27.已知0a >，0b >，若44a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A. 21+C.94D.528.函数()()()252,2213,2a x x f x x a x a x −−− = +−−< ，若对任意1x ，212()x R x x ∈≠，都有()()12120f x f x x x −<−成立，则实数a 的取值范围为( ) A. []4,1−−B. []4,2−−C. (]5,1−−D. []5,4−−二、多选题：本题共3小题，共15分。
2022-2023学年浙江省宁波市北仑中学高一上学期开学摸底考试数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省宁波市北仑中学高一上学期开学摸底考试数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.2．已知:02p x <<，:13q x -<<，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分不必要条件【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解. 【详解】由:02p x <<，可得出:13q x -<<， 由:13q x -<<，得不出:02p x <<， 所以p 是q 的充分而不必要条件， 故选：A.3．若函数f (x )和g (x )分别由下表给出：满足g (f (x ))＝1的x 值是（ ）．A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】从外到内逐步求值． 【详解】解：∵g (f (x ))＝1， ∴f (x )＝2， ∴x ＝1，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．4．若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，若{}1,2,4A B ⋃=，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{B ．{C ．{}2,2-D ．{2,2,-【答案】D【分析】由题中条件可得22m =或24m =，解方程即可. 【详解】因为{}21,A m =，{}2,4B =，{}1,2,4A B ⋃=，所以22m =或24m =，解得m =2m =±，所以实数m 的取值集合为{2,2,-. 故选：D.5．已知()()12222xxa a a a -++>++，则x 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R【答案】B【分析】讨论底的范围，由配方法可求得221a a ++>，再由指数函数单调性，可解不等式.【详解】22172()124a a a ++=++>恒成立，根据指数函数单调性，单调递增，1x x ∴>-，解得12x >，即x 的取值范围是1(,)2+∞ 故选：B.【点睛】利用单调性解不等式，()y f x =单调递增，若12()()f x f x >，则12x x >.6．若集合1122M x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，12xN ⎧⎪⎛⎫=<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩⎭，则M N =A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】求出集合M 、N ，再利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】由题意得集合{}111110122222M x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=-≤=-≤-≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，1122111222222x x N x x x --⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎛⎫=<<=<<=-<<⎨⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，因此，1100,22M N x x ⎧⎫⎡⎫⋂=≤<=⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了指数不等式与绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．已知0a >，0b >，若44a b ab +=，则a b +的最小值是（ ）A ．2B 1C ．94D ．52【答案】C【分析】将44a b ab +=，转化为144b a +=，由()11414544a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式求解. 【详解】因为44a b ab +=， 所以144b a+=，所以()11414544a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，19544⎛≥+= ⎝，当且仅当1444b a a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3234a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，故选：C二、多选题9．若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（ ）A ．1A ∈B ．2A ∈C ．3A ∈D ．4A ∈【答案】ABD【解析】分别令22m n +等于1,2,3,4，判断,m n 是否为整数即可求解.【详解】对于选项A ：221+=m n ，存在0,1m n ==或1,0==m n 使得其成立，故选项A 正确；对于选项B ：222m n +=，存在1,1m n ==，使得其成立，故选项B 正确； 对于选项C ：由223m n +=，可得23m ≤，23n ≤， 若20m =则23n =可得n =n z ∉ ，不成立； 若21m =则22n =可得n =n z ∉ ，不成立； 若23m =，可得20n =，此时m =m z ∉ ，不成立；同理交换m 与n ，也不成立，所以不存在,m n 为整数使得223m n +=成立，故选项C 不正确；对于选项D ：224m n +=，此时存在0,2m n ==或2,0m n ==使得其成立，故选项D 正确， 故选：ABD.10．下列说法中正确的是（ ） A ．若a >b ，则2211a bc c >++ B ．若-2<a <3，1<b <2，则-3<a -b <1 C ．若a >b >0，m >0，则m m a b< D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 【答案】AC【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答. 【详解】对于A ，因c 2+1>0，于是有211c +>0，而a >b ，由不等式性质得2211a bc c >++，A 正确；对于B ，因为1<b <2，所以-2<-b <-1，同向不等式相加得-4<a -b <2，B 错误； 对于C ，因为a >b >0，所以11a b <，又因为m >0，所以m ma b<，C 正确； 对于D ，12->-且23->-，而(1)(2)(2)(3)-⋅-<--，即ac >bd 不一定成立，D 错误. 故选：AC11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥，则下列说法正确的是（ ） A ．0a <B ．0ax c +>的解集为{}6x x >C ．8430a b c ++<D ．20cx bx a ++<的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】AD【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.