北京市西城区2019—-2020学年度第二学期期末试卷高二数学
西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区2019-2020第一学期高二数学期末试题
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学 2020.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为（ ）A ．BC ．6D ．82．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ，则3a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为（ ）A ．1x ∀≥,21x ≤B ．1x ∃<,21x >C ．1x ∀<,21x >D ．1x ∃≥,21x >4．已知,a b ∈R ,若a b <,则（ ）A ．2a b <B ．2ab b <C ．22a b <D ．33a b < 5．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ,且//a b ,那么||=b （ ）A ．B ．6C ．9D ．186．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和 平面β相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知向量(1,,2)x =a ，(0,1,2)=b ，(1,0,0)=c ，若,,a b c 共面，则x 等于 （ ）A . 1-B . 1C .1 或1-D . 1 或08. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，比如[]=3π. 根据以上定义，当1x 时，数列()x f x -，()f x ，x （ ）A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列{}n a ，该数列前3项成等比数列，其和为m ，后3项成等差数列，其和为6. 则实数m 的取值范围为（ ）A.6m ≥B. 32m ≥ C. 6m ≤ D. 2m ≥ 10. 曲线33:1C x y +=.给出下列结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C 只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②C. ②③D. ③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离 为__________.12. 不等式01x x <-的解集为_________. 13. 能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a 、b 值是a = ，b = .14．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ,则其离心 率的值是__________.15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元；当n =______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.16. 若1239,,,,x x x x 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ，要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且3a ，44a +，5a 成等差数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，且62n S =，求n 的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若()(1)f a f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）求关于x 的不等式()0f x >的解集.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆C 的上顶点，点B 在椭圆上且位于第一象限，且90AFB ∠=，求AFB ∆的面积.20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ， 90PAB ∠=. 2PA AB ==，3AD =，BC m =，E 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角C AE D --，求m 的值；（Ⅲ）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF ⊥CE . 若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程； （Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D . 是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程.22．（本小题满分13分）若无穷数列123,,,a a a 满足：对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”. （Ⅰ）求证：若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 为“和谐数列”； （Ⅱ）求证：若数列{}n a 为“和谐数列”，则数列{}n a 从第3项起为等差数列； D A B CP E（Ⅲ）若{}n a 是各项均为整数的“和谐数列”，满足10a =，且存在*p ∈N 使得p a p =， 123p a a a a p ++++=-，求p 的所有可能值.。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
北京市西城区2014-2015学年度高二上学期期末考试数学试题(文科)
北京市西城区2014 —2015学年度第一学期期末试卷高二数学2015.1（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 抛物线24y x =的准线方程为_______________.12. 命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是_____________________. 13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的 体积为_______.14. 圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点(2,0) 的圆的方程为____________________.15. 已知F 为双曲线22:14y C x -=的一个焦点， 则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为__________. 16. “降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融 化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的 深度.降水量以m m 为单位.为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所 示的简易装置：倒置的圆锥. 雨后，用倒置的圆锥接到的 雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为 m m .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=o，F 为CE 上的点. （Ⅰ）求证：//AD 平面BCE ； （Ⅱ）求证：AE ⊥BF ．正（主）视图 侧（左）视图俯视图AEBCD F18.（本小题满分13分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C . （Ⅰ）求△ABC 中AC 边上的高线所在直线的方程； （Ⅱ）求△ABC 外接圆的方程.19.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，E 为AC 中点. （Ⅰ）求证：1//AB 平面1BC E ； （Ⅱ）求证：平面1BC E ⊥平面11ACC A .20.（本小题满分13分）如图，,A B 是椭圆22:13x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C .（Ⅰ）当AC 的斜率为31时，求线段AC 的长； （Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线AC 的斜率.AB CEA 1B 1C 121.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且3PD PC BC ===，CD =E 为PB 中点.（Ⅰ）求三棱锥P BCD -的体积； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设M 是线段CD 上一点，且满足2DM MC =，试在线段PB 上确定一点N ，使得//MN 平面PAD ，并求出BN 的长.22.（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴交于点P .（Ⅰ）若直线AB 经过抛物线24y x =的焦点，求,A B 两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P 的坐标为(4,0)，弦AB 的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.PABCDE M·北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.B3.D4. C5. D6.D7.A8. A9.C 10. C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 1x =- 12. 2,20x x x ∀∈-≥R 13.8314. 22(2)(2)4x y -+-= 15. 2 16. 1三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC . ………………2分 又因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ， ………………4分所以//AD 平面BCE . ………………5分 （Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面ABE ，BC AD //，所以BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥ . ………………7分 又因为90AEB ∠=o，所以AE BE ⊥. ………………9分 所以AE ⊥平面BCE . ………………11分 又BF ⊂平面BCE ， ………………12分 所以AE BF ⊥. ………………13分18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(0,0)A ，(3,1)C ，所以直线AC 的斜率为13k =， ………………2分 又AC 边上的高所在的直线经过点(4,0)B ，且与AC 垂直，所以所求直线斜率为3-， ………………4分 所求方程为03(4)y x -=--，即 3120x y +-=. ………………5分（Ⅱ）设△ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=, ………………6分AEBCDF因为点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C 在圆M 上，则2220,440,3130.F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩………………9分解得4D =-，2E =，0F =. ………………12分所以△ABC ∆外接圆的方程为22420x y x y +-+=. ………………13分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1CB ，与1BC 交于点F ，连结EF . ………………1分因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以四边形11BCC B 是矩形，点F 是1B C 中点. ………………3分又E 为AC 中点，所以1//EF AB . …………5分 因为EF ⊂平面1BC E ，1AB ⊄平面1BC E ，所以1//AB 平面1BC E . ………………7分 （Ⅱ）证明：因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BE AC ⊥. ………………9分 又因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，从而1CC BE ⊥. ………………11分 所以BE ⊥平面11ACC A . ………………12分 因为BE ⊂平面1BC E ， ………………13分 所以平面1BC E ⊥平面11ACC A . ………………14分20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知(0,1)A -，直线AC 的方程为13y x 1=-. ………………1分 由221,313y x x y 1⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得2230x x -=， ………………2分 解得32x =或0x =（舍）， ………………3分所以点C 的坐标为31(,)22-， ………………4分所以2AC ==. ………………5分ABCEA 1B 1C 1F（Ⅱ）依题意，设直线AC 的方程为1y kx =-，0k ≠.由221,13y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(31)60k x kx +-=， ………………7分 解得2631kx k =+或0x =（舍）， ………………8分所以点C 的横坐标为2631kk +，设点D 的坐标为00(,)x y ，则02331kx k =+， ………………9分0021131y kx k -=-=+， ………………10分因为以AB 为直径的圆恰过点D ，所以1OD =，即222231()()13131k k k -+=++. ………………11分 整理得23k 1=， ………………12分所以k =. ………………13分21. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知3PD PC ==，CD =△PCD 是等腰直角三角形，90CPD ∠=o. ………………1分因为平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面PCD . ………………2分 三棱锥P BCD -的体积1119()3322PCD V S BC PC PD BC ∆=⨯=⨯⨯⨯=. ………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PCD ， 所以BC ⊥PD .因为90CPD ∠=o，即PD PC ⊥，所以PD ⊥平面PBC . ………………5分 因为CE ⊂平面PBC ，所以PD CE ⊥. ………………6分 因为PC BC =，E 为PB 中点，所以CE PB ⊥， ………………7分 因为PD PB P =I ，所以CE ⊥平面PBD . ………………8分（Ⅲ）解：在面PCD 上，过M 作//MF PD 交PC 于F .在面PBC 上，过F 作//FN BC 交PB 于N ，连结MN . ………………9分 因为//MF PD ，MF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，PABCDE M· FN所以//MF 平面PAD .因为////FN BC AD ，FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以//FN 平面PAD .所以平面//MNF 平面PAD . ………………10分 从而，//MN 平面PAD . ………………11分由所作可知，△CMF 为等腰直角三角形，CM =所以1CF =，2PF =. ………………12分△PNF ,△PBC 均为等腰直角三角形，所以PN =PB =所以N 为线段PB 上靠近点B 的三等分点，且BN =. ………………13分22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ， ………………1分依题意，设直线AB 方程为(1)y k x =-，其中0k ≠. ………………2分将24y x =代入直线方程，得2(1)4y y k =-， 整理得2440ky y k --=， ………………4分 所以4A B y y =-，即,A B 两点的纵坐标之积为4-. ………………5分 （Ⅱ）设:(0)AB y kx b k =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y .由24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩ 得222(24)0k x kb x b +-+=. ………………6分 由222241616416160k b kb k b kb ∆=+--=->，得1kb <. ………………7分所以12242kb x x k -+=，2122b x x k=. ………………8分设AB 中点坐标为00(,)x y ，则120222x x kb x k +-==， 002y kx b k=+=， ………………9分 所以弦AB 的垂直平分线方程为2212()kby x k k k--=--， 令0y =，得222kbx k -=+. ………………10分由已知2224kb k-+=，即222k kb =-. ………………11分AB ======……………12分当2112k =，即k =AB 的最大值为6. ………………13分当k =b =；当k =b =均符合题意.所以弦AB 的长度存在最大值，其最大值为6. ………………14分。
2019-2020学年北京市西城区数学高二下期末考试试题含解析
2019-2020学年北京市西城区数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A ．23B ．1C ．12D ．342．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ） A ．54B ．45C ．·45CD ．45A3．已知函数()1n(3)x f x e x =-+,则下面对函数()f x 的描述正确的是（ ） A ．1(3,),()3x f x ∀∈-+∞≥B ．1(3,),()2x f x ∀∈-+∞>- C ．00(3,),()1x f x ∃∈-+∞=-D ．min ()(0,1)f x ∈4．已知a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<c<a5．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A ．2829B ．2729C ．1114D ．13146．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1- B ．13-C ．12-D ．137．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-?? C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞8．已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝231a a -+，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)9．已知函数()22x f x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,R g x mx m =+∈，若对于任意的[]11,1x ∈-，总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞ B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C ．][()22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦10．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()21xf x a =⋅-与函数()()321g x x ax a R =++∈，下列选项中不可能是函数()f x 与()g x 图象的是( )A ．B ．C ．D ．12．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．求曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是________.14．已知关于x 的不等式13ax x -≤+的解集为{}2x x ≥-，则实数a =______.15．已知正项数列{a n }满足22116n n n n a a a a ++-=，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．16．对于任意的实数b ，总存在[]0,1x ∈，使得21x ax b ++≥成立，则实数a 的取值范围为_____.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．命题:p 方程()2221mx m y +-=表示双曲线；命题:q 不等式()()21120m x m x -+-+>的解集是R . p q ∧为假， p q ∨为真，求m 的取值范围.18．已知定圆M ：22(1)16x y -+=，动圆N 过点F (1,0)-且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ． (1)求曲线E 的方程；(2)已知直线:l 1y x =-交圆M 于,A B 两点.,C D 是曲线E 上两点，若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.19．（6分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x xy y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为33sinπρθ=（-）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 20．（6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =且AB AC ⊥，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面1BCC ；（2）若直线1B C 与平面BCD 所成的角的大小为30°，求锐二面角A BD C --的正切值. 21．（6分）已知03x π=是函数()sin cos f x m x x ωω=-（0>ω）的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π.（1）求m 值和()f x 的单调递增区间；（2）设角,,A B C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为,,a b c ，若()2f B =， 3b =，求2ca -的取值范围.22．（8分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】因为22243a b c +=，所以圆心(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离2232c d a b==+，所以2212212l r d =-=⨯=，应选答案B 。
2019-2020学年北京市西城区高二下学期期末数学试卷
2019-2020学年北京市西城区高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设i 是虚数单位，则复数i1+i 在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知函数y =f(x)的图象如图，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是( )．A. f′(x A )>f′(x B )B. f′(x A )<f′(x B )C. f′(x A )=f′(x B )D. 不能确定3.盒中装有6个大小相同的小球，其中4个黄色的，2个红色的，从中任取3个，若至少有一个是红色的不同取法种数是m ，则二项式(m +x 2)6的展开式中x 8的系数为( )A. 3600B. 3840C. 5400D. 60004.若函数y =f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为2x +y −1=0，那么f(1)+f′(1)=( )．A. 0B. −3C. 3D. −25.设随机变量x ～B(n,p)，若Ex =2.4，Dx =1.44则( )A. n =4，p =0.6B. n =6，p =0.4C. n =8，p =0.3D. n =24，p =0.16.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k)，k =1，2，3，其中c 为常数，则P(ξ≥2)等于( )A. 89B. 23C. 13D. 297.设函数f(x)在R 上可导，且f(x −1)=x 2−2x ，则f′(3)=( )A. 0B. 4C. 6D. 88.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数y =f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”，区间[a,b]称为f(x)与g(x)的“关联区间”.若f(x)=13x 3−x 2−x 与g(x)=2x +b 的“关联区间”是[−3,0]，则b 的取值范围是( )A. [−9,0]B. [0,53]C. [0,53)D. [−9,53)9.某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队参赛15场，积33分．若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有( )种．A. 15B. 11C. 9D. 3x2+bln(x+2)在(−1,+∞)上单调递减，则b的取值范围是()10.f(x)=−12A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1]D. [−1,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.复数z=2+4i，则|z|=______ ．1+i)12的二项展开式中的常数项为m，则m=______ ．12.若(x+2x213.某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为______ ．14.设随机变量ξ的分布列为：则m=______ ；随机变量ξ的数学期望Eξ=______ ．+sinx，则关于a的不等式f(a−2)+f(a2−4)<0的解集是______．15. 已知函数f(x)=ln1+x1−x16. 事件“对任意实数x与y，都有x2+y2≥2xy成立”的否定形式为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分），其中k∈R．17. 已知函数f(x)=x+2k+1x(1)当k≥0时，证明f(x)在[√2k+1,+∞)上单调递增；(2)若对任意k∈[1,7]，不等式f(x)≥m在x∈[2,3]上恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(|2x−−1|)−3k−2=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．18. 一部车床生产某种零件的不合格品率为2%，若从这部车床生产的一组5个零件的随机样本中发现有2个或2个以上的不合格品，则停机维修，试求停机维修的概率．ax+b．19. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=12(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切，试求g(x)的表达式；(2)若φ(x)=m(x−1)−f(x)在[1,+∞)上是减函数，求实数m的取值范围；x+1(3)证明不等式：2n n+1<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)．20. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．(Ⅰ)设X 表示一周5天内机器发生故障的天数，求X 的分布列； (Ⅱ)以Y 表示一周内所获利润，则一周内利润的期望是多少？21. 已知函数f(x)=ax ，g(x)=lnx ，其中a ∈R ． (Ⅰ)若函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1，求a 的值；(Ⅱ)若函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围； (Ⅲ)证明：∑sin n k=11(k+1)2<ln2．．22. 