2019-2020学年四川省成都七中高二下学期半期考试数学(文)试题 Word版
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成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试
高二数学试卷(文科)
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知复数12z i =-，则=z （ ）
（A
（B ）1+2i （C ）12+55i （D ）
1255
i - 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） （A ）()2,1,3 （B ） ()2,1,3-- （C ）()2,1,3- （D ）()2,1,3--
3.在极坐标系中，过点2,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ= （B ）2
θπ
=
（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象， 则下面判断正确的是（ ） （A ）在区间()2,1-上()f x 是增函数 （B ）在区间()1,3上()f x 是减函数 （C ）在区间()4,5上()f x 是增函数
（D ）当2x =时，()f x 取到极小值
5.函数()2cos f x x x =+在 ） （A ）0 （B ）
6π （C ）3π （D ）2
π 6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2
＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）
（A ）1%
（B ）0.1% （C ）99% （D ）99.9%
7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
（A 2 （B ）24cm （C ）2 （D ）2 8.若32
11()232
f x x x ax =-
++在(1,)+∞上存在单调递增区间，
则a 的取值范围是（ ） （A ）(,0]-∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[0,)+∞ （D ）(0,)+∞ 9.两动直线1y kx =+与2
1y x k
=-
-的交点轨迹是（ ） （A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ） 抛物线的一部分 （D ） 圆的一部分 10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比
L ”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过
x =确定=2x ，则11+
=11+1+L
是（ ）
（A
（B
（C
（D
11.已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()10f x x f x '++>对x R ∈恒成立，且实数
,x y 满足()()()()110x f x y f y +-+>，则下列关系式恒成立的是（ ）
（A ）
33
11
11
x y <++ （B ）x y e e < （C ）
x y
x y e e < （D ）sin sin x y x y ->- 12.已知函数()ln 2f x m x x =-，若不等式()12x f x mx e +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
（A ）2m ≥ （B ）2m ≤ （C ）0m ≤ （D ）02m ≤≤ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.1
12
z i =+
（i 为虚数单位）的虚部是 . 14.已知[]0,2x ∈，则函数()x f x x e =+的值域是 .
15.
已知曲线2cos :(0x C y y θθθ
=⎧⎪
≥⎨⎪=⎩为参数且）.若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线
:260l x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为 .
16.已知函数()211,0,2ln ,0.x e x x x e
f x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩
若方程()0f x m -=恰有两个实根，
则实数m 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分 17.（本小题满分10分）已知函数311
()32
f x x =
+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）求过点12,
2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
作曲线()y f x =的切线方程． 18.（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，
41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形11BCC B
是矩形，二面角1A BC C --是直二面角. （Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时， 有//1AB 平面1BDC ；
（Ⅱ）求点B 到平面11AB C 的距离.
19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为(
)1cos 0sin x t t y t α
απα
=+⎧≤<⎨
=⎩为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
212cos 4sin ρρθρθ+=+．
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；
C 1
B 1
D C
B
A
（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且AB =求α的值．
20.（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 014，z ＝y －5得到下表2：
表2
（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；
（III ）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
(附：对于线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
，其中b ^
＝∑n
i ＝1
x i y i －nx －
·y －
∑n i ＝1
x 2i －nx
－
2，a ^＝y －－b ^x －
) 21.（本小题满分12分）已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0，23)，离心率为12.
（Ⅰ）求椭圆P 的方程；。
四川省成都七中2019_2020学年高二数学下学期半期考试试题含解析
某某省某某七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知复数12z i =-，则z = ( ) A.i C.1255i + D. 1255i - 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义易得. 【详解】解：复数12z i =-， 则12z i =+. 故选：B.【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.2.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( ) A. （2,1,3）B. （﹣2,﹣1,3） C. （2,1,﹣3）D. （2,﹣1,﹣3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间坐标对称的性质求解即可. 【详解】在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）. 故选：B.【点睛】本题主要考查了空间坐标中求对称点的问题,属于基础题. 3.在极坐标系中，过点(2,)2π且与极轴平行的直线方程是（ ）A. 2ρ=B. 2πθ= C. sin 2ρθ= D. cos 2ρθ=【答案】C 【解析】点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭对应的直角坐标为()0,2，则直线的直角坐标方程为2y =，转化为极坐标方程：sin 2ρθ=.4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面判断正确的是( )A. 在区间()2,1-内，()y f x =是增函数B. 在()1,3内，()y f x =是减函数C. 在()4,5内，()y f x =是增函数D. 在2x =时，()y f x =取到极小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数大于零，函数递增；导数小于零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.【详解】解：由图象知当32-＜x ＜2或x ＞4时，()0y f x '=>，函数为增函数， 当332x -<<-或2＜x ＜4时，()0y f x '=<，函数为减函数， 则当x 32=-或x ＝4函数取得极小值，在x ＝2时函数取得极大值， 故ABD 错误，正确的是C ， 故选：C.【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.5.函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ） A. 0B.