【详解】因为关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥， 所以0a <且方程20ax bx c ++=的两个根为2-，3， 即3(2)6,3(2)16,c bc a b a a a⨯-==-+-=-=⇒=-=-. 因此选项A 正确；因为6c a =-，0a <，所以由0606ax c ax a x +>⇒->⇒<，因此选项B 不正确； 由6,c a b a =-=-可知：8438418140a b c a a a a ++=--=->，因此选项C 不正确； 因为6,c a b a =-=-，所以由222060610cx bx a ax ax a x x ++<⇒--+<⇒+-<， 解得：1123x -<<，因此选项D 正确，故选：AD12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．已知函数1()12=-+x x e f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{1,0,1}-【答案】BC【解析】计算(1),(1)g g -得出(1)(1),(1)(1)g g g g ≠-≠--判断选项A 不正确；用函数的奇偶性定义，可证()f x 是奇函数，选项B 正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出()f x 在R 上是增函数，判断选项C 正确；由x y e =的范围，利用不等式的关系，可求出11()22f x -<<，选项D 不正确，即可求得结果.【详解】根据题意知，111()1221=-=-++x x xe f x e e . ∵1(1)[(1)]012eg f e ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦， 11(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦，(1)(1),(1)(1)g g g g ∴≠-≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；111()()1212x x x e f x f x e e ---=-=-=-++，∴()f x 是奇函数，B 正确；x y e =在R 上是增函数，由复合函数的单调性知11()21xf x e =-+在R 上是增函数，C 正确；0x e >，11x e ∴+>，1101,1011x xe e <<-<-<++， 11()22f x ∴-<<，()[()]{1,0}g x f x ∴==-，D 错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，然后才会对函数()f x 变形，并作出判断.三、填空题13．已知集合{}1A x x =>，集合{}03B x x =<<，则A B =________ 【答案】()1,3【解析】由交集定义计算．【详解】由题意{|13}A B x x ⋂=<<． 故答案为：(1,3)． 14．函数2y =___________.【答案】4【分析】根据基本不等式可求出结果.【详解】令1t =≥，则244y t t ==+≥，当且仅当2t =，即x =min 4y =.所以函数2y = 4.故答案为：4【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______．【答案】3【解析】根据解析式求出()11f -=，再求出()1f 即可.【详解】23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，()1231f ∴-=-+=， ()()()11213f f f ∴-==+=.故答案为：316．已知定义域为[]13,1a a -+的奇函数()32f x x bx x =++，则()()30f x b f x a +++≥的解集为_______． 【答案】12,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a ，b 的值，求得函数解析式，并判断单调性. ()()30f x b f x a +++≥等价于()()()311f x f x f x ≥-+=-+⎡⎤⎣⎦，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.【详解】由题知，()()3232f x x bx x f x x bx x -=-+-=-=---，所以220bx =恒成立，即0b =． 又因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以()1310a a -++=，解得1a =，因此()3f x x x =+，[]2,2x ∈-，由3y x =单调递增，y x =单调递增， 易知函数()f x 单调递增，故()()30f x b f x a +++≥等价于()()310f x f x ++≥ 等价于()()()311f x f x f x ≥-+=-+⎡⎤⎣⎦ 即()31232212x x x x ⎧≥-+⎪-≤≤⎨⎪-≤+≤⎩，解得12,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故答案为：12,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知集合{}2430A x x x =++≥，{}21B x m x m =<<-，且A B A ⋃=，求m 的取值范围．【答案】2m ≤-或1m ≥-【分析】解出集合A ，分析可知B A ⊆，分B =∅、B ≠∅两种情况讨论，结合B A ⊆可得出关于m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围.【详解】解：因为A B A ⋃=，则B A ⊆，且{}{24303A x x x x x =++≥=≤-或}1x ≥-.（i ）当B =∅时，即21m m ≥-，解得1m ≥-，此时B A ⊆成立；（ii ）当B ≠∅时，由B A ⊆可得2113m m m <-⎧⎨-≤-⎩或2121m m m <-⎧⎨≥⎩，由2113m m m <-⎧⎨-≤-⎩可得2m ≤-，由2121m m m <-⎧⎨≥⎩可得m ∈∅. 综上所述，实数a 的取值范围是2m ≤-或1m ≥-.18．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{|0x x ≤或52x ⎫≥⎬⎭，（1）求A ∩B ； （2）求(CUB )∪P ；（3）求(A ∩B )∩(CUP )．【答案】（1）{}|12x x -<≤；（2）{|0x x ≤或52x ⎫≥⎬⎭；（3）{}|02x x <≤.【分析】直接利用集合的基本运算求解.【详解】因为全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{|0x x ≤或52x ⎫≥⎬⎭所以（1）A ∩B {}=|12x x -<≤；（2）{|1U B x x =≤-或}3x >，则(CUB )∪P ={|0x x ≤或52x ⎫≥⎬⎭；（3）50|2U P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则(A ∩B )∩(CUP ) {}=|02x x <≤．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 19．（1）已知3x >，求43x x +-的最小值； （2）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y +的最小值．【答案】（1）7；（2）1【分析】（1）由题设知30x ->，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件； （2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件. 