已知函数f(x)=mx −alnx −m ，g(x)=xe x−1，其中m ，a 均为实数． (Ⅰ)求函数g(x)的极值；(Ⅱ)设m =1，a <0，若对任意的x 1、x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|恒成立，求实数a 的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数i1+i在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．解：由i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，可得复数i1+i 在复平面内所对应的点的坐标为(12,12)，位于第一象限．故选：A．2.答案：B解析：分别作出A、B两点的切线，由图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A).3.答案：B解析：先求出至少有一个是红色的不同取法种数m的值，再二项展开式的通项公式求出r的值，即可求出答案．本题考查了排列与组合的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是计算题目．解：∵至少有一个是红色的不同取法种数是m=C21×C42+C22×C41=2×6+1×4=16；∴二项式(m+x2)6=(16+x2)6展开式的通项是：T r+1=C6r⋅166−r⋅x2r，令2r=8，则r=4；∴C64×162=15×256=3840，即展开式中x8的系数为3840．故选：B．4.答案：B解析：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出切线斜率是解决本题的关键．根据导数的几何意义进行求解即可．解：∵函数y =f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为2x +y −1=0， ∴切线方程为y =−2x +1，则切线斜率k =f′(1)=−2，且f(1)=−2+1=−1， 则f(1)+f′(1)=−1−2=−3， 故选：B ．5.答案：B解析：解：∵随机变量x ～B(n,p)，Ex =2.4，Dx =1.44，∴{np =2.4np(1−p)=1.44∴n =6，p =0.4 故选B ．根据x ～B(n,p)，Ex =2.4，Dx =1.44，建立方程组，即可求得n ，p 的值． 本题考查二项分布，考查学生的计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据分布列中所有的概率和为1，得c1×2+c2×3+c3×4=1， 解得c =43∴P(ξ=k)=431k(1+k) ∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43(12×3+13×4)=13故选C ．先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c ，再判断出满足条件的ξ≥2的值，代入分布列求出值． 解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0,1]之间；概率和为1；常与求随机变量的期望、方差一起出题，常出现在高考题中的解答题中．7.答案：C解析：解：∵f(x −1)=x 2−2x =(x −1)2−1， ∴f(x)=x 2−1， ∴f′(x)=2x ， ∴f′(3)=6， 故选：C ．先计算f(x)，再求导，再代入值计算即可． 本题考查导数的运算，求出f(x)是计算的关键．8.答案：C解析：解：∵f(x)=13x 3−x 2−x 与g(x)=2x +b ，∴设y =m(x)=f(x)−g(x)=13x 3−x 2−x −2x −b =13x 3−x 2−3x −b ， 则m′(x)=x 2−2x −3，由m′(x)=x 2−2x −3=0，解得m =−1或m =3， ∵f(x)与g(x)在[−3,0]上是“关联函数”，∴当x =−1是函数m(x)在[−3,0]上的极大值，同时也是最大值， 要使m(x)=f(x)−g(x)在[−3,0]上有两个不同的零点， 则{m(0)≤0m(−1)>0m(−3)≤0.即{−b ≤053−b >0−9−b ≤0，则{b ≥0b <53b ≥−9，解得0≤b <53，故b 的取值范围是[0,53)， 故选：C求出函数y =f(x)−g(x)的表达式，利用导数求出函数的极值和单调性，根据关联函数的定义建立不等式关系即可得到结论．本题考查函数“关联函数”的定义，导数的应用以及二次函数的性质，体现了转化的数学思想，综合性较强，设计的知识点较多．9.答案：D解析：解：设该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，则{x +y +z =153x +y =33. 解得x =11−y3，所以{x =11y =0z =4，{x =10y =3z =2，{x =9y =6z =0.共3种情形．故选：D ．本题设出该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，以积分作为等量关系列出方程，即可得出结论． 本题考查积分问题，考查学生的计算能力，设出不同的情况，然后根据题目所给的条件限制求出解是解题的关键．10.答案：C解析：本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，是中档题．函数f(x)=−12x2+bln(x+2)的定义域为(−2,+∞)，f′(x)=−x2+2x−bx+2，令g(x)=x2+2x−b，则g(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，即b⩽x2+2x在(−1,+∞)上恒成立，求出y=x2+2x在(−1,+∞)上的取值范围即可．解：由x+2>0，得x>−2，所以函数f(x)=−12x2+bln(x+2)的定义域为(−2,+∞)，再由f(x)=−12x2+bln(x+2)，得：f′(x)=−x+bx+2=−x2+2x−bx+2，要使函数f(x)在(−1,+∞)内是单调减函数，则f′(x)在(−1,+∞)上恒小于等于0，因为x+2>0，令g(x)=x2+2x−b，则g(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，即b⩽x2+2x在(−1,+∞)上恒成立．又x2+2x=(x+1)2−1>−1，故b≤−1．故选C．11.答案：√10解析：解：复数z=2+4i1+i ，则|z|=|2+4i1+i|=|2+4i||1+i|=√20√2=√10．故答案为：√10；直接利用复数的模的求法运算法则求解即可．本题考查复数的基本运算，模的求法，考查计算能力．12.答案：7920解析：解：(x+2x2)12的展开式的通项公式为T r+1=C12r⋅x12−r⋅(2x2)r=2r⋅C12r⋅x12−3r，令12−3r=0，解得r=4；∴常数项m=24⋅C124=16×12×11×10×94×3×2×1=7920．故答案为：7920．根据二项式展开式的通项公式，求出展开式为常数时r的值，再计算常数项m即可．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了组合公式的应用问题，是基础题目．13.答案：5解析：本题考查排列、组合的应用，涉及组合数公式的计算，关键是列出关于x 的方程．由分步计数原理分析可得恰有1名女生入选时的不同选法为C x 2C 21，结合题意可得C x 2C 21=20，解可得x 的值，即可得答案．解：根据题意，从男女学生中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有C x 2C 21种， 则有C x 2C 21=20，即C x2=10， 即x(x−1)2=10，解可得x =5或−4(舍去) 故答案为：5．14.答案：16 23解析：解：由离散型随机变量的分布列的性质可得：12+13+m =1， 解得m =16，则E(ξ)=0×12+1×13+2×16=23， 故答案为：16；23．根据分布列的性质即可求出m 的值，由此即可求出期望．本题考查了离散型随机变量的分布列的性质以及期望，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.答案：(√3,2)解析：解：由1+x1−x >0，求得−1<x <1，故函数的定义域为(−1,1)．再根据函数满足f(−x)=ln(1−x1+x )+sin(−x)=−ln 1+x1−x −sinx =−f(x)，可得函数为奇函数， 故关于a 的不等式f(a −2)+f(a 2−4)<0，即f(a −2)<−f(a 2−4)=f(4−a 2)，再由函数1+x1−x 、sin x 在的定义域(−1,1)上单调递增，可得函数f(x)在其定义域上单调递增，可得 {−1<a −2<1−1<a 2−4<1a −2<4−a 2，解得√3<a <2， 故答案为(√3,2)． 分析：由1+x1−x >0，求得函数的定义域为(−1,1).再根据函数为奇函数，不等式即 f(a −2)<−f(a 2−4)=f(4−a 2).函数f(x)在其定义域上单调递增， 可得{−1<a −2<1−1<a 2−4<1a −2<4−a 2，从而求得不等式的解集．本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．16.答案：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立解析：解：命题为全称命题，则命题的否定为：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立． 故答案为：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立． 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.答案：(1)证明：由f(x)=x +2k+1x，得f′(x)=1−2k+1x 2=x 2−(2k+1)x 2，当k ≥0时，若x ∈[√2k +1,+∞)，则x 2−(2k +1)≥0， ∴f(x)在[√2k +1,+∞)上单调递增； (2)解：由k ∈[1,7]，得2k +1∈[3,15]， 函数f(x)=x +2k+1x在(0,√2k +1]上为减函数，在[√2k +1,+∞)上为增函数，当√2k +1<2，即2k +1∈[3,4)时，f(x)min =f(2)=k +52≥72； 当√2k +1>3，即2k +1∈(9,15]时，f(x)min =f(3)=103+2k 3>6；当2≤√2k +1≤3，即2k +1∈[4,9]时，f(x)min =f(√2k +1)=2√2k +1≥4． ∴对任意k ∈[1,7]，不等式f(x)≥m 在x ∈[2,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是m ≤72； (3)设2x −1=t ，则t >−1，且t ≠0， 方程f(|2x −1|)−3k −2=0，即|t|+2k+1|t|=3k +2，当t >0时，方程可化为：t 2−(3k +2)t +(2k +1)=0，由题意得{(3k +2)2−4(2k +1)>03k +2>02k +1>0，解得：−12<k −49或k >0 ①，当−1<t <0时，方程可化为：t 2+(3k +2)t +(2k +1)=0， 设f(t)=t 2+(3k +2)t +(2k +1)， 只需对称轴x =−3k+22<−1，f(−1)<0，f(0)>0即可，∴{−3k+22<−11−(3k+2)+(2k+1)<02k+1>0，解得：k>0②，①，②取交集得：k>0，∴实数k的取值范围是(0,+∞)．解析：(1)求出原函数的导函数，利用导函数在[√2k+1,+∞)上大于0说明f(x)在[√2k+1,+∞)上单调递增；(2)对k分类求出函数在x∈[2,3]上的最小值得答案；(3)设2x−1=t，将问题转化为求方程t2−(3k+2)t+(2k+1)=0在(0,+∞)有2个交点，方程t2+ (3k+2)t+(2k+1)=0在(−1,0)有1个交点求解．本题考查函数单调性的性质，考查了函数的最值及其几何意义，训练了根的存在性及根的个数的判定方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18.答案：解：一部车床生产某种零件的不合格品率为2%，从这部车床生产的一组5个零件的随机样本中发现有2个或2个以上的不合格品，则停机维修，停机维修的概率为：P=1−C50×0.985−C51⋅0.984⋅0.02=0.0038144．解析：利用对立事件概率计算公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：(1)∵f(x)=lnx，∴f′(x)=1x ，∴f′(1)=1=12a，得：a=2．又∵g(1)=0=12a+b，∴b=−1，∴g(x)=x−1；(2)φ(x)=m(x−1)x+1−f(x)=m(x−1)x+1−lnx在[1,+∞)上是减函数，∴ϕ′(x)=−x2+(2m−2)x−1x(x+1)2≤0在[1,+∞)上恒成立．即x2−(2m−2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立，由2m−2≤x+1x，x∈[1,+∞)，∵x+1x∈[2,+∞),∴2m−2≤2得m≤2；证明：(3)由(1)可得：当x≥2时：lnx<x−1≤x2(x−1)，∴lnx<12x(x−1)得：2x(x−1)<1lnx，∴2(1x−1−1x)<1lnx．当x=2时：2(11−12)<1ln2，当x=3时：2(12−13)<1ln3，当x=4时：2(13−14)<1ln4，…当x=n+1时：2(1n−1n+1)<1ln(n+1)，n∈N+，n≥2，上述不等式相加得：2(1−1n+1)<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)，即：2nn+1<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)．解析：(1)求导数，利用f(x)与g(x)在x=1处相切，可求g(x)的表达式；(2)φ(x)=m(x−1)x+1−f(x)在[1,+∞)上是减函数，可得导函数小于等于0，在[1,+∞)上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数m的取值范围；(3)当x≥2时，证明2(1x−1−1x)<1lnx，当x=2时，当x=3时，当x=4时，…，当x=n+1时，利用叠加法，即可得到结论．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X−B(5,0.2)，P(X=k)=C5k0．2k0．85−k，k=0，1，2，3，4，5，∴X的分布列为：(Ⅱ)以Y表示一周内所获利润，则y=g(X)={10,X=0 5,X=1 0,X=2−2,X≥3，P(Y=10)=P(X=0)=0.32768，P(Y =5)=P(X =1)=0.4096， P(Y =0)=P(X =2)=0.2048，P(Y =−2)=P(X ≥3)=0.0512+0.0064+0.00032=0.05792， ∴一周内利润的期望为：EY =10×0.32768+5×0.4096+(−2)×0.05792=5.20896(万元)．解析：(Ⅰ)以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X −B(5,0.2)，由此能求出X 的分布列． (Ⅱ)以Y 表示一周内所获利润，则y =g(X)={10,X =05,X =10,X =2−2,X ≥3，一周内利润的期望值．