π6C. π3D. π2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：函数2cos y x x =+的导数为12sin y x '=-，令12sin 0y x -'==得1sin 2x =，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6x π=，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，所以函数2cos y x x =+在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以使得函数2cos y x x =+取得最大值的x 的值为6π，故选B. 考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.6.已知实数,,x y z 满足236x y z ++=，则222x y z++的最小值是( )A.B. 3C.187D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由柯西不等式得()()()222222212323xy z x y z ++++≥++， 即可算出答案.【详解】由柯西不等式得()()()222222212323x y z x y z ++++≥++，则2222(23)361814147x y z x y z ++++≥==，当且仅当“123x y z==”时取等号.故222x y z ++的最小值是187. 故选：C【点睛】本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题.7.把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A.2B. 24cmC. 2D. 2 【答案】D 【解析】设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为x 3cm,12x3-cm,面积之和为22x x 433⎤⎛⎫⎛⎫+-⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦29x 2-8x 3+16).令S ′48x 93⎫-⎪⎝⎭=0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min 2. 8.若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是( ) A. （﹣∞，0]B. （﹣∞，0）C. [0，+∞）D. （0，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()f x '>0在(1,+∞)上有解.因此结合()f x '的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论. 【详解】f (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间, 只需()f x '>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴12x =, 故()f x '在(1,+∞)上递减,所以(1)f '=2a >0,解得a >0. 故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.9.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在+中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程x=确定出来x＝2，类似地不难得到11111+++＝（）A. 12B. 12C. 12D. 12【答案】C 【解析】【分析】+的例子，令11(0)111x x+=>++，即11xx+=，解方程即可得到x的值.【详解】令11(0)111x x+=>++，即11xx+=，即210x x--=，解得x=(x=舍)，故11111+=++故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.10.二面角lαβ--为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面,αβ内，AC l⊥，BD l⊥，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A. 2aB. C. a D.【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式EF=，对于本题考试中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故2CD a ==．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．11.已知函数f （x ）的导数()f x '满足f （x ）+x ()f x '＞()f x '-对x ∈R 恒成立，且实数x ，y 满足xf （x ）﹣yf （y ）＞f （y ）﹣f （x ），则下列关系式恒成立的是( )A. 331111x y <++ B. ln （x 2+1）＞ln （y 2+1） C.x y x y e e< D. x ﹣y ＞sin x ﹣sin y 【答案】D 【解析】 【分析】由题得f （x ）+（x +1）()f x '＞0，令g （x ）=（x +1）f （x ），得到函数()g x 的单调性，由xf （x ）﹣yf （y ）＞f （y ）﹣f （x ）得到x ＞y .再逐一分析判断每一个选项的正误得解.【详解】因为f （x ）+x ()f x '＞()f x '-，所以f （x ）+（x +1）()f x '＞0，令g （x ）=（x +1）f （x ），则()g x '=f （x ）+（x +1）()f x '＞0对x ∈R 恒成立，∴g （x ）在x ∈R 时单调递增.又由题得实数x ，y 满足（x +1）f （x ）﹣（y +1）f （y ）＞0， 所以g （x ）＞g （y ）， ∴x ＞y ，取x =1，y =2-，则有331111x y >++成立，故A 选项错误； 又当x =1，y =1-时，有ln （1+x 2）=ln （1+y 2），故B 选项错误；令h （x ）xx e =，则h ′（x ）1x xe -=， 当x ＜1时，()h x '＞0，此时h （x ）单调递增，当x ＞1时，()h x '＜0，此时h （x ）单调递减，当y ＜x ＜1时，有h （x ）＞h （y ）成立，即有x yx ye e ＞成立，故C 选项错误； 令t （x ）=x -sin x ，则()t x '=1-cos x ≥0，此时t （x ）单调递增， 又∵x ＞y ，∴t （x ）＞t （y ），∴x ﹣sin x ＞y ﹣sin y ，即x ﹣y ＞sin x ﹣sin y ，故D 选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值X 围是（ ） A. ()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞ C. ()(),22,-∞-⋃∞ D. ()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C 【解析】由题意知：()f x 的极值为()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00()0x f x m mππ='=， 所以,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定积分54xdx ⎰=__________．【答案】50 【解析】 【分析】直接根据微积分基本定理即可得结果.【详解】由微积分基本定理可得52504250xdx x==⎰，故答案为50.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，属于基础题. 14.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是_____. 【答案】(),4-∞ 【解析】 【分析】分1x <,15x ≤≤与5x >三种情况去绝对值进行求解即可. 【详解】当1x <时,原不等式可化为：1﹣x +x ﹣5＜2,恒成立,15x ≤≤时,原不等式可化为：x ﹣1+x ﹣5＜2,解得：1≤x ＜4,5x >时,原不等式可化为：x ﹣1﹣x +5＜2,无解.综上：原不等式的解集是(),4-∞.故答案为：(),4-∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,属于基础题.15.已知函数()211020x e x x x ef x lnx x x⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，＞，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，则实数m 的取值X 围是_____.【答案】(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，【解析】 【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点即可，从而得出m 的取值X 围.【详解】（1）x ≤0时，f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1，易知f ′（0）=0，而f ″（x ）=e x ﹣1＜0， 所以f ′（x ）在（﹣∞，0]上递减，故f ′（x ）≥f ′（0）=0，故f （x ）在（﹣∞，0]上递增，且f （x ）≤f （0）11e=+，当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞. （2）x ＞0时，()21'lnxf x x -=，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ；f ′（x ）＜0得x ＞e ；故f （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）递减， 故x ＞0时，()1()max f x f e e==；x →0时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→0. 