湘教版高中数学必修一学案函数的概念和性质
新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2函数的奇偶性课件湘教版必修第一册
B．两函数都既是奇函数又是偶函数
C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数
答案：D
解析：函数f(x)＝ x2 − 4 +
4
−
x2的定义域满足ቊx42−−x42
≥ ≥
00，，即x2＝4，
因此函数f(x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)
跟踪训练1 (1)(多选)下列函数中，是偶函数的是( AC ) A．y＝ 1 + x2 B．y＝x＋1x C．y＝x2＋x12 D．y＝x＋x2
(2)函数f(x)＝൞12−x12x+2
1，x＞0， 是(
− 1，x＜0
A
)
2
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
角度4 奇偶性与单调性的简单应用
例6 (1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]
上是增函数，则( )
A．f
−3
2
＜f(－1)＜f(2)
B．f(2)＜f
−
3 2
＜f(－1)
C．f(2)＜f(－1)＜f
−3
2
D．f(－1)＜f
−3
2
＜f(2)
(2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－
题型1 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝ 1 − x2 + (2)f(x)＝2xx+2+1x； (3)f(x)＝x2x−1；
x2 − 1；
解析：(1)函数f(x)＝ 1 − x2 + x2 − 1的定义域为{－1，1}，关于原点对称，
湘教版高一数学必修一学案
湘教版高一数学必修一学案摘要：一、引言二、湘教版高一数学必修一的课程目标三、湘教版高一数学必修一的主要内容1.函数的基本概念2.函数的性质3.函数的图像和解析式4.函数的应用四、学习建议和策略五、总结正文：【引言】湘教版高一数学必修一学案是高中数学学习的基础课程，为学生进入更高层次的数学学习打下坚实的基础。
本篇文章将对湘教版高一数学必修一的课程目标、主要内容和学习建议进行详细的阐述。
【湘教版高一数学必修一的课程目标】湘教版高一数学必修一的课程目标是使学生掌握函数的基本概念、性质、图像和解析式，学会运用函数解决实际问题，培养学生抽象思维、逻辑推理和空间想象能力，提高学生的数学素养。
【湘教版高一数学必修一的主要内容】湘教版高一数学必修一主要包括以下内容：1.函数的基本概念：函数的定义、函数的表示法、函数的值域、函数的定义域和对应关系等。
2.函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
3.函数的图像和解析式：函数图像的绘制、函数解析式的求解等。
4.函数的应用：通过函数解决实际问题，如最值问题、方程求解、不等式求解等。
【学习建议和策略】针对湘教版高一数学必修一的学习，建议学生：1.养成良好的学习习惯，及时复习巩固所学知识。
2.注重基础知识的学习，打牢基本功。
3.加强练习，通过大量的例题和习题巩固所学知识，提高解题能力。
4.学会总结和归纳，形成自己的解题方法和技巧。
5.培养自己的抽象思维和空间想象能力，提高自己的数学素养。
【总结】总之，湘教版高一数学必修一学案是高中数学学习的基础课程，对于学生的后续学习和长远发展具有重要意义。
3.2函数的基本性质教案-2023-2024学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
本节课的教学目标主要从核心素养的角度出发，旨在培养学生的数学思维能力、创新能力和实践能力。具体目标如下：
1. 培养学生对函数基本性质的理解和认识，提高学生的逻辑思维能力。通过讲解函数的单调性、奇偶性、周期性，使学生能够理解这些性质的概念和判断方法，并能运用到实际问题中。
2. 培养学生的自主学习和探索能力。通过实例讲解和图形展示，引导学生自主探索函数性质，培养学生的自主学习能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
本节课的核心内容是函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。这些性质是函数学习的基础，也是解决实际问题的关键。
（1）单调性：单调性是函数的一个重要性质，它反映了函数值随自变量变化的趋势。在教学过程中，要重点讲解单调性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过图形展示函数的单调性，让学生直观地理解单调性的概念。
3. 判断函数的周期性：给定一个函数，判断其周期性。
4. 应用函数性质解决实际问题：如最大值和最小值问题、对称性问题、周期函数的性质。
5. 绘制不同性质的函数图形：利用函数图形展示软件，绘制单调函数、奇函数、周期函数的图形。
6. 巩固对函数性质的理解和应用：通过练习题，巩固对函数性质的理解和应用。
（2）奇偶性：奇偶性是函数的另一个重要性质，它反映了函数在正负自变量下的对称性。在教学过程中，要重点讲解奇偶性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过实例讲解奇偶性的判断方法，让学生能够准确地Байду номын сангаас断一个函数的奇偶性。
（3）周期性：周期性是函数的又一重要性质，它反映了函数值在一定范围内重复出现的规律。在教学过程中，要重点讲解周期性的定义、判断方法和应用。例如，可以通过实例讲解周期性的判断方法，让学生能够准确地判断一个函数的周期性。
新教材高中数学第三章函数的概念与性质 第一课时函数的单调性学案湘教版必修第一册
函数的单调性与最值新课程标准解读核心素养1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性数学抽象2.理解单调性的作用和实际意义逻辑推理、数学运算3.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最数学抽象、数学运算小值,理解它们的作用和意义第一课时函数的单调性德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试,得到了有趣的数据．数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：[问题] (1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学的观点进行解释？知识点函数的单调性1．增函数、减函数前提设函数f(x)的定义域为D,I是D的一个非空的子集条件如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时条件都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2) 图示结论f (x )是区间I 上的增函数,也称f (x )在区间I 上单调递增f (x )是区间I 上的减函数,也称f (x )在区间I 上单调递减2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数或减函数,那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I 叫作y ＝f (x )的单调区间．