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．21.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax ，g(x)=lnx ，其中a ∈R ．∴F(x)=ax −lnx ，则F′(x)=a −1x ， ∵函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1， ∴F′(1)=0，∴a −1=0，解得a =1；(Ⅱ)∵函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)=asin(1−x)+lnx ， ∴G′(x)=acos(1−x)×(−1)+1x ，只要G′(x)在区间(0,1)上大于等于0， ∴G′(x)=acos(1−x)×(−1)+1x ≥0， ∴a ≤1xcos(1−x)，求1xcos(1−x)的最小值即可，求ℎ(x)=xcos(1−x)的最大值即可，0<1−x <1， ∵ℎ′(x)=cos(1−x)+xsin(1−x)>0， ∴ℎ(x)在(0,1)增函数， ℎ(x)<ℎ(1)=1， ∴1xcos(1−x)的最小值为1， ∴a ≤1；(Ⅲ)∵0<1(k+1)2<1，∵sinx <x 在x ∈(0,1)上恒成立，∴∑sin n k=11(k+1)2=sin 122+sin132+⋯+sin1(n+1)2≤122+132+⋯+1(n+1)2<14+19+116+14×5+15×6+⋯+1n(n+1)=97144−1n+1<97144<ln2，∴∑sin n k=11(k+1)2<ln2；解析：(Ⅰ)根据已知条件函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1，可得F′(1)=0，得出等式，求出a 值； (Ⅱ)因为函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G′(x)>0在(0,1)上恒成立，利用常数分离法进行求解；(Ⅲ)这个证明题可以利用一个恒等式，sinx <x ，然后对∑sin n k=11(k+1)2从第三项开始进行放缩，然后进行证明；第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx <x 进行证明，此题难度比较大，计算量比较大；22.答案：解：(Ⅰ)g′(x)=1−xe x−1，令g′(x)=0，得x =1，列表如下：∴当x =1时，g(x)取得极大值g(1)=1，无极小值；(Ⅱ)当m =1时，a <0时，f(x)=x −alnx −1，x ∈(0,+∞)， ∵f′(x)=x−a x >0在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数，设ℎ(x)=1g(x)=e x−1x，∵ℎ′(x)=e x−1(x−1)x 2>0在[3,4]上恒成立，∴ℎ(x)在[3,4]上为增函数，不妨设x 2>x 1，则|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|等价于：f(x 2)−f(x 1)<ℎ(x 2)−ℎ(x 1)，即f(x 2)−ℎ(x 2)<f(x 1)−ℎ(x 1)，设u(x)=f(x)−ℎ(x)=x −alnx −1−e x−1x，则u(x)在[3,4]上为减函数，∴u′(x)=1−ax −e x−1(x−1)x 2≤0在[3,4]上恒成立，∴a ≥x −ex−1+e x−1x恒成立，∴a ≥(x −e x−1+e x−1x)max ，x ∈[3,4]，设v(x)=x −e x−1+e x−1x，∵v′(x)=1−e x−1+e x−1(x−1)x 2=1−e x−1[(1x −12)2+34]，x ∈[3,4]，∴e x−1[(1x −12)2+34]>34e2>1，∴v′(x)<0，v(x)为减函数，∴v(x)在[3,4]上的最大值v(3)=3−23e2，∴a≥3−23e2，∴a的最小值为3−23e2；解析：(Ⅰ)对函数g(x)求导，得到g′(x)=0，得到极值点，求出极值．(Ⅱ)不妨设x2>x1，则|f(x2)−f(x1)|<|1g(x2)−1g(x1)|等价于：f(x2)−f(x1)<ℎ(x2)−ℎ(x1)，即f(x2)−ℎ(x2)<f(x1)−ℎ(x1)，分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．本题主要考查了利用导数求函数极值和利用导数求参数范围，属于中档题型，在高考中经常涉及．。
北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析
北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()12z i i +=,则复数z 在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】 由()12z i i +=，得()122=1255i i ii z i -+==+， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为2155⎛⎫⎪⎝⎭，，在第一象限． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B．2C ．1 D【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴常为2a 1211222{2PF PF a PF PF a +=⇒-= 1PF ⇒=12,a a +212PF a a =-222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π⇒=++--+-⇒2221111124(2(24c a a =+-⇒=≥=⇒122e e ≥,故选B. 3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( )A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是假设三内角都大于60 .故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.4．已知，则函数的单调递减区间为( )．A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，并对该函数求导，解不等式，将解集与定义域取交集得出函数的单调递减区间。
北京市西城区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 含解析
北京市西城区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题一､选择题1. 在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. 【详解】复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2. 函数y =1x =处的瞬时变化率为（ ）A. 2B.12C. 12-D. 1【答案】B函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解 【详解】,y x y '=∴=，112x y =∴='所以函数y =1x =处的瞬时变化率为12故选：B【点睛】本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题. 3. 4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A. 8 B. 7C. 6D. 4【答案】C根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r，2x ∴的系数为246C =．故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 曲线2y x=在点()1,2Q 处的切线方程为（ ） A. 240x y +-= B. 240x y ++= C. 10x y -+= D. 10x y +-=【答案】A求出函数在1x =处的导数值，即切线斜率，即可求出切线方程. 【详解】2y x =，22y x'∴=-， 当1x =时，2y '=-，故切线斜率为2-，∴切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.5. 某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A. 3p B. 3(1)p p -C. 334(1)C p p -D. 334C p【答案】C根据独立重复试验的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作X ， 则X 服从二项分布，即()4,XB p ，所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是()3343(1)P X C p p ==-. 故选：C.【点睛】本题主要考查求独立重复试验对应的概率，属于基础题型.6. 已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C分析：先根据分布列概率和为1得到b 的值，再根据E(X)=6.3得到a 的值. 详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3， 所以a=7. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：①0i P ≥，1,2,3,,,i n =；②121n P P P ++++=.7. 已知函数()cos sin f x x x x =-，则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ） A.2πB. 2π-C. 1-D.π-【答案】B根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可； 【详解】因为()cos sin f x x x x =-所以()()cos cos cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x x x '''=+-=--=-所以sin 2222f ππππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.8. 已知函数()f x 和()g x 的导函数()f x '､()g x '图象分别如图所示，则关于函数()()=-y g x f x 的判断正确的是（ ）A. 有3个极大值点B. 有3个极小值点C. 有1个极大值点和2个极小值点D. 有2个极大值点和1个极小值点【答案】D根据题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =；结合题中函数图像，判定函数()()=-y g x f x 的单调性，进而可得极值点.【详解】由题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =，由图像可得，当1x x <时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当10x x <<时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减；当30x x <<时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当3x x >时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减； 所以()()=-y g x f x 有两个极大值点1x 和3x ；有一个极小值点0. 故选：D.【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型.9. 万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律十二平均律包括六个阳律（黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟）.现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律（ ） A. 450种 B. 900种 C. 1350种 D. 1800种【答案】B分为两步，第一步，取出2个阳律和2个阴律，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，利用分步计数原理可得.【详解】第一步，取出2个阳律和2个阴律，有2266225C C =种， 第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，有22224A A =种， 根据分步计数原理可得，共有2254900⨯=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合与计数原理的问题，属于基础题.10. 设函数()f x 定义域为D ，若函数()f x 满足：对任意c D ∈，存在,a b D ∈，使得()()()f a f b f c a b-'=-成立，则称函数()f x 满足性质Γ.下列函数不满足性质Γ的是（ ）A. 2()f x x =B. 3()f x x =C. ()x f x e =D.()ln f x x =【答案】B构造函数()()()g x f x f c x '=-，可得()()g x f x ''''=，则()f x ''在定义域内正负号不变时满足性质Γ，若()f x ''有唯一变号零点0x 时不满足性质Γ，则通过计算()f x ''即可判断. 【详解】()()()f a f b f c a b-'=-可化为()()()()f a f c a f b f c b ''-=-，令()()()g x f x f c x '=-，则()()()g x f x f c '''=-，()()g x f x ''''=，∴若()f x ''在定义域内正负号不变，那么x c =是()g x '的变号零点，则()g x 在x c =的两侧的单调性不一致，因此满足性质Γ；若()f x ''有唯一变号零点0x ，那么取0c x =，则()g x '在定义域内的正负号不变，进而函数()g x 在定义域内单调，因此不满足性质Γ.对于A ，()2f x x '=，则()20f x ''=>，所以满足性质Γ；对于B ，()23f x x '=，则()6f x x ''=有唯一变号零点0，所以不满足性质Γ；对于C ，()x f x e '=，则()0x f x e ''=>，所以满足性质Γ； 对于D ，()1f x x '=，则()210f x x''=-<，所以满足性质Γ.【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题. 二､填空题 11. 若复数41z i=-，则||z =___________.【答案】先利用复数除法运算求出z ，再求出模即可. 【详解】()()()4142+2111i z i i i i +===--+，||z ∴==故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算和模的求解，属于基础题.12. 