由题意，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点，同一坐标系画出它们图象如下：如图所示，当直线y =m 在图示①，②位置时，与y =f （x ）有两个交点，所以m 的X 围是：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，.故答案为：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题. 16.已知函数f （x ）=x 223-ax 3（a ＞0），x ∈R .若对任意的x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，则a 的取值X 围是_____.【答案】3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】由()f x '=﹣2ax 2+2x 12ax x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()f x '=0，得10x x a ==或，根据对任意x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，分11a ≤， 112a<≤， 12a>三种情况讨论f （x 1），f （x 2）的值域即可. 【详解】因为()f x '=﹣2ax 2+2x 12ax x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()f x '=0得10x x a==或， ①：当11a≤，即a ≥1时，()f x '＜0，在x ∈[1，+∞）恒成立，所以f （x ）在[1，+∞）递减， ∵()2113f a =-，()16243f a =-， 若对任意的x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，所以f （x 1）的值域为（1643a -∞-，），f （x 2）的值域为（213a -∞-，），由f （x 1）⋅f （x 2）=1得：()()211f x f x =. 显然，当f （x 1）→﹣∞时，()11f x →0（负数），故要满足结论，首先需满足：2103a -≥，16403a -≤，解得3342a ≤≤.所以312a ≤≤.②当112a<≤，即112a ≤<时，f （x 1）在（2，+∞）上递减，故此时f （x 1）1643a<-，f （x 2）在（1，1a）递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，故()22113f x f a a ⎛⎫≤=> ⎪⎝⎭0. 此时只需16403a -≤即可，解得314a ≤＜. ③当12a >，即102a <＜时，f （x 1），f （x 2）的最大值都是2113f a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭0，所以()11f x 能取到所有正实数，而()2213f x a ≤，故此时不满足题意. 综上，a 的取值X 围是[3342，].故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题主要考查导数与函数的值域以及双变量问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分 17.已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程. 【答案】（1）172；（2）y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0.【解析】 【分析】 （1）函数()31132f x x =+的导数为()f x '=x 2，曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1，写出切线的方程，分别令x =0，y =0，得到在x ，y 轴上的截距，再利用三角形面积公式求解.（2）易得A （2，12）不在图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），再由231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩求解.【详解】（1）因为函数()31132f x x =+， 所以()f x '=x 2， 所以()1=1f '所以曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1， 则切线的方程为y 56-=x ﹣1，即为6x ﹣6y ﹣1=0，令x =0，可得y 16=-；y =0，可得x 16=. 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S 111126672=⨯⨯=； （2）由A （2，12）和()31132f x x =+，可得f （2）811322=+≠，即A 不在f （x ）的图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2， 切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），则231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩， 解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故切线的方程为y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.如图,五面体A ﹣BCC 1B 1中,AB 1＝4.底面ABC 是正三角形,AB =2.四边形BCC 1B 1是矩形,二面角A ﹣BC ﹣C 1为直二面角.（1）D 在AC 上运动,当D 在何处时,有AB 1//平面BDC 1,并且说明理由； （2）当AB 1//平面BDC 1时,求二面角C ﹣BC 1﹣D 余弦值.【答案】（1）当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1,理由见解析；（2）313. 【解析】 【分析】(1)根据线面平行以及中位线的性质易得当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1,再连接B 1C 交BC 1于O ,连接DO ,进而证明DO //AB 1即可.(2)以B 为原点建立空间直角坐标系,再分别求得面1CBC 与面1BC D 的法向量,继而求得二面角1C BC D --的余弦值即可.【详解】(1)当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1, 证明：连接B 1C 交BC 1于O ,连接DO ∵四边形BCC 1B 1是矩形∴O 为B 1C 中点又D 为AC 中点,从而DO //AB 1, ∵AB 1⊄平面BDC 1,DO ⊂平面BDC 1 ∴AB 1//平面BDC 1(2)建立空间直角坐标系B ﹣xyz 如图所示,则B （0,0,0）,A 3,1,0）,C （0,2,0）,D （32,32,0）,C 1（3,所以BD =（3,32,0）,1BC =（0,2,23）. 设()1,,n x y z =为平面BDC 1的法向量,则有330222230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,即33x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩令1z =,可得平面BDC 1的一个法向量为1n =（3,3-,1）, 而平面BCC 1的一个法向量为()21,0,0n =, 所以cos 1n ＜,1221231313n n n n n ⋅===＞,故二面角C ﹣BC 1﹣D 的余弦值为31313.【点睛】本题主要考查了判断线面平行的条件,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题.19.已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||3AB =，求α的值.【答案】（1）222410x y x y +--+=；（2）3πα=或23πα=【解析】 【分析】(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；（2）联立直线和圆得到24sin 0t t α-=，根据弦长公式得到AB =.【详解】（1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由AB=sin 2α=，所以3πα=或23πα=.【点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.20.已知函数()ln(1),()(),0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的导函数.若[]*11()(),()(),n n g x g x g x g g x n +==∈N . （1）求()n g x 的表达式；（2）求证：()()()()2222211213111n g g f g n n -+-+-++-<+，其中n ∈N *. 【答案】（1）()*N 1n xg x n nx=∈+，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件猜想()1n xg x nx=+，利用数学归纳法证得猜想成立. （2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立. 【详解】（1）由题意可知，()01xg x x x=≥+，， 由已知 ()()()12111x x g x g x g g x g x x ⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎣⎦++⎝⎭， 11211xx x x x x+==+++，()313xg x x =+，，猜想()*N 1n xg x n nx=∈+，，下面用数学归纳法证明： （i ）当 n =1 时，()11xg x x=+，结论成立：假设 n =k （k ≥1，k ∈N *） 时结论成立，即()1k xg x kx=+，那么，当n =k +1（k ≥1，k ∈N *）时，()()()()()1111111k k k k xg x x kx g x g g x x g x k x kx++⎡⎤====⎣⎦+++++，即结论成立. 