1．对区间I 的要求函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分．2．x 1,x 2的三个特征 (1)同区间性,即x 1,x 2∈I ；(2)任意性,即不可用区间I 上的两个特殊值代替x 1,x 2； (3)有序性,即需要区分大小,通常规定x 1<x 2.1．判断正误．(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)因为f (－1)<f (2),所以函数f (x )在[－1,2]上单调递增．( )(3)定义在(a ,b )上的函数f (x ),如果∃x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在(a ,b )上单调递增．( )(4)如果函数f (x )在区间I 1上单调递减,在区间I 2上也单调递减,那么f (x )在区间I 1和I 2上就一定是减函数．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．下列函数f (x )中,满足对任意x 1,x 2∈(0,＋∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)＞f (x 2)的是________(填序号)．①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝2x ＋1. 答案：②3．函数y ＝f (x )的图象如图所示,其增区间是________．答案：[－3,1]4．函数f (x )＝－x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：(－∞,－1]函数单调性的判定与证明[例1] (链接教科书第80页例1)已知函数f (x )＝1x 2－1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(1,＋∞)上单调性,并用定义加以证明． [解] (1)由x 2－1≠0,得x ≠±1, 所以函数f (x )＝1x 2－1的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠±1}． (2)函数f (x )＝1x 2－1在(1,＋∞)上单调递减． 证明：设x 1和x 2是区间(1,＋∞)上任意两个实数,且x 1<x 2, 则f (x 2)－f (x 1)＝1x 22－1－1x 21－1＝（x 1－x 2）（x 1＋x 2）（x 21－1）（x 22－1）. 由x 1,x 2∈(1,＋∞),得x 1>1,x 2>1, 所以x 21－1>0,x 22－1>0,x 1＋x 2>0. 又x 1<x 2,所以x 1－x 2<0,于是（x 1－x 2）（x 1＋x 2）（x 21－1）（x 22－1）<0,即f (x 1)>f (x 2), 所以,函数f (x )＝1x 2－1在(1,＋∞)上单调递减．利用定义证明函数单调性的4步骤[跟踪训练]1．(多选)下列函数在(－∞,0)上为增函数的是( ) A ．y ＝|x |＋1B ．y ＝|x |xC ．y ＝－x 2|x |D ．y ＝x ＋x|x |解析：选CD y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞,0)上为减函数；y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞,0)上既不是增函数也不是减函数；y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞,0)上是增函数；y ＝x＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞,0)上也是增函数,故选C 、D. 2．证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上单调递减．证明：设x 1,x 2是区间(0,1)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝（x 1－x 2）（－1＋x 1x 2）x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1,∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,则－1＋x 1x 2<0, ∴（x 1－x 2）（－1＋x 1x 2）x 1x 2>0,即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上单调递减.求函数的单调区间[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象,并指出函数的单调区间．[解] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x ≥0，－（x ＋1）2＋4，x <0.函数图象如图所示．函数在(－∞,－1],[0,1]上单调递增,函数在[－1,0],[1,＋∞)上单调递减．所以函数的单调增区间是(－∞,－1]和[0,1],单调减区间是(－1,0)和(1,＋∞)．[母题探究](变条件)将本例中“y ＝－x 2＋2|x |＋3”变为“y ＝|－x 2＋2x ＋3|”,如何求解？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋3|的图象如图所示．由图象可知其单调递增区间为[－1,1],[3,＋∞)；单调递减区间为(－∞,－1),(1,3)．求函数单调区间的2种方法法一：定义法：即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解； 法二：图象法：即先画出图象,根据图象求单调区间．[注意] (1)如果函数f (x )在其定义域内的两个区间A ,B 上单调性相同,则两个区间用“,”或“和”连接,不能用“∪”连接；(2)书写单调区间时,若函数在区间的端点处有定义,则写成闭区间、开区间均可,但若函数在区间的端点处无定义,则必须写成开区间．[跟踪训练]1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象,则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5,－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性解析：选ABD 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不能用“∪”连接．故选A 、B 、D.2．求函数f (x )＝1x －1的单调减区间． 解：函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞), 设x 1和x 2是区间(－∞,1)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1（x 1－1）（x 2－1）.因为x 1<x 2<1,所以x 2－x 1>0,x 1－1<0,x 2－1<0, 所以f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞,1)上单调递减,同理函数f (x )在(1,＋∞)上单调递减． 综上,函数f (x )的单调递减区间是(－∞,1),(1,＋∞).