【详解】（1）∵3x >，即30x ->，()443333x x x x ∴+=+-+--3437≥=+=， 当且仅当433x x =--，即4x =时取等号， ∴43x x +-的最小值为7．()2x ，y R +∈，()1311313112144y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当y =，即)21x =，(23y =时取等号．∴13x y +的最小值为1. 20．已知函数4()2x xa f x +=.（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若函数()()()1g x f x a =-+在[]1,1-上有2个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）由函数()f x 为偶函数，得到()()f x f x -=，进而得出()(1)410xa --=，即可求得实数a 的值；（2）令()0g x =，整理得()()2210x xa --=，根据函数()g x 在[]1,1-上有2个不同的零点，得到10x =，22log (0)x a a =>，结合定义域，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即4422x x x xa a--++=. 整理得()(1)410xa --=，所以1a =.（2）因为函数()()()1g x f x a =-+， 令()0g x =，可得4(1)02x xaa +-+=，整理得4(1)20x x a a -++=， 即()()2210x xa --=，由函数()g x 在[]1,1-上有2个不同的零点，所以10x =，22log (0)x a a =>，且21log 1a -≤≤，2log 0a ≠， 解得112a ≤<或12a <≤， 所以a 的取值范围为(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km /h ．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M （单位：Wh ）与速度v （单位：km /h ）的数据如下表所示：为了描述国道上该汽车每小时耗电量M 与速度v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()20M v v bv cv =++；②23()10004vM v a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭；③3()200log a M v v b =+． (1)当080v ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从A 地行驶到B 地，其中高速上行驶200km ，国道上行驶40km ，若高速路上该汽车每小时耗电量N （单位：Wh ）与速度v （单位：km /h ）的关系满足2()210200N v v v =-+（80120v ≤≤），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】(1)3211()20M v v bv cv =++是可能符合格中所列数据的函数模型；3211()415020M v v v v =-+； (2)当高速路上速度为80km /h ，国道上速度为40km /h 时，总耗电最少，为33300Wh .【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③，再利用待定系数法即得； （2）根据题意可得高速路上的耗电量100()400(5)f v v v=+-，再分析()f v 的单调性求得最小值，再由题可得国道上的耗电量，根据二次函数的性质即得.【详解】(1)因为函数23()10004vM v a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭是定义城上的减函数， 又3(0)M 无意义， 所以函数23()10004v M v a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭与3()200log a M v v b =+不可能是符合表格中所列数据的函数模型， 故3211()20M v v bv cv =++是可能符合格中所列数据的函数模型， 由3213213211(10)1010101150201(30)3030302250201(70)707070805020M b c M b c M b c ⎧=⋅+⋅+=⎪⎪⎪=⋅+⋅+=⎨⎪⎪=⋅+⋅+=⎪⎩， 解得4150b c =-⎧⎨=⎩， 所以3211()415020M v v v v =-+； (2)由题意，高速路上的耗电量200100()()4005f v N v v v v ⎛⎫=⨯=+- ⎪⎝⎭， 当[80,120]v ∈时，2100()40010f v v ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 所以函数()y f v =在区间[80,120]上是增函数，所以min (80)30500Wh y f ==， 国道上的耗电最2140()()2(40)2800h v M v v v=⨯=-+， 所以max ()(40)2800Wh h v h ==所以当高速路上速度为80km /h ，国道上速度为40km /h 时，总耗电最少，为33300Wh .22．设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤． （1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．【答案】（1）6；（2）()f x 可表示为：y =232t t ++；min 1()4f x =-，此时x =max ()12f x =，此时9x =．【分析】（1）由已知函数解析式，结合对数运算，即可求得结果；（2）根据x 的范围，求得t 的范围，利用换元法，根据二次函数的单调性即可容易求得结果.【详解】（1）33(3)log 27log 9326f =⨯=⨯=；（2）令3log t x =，又199x ≤≤，32log 2x ∴-≤≤，即22t -≤≤ 由()()()23333()log 2log 1log 3log 2f x x x x x =+⋅+=++故()f x 可表示为y =232t t ++令2231()3224g t t t t ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，[2,2]t ∈-①当32t =-时，min 1()4g t =-，即33log 2x =-，则323x -==，min 1()4f x ∴=-，此时x = ②当2t =时，max ()(2)12g t g ==，即3log 2x =，9x =，max ()12f x ∴=，此时9x =．【点睛】本题考查对数运算，以及利用换元法求对数型复合函数的值域，属综合基础题.。
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余姚市第五中学2018-2019学年高一上学期摸底数学试题
一．选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）下面每题给出的四个选项中，只有一个是正确的．
1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）
2．若a+b=3，a ﹣b=7，则ab=（ ） A ．﹣10 B ．﹣40
C ．10
D ．40
3．下面简单几何体的左视图是（ ）
D
2这三个数字组成，但具体顺序忘记了．他第一次就拨通电话的概率是 A ．
21 B ．41 C ．61 D ．8
1
5．若一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax 2
+bx 的对称轴为（
） 6．若函数y=
的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量
x 的增大而增大，则m
的取值范围是（ ）