由（i ）（ii ）可知，结论对 n ∈N * 成立.（2）∵()01xg x x x =≥+，， ∴()()221111111x g x g n x x n==-⇒-=-++， ∴g （12﹣1）+g （22﹣1）+g （32﹣1）+…+g （n 2﹣1）222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221111123n n ⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭()11111223341n n n ⎡⎤-++++⎢⎥⨯⨯⨯+⎢⎥⎣⎦＜11111112231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21111n n n n ⎛⎫=--=⎪++⎝⎭， ∴g （12﹣1）+g （22﹣1）+g （32﹣1）+…+g （n 2﹣1）21n n <+. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查不等式的证明，属于中档题. 21.已知函数f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0）． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若f （x ）≥﹣212x +ax+b 恒成立，求a 1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，实数b 的最大值． 【答案】(1)见解析；(2)()1122ln + 【解析】 【分析】（1）求出()'f x 并对其因式分解，对a 与1的大小分类讨论，由()'f x 的正负情况判断()f x 的单调性．（2）把f （x ）≥﹣212x +ax+b 恒成立转化成b ≤﹣alnx+x 恒成立，令g （x ）=﹣alnx+x ，求出g ′（x ）=x ax-，判断g （x ）的单调性，从而求得g （x ）min =﹣alna+a ，令h （a ）=﹣alna+a ，求得h ′（a ）=﹣lna ＞0，即可求得h （a ）min ，问题得解． 【详解】（1）∵f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0），定义域为（0，+∞）， ∴()()()11x a x af x a x x x---=-++-='，x ＞0 令f ′（x ）=0，则x 1=a ，x 2=1①当0＜a ＜1时，令f ′（x ）＞0，则a ＜x ＜1； 令f ′（x ）＜0，则0＜x ＜a ，或x ＞1，∴f （x ）在（0，a ），（1，+∞）上单调递减；在（a ，1）上单调递增； ②当a=1时，f ′（x ）≤0，且仅在x=1时，f ′（x ）=0， ∴f （x ）在（0，+∞）单调递减； ③当a ＞1时，令f ′（x ）＞0，则1＜x ＜a ； 令f ′（x ）＜0，则0＜x ＜1，或x ＞a ，∴在（0，1 ），（a ，+∞）上单调递减；在（1，a ）上单调递增． 综上所述，当0＜a ＜1时，f （x ）在（0，a ），（1，+∞）上单调递减；在（a ，1）上单调递增； 当a=1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞1时，f （x ）在（0，1），（a ，+∞）上单调递减；在（1，a ）上单调递增． （2）∵f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0） 若()21f 2x x ax b ≥-++恒成立， ∴b ≤﹣alnx+x 恒成立 令g （x ）=﹣alnx+x ，x ＞0， 即b ≤g （x ）min ， ∵g ′（x ）=1a x a x x--=，（a ＞0）， ∴g （x ） 在（0，a ）单调递减，（a ，+∞） 单调递增； g （x ）min =g （a ）=﹣alna+a ∴b ≤﹣alna+a ，a ∈[12，1]， 令h （a ）=﹣alna+a∴h ′（a ）=﹣lna ＞0，∴h （a ）单调递增， ∴h （a ）min =h （12）=12（1+ln2）， ∴()1b 122ln ≤+ 即b 的最大值为()1122ln +【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，还考查了分类讨论思想及转化思想，考查计算能力，属于难题．22.已知函数()xe f x ax lnx x=-+.（1）a =1时,求函数f （x ）的极值；（2）若21142e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，,求f （x ）的最小值g （a ）的取值X 围. 【答案】（1）f （x ）极小值e ﹣1,无极大值；（2）[ln 2﹣1,e ﹣1].【解析】【分析】(1)代入1a =求导可得()()'21x x f x e x x-=-,再求导分析单调性与最值可知0x e x ->,进而求得()f x 的极值点与单调区间以及极值.(2)求导后构造导函数()()'p x fx =得出()()2'222(0)x e x x x p x x x -+-=>,再根据(1)中的结论可知()'0p x >恒成立,进而可得()'f x 在定义域上单调递增.再根据零点存在定理可知'0f x 在()0,∞+上有唯一解0x ,且012x ≤≤,进而求得最小值()()00000x e g a f x ax lnx x ==-+,再根据隐零点问题消去参数a ,再构造函数关于极值点0x 的函数分析即可.【详解】(1)当a =1时,()()0xe f x x lnx x x=-+＞,则()()()'221111x x e x x f x e x x x x --=-+=-, 令h （x ）=e x ﹣x ,当x ∈（0,+∞）时,h ′（x ）=e x ﹣1＞0,∴在（0,+∞）上,h （x ）＞h （0）=1,即e x ＞x ,令f ′（x ）=0,则x =1,经检验,在（0,1）上,f ′（x ）＜0,f （x ）单调递减,在（1,+∞）上,f ′（x ）＞0,f （x ）单调递增,∴当x =1时,函数y =f （x ）取得极小值e ﹣1,无极大值；(2)()()'211(0)x e x f x a x x x -=-+>,令()()()'211(0)x e x p x f x a x x x -==-+>,则()()2'322(0)x e x x xp x x x -+-=>,由（1）知,当x ∈（0,+∞）时,e x ＞x ,e x （x 2﹣2x +2）﹣x ＞x （x 2﹣2x +2）﹣x =x （x ﹣1）2≥0,∴p ′（x ）＞0在（0,+∞）上恒成立,∴f ′（x ）在定义域上单调递增, ∵21142e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，, ∴()()2''11102042e f a f a =-+≤=-+≥，, ∴方程f ′（x ）=0在（0,+∞）上有唯一解,设方程f ′（x ）=0的解为x 0,则在（0,x 0）上f ′（x ）＜0,在（x 0,+∞）上f ′（x ）＞0,且1≤x 0≤2,∴f （x ）的最小值为()()00000x e g a f x ax lnx x ==-+, 由f ′（x ）=0得,()0020011x e x a x x -=+代入g （a ）得,()()[]000002112xe x g a lnx x x -=-+∈，，, 令()()[]2112x e x x lnx x x ϕ-=-+∈，，,则()()2'222x e x x xx x ϕ--+=,∵﹣x 2+2x ﹣2=﹣（x ﹣1）2﹣1≤﹣1,∴e x （﹣x 2+2x ﹣2）+x ≤x ﹣e x ＜0,∴φ（x ）在[1,2]上为减函数,∴()()()2,1x ϕϕϕ∈⎡⎤⎣⎦,∴g （a ）∈[ln 2﹣1,e ﹣1].【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性的问题,需要根据题意求出函数的极值点,再求出单调区间与极值.同时也考查了构造函数分析隐零点的问题,需要结合极值点满足的关系式消参,进而求导分析函数的单调性与取值X围.属于难题.。
成都七中2018—2019学年度下期高2020届半期考试数学(文)试题
1 1 1 1 1 1 x ， x 的值为（ ） ABC DEF
A、 25 4
B、 9
C、 6 4
D、 49 4
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9、日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费
用不断增加。已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用（单位：元）为
235 57
2n 1 2n 1 2n 1 2n 3
1（1 1 ) 2 3 2n 3
11 1. 23 6
……12 分
21.（1）如图，过 P 作 PH 准线于 H.
由 PF PH ,知 PA 2 PH ，则 PAH 300 .
KPQ
3. 3
○ 设切点 Q(x0,
所以取 SB 的中点 N，连接 MN，则 cos MBN 2 10 . 55
S
所以直线 SB 与 CD 所成角的余弦值为 10 . ……12 分
5
B
C
19.解：（1）
f (x) x2 ax a 1 (x 1)x (a 1)
M
A
D
当 a 1 1即 a 2时， f (x) (x 1)2 0，f (x) 在 R 上单调递增; 当 a 1 1即 a 2时，由 f (x) 0得 x 1或 x a 1，由 f (x) 0 得1 x a 1.
的前
n
项和 Tn
1 6
.
第3页共4页
21、已知如图，直线 PQ是抛物线 x2 2 py( p 0) 和圆 C ：(x 3)2 y2 1 的公
切线，切点（在第一象限）分别为 P、Q . F 为抛物线的焦点，切线 PQ 交抛物线 的准线于 A ,且 PA 2 PF . （1）求切线 PQ的方程； （2）求抛物线的方程.