函数单调性的应用[例3] ((－∞,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞,＋∞)上的增函数,且f (2x －3)>f (5x －6),则实数x 的取值范围为________．[解析] (1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下,要使f (x )在(－∞,3]上单调递增,只需－(a ＋1)≥3,即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞,－4]．(2)∵f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数,且f (2x －3)>f (5x －6), ∴2x －3>5x －6,即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞,1)． [答案] (1)(－∞,－4] (2)(－∞,1)[母题探究]1．(变条件)若本例(1)的函数f (x )在(1,2)上是单调函数,求a 的取值范围． 解：由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2,即a ≤－3或a ≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞,－3]∪[－2,＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f (x )是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x 的范围． 解：由题意可知,⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.1．利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法(1)将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围；(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值范围．[跟踪训练]1．若函数f (x )在(－∞,－1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (－2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－2)C ．f (－2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 解析：选D ∵f (x )在(－∞,－1]上是增函数,且－2<－32<－1,∴f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．故选D. 2．若f (x )是定义在[0,＋∞)上的减函数,则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是________．解析：依题意,得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x >－2x ＋8，解得83<x ≤4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4复合函数y ＝f (g (x ))的单调性[典例] 已知函数f (x )＝2x －1,x ∈[2,6]． (1)判断此函数在x ∈[2,6]上的单调性； (2)根据(1)的判断过程,归纳出解题步骤． 提示：(1)函数f (x )＝2x －1可分解为函数y ＝2u和函数u ＝x －1. 因为x ∈[2,6],所以u ∈[1,5],显然函数u ＝x －1在x ∈[2,6]上单调递增,函数y ＝2u在u ∈[1,5]上单调递减,由复合函数的单调性,知f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上单调递减． (2)解题步骤为：先求函数的定义域,接着分解复合函数,再判断每一层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．[结论] 复合函数的单调性：一般地,对于复合函数y ＝f (g (x )),单调性如表所示,简记为“同增异减”.g (x )f (x )f (g (x ))增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增判断函数f (x )＝x ＋2x －1,x ∈[3,8]上的单调性．解：∵函数f (x )＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1,可分解为函数f (x )＝1＋3u 和函数u ＝x －1.因为x ∈[3,8],所以u ∈[2,7],显然函数u ＝x －1在x ∈[3,8]上单调递增,函数f (u )＝1＋3u 在u ∈[2,7]上单调递减,由复合函数的单调性,知f (x )＝x ＋2x －1在x ∈[3,8]上单调递减．1.如图是函数y ＝f (x )的图象,则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题图,可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．函数f (x )在R 上是减函数,则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)解析：选C 因为函数f (x )在R 上是减函数,3<5,所以f (3)>f (5)． 3．(多选)下列四个函数中在(－∞,0]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝1x －1解析：选AD 通过观察各函数的图象(图略),易知f (x )＝－x 2,f (x )＝x ＋1在(－∞,0]上单调递增,f (x )＝x 2－2x ,f (x )＝1x －1在(－∞,0]上单调递减． 4．已知函数f (x )＝xx －1.(1)求f (f (3))的值；(2)判断函数f (x )在(1,＋∞)上的单调性,并用定义法证明． 解：(1)因为f (3)＝33－1＝32, 所以f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝3232－1＝3. (2)函数f (x )在(1,＋∞)上单调递减．证明：设x 1和x 2是区间(1,＋∞)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x1（x2－1）－x2（x1－1）（x1－1）（x2－1）＝x2－x1（x1－1）（x2－1）,由x1,x2∈(1,＋∞),得(x1－1)(x2－1)>0, 由x1<x2,得x2－x1>0,所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)．由单调性的定义可知,f(x)＝xx－1在(1,＋∞)上单调递减．。
3.2函数的基本性质 2023-2024学年高一上学期数学湘教版 必修第一册
x1 x2
x1 x2
k
x1
−
k
x2
x2 −x1
＝(x1－x2)＋k·
＝
x1 x2
因为0<x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>0.