在5232x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)【答案】40先求出展开式的通项105152r rr r T C x-+=，令1050r -=即得解.【详解】设展开式的通项为2510515532()()2r rrr r r r T C x C x x--+==， 令1050,2r r -=∴=， 所以常数项为225240C =. 故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答). 【答案】45根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法； 第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法， 由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种. 故答案为：45.【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的计算，其中解答中根据题设条件，合理分类，结合分类计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 14. 中国福利彩票3D 游戏(以下简称3D )，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他的奖金的期望是______元. 【答案】1求出此人中奖和不中奖的概率，利用期望的公式，即可求得数学期望，得到答案.【详解】由题意，此人中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以此人随机投注一次，他的奖金的期望为：199910000110001000⨯+⨯=元. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法，其中解答中正确理解题意，求得此人中奖和不中奖的概率，结合期望的计算公式求解是解答的关键，属于基础题. 15. 能说明“若()f x '为偶函数，则()f x 为奇函数”为假命题的一个函数是__________.【答案】3()1f x x =+(答案不唯一)根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.【详解】若3()1f x x =+，则()23f x x '=是偶函数，但3()1()f x x f x -=-+≠-，所以()f x 不是奇函数；能满足“若()f x '为偶函数，则()f x 为奇函数”为假命题.故答案为：3()1f x x =+.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基16. 辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% 对于此次招生，给出下列四个结论： ①法学院的录取率小于商学院的录取率； ②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】②④根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解. 【详解】设申请法学院的男生人数为x ，女生人数为y ，则200x y +=， 法学院的录取率为0.50.70.50.7(200)0.70.001200200x y x x x ++⨯-==-，设申请商学院的男生人数为m ，女生人数为n ，则300m n +=， 商学院的录取率为0.60.90.60.9(300)0.90.001200200m n m m m ++⨯-==-，由()()0.90.0010.70.0010.20.001()0.001(200)m x m x m x ---=--=-+， 该值的正负不确定，所以①错误，④正确；这两个学院所有男生的录取率为0.50.6x mx m++，这两个学院所有女生的录取率为0.70.9y ny n++，因为0.50.60.70.90.20.40.10.30()()x m y n xy xn my nmx m y n x m y n +++++-=<++++，所以②正确；③错误. 故答案为：②④.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题. 三､解答题17. 已知函数3()3f x x x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-；（2）最大值为18，最小值为2-.（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可． 【详解】（1）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令()0f x '=，解得11x =-，21x =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-.（2）因为函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增， 又(1)2f -=，(1)2f =-，(3)18f =，所以，函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值为18，最小值为2-.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，属于基础题 18. 某射手打靶命中8环､9环､10环的概率分别为0.15.0.25.0.2.如果他连续打靶三次，且每次打靶的命中结果互不影响. （1）求该射手命中29环的概率； （2）求该射手命中不少于28环的概率. 【答案】（1）0.03；（2）0.0935.（1）根据题中条件，由独立事件的概率计算公式，即可得出结果；（2）根据题中条件，分别计算出命中30环，命中28环，命中29环对应的概率，再求和，即可得出结果.【详解】（1）设A =“连续射击3次，中29环”.则223()0.25(0.2)P A C =⋅⋅0.03=所以该射手命中29环的概率为0.03.（2）设B =“连续射击3次，命中不少于28环”， 依题意，命中30环的概率为3(0.2)0.008=； 命中28环的概率为2222330.15(0.2)(0.25)0.2C C ⋅⋅+⋅⋅0.0180.03750.0555=+=；由（1）知，命中29环的概率为0.03；所以()0.0080.05550.030.0935P B =++=，所以该射手连续射击3次，命中不少于28环的概率为0.0935.【点睛】本题主要考查独立事件的概率，考查求互斥事件发生的概率，属于常考题型. 19. 已知函数()ln (0)f x x a x a =-≠.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值点和极值. 【答案】（1）1y =；（2）答案见解析.（1）当1a =时，求得11()1x f x x x'-=-=，得到()01f '=，()11f =，即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=，分0a <和0a >两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的极值，得到答案.详解】（1）当1a =时，函数()ln f x x x =-，可得11()1x f x x x'-=-=，则()01f '=， 又因为()11f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. （2）由函数()ln f x x a x =-，可得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=， ①当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，不存在极值； ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =. 随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，所以，函数()f x 的极小值点为x a =，极小值为()ln f a a a a =-，无极大值， 综上可得，当0a <时，函数()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值ln a a a -，极小值点为x a =，无极大值.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，其中解答中熟记导数与原函数的关系，正确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20. 高中必修课程结束之后，学生需要从物理､化学､生物､历史､地理､政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程.某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：（1）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；（2）从第8组､第9组､第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望；（3）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大？并说明理由.【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：1211；（3）选择历史的可能性最大，理由见解析.（1）先找出选择了化学的学生数，再利用古典概型求解即可；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，再利用超几何分布求概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）由表可知，选择地理的总人数为79，然后依次求出同时选择生物、化学、政治、物理或历史的概率，取最大者即可．【详解】解：（1）设A =“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”， 则17121074501()1001002P A ++++===，所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12. （2）第8､9､10组共有11人，其中选择政治的有6人. 所以X 的所有可能取值为0，1，2.252112(0)11C P X C ===，11562116(1)11C C P X C ===，262113(2)11C P X C ===.所以X 的分布列为故X 的期望()01211111111E X =⨯+⨯+⨯=. （2）选择地理的总人数为：20141210975279+++++++=.所以P (“同时选择生物”)141292377979+++==；P (“同时选择化学”)12107297979++==；P (“同时选择政治”)202227979+==； P (“同时选择物理”)1095247979++==；P (“同时选择历史”)201475467979+++==.因为4679最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大. 【点睛】本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．21. 已知函数2()12xa f x e x x =---. （1）若0a =，证明：()0f x ≥；（2）若曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）{}0a a ≤.（1）当0a =时，求得()1x f x e =-'，根据()'f x 的符号，求得函数的单调性与最小值，即可求解；（2）求得函数的导数()1x f x e ax '=--，设()1xg x e ax =--，把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，利用导数，分类讨论求得函数()g x 单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当0a =时，函数()1x f x e x =--，可得()1x f x e =-'， 令()0f x '>，即10x e ->，解得0x >； 令()0f x '<，即10x e -<，解得0x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()00f =，所以()0f x ≥.（2）由函数2()12x a f x e x x =---，可得()1x f x e ax '=--， 设()1xg x e ax =--，可得()xg x e a '=-由曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，不存在最小值， 所以0a ≤符合题意. ②当0a >时，令()0g x '>，即0x e a ->，解得ln x a >； 令()0g x '<，即0-<x e a ，解得ln x a <，所以()g x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以()g x 在ln x a =处取得最小值，最小值为()ln ln ln 11ln ag a e a a a a a =--=--,所以0a >不符合题意（舍去）.综上可得，实数a 的取值范围为{}0a a ≤.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值（最值），以及把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，转化为函数()g x 不存在最小值是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 22. 已知函数()ln f x x ax a =+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当1a >时，函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）求出()f x 的导数，讨论0a ≥和0a <时导数情况，即可求出单调区间；（2）由题可得所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点，求出()g x 的导数，讨论其单调性，即可进行判断.【详解】解：（1）函数()f x 定义域为()0,∞+，11()ax f x a x x'+=+=. ①当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ②当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-；由()0f x '<，得1x a >-.所以()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.综上，当0a ≥时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由已知1()ln x g x e x ax a -=--+，0x >.因为()11g =，所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点， 即min ()(1)1g x g <=.因为()ln x e g x x ax a e=--+，所以11()x g x e a x -'=--.因为函数1x y e -=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数， 所以()g x '在区间(0,)+∞上是增函数， 因为1a >，所以(1)0g a '=-<，11(1ln(1))1101ln(1)1ln(1)g a a a a a '++=+--=->++++.所以方程()0g x '=在区间(0,)+∞上存在唯一解， 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()g x 有最小值，最小值为()()011g x g <=. 所以函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数求函数最值，属于较难题.。