四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(理)试题
成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150 分，考试时间：120 分钟）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x 轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y 满足约束条件，则的最小值为（）7.设P 为双曲线上任一点，，则以FP 为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P 为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M 的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M 的轨迹方程为；②当时，点M 的轨迹方程为-=1(x≠±5);x29y225 100③当时，点M 的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）012312．设A,B,M 为椭圆上的三个点，且以AB 为直径的圆过原点O，点N 在线段AB 上，且，则的取值范围是（）二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎨⎩⎧2 x + y - 2 ≥ 0,14．已知 x ,y 满足约束条件 ⎪ x - 2 y + 4 ≥ 0, 则的最大值为 .⎪3x - y - 3 ≤ 0.15. 直线 l 过抛物线的焦点 F 交抛物线于 A ,B 两个点，则 1 + 1= .FA FB 16.点 为椭圆 x2y 2+= 1 上一点，F 1 , F 2为椭圆的两个焦点，则∆F 1MF 2的内心 的轨迹方程为95 .三、解答题（17 题 10 分，18～22 每小题 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤.）17.已知圆 C 的圆心在直线上，并且与 x 轴的交点分别为.（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 l 过原点且垂直直线，直线 l 交圆 C 于 M ,N ，求的面积.x 2y 218.已知双曲线 E :-a 2b 2= 1(a > 0, b > 0) 的渐近线方程为 y =± 2 x ，焦距为 2 3 .过点作直线 l 交双曲线 E 于 A ,B 两点，且 M 为 AB 的中点.（1）求双曲线 E 的方程；（2）求直线 l 的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4t ，硝 酸盐 18t ，生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t ，硝酸盐 15t ，现库存磷酸盐 10t ， 硝酸盐 66t ，在此基础上生产这两种肥料，若生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 10000 元， 生产 1 车皮乙种肥料，产生的肥料为 5000 元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮， 能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E.（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A,B 两点，求证：OA⊥OB；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q(2, 0)的直线与曲线E 交于M,N 两点，直线MF,NF 分别与曲线E 交于C,D 两点，设直线MN,C D的斜率分别为k1,k2，求k2 的值.k122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A,B，，直线AP,BP 分别交椭圆于C,D，且直线AD,BC交于点M，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.。
成都七中高2020届高二数学下学期半期(文科)考试试卷
成都七中2019—2020学年度下期高2018级半期考试高二数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知复数12z i =-，则=z （ ）（A（B ）1+2i （C ）12+55i （D ）1255i - 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,1,3A -关于yOz 平面对称的点的坐标是（ ） （A ）()2,1,3 （B ） ()2,1,3-- （C ）()2,1,3- （D ）()2,1,3--3.在极坐标系中，过点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ= （B ）2θπ=（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ 4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象， 则下面判断正确的是（ ） （A ）在区间()2,1-上()f x 是增函数 （B ）在区间()1,3上()f x 是减函数（C ）在区间()4,5上()f x 是增函数 （D ）当2x =时，()f x 取到极小值5.函数()2cos f x x x =+在 ） （A ）0 （B ）6π （C ）3π （D ）2π 6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）（A ）1%（B ）0.1%（C ）99% （D ）99.9%7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）（A 2 （B ）24cm （C ）2 （D ）2 8.若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,0]-∞ （B）(,0)-∞ （C ）[0,)+∞ （D）(0,)+∞9.两动直线1y kx =+与21y x k=--的交点轨迹是（ ） （A ）椭圆的一部分 （B ）双曲线的一部分 （C ） 抛物线的一部分（D ） 圆的一部分10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与L ”即代表无限次重复，但原式却是个定值x x =确定=2x ，则11+=11+1+L是（ ）（A ）2 （B ）12 （C ）12 （D ）12- 11.已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()10f x x f x '++>对x R ∈恒成立，且实数,x y 满足()()()()110x f x y f y +-+>，则下列关系式恒成立的是（ ）（A ）331111x y <++ （B ）x ye e< （C ）x yx y e e < （D ）sin sin x y x y ->- 12.已知函数()ln 2f x m x x =-，若不等式()12x f x mx e +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）2m ≥ （B ）2m ≤ （C ）0m ≤ （D ）02m ≤≤ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.112z i =+（i 为虚数单位）的虚部是 . 14.已知[]0,2x ∈，则函数()x f x x e =+的值域是 .15.已知曲线2cos :(0x C y y θθθ=⎧⎪≥⎨⎪=⎩为参数且）.若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线:260l x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为 .16.已知函数()211,0,2ln ,0.x e x x x ef x x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪>⎩若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题每小题12分 17.（本小题满分10分）已知函数311()32f x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点51,6P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求过点12,2A ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线方程．18.（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面是正三角形ABC ，2=AB .四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --是直二面角.（Ⅰ）点D 在AC 上运动，当点D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ； （Ⅱ）求点B 到平面11AB C 的距离.19.（本小题满分12分）已知直线l 的参数方程为()1cos 0sin x t t y t ααπα=+⎧≤<⎨=⎩为参数，，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于A B 、两点，且AB =求α的值．C 1B 1D C B20.（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 014，z ＝y －5得到下表2：表2（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（III ）用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx －·y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －)21.（本小题满分12分）已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0，23)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆P 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167？ 若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln f x ax x a R =-∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>．。
四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(理科)Word版含解析