当x1，x2∈(0， k]时，x1x2－k<0⇒f(x1)－f(x2)>0，此时函数f(x)为减函数；
当x1，x2∈( k，＋∞)时，x1x2－k>0⇒f(x1)－f(x2)<0，此时函数f(x)为增函数．
单调区间
单调性
在这一区间上具有(严格的)________，区间I叫作y＝f(x)的________．
状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用
1
“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋
x
1
∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝ 在(－∞，0)∪
x
单调递减．
2 −1 1 2 −4
当x>2时，1 2 − 4 > 0，
>0，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时
21+4 22+4
f(x)单调递减．
当0<x<2时，1 2 − 4 < 0，
2 −1 1 2 −4
21+4 22+4
<0，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，此
递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是
相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定
要仔细读题，明确条件含义．
角度4 求函数的最值
高中数学湘教版教案
高中数学湘教版教案
教学内容：函数的概念和性质
教学目标：学生能够掌握函数的定义及其性质，能够应用函数解决实际问题。
教学重点：函数的定义、函数的性质
教学难点：函数的应用
教学准备：教材《高中数学湘教版》第一册，课件，黑板、彩笔、作业等
教学过程：
一、导入新课
教师通过引入函数的实际问题，引发学生对函数的兴趣，导入新课。
二、讲解函数的定义
1. 教师简要介绍函数的定义，即对不同的自变量，对应唯一的一个因变量。
2. 通过例题讲解，让学生更好地理解函数的定义。
三、探讨函数的性质
1. 教师向学生介绍函数的奇偶性、周期性等性质。
2. 通过例题分析，让学生掌握函数的性质。
四、实际应用
1. 教师带领学生应用函数解决实际生活中的问题，提高学生的实际运用能力。
2. 学生进行练习，并讨论解题方法。
五、总结归纳
1. 教师对函数的定义、性质及应用进行总结归纳，确保学生理解透彻。
2. 复习本节课内容，做好内容梳理。
六、作业布置
布置相关作业，巩固和加深学生对函数的理解和掌握。
教学反思：本节课通过引入实际问题，让学生更容易理解函数的概念和性质，通过例题讲解和实际应用，加深了学生对函数的理解和掌握。
在后续的教学中，应更加注重学生的实际应用能力，提高学生对函数的运用能力。
新湘教版必修1高中数学 第二课时 函数的概念
1．2函数的概念和性质1．2.1对应、映射和函数第二课时函数的概念在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：(1)某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表：(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图．①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②在什么时刻，气温为0℃？③在什么时段内，气温在0℃以上？如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？1．函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．2．函数的定义域、值域在函数的定义中，集合A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的像，记作y＝f(x)，由所有x∈A的像组成的集合叫作函数的值域．3．函数的三要素为定义域，对应法则，值域．举出几个有关函数的例子，并用定义加以描述，指出函数的定义域和值域．[提示](1)下表记录了几个不同气压下水的沸点.，值域是{81,100,121,152,179}．(2)如图是匀速直线运动路程s随时间变化的函数关系图，它的定义域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．[例1](1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[思路点拨]可根据函数的定义直接判断．[解](1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且x不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )解析：选D A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．2．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1 B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 已知f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．求： (1)f (0)及f ⎝⎛⎭⎫ f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)f (1－x )及f (f (x ))．[思路点拨] 将f (x )中的x 分别赋值或式子，代入1－x1＋x 中化简即得．[解] (1)f (0)＝1－01＋0＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－121＋12＝13， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫13＝1－131＋13＝12. (2)f (1－x )＝1－(1－x )1＋(1－x )＝x2－x (x ≠2)．f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x ＝x (x ≠－1).3．