(完整版)西城区2018-2019学年第二学期高二期末数学试题及答案,推荐文档
北京市西城区2018—2019 学年度第二学期期末试卷高二数学2019.7本试卷共5 页，共150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.高二数学第二学期期末试卷第1 页（共12 页）高二数学第二学期期末试卷 第 2 页（共 12 页）8. 设0 < p < 1 ，随机变量的分布列为那么，当p 在( 0,1) 内增大时, D () 的变化是（ ）10. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推， 遇零则置空，如下图：672867081 2Pp 33 - 2 p 3p 3高二数学第二学期期末试卷 第 3 页（共 12 页）如果把 5 根算筹以适当的方式全部放入右面的表格中，那么 可以表示的三位数的个数为（ ）（A ） 46（B ） 44（C ） 42（D ） 40二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11. 已知函数 y = e x，则 f '(1) =.x12. 二项式(2x 2 - 1)6 的展开式中的常数项是 x 13. 若复数 z 满足i ⋅ z = 1 + 2i ，则| z |=..（用数字作答）14. 能说明“若 f '(0)=0 ，则 x = 0 是函数 y = f (x ) 极值点”为假命题的一个函数是．15. 北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示.设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为 X ，则 E ( X ) =．16. 容器中有 A , B , C 3 种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗 B 粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗 A 粒子和一颗 B 粒子发生碰撞则变成一颗C 粒子.现有 A 粒子10 颗， B 粒子8 颗， C 粒子9 颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1 颗粒 子. 给出下列结论：① 最后一颗粒子可能是 A 粒子 ② 最后一颗粒子一定是C 粒子 ③ 最后一颗粒子一定不是 B 粒子 ④ 以上都不正确 其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）高二数学第二学期期末试卷 第 4 页（共 12 页）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = 1x 3 - x 2+ bx ，且 f '(2) = -3 .3（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）求 f (x ) 的单调区间.18．（本小题满分 13 分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过 A 、 B 、C 三道工序加工而成的， A 、B 、C 三道工序加工的元件合格率分别为 1 、 2 、 3．已知每道工序的加工都相互独立，2 3 4 三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．（Ⅰ）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（Ⅱ）若从该工厂生产的这种元件中任意取出 3 个元件进行检测，求至少有 2 个元件是一等品的概率.19．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = (x + a )e x .（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间；（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[ 0, 4 ] 上的最小值.20．（本小题满分13 分）某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，高一（1）班44 名学生和高一（7）班45 名学生的投票结果如下表（无废票）：该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.（Ⅰ）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求 a 的所有取值；（Ⅱ）从高一（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取3 位同学，设随机变量X 为投票给地理学科的人数，求X 的分布列和期望；（Ⅲ）当 a 为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小? （结论不要求证明）21．（本小题满分 14 分）已知函数f (x) = e x -a ln x -x .（Ⅰ）当 a =-1 时，求曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）若 f (x) 在区间(0,1) 上存在极值点，求 a 的取值范围.22．（本小题满分14 分）已知函数f (x) =ln x+a(x - 1) . x（Ⅰ）若 a = 0 ，求 f (x) 的极值；（Ⅱ）若在区间(1，+∞)上f (x) < 0 恒成立，求a的取值范围；高二数学第二学期期末试卷第5 页（共12 页）高二数学第二学期期末试卷 第 6 页（共 12 页）5（Ⅲ）判断函数 f (x ) 的零点个数.（直接写出结论）北京市西城区 2018—2019 学年度第二学期期末试卷高二数学参考答案2019.7一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.1. B2. D3. B4. D5. A6. A7. C8. B9. D10. B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 11. 012. 6013. 14. f (x ) = x 3 或 f (x ) = 1 等，答案不唯一15. 3.562516. ①③注：16 题选对一个正确结论得3 分，错选不得分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 17. （本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由已知 f '(x ) = x 2 - 2x + b ， (3)分所以 f '(2) = 4 - 4 + b = -3 ，所以 b = -3 ............................................................................................................................. 5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f '(x ) = x 2 - 2x - 3 ，解 f '(x ) > 0 ，得 x < -1 或 x > 3 ，解 f '(x ) < 0 ，得-1 < x < 3 .................................................................................................... 9 分 所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1) ， (3, +∞) ，单调递减区间为(-1, 3) .……………………13 分18. （本小题满分 13 分）高二数学第二学期期末试卷 第 7 页（共 12 页）解：（Ⅰ）不妨设元件经 A , B , C 三道工序加工合格的事件分别为 A , B , C .所以 P ( A ) = 1 , P (B ) = 2 , P (C ) = 3 . P ( A ) = 1 , P (B ) = 1 , P (C ) = 1...........................2 3 4 2 3 4 设事件 D 为“生产一个元件，该元件为二等品”. 由已知 A , B , C 是相互独立事件.根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，P (D ) = P ( ABC + ABC + ABC ) = P ( ABC ) + P ( ABC ) + P ( ABC )= (1 - 1 ) ⨯ 2 ⨯ 3 + 1 ⨯ (1- 2) ⨯ 3 + 1 ⨯ 2 ⨯ (1- 3)2 3 4 2 3 4 2 3 4 ………………6 分= 11 . 24所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为 11.........................................................24 分（Ⅱ）生产一个元件，该元件为一等品的概率为p = 1 ⨯ 2 ⨯ 3 = 1..................................................................................................... 2 3 4 4设事件 E 为“任意取出 3 个元件进行检测，至少有 2 个元件是一等品”，则 P (E ) = 2 1 2 ⨯ 3 + 1 3 (12)C 3 ( 4) 4 ( 4)分= 10 = 5 . 64 32所以至少有 2 个元件是一等品的概率为 532 分. (13)19.（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ） f '(x ) = e x + (x + a )e x = (x + a + 1)e x ............................................................................................................... 2 分由 f '(x ) > 0 ，解得 x > -a - 1 ；2 分89 分高二数学第二学期期末试卷 第 8 页（共 12 页）⎩由 f '(x ) < 0 ，解得 x < -a - 1.所以函数 f (x ) 的单调减区间为(-∞, -a - 1) ，单调增区间为(-a - 1, +∞) ................... 4 分 （Ⅱ）① 当-a - 1 ≥ 4 ，即 a ≤ -5 时，f (x ) 在[0, 4] 上单调递减， 所以 f (x )min = f (4) = (a + 4)e 4. ② 当-a - 1 ≤ 0 ，即 a ≥ -1 时， f (x ) 在[0, 4] 上单调递增， 所 以 f (x )min = f (0) = a . 分③ 当-5 < a < -1 时，……………………7 分 (10)分f (x ) 1所以 f (x ) min = f (-a - 1) = -e -a -1 = - (13)e a +1综上，当 a ≤ -5 时， f (x )min = (a + 4)e 4 ；当 a ≥ -1 时， f (x ) min = a ；当-5 < a < -1 时，= - 1 . mine a +120.（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由已知 a + b = 14 分，所以b = 14 - a (1)依题意， 分⎧9 + 6 > 6 + a ,⎨9 + 6 > 7 + b , (3)⎧9 + 6 > 6 + a ,即 ⎨ ⎩9 + 6 > 7 + (14 - a ) ,解得 6 < a < 9 ，又 a ∈ N ，所以 a = 7 ， a = 8 (4)高二数学第二学期期末试卷 第 9 页（共 12 页）= 3分（Ⅱ）由已知，随机变量 X 是高一（1）班同学中投票给地理学科的人数，所以 X = 0, 1, 2 ...................................................................................................................5 分P ( X = 0) = 6C 3 5 3 8分C 2C 1 P ( X = 1) = 6 2 3= C 8分14 ， (6)15 ， (7)28 C 1C 2 3 ........................................................................................................ P ( X = 2) = 6 2 = 8 分 C 828E ( X ) = 0 ⨯ 5 + 1⨯ 15 + 2 ⨯ 3 = 3 ..................................................................................10 分14 28 28 4 （Ⅲ） a = 7 或 a = 8 ......................................................................................................................... 13 分21.（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ） 当 a = -1 时， f (x ) = e x + ln x - x ， x > 0 .所以 f '(x ) = e x + 1- 1 ， ................................................................................................... 