四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．）1．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或23．直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣104．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．25．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x6．直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定7．已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）A．B．C．D．8．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．9．过定点（1，2）可作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．﹣3＜k＜2 C．k＜﹣3或k＞2 D．以上皆不对10．已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）A．B．C．D．011．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）12．如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）A．10 B．5 C．6 D．3二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=．14．椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=．15．若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=．16．已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：①x+y的最小值为；②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．以上结论正确的有（用序号表示）三、解答题（共6小题，共70分）17．已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x ﹣2y﹣6=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．18．求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点；（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．19．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．20．已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．（1）求C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B 两点，求AB的长．21．已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1x2，求直线L的方程．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．四川省成都七中实验学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．）1．已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（）A．（﹣3，0），（3，0）B．（0，﹣3），（0，3）C．（﹣，0），（，0）D．（0，﹣），（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，计算可得c的值，进而由焦点坐标公式可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，则其焦点在y轴上，且a2=10，b2=1，则c2=a2﹣b2=9，即c=3，故其焦点的坐标为（0，3），（0，﹣3）；故选：B．2．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．故选C．3．直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，则a等于（）A．0 B．﹣20 C．0或﹣20 D．0或﹣10【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，利用直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，建立方程，即可求出a．【解答】解：直线x+2y﹣5=0，可化为2x+4y﹣10=0，∵直线x+2y﹣5=0与2x+4y+a=0之间的距离为，∴=，∴a=0或﹣20．故选：C．4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【考点】简单线性规划．【分析】1．作出可行域2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．5．设A为圆（x﹣1）2+y2=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则P点的轨迹方程（）A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．y2=2x D．y2=﹣2x【考点】轨迹方程．【分析】结合题设条件作出图形，观察图形知图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程．【解答】解：作图可知圆心（1，0）到P点距离为，所以P在以（1，0）为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2．故选B．6．直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），只需判断点P（2，1）与椭圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx+1﹣2k=k（x﹣2）+1，恒过点P（2，1），∵，∴点P（2，1）在椭圆内部，∴直线y=kx+1﹣2k与椭圆的位置关系为相交．故选：A．7．已知（1，1）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的斜率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2），⇒+=0，⇒，【解答】解：设直线l被椭圆+=1所截得的线段AB，A（x1，y1），B（（x2，y2）线段AB中点为（1，1），∴x1+x2=2，y1+y2=2，⇒+=0，⇒，l的斜率是．故选：C8．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1=0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】由kx+y+1﹣k=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，斜率为﹣k，分别求出k BC，k AC，由此利用数形结合法能求出k的取值范围．【解答】解：由kx+y﹣k﹣1=0，得y=﹣k（x﹣1）+1，∴直线过定点C（1，1），又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），讨论临界点：当直线l 经过B 点（﹣3，﹣2）时，k BC =﹣k==，结合图形知﹣k ∈[，+∞）成立，∴k ∈（﹣∞，﹣]； 当直线l 经过A 点（2，﹣3）时，k AC =﹣k==﹣4，结合图形知﹣k ∈（﹣∞，﹣4]，∴k ∈[4，+∞）．综上k ∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）． 故选：C9．过定点（1，2）可作两直线与圆x 2+y 2+kx +2y +k 2﹣15=0相切，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞2B ．﹣3＜k ＜2C ．k ＜﹣3或k ＞2D ．以上皆不对【考点】圆的切线方程．【分析】把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，可求k 的范围，根据过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k 的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x +k ）2+（y +1）2=16﹣k 2，所以16﹣k 2＞0，解得：﹣＜k ＜，又点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，解得：k＞2或k＜﹣3，则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．故选D10．已知P是椭圆+=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF1F2的内切圆半径为，则的值为（）A．B．C．D．0【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，根据椭圆方程求得焦距，进而利用三角形面积公式和内切圆的性质建立等式求得P点纵坐标，最后利用向量坐标的数量积公式即可求得答案．【解答】解：椭圆+=1的a=2，b=，c=1．根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，不妨设P是椭圆+=1上的第一象限内的一点，S△PF1F2=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•==|F1F2|•y P=y P．所以y p=．则=（﹣1﹣x p，﹣y P）•（1﹣x P，﹣y P）=x p2﹣1+y p2=4（1﹣）﹣1+y p2=3﹣=故选B．11．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D12．如图所示，已知椭圆C： +y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M与C的焦点不重合，分别延长MF1，MF2到P，Q，使得=，=，D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（）A．10 B．5 C．6 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】由向量线性运算的几何意义可得，故而DF2∥QN，DF1∥PN，于是，于是=5a．【解答】解：∵，即，∴，∴，又，，∴，，∴，∴DF2∥NQ，DF1∥NP，∴，，∴，根据椭圆的定义，得|DF1|+|DF2|=2a=4，∴，故选A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a=﹣8．【考点】直线的斜率．【分析】由题意和直线的斜率公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，∴=，解得a=﹣8故答案为：﹣814．椭圆的焦点为F1、F2，P为椭圆上的一点，，则=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义及椭圆标准方程求得到|PF1|+|PF2|=2a=6，由∠F1PF2=90°可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=（2c）2=20，两边平方即可求得|PF1|•|PF2|．【解答】解：∵椭圆方程：圆，∴a2=9，b2=4，可得c2=a2﹣b2=5，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵∠F1PF2=90°，可得PF1⊥PF2，m+n=6，m2+n2=20∴36=20+2mn得2mn=16，即mn=8，∴|PF1|•|PF2|=8．故答案为：815．若直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后与圆x2+y2=1相切，则m=23或13．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的方程，找出圆心坐标和半径r，根据平移规律“上加下减，左加右减”表示出平移后直线的方程，根据平移后直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），半径r=1，直线3x+4y+m=0向左平移2个单位，再向上平移3个单位后解析式为：3（x﹣2）+4（y﹣3）+m=0，即3x+4y+m﹣18=0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d==1，解得：m=23或13．故答案为23或13．16．已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：①x+y的最小值为；②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．以上结论正确的有①③④（用序号表示）【考点】圆的一般方程．【分析】根据圆的标准方程得到圆的参数方程，由x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，判断①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故直线和圆可能相切、相交，判断②不正确；由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称，求出点M到AB的距离为15，故AB的方程为y=18﹣15=3，判断③正确；利用圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），从而得到x，y∈N*时xy的值，判断④正确．【解答】解：方程x2+y2+4y﹣96=0 即x2+（y+2）2=100，表示以（0，﹣2）为圆心，以10为半径的圆．