已知函数f (x )＝x 2－2x ，求： (1)f (－2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x (x ≠0)； (3)若f (x )＝3，求x 的值． 解：(1)f (－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8. (2)f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1x＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1x －2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1x －1＝1x2－1(x ≠0)． (3)若f (x )＝3，则x 2－2x ＝3，x ＝－1或x ＝3.1．若f (x )＝1x 的定义域为M ，g (x )＝|x |的定义域为N ，令全集U ＝R ，则M ∩N ＝( ) A ．M B ．N C ．∁R MD ．∁R N解析：选A M ＝{x |x >0}，N ＝R ，∴M ∩N ＝M . 2．下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )解析：选B 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确． 3．下列各对函数中，图象完全相同的是( ) A ．y ＝x 与y ＝(3|x |)3 B ．y ＝(x )2与y ＝|x | C ．y ＝xx 与y ＝x 0D ．y ＝x ＋1x 2－1与y ＝1x －1解析：选C 若函数的图象相同，则是相同的函数．对于A ，y ＝(3|x |)3＝|x |，所以对应关系不同；对于B ，y ＝(x )2＝x (x ≥0)，所以两函数定义域与对应关系均不同；对于C ，y ＝xx ＝1(x ≠0)，而y ＝x 0＝1(x ≠0)，定义域与对应关系均相同，是相同的函数；对于D ，y ＝x ＋1x 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＝1x －1，其中x 2≠1，即x ≠±1，而y ＝1x －1中x ≠1，定义域不同，不是相同函数．4．已知f (x )＝11＋x，g (x )＝x 2＋2，则f (2)＝________，f [g (2)]＝________. 解析：f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6， ∴f [g (2)]＝f (6)＝11＋6＝17.答案：13 175．已知函数f (x )＝x 2－x ，若f (a )＝2，则a 的值是________． 解析：f (a )＝(a )2－a ＝2.即(a －2)(a ＋1)＝0，a ＝4. 答案：4通过这节课的学习，你对函数符号“y ＝f (x )”有了哪些新的认识？对应关系f 是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系所施加的对象；f 是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”．f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，表示的是变量．虽然f (x )＝x 2和f (x －1)＝x 2等号右边的表达式都是x 2，但是，由于f 施加的对象不同(一个为x ，而另一个为x －1)，因此两个函数的解析式是不同的．一、选择题1．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )解析：选D 由函数的定义可以判断只有D 正确．2．函数f (x )定义在区间[－2,3]上，则y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：选B ∵2∈[－2,3]，由函数的定义可知，y ＝f (x )的图象与x ＝2只能有一个交点． 3．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 对选项C ，当x ＝4时，y ＝83>2不合题意，故选C.4．下列说法错误的是( )A ．函数定义域中的任一元素在其值域中都有它的对应B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|，则f (1)＝________. 解析：∵f (x )＝x 2＋|x －2|， ∴f (1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2. 答案：26．若f (2x )＝x 3，则f (1)＝________. 解析：令2x ＝1，则x ＝12，∴f (1)＝(12)3＝18.答案：18三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2＋x －1，求： (1)f (2)； (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1；(3)若f (x )＝5，求x 的值． 解：(1)f (2)＝4＋2－1＝5. (2)f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12＋⎝⎛⎭⎫1x ＋1－1 ＝1x 2＋3x＋1. (3)f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3. 8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019的值． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 019)＋f ⎝⎛⎭⎫12 019＝2 018.。
湘教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第3章 函数的概念与性质 3.1.3 简单的分段函数
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
探究点二
分段函数的图象
【例2】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
1
,0
< < 1,
(1)y=
2, ≥ 1;
(2)y=|x+1|+|x-3|.