2 分x 所以 f (1) = e - 1 ， f '(1) = e ，曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为 y - (e - 1) = e(x - 1) ， 整理得 e x - y - 1 = 0.……………………4 分（Ⅱ）因为 f (x ) = e x - a ln x - x ， x > 0 .所以 f '(x ) = e x - a - 1 = x e x - x - a， ............................................................................. 6 分x x 依题意， f '(x ) 在区间( 0,1) 上存在变号零点 ...............................................................7 分C因为x > 0 ，设g(x) =x e x -x -a ，所以g(x) 在区间( 0,1) 上存在变号零点. (8)分因为g'(x) = e x (x +1) -1， (9)分所以，当x ∈(0,1) 时，e x > 1，x + 1 > 1，所以e x (x + 1) > 1，即g'(x) > 0 ，所以g(x) 在区间( 0,1) 上为单调递增函数， (12)分依题意，分⎧g(0) < 0,⎨⎩g(1) > 0,⎧-a < 0,即⎨⎩e -1-a > 0. (13)解得0 <a < e -1................................................................................................................ 14 分所以，若f (x) 在区间(0,1) 上存在极值点， a 的取值范围是( 0, e - 1) .22.（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）当 a = 0 时，定义域为{x | x > 0} .因为f (x) =ln x，所以f '(x) =1 - ln x ............................................................................1 分x x2令 f '(x) = 0 ，解得x = e ，+-所以f (x) 在区间(0, e) 上单调递增，在区间(e, + ∞) 上单调递减 (3)分所以f (x) 有极大值，极大值为f (e) =1；没有极小值 (4)e分（Ⅱ）因为x > 0 ，所以在(1, +∞) 上 f (x) < 0 恒成立，即ln x +ax2 -ax < 0 在(1, +∞) 恒成立. ……………………5 分高二数学第二学期期末试卷第10 页（共12 页）设g(x) = ln x +ax2 -ax.①当a ≥ 0 时，g(2) = ln 2 + 2a > 0 ，不符合题意 (7)分②当 a < 0 时，' 1 2ax2 -ax +1g (x) =+ 2ax -a =x x ............................................................................................. 8 分令g'(x) = 0 ,即2ax2 -ax + 1 = 0 ，因为方程2ax2 -ax + 1 = 0 的判别式∆=a2 - 8a > 0 ，两根之积1< 0 . 所以2ag'(x) = 0 有两个异号根. 设两根为x1, x2，且x1< 0 <x2，……………………9 分i）当+-所以g(x) 在区间(1, x2 ) 上单调递增，在区间(x2 ,+∞) 上单调递减，所以g(x2 ) >g(1) = 0 ，不符合题意； (10)分ii）当x2≤ 1 时，g'(1) ≤ 0 ，即a ≤-1 时，g(x) 在(1, +∞) 单调递减，所以当x ∈(1, +∞) 时，g(x) <g(1) = 0 ，符合题意.综上，a ≤-1 ................................................................................................................... 11 分（Ⅲ）当a ≥ 0 或a =-1 时，f (x) 有1 个零点；当a < 0 且a ≠-1时，函数f (x) 有2 个零点. (14)分高二数学第二学期期末试卷第11 页（共12 页）16 题提示：1、最后剩下的可能是 A 粒子10 颗 A 粒子两两碰撞，形成 5 颗 B 粒子；9颗 C 粒子中的 8 个两两碰撞，形成 4 颗 B 粒子；所有的 17 颗 B 粒子两两碰撞，剩下一颗 B 粒子；这个 B 粒子与剩下的一颗 C 粒子碰撞形成 A 粒子。
北京市西城区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试题 Word版含解析
北京市西城区2019—2020学年度第二学期期未试卷高二数学一､选择题1. 在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. 【详解】复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2. 函数y =1x =处的瞬时变化率为（ ）A. 2B.12C. 12-D. 1【答案】B 【解析】 【分析】函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解 【详解】,y x y '=∴=112x y =∴='所以函数y =1x =处的瞬时变化率为12故选：B【点睛】本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题. 3. 4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r，2x ∴的系数为246C =．故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 曲线2y x=在点()1,2Q 处的切线方程为（ ） A. 240x y +-= B. 240x y ++= C. 10x y -+= D. 10x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】求出函数在1x =处的导数值，即切线斜率，即可求出切线方程. 【详解】2y x =，22y x'∴=-， 当1x =时，2y '=-，故切线斜率为2-，∴切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.5. 某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A. 3p B. 3(1)p p -C. 334(1)C p p -D. 334C p【答案】C 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作X ， 则X 服从二项分布，即()4,XB p ，所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是()3343(1)P X C p p ==-. 故选：C.【点睛】本题主要考查求独立重复试验对应的概率，属于基础题型.6. 已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】分析：先根据分布列概率和为1得到b 的值，再根据E(X)=6.3得到a 的值. 详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3， 所以a=7. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：①0i P ≥，1,2,3,,,i n =；②121n P P P ++++=.7. 已知函数()cos sin f x x x x =-，则2f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值为（ ） A.2π B. 2π-C. 1-D. π-【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可； 【详解】因为()cos sin f x x x x =-所以()()cos cos cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x x x '''=+-=--=- 所以sin 2222f ππππ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.8. 已知函数()f x 和()g x 的导函数()f x '､()g x '图象分别如图所示，则关于函数()()=-y g x f x 的判断正确的是（ ）A. 有3个极大值点B. 有3个极小值点C. 有1个极大值点和2个极小值点D. 有2个极大值点和1个极小值点【答案】D 【解析】 【分析】根据题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =；结合题中函数图像，判定函数()()=-y g x f x 的单调性，进而可得极值点.【详解】由题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =，由图像可得，当1x x <时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当10x x <<时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减；当30x x <<时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当3x x >时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减； 所以()()=-y g x f x 有两个极大值点1x 和3x ；有一个极小值点0. 故选：D.【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型.9. 万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律十二平均律包括六个阳律（黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟）.现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律（ ） A. 450种 B. 900种 C. 1350种 D. 1800种【答案】B 【解析】 【分析】分为两步，第一步，取出2个阳律和2个阴律，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，利用分步计数原理可得.【详解】第一步，取出2个阳律和2个阴律，有2266225C C =种，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，有22224A A =种，根据分步计数原理可得，共有2254900⨯=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合与计数原理的问题，属于基础题.10. 设函数()f x 定义域为D ，若函数()f x 满足：对任意c D ∈，存在,a b D ∈，使得()()()f a f b f c a b-'=-成立，则称函数()f x 满足性质Γ.下列函数不满足性质Γ的是（ ） A. 2()f x x = B. 3()f x x = C. ()xf x e =D.()ln f x x =【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()()g x f x f c x '=-，可得()()g x f x ''''=，则()f x ''在定义域内正负号不变时满足性质Γ，若()f x ''有唯一变号零点0x 时不满足性质Γ，则通过计算()f x ''即可判断. 【详解】()()()f a f b f c a b-'=-可化为()()()()f a f c a f b f c b ''-=-，令()()()g x f x f c x '=-，则()()()g x f x f c '''=-，()()g x f x ''''=，∴若()f x ''在定义域内正负号不变，那么x c =是()g x '的变号零点，则()g x 在x c =的两侧的单调性不一致，因此满足性质Γ；若()f x ''有唯一变号零点0x ，那么取0c x =，则()g x '在定义域内的正负号不变，进而函数()g x 在定义域内单调，因此不满足性质Γ.对于A ，()2f x x '=，则()20f x ''=>，所以满足性质Γ；对于B ，()23f x x '=，则()6f x x ''=有唯一变号零点0，所以不满足性质Γ；对于C ，()x f x e '=，则()0xf x e ''=>，所以满足性质Γ； 对于D ，()1f x x '=，则()210f x x''=-<，所以满足性质Γ. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题.二､填空题11. 若复数41z i=-，则||z =___________.【答案】【解析】 【分析】先利用复数除法运算求出z ，再求出模即可. 【详解】()()()4142+2111i z i i i i +===--+，||z ∴==故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算和模的求解，属于基础题.12. 在5232x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)【答案】40 【解析】 【分析】先求出展开式的通项105152r r rr T C x-+=，令1050r -=即得解. 【详解】设展开式的通项为2510515532()()2r rr r r r r T C x C x x--+==， 令1050,2r r -=∴=，所以常数项为225240C =.故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答). 【答案】45 【解析】 【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法； 第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种. 故答案为：45.【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的计算，其中解答中根据题设条件，合理分类，结合分类计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 14. 中国福利彩票3D 游戏(以下简称3D )，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他的奖金的期望是______元. 【答案】1 【解析】 【分析】求出此人中奖和不中奖的概率，利用期望的公式，即可求得数学期望，得到答案.