令x=10cosθ，y=﹣2+10sinθ，有x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，故①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）即m（x﹣2y+16）﹣（2x+y﹣8）=0，表示过x﹣2y+16=0 与2x+y﹣8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确；过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称．而切线MA=，MA 与y轴的夹角为30°，点M到AB的距离为MA•cos30°=15，故AB的方程为y=18﹣15=3，故③正确；圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，则xy的值为36或32，故④正确．综上，①③④正确，故答案为：①③④．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0的交点，且与直线x ﹣2y﹣6=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出交点坐标，利用与直线x﹣2y﹣6=0垂直，求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：（1）联立两直线l1：2x﹣y+4=0与l2：x﹣y+5=0，得交点（1，6），∵与直线x﹣2y﹣6=0垂直，∴直线l的方程为2x+y﹣8=0；（2）∵点P（a，1）到直线l的距离为，∴=，∴a=6或1．18．求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点；（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程；（2）由椭圆，求得焦点坐标，设所求椭圆的方程为，（a2＞5），将A（﹣3，2）代入椭圆方程，求得a2的值，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），∵椭圆经过点，∴，解得m=，n=，∴所求的椭圆方程为；（2）∵椭圆的焦点为F（±，0），∴设所求椭圆的方程为，（a2＞5），把点（﹣3，2）代入，得，整理，得a4﹣18a2+45=0，解得a2=15，或a2=3（舍）．∴所求的椭圆方程为．19．（1）△ABC的顶点坐标分别是A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8），求它的外接圆的方程；（2）△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的内切圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】（1）首先设所求圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，然后根据点A （5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）在圆上列方程组解之；（2）由已知得AB⊥AC，AB=4，AC=5，BC=12，由此求出△ABC内切圆的半径和圆心，由此能求出△ABC内切圆的方程．【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，①因为A（5，1），B（7，﹣3），C（2，﹣8）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是，可解得a=2，b=﹣3，r=25，所以△ABC的外接圆的方程是（x﹣2）2+（y+3）2=25．（2）∵△ABC三个顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（0，12），∴AB⊥AC，AB=5，AC=12，BC=13，∴△ABC内切圆的半径r==2，圆心（2，2），∴△ABC内切圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．20．已知椭圆的短轴长为4，焦距为2．（1）求C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B 两点，求AB的长．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆的短轴长为4，焦距为2．可得a，b；（2）过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．把y=x+1．代入圆的方程为：．得7x2+8x﹣8=0，由韦达定理及弦长公式可计算AB．【解答】解：（1）∵椭圆的短轴长为4，焦距为2．∴a=2，c=1，b=，椭圆的方程为：．（2）由（1）得椭圆C的左焦点F1（﹣1，0），过F1倾斜角为45°的直线l：y=x+1．把y=x+1．代入圆的方程为：．得7x2+8x﹣8=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），x1，+x2=﹣，x1x2=﹣，AB==．21．已知圆M的半径为3，圆心在x轴正半轴上，直线3x﹣4y+9=0与圆M相切（Ⅰ）求圆M的标准方程；（Ⅱ）过点N（0，﹣3）的直线L与圆M交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），而且满足+=x1x2，求直线L的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），由直线3x﹣4y+9=0与圆M相切可求出a值，进而可得圆M的标准方程；（Ⅱ）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，满足条件，当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，可求出满足条件的k值，进而得到直线L的方程，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（I）设圆心为M（a，0）（a＞0），∵直线3x﹣4y+9=0与圆M相切∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圆的方程为：（x﹣2）2+y2=9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）当直线L的斜率不存在时，直线L：x=0，与圆M交于A（0，），B（0，﹣），此时+=x1x2=0，所以x=0符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当直线L的斜率存在时，设直线L：y=kx﹣3，由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）所以由已知得：整理得：7k2﹣24k+17=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣把k值代入到方程（1）中的判别式△=（4+6k）2﹣16（1+k2）=48k+20k2中，判别式的值都为正数，所以，所以直线L为：，即x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0综上：直线L为：x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率公式和直线与圆相切的条件，列出方程组求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）设A、B、P的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理及向量知识，即可求t的范围．【解答】解：（1）由题意知，…1分所以．即a2=2b2．…2分又∵椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴，…3分，则a2=2．…4分故椭圆C的方程为．…6分（2）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得…7分且，．∵足，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．当t=0时，不满足；当t≠0时，解得x==，y===，∵点P在椭圆上，∴，化简得，16k2=t2（1+2k2）…8分∵＜，∴，化简得，∴，∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，解得，即，…10分∵16k2=t2（1+2k2），∴，…11分∴或，∴实数取值范围为…12分。
2019-2020学年四川省成都市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年四川省成都市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．24．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．375．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝18．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【分析】利用交集定义直接求解．解：全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：A．2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，看出复数的对应的点的坐标，得到点的位置．解：，对应的点是（﹣2，1），故选：B．3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．2【分析】由分段函数f（x）＝，由内向外依次求函数值即可．解：∵f（x）＝，∴f（）＝ln＝﹣1，故选：D．4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．37【分析】根据随机数表直接求解即可．解：第6行第9列的数开始向右读，依次为39，17，37，23，35，则第5个编号是35．故选：C．5．记函数f（x）的导函数是f'（x）．若f（x）＝﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．【分析】可以求出导函数，然后将x换上即可得出的值．解：∵，∴．故选：B．6．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【分析】直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系．解：由q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，∴1+k2＝4，∴k＝±，显然p⇒q；q得不出p故选：A．7．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．解：椭圆+＝1的焦点（±5，0），所以双曲线﹣＝4（a＞0，b＞0）的焦点坐标（±2，0），双曲线﹣＝1离心率为2，所以，可得a＝1，则b＝＝＝．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S．当n＝10时，满足退出循环的条件，＝0++0+（﹣）+（﹣1）+（﹣）+0++1+＝．故选：B．9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π【分析】由三视图知，该几何体是一个球切除两个八分之一几何体的剩余部分，再根据球的半径即可求得表面积．解：由三视图，该几何体是球体切除两个八分之一几何体的剩余部分，球的半径为2．切除部分：O﹣PAB；O﹣PCD，如图：即原几何体的表面积为S＝×4π×27+×π×24＝18π．故选：C．10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）【分析】将曲线C的参数方程，求得其普通方程，并求得其取值范围，利用直线与抛物线的位置关系，即可求得实数k的取值范围．解：对于曲线C：x＝1+sin2θ＝（sinθ+cosθ）2＝y2，因为0≤4+sin2θ≤2，，联立方程组，消去x，整理得ky2﹣y+k＝6，由题意，该方程在上有两个不同的解，有y1+y2＝∈，y＝k（x+1）恒过点（﹣1，6），它与点之间连线的斜率是，因此，，故选：D．11．已知函数f（x）＝﹣x2+2|x|+3．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b【分析】由定义判断函数为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，结合单调性及偶函数的定义即可比较大小．