7．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．
cm D ．
cm
8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O 于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
A．2B．8 C．2D．2
9．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，
沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，
△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）
10．对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．二次根式中，x的取值范围是．
12．因式分解：ab2﹣a= ．
13．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有只，兔有只．
14．如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D．若AC=7，AB=4，则sinC的值为．
15．如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是．
16．将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是．
17．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行此操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1
的所有正整数中，最大的是．
三、解答题（本题有5小题，第18～20题每题14分，第21、22题每题15分，共72分）18．当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE=CE；
（2）求∠CBF的度数；
（3）若AB=6，求的长．
20．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同． （1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于4
9
，问至少取出了多少个黑球？
21．为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元
/件）是采购数量（件）的一次函数．下表提供了部分采购数据．
（1）设A 产品的采购数量为x （件），采购单价为y 1（元/件），求y 1与x 的关系式； （2）经商家与厂家协商，采购A 产品的数量不少于B 产品数量的
9
11
，且A 产品采购单价不低于1200元．求该商家共有几种进货方案；
（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A ，B 两种产品，且全部售
完．在（2）的条件下，求采购A 种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．
22．抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求点B及点D的坐标．
（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．
②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．
2018年余姚五中高一新生入学测试卷答案
一．选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）下面每题给出的四个选项中，只有一个是正确的．
19、解答：解：（1）连接AE，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE．…………………………4’
（2）∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°，
∵BF是⊙O切线，∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°．…………………………8’
（3）连接OD，
∵OA=OD，∠BAC=54°，∴∠AOD=72°，
∵AB=6，∴OA=3，
∴弧AD 的长是=．…………………………14’
解法二：根据题意可得B 产品的采购单价可表示为：
1100101300)20(102+=+--=x x y
则A 、B 两种产品的每件利润可分别表示为：
600
10170026020176021+-=-+=-x y x y
2026010600x x +>-+则当时，A 产品的利润高于B 产品利润，
………………………………………7分
………………………………………………………8分
34
3
x >
即时，A 产品越多，总利润越高 111515x x ≤≤∴=当时，总利润最高
此时总利润为（20×15+260）×15+（-10×15+600）×5=10650…………10分 答：略．
解法三：列举法（过程2分，5个全算对2分，有部分错误1分，结果给出对应的x 的值且最大利润正确各1分）
x
11 12 13 14 15 总利润（元）
9690
9840
10050
10320
10650
答：略．(其他解法酌情给分)
22、解答：（1）∵抛物线y=（x ﹣3）（x+1）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）， ∴当y=0时，（x ﹣3）（x+1）=0， 解得x=3或﹣1， ∴点B 的坐标为（3，0）．
∵y=（x ﹣3）（x+1）=x 2
﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2
﹣4， ∴顶点D 的坐标为（1，﹣4）；………………………2’ （2）①如右图．
∵抛物线y=（x ﹣3）（x+1）=x 2
﹣2x ﹣3与与y 轴交于点C ，
∴C 点坐标为（0，﹣3）．
∵对称轴为直线x=1， ∴点E 的坐标为（1，0）．
连接BC ，过点C 作CH⊥DE 于H ，则H 点坐标为（1，﹣3）， ∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
………………………………9分
∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴==，
∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．
∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，
直线BD的解析式为y=2x﹣6．
由方程组，解得．
∴点P的坐标为（9
7
，﹣）；………………………8’
②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．
若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴==，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG﹣FC=a，
∴M（a，﹣ 3+a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=，∴M（，﹣）；
若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴==，
∴MN=2CN．
设CN=a，则MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN﹣NF=a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG+FC=a，
∴M（a，﹣3+a）．
代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=5，∴M（5，12）；。