【详解】由题意，此人中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以此人随机投注一次，他的奖金的期望为：199910000110001000⨯+⨯=元. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法，其中解答中正确理解题意，求得此人中奖和不中奖的概率，结合期望的计算公式求解是解答的关键，属于基础题. 15. 能说明“若()f x '为偶函数，则()f x 为奇函数”为假命题的一个函数是__________.【答案】3()1f x x =+(答案不唯一)【解析】 【分析】根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.【详解】若3()1f x x =+，则()23f x x '=是偶函数，但3()1()f x x f x -=-+≠-，所以()f x 不是奇函数；能满足“若()f x '为偶函数，则()f x为奇函数”为假命题.故答案为：3()1f x x =+.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.16. 辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% 对于此次招生，给出下列四个结论： ①法学院的录取率小于商学院的录取率； ②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解. 【详解】设申请法学院的男生人数为x ，女生人数为y ，则200x y +=， 法学院的录取率为0.50.70.50.7(200)0.70.001200200x y x x x ++⨯-==-，设申请商学院的男生人数为m ，女生人数为n ，则300m n +=， 商学院的录取率为0.60.90.60.9(300)0.90.001200200m n m m m ++⨯-==-，由()()0.90.0010.70.0010.20.001()0.001(200)m x m x m x ---=--=-+， 该值的正负不确定，所以①错误，④正确； 这两个学院所有男生的录取率为0.50.6x mx m++，这两个学院所有女生的录取率为0.70.9y ny n++，因为0.50.60.70.90.20.40.10.30()()x m y n xy xn my nmx m y n x m y n +++++-=<++++，所以②正确；③错误. 故答案为：②④.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题.三､解答题17. 已知函数3()3f x x x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-；（2）最大值为18，最小值为2-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可． 【详解】（1）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令()0f x '=，解得11x =-，21x =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-. （2）因为函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增， 又(1)2f -=，(1)2f =-，(3)18f =，所以，函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值为18，最小值为2-.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，属于基础题 18. 某射手打靶命中8环､9环､10环的概率分别为0.15.0.25.0.2.如果他连续打靶三次，且每次打靶的命中结果互不影响. （1）求该射手命中29环的概率； （2）求该射手命中不少于28环的概率. 【答案】（1）0.03；（2）0.0935. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，由独立事件的概率计算公式，即可得出结果；（2）根据题中条件，分别计算出命中30环，命中28环，命中29环对应的概率，再求和，即可得出结果.【详解】（1）设A =“连续射击3次，中29环”.则223()0.25(0.2)P A C =⋅⋅0.03=所以该射手命中29环的概率为0.03.（2）设B =“连续射击3次，命中不少于28环”， 依题意，命中30环的概率为3(0.2)0.008=；命中28环的概率为2222330.15(0.2)(0.25)0.2C C ⋅⋅+⋅⋅0.0180.03750.0555=+=；由（1）知，命中29环的概率为0.03；所以()0.0080.05550.030.0935P B =++=，所以该射手连续射击3次，命中不少于28环的概率为0.0935.【点睛】本题主要考查独立事件的概率，考查求互斥事件发生的概率，属于常考题型. 19. 已知函数()ln (0)f x x a x a =-≠.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值点和极值. 【答案】（1）1y =；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求得11()1x f x x x'-=-=，得到()01f '=，()11f =，即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=，分0a <和0a >两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的极值，得到答案.【详解】（1）当1a =时，函数()ln f x x x =-，可得11()1x f x x x'-=-=，则()01f '=， 又因为()11f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. （2）由函数()ln f x x a x =-，可得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=， ①当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，不存在极值；②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x()0,aa(),a +∞()f x '-+所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，所以，函数()f x 的极小值点为x a =，极小值为()ln f a a a a =-，无极大值， 综上可得，当0a <时，函数()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值ln a a a -，极小值点为x a =，无极大值.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，其中解答中熟记导数与原函数的关系，正确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20. 高中必修课程结束之后，学生需要从物理､化学､生物､历史､地理､政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程.某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：（1）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；（2）从第8组､第9组､第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X ，求X 的分布列和期望；（3）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大？并说明理由. 【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：1211；（3）选择历史的可能性最大，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）先找出选择了化学的学生数，再利用古典概型求解即可；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，再利用超几何分布求概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）由表可知，选择地理的总人数为79，然后依次求出同时选择生物、化学、政治、物理或历史的概率，取最大者即可．【详解】解：（1）设A =“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”， 则17121074501()1001002P A ++++===，所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12. （2）第8､9､10组共有11人，其中选择政治的有6人. 所以X 的所有可能取值为0，1，2.252112(0)11C P X C ===，11562116(1)11C C P X C ===，262113(2)11C P X C ===.所以X 的分布列为故X 的期望()01211111111E X =⨯+⨯+⨯=. （2）选择地理的总人数为：20141210975279+++++++=.所以P (“同时选择生物”)141292377979+++==；P (“同时选择化学”)12107297979++==；P (“同时选择政治”)202227979+==；P (“同时选择物理”)1095247979++==； P (“同时选择历史”)201475467979+++==.因为4679最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大.【点睛】本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题． 21. 已知函数2()12xa f x e x x =---. （1）若0a =，证明：()0f x ≥；（2）若曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）{}0a a ≤. 【解析】 【分析】（1）当0a =时，求得()1x f x e =-'，根据()'f x 的符号，求得函数的单调性与最小值，即可求解；（2）求得函数导数()1xf x e ax '=--，设()1xg x e ax =--，把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，利用导数，分类讨论求得函数()g x 单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当0a =时，函数()1xf x e x =--，可得()1xf x e =-'， 令()0f x '>，即10x e ->，解得0x >；令()0f x '<，即10x e -<，解得0x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()00f =，所以()0f x ≥.（2）由函数2()12xa f x e x x =---，可得()1x f x e ax '=--， 设()1xg x e ax =--，可得()xg x e a '=-由曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，不存在最小值， 所以0a ≤符合题意. ②当0a >时，令()0g x '>，即0x e a ->，解得ln x a >； 令()0g x '<，即0-<x e a ，解得ln x a <，所以()g x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以()g x 在ln x a =处取得最小值，最小值()ln ln ln 11ln a g a e a a a a a =--=--,所以0a >不符合题意（舍去）.综上可得，实数a 的取值范围为{}0a a ≤.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值（最值），以及把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，转化为函数()g x 不存在最小值是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 22. 已知函数()ln f x x ax a =+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当1a >时，函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，讨论0a ≥和0a <时导数情况，即可求出单调区间；（2）由题可得所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点，求出()g x 的导数，讨论其单调性，即可进行判断.【详解】解：（1）函数()f x 定义域为()0,∞+，11()ax f x a x x'+=+=. ①当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ②当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-；由()0f x '<，得1x a >-.所以()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.综上，当0a ≥时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由已知1()ln x g x e x ax a -=--+，0x >.因为()11g =，所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点， 即min ()(1)1g x g <=.因为()ln x e g x x ax a e=--+，所以11()x g x e a x -'=--.因为函数1x y e-=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数， 所以()g x '在区间(0,)+∞上是增函数， 因为1a >，所以(1)0g a '=-<，11(1ln(1))1101ln(1)1ln(1)g a a a a a '++=+--=->++++.所以方程()0g x '=在区间(0,)+∞上存在唯一解， 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()g x 有最小值，最小值为()()011g x g <=. 所以函数1()()x g x ef x -=-存在最小值，且最小值小于1.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数求函数最值，属于较难题.。