1
,0
< < 1,
解 (1)函数 y=
的图象如图 1,观察图象,得函数的值域为(1,+∞).
探究点三
根据分段函数图象求解析式
【例3】 已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,
则函数的解析式为
- + 2, ≤ 1,
y= - 2 + 4-2,1 < < 3,
-2, ≥ 3
.
解析 根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).
+ = 1,
1 2 3 4 5 6
2 + 2 + 2, ≤ 0,
4.设函数 f(x)= 2
- , > 0.
(1)f(f(2))=
10
;
解析 f(2)=-22=-4,f(-4)=(-4)2+2×(-4)+2=10.
(2)若f(f(a))=2,则a=
2
.
解析 若a>0,则f(a)=-a2<0,
∴f(f(a))=a4-2a2+2=2,得 a= 2或 a=- 2(舍去)或 a=0(舍去).
A.13立方米
B.14立方米
C.15立方米
D.16立方米
解析 设该职工的月实际用水为x立方米,所缴水费为y元,
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函数的概念与性质
一、学习要求
①了解映射的概念，理解函数的概念；
②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；
④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．
二、两点解读
重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题．
难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的分布．
三、课前训练
1．函数2log )(2-=x x f 的定义域是 （ D ）
（A ）),3(+∞ （B ）),3[+∞ （C ）),4(+∞ （D ）),4[+∞
2．函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 （ B ）
（A ）)(1R x e
y x ∈=+ （B ）)(1R x e y x ∈=- （C ）)(1
R x e y x ∈=+ （D ）)1(1>=-x e y x 3．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,
0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g 21 ． 4．设1,0≠>a a ，函数x a x f -=)(是增函数，则不等式0)75(log 2>+-x x a 的解集为 (2,3)
四、典型例题
例1 设x x x f -+=22lg )(，则)2()2(x
f x f +的定义域为 （ ） （A ）)4,0()0,4(Y - （B ）)4,1()1,4(Y --
（C ）)2,1()1,2(Y -- （D ）)4,2()2,4(Y -- 解：∵在x x x f -+=22lg )(中，由022>-+x
x ，得0)2)(2(<-+x x ， ∴22<<-x ，
∴在)2()2(x f x f +中，4114,11,44,222,222<<-<<-⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-x x x x x x
x 或或． 故选B
例2 已知⎩⎨
⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a
是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）
（A ）)1,0( （B ）)31
,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[ 解：∵)(x f 是),(+∞-∞上的减函数，当1≥x 时，x x f a log )(=，∴10<<a ；又当1<x 时，a x a x f 4)13()(+-=，∴013<-a ，∴31<a ，且1log 41)13(a a a ≥+⨯-，解得：71≥a ．∴综上，3
171<≤a ，故选C 例3 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)
(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f 解：∵函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =
+， ∴)()
(1
1)2(1)22()4(x f x f x f x f x f ==+=++=+，即)(x f 的周期为4， ∴5)1()5(-==f f ，
∴)45()5())5((+-=-=f f f f 5
1)1(1)21(1)1(-==+-=-=f f f 例4 设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -,若]6)([1+-m f ×
27]6)([1=+-n f ，则()f m n += 2
解：,63)(1-=-x x f ,63)(,63)(11-=-=∴--n m n f m f
,27333]6)([]6)([11==⋅=+⋅+∴+--m m n m n f m f
∴m +n =3，f (m +n )=log 3(3+6)=log 39=2
（另解∵11333log (()6)log (()6)log 273m n f m f n --+=+++==,
∴3()log 92f m n +==）
例5 已知βα,是关于x 的方程042)3(22=++++k x k x 的两个实根，则实数k 为何值时，α大于3且β小于3？
解：令42)3(2)(2++++=k x k x x f ，则方程
042)3(22=++++k x k x 的两个实根可以看成是抛物线)(x f 与x 轴的两个交点（如图所示）
， 故有：0)3(<f ，所以：042)3(69<++++k k ， 解之得：8
31-<k 例6 已知函数x a x y +=有如下性质:如果常数0>a ,那么该函数在],0(a 上是减函数,在
),[+∞a 上是增函数．如果函数)0(2>+=x x
x y b
的值域为),6[+∞，求b 的值； 解：函数)0(2>+=x x x y b 的最小值是b 22，则b 22＝6，∴9log 2=b ；。