解：由f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2|﹣x|+3＝﹣x2+2|x|+7＝f（x）可得f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3在（0，1）递增，（1，+∞）上单调减，又ln5﹣1＝ln，1﹣ln2＝ln，且，所以f（ln3）＞f（ln2）＞f（e），故选：A．12．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e【分析】运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，可得所求最值．解：kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，即为lnx﹣kx﹣1≤b在（0，+∞）上恒成立，若k≤0，则f′（x）＞4，可得f（x）在（0，+∞）递增，故k＞0，当＝k时，f（x）取得最大值f（x）max＝f（）＝ln﹣2＝﹣lnk﹣3，则≥﹣﹣，k＞0，g′（k）＝﹣＝，则的最小值是﹣e．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为12.3．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求出，然后代入x＝8，求解即可．解：由题意可得＝＝3.5，＝＝3.5，可得＝﹣0.5．当x＝8时，＝1.7×8﹣0.5＝12.3．故答案为：12.3．14．函数f（x）＝﹣2e x+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1＝0．【分析】求出切点坐标和切点处的导数，然后利用点斜式写出切线的方程．解：易知f（0）＝1，切点为（0，1）．f′（x）＝﹣4e x，所以k＝f′（0）＝﹣2．即2x+y﹣1＝5．故答案为：2x+y﹣1＝0．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是乙．【分析】根据题意，假设结论，根据他们说的话推出与题意不符的即为错误结论，从而得出答案．解：假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；综上可得：会中国象棋的是乙，故答案为：乙．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．【分析】根据题意，|OQ|＝c．设∠PF1F2＝θ，则，在△PF1F2中，利用余弦定理，即可求得椭圆的离心率的取值范围．解：记PF1的中点为Q，连接OQ，因为Q在x2+y2＝a2﹣b2＝c2，所以|OQ|＝c．所以|PF2|＝2c，|PF3|＝2a﹣2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得＝＝，所以0＜（a﹣c）2≤（a﹣c）c，由e＜1，所以e≥1﹣e，所以＝，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．【分析】（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图列出方程组，能求出m，n，由此能补全各年龄段人数频率分布直方图；（Ⅱ）根据条件从年龄在[30，35）段选取3人，从年龄在[35，40）段选取2人，然后求出从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，基本事件总数n和选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m，再求出选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．解：（Ⅰ）由各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图得：，补全各年龄段人数频率分布直方图如下：（Ⅱ）从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中包含的基本事件个数m＝＝6，∴选取的7名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率p＝＝＝．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，求出函数的最值即可．解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+4ax+b，由f′（﹣1）＝0，f（﹣1）＝0，解得：；则f′（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），故f（x）在[﹣1，﹣）递减，在（﹣，1]递增，而f（﹣5）＝0，f（1）＝4，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最大值是4．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥P﹣ABD的体积．【分析】（Ⅰ）由已知证明AE⊥底面BCDE，可得BC⊥AE，再由BC⊥BE，得到BC ⊥平面ABE，进一步可得平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）利用V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD求解．【解答】证明：（Ⅰ）在图①中，由AB＝2，AE＝1，∠A＝60°，得BE2＝AB2+AE5﹣2AB•AE•cos60°＝．在图②中，有AE⊥BE，∵BE∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE，得AE⊥BC，∴平面ABE⊥平面ABC；∵P为AC的中点，∴P到平面BCD的距离为．∴V P﹣ABD＝V A﹣BCD﹣V P﹣BCD＝＝．故三棱锥P﹣ABD的体积为．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A，B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与y轴相交于点M，直线PB与x轴相交于点N．求△ABM与△BMN的面积之和．【分析】（Ⅰ）反解x，y，根据（x，y）满足圆方程，即可求得曲线C的方程；（Ⅱ）设出点P的坐标（m，n），用m，n表示出M，N两点的坐标，再求三角形面积，即可得到结果．解：（Ⅰ）圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：，即，即曲线C的方程为．故可得m2+4n6＝4，故直线PB方程为：，令y＝4，同理直线PA方程为：，令x＝0，故M点坐标为，＝＝故△ABM与△BMN的面积之和为2．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx．（Ⅰ）判断f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝﹣ax2+（a﹣1）x+1，a∈R当x∈[，e2]时，讨论函数f（x）与g（x）图象的公共点个数．【分析】（Ⅰ）对函数f（x）两次求导，由导数与单调性的关系即可求解；（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣1）（lnx+ax+1），x∈[，e2]，将问题转化为函数h（x）的零点个数问题，显然x＝1是函数h（x）的一个零点，当x≠1时，求方程lnx+ax+1＝0根的个数，常数分离，构造t（x）＝﹣，x∈[，e2]，利用导数判断函数t（x）的单调性与最值，即可a的取值范围，进而判断零点个数．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（x﹣1）lnx的定义域为（0，+∞）．f’（x）＝lnx+1﹣，f″（x）＝+＞0，f’（1）＝0，所以f（x）（6，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．则函数f（x）与g（x）图象的公共点个数即为函数h（x）的零点个数．当x≠1时，lnx+ax+1＝0，即a＝﹣，则t′（x）＝，故t（x）在[，1）上单调递减，在（3，e2]上单调递增，又t（）＝e8，t（e2）＝﹣，综上可得﹣1＜a≤﹣时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为3；a≤﹣1或a＞e2时，函数f（x）与g（x）图象的公共点个数为1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y ﹣5＝0．曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，根据，整理得ρ2＝6ρcosθ，（Ⅱ）把直线的参数方程，代入x2+y6＝6x，所以，t1t2＝﹣5，所以+＝＝．。
四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(理)试题
成都七中2018～2019 学年度上期高2020 届数学半期考试试题（理科）（满分：150 分，考试时间：120 分钟）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.不在曲线上的点的坐标是（）2.抛物线的焦点到准线的距离等于（）3.双曲线的渐近线方程为（）4.直线在x 轴上的截距为（）5.直线与坐标轴围成的三角形的周长为（）6.若x,y 满足约束条件，则的最小值为（）7.设P 为双曲线上任一点，，则以FP 为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆（）相切相交相离内含8.已知P 为椭圆上一点，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是（）9.点满足关系式，则点M 的轨迹是（）椭圆双曲线双曲线的一支线段10.圆关于直线对称的圆的方程为（）.x2+y2+3y+1=011.设点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M 的轨迹方程为；x2 9y2②当时，点M 的轨迹方程为-=1(x≠±5);25 100③当时，点M 的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（）0 1 2 312．设A,B,M 为椭圆上的三个点，且以AB 为直径的圆过原点O，点N 在线段AB 上，且，则的取值范围是（）二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答卷横线上)13.双曲线的实轴长为.⎨⎩⎧2x+y - 2 ≥0,14．已知x,y 满足约束条件⎪x -2y + 4 ≥ 0, 则的最大值为.⎪3x -y - 3 ≤0.15.直线l 过抛物线的焦点F 交抛物线于A,B 两个点，则1+1= .FA FB16.点为椭圆x2 y2+ =1上一点，F1, F2为椭圆的两个焦点，则∆F1MF2的内心的轨迹方程为9 5.三、解答题（17 题10 分，18～22 每小题12 分，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知圆C 的圆心在直线上，并且与x 轴的交点分别为.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过原点且垂直直线，直线l 交圆C 于M,N，求的面积.x2 y218.已知双曲线E:-a2b2=1(a > 0, b> 0) 的渐近线方程为y=，焦距为过点作直线l 交双曲线E 于A,B 两点，且M 为AB 的中点.（1）求双曲线E 的方程；（2）求直线l 的方程.19.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t，生产1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t，现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种肥料，若生产1 车皮甲种肥料，产生的利润为10000 元，生产1 车皮乙种肥料，产生的肥料为5000 元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？20.已知圆P 过.（1）求圆P 的方程；（2）若过点的直线l 被圆P 所截得的弦长为8，求直线l 的方程.21.从抛物线上各点向x 轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E.（1）求曲线E 的方程;（2）若直线与曲线E 相交于A,B 两点，求证：OA⊥OB；（3）若点F 为曲线E 的焦点，过点Q(2, 0)的直线与曲线E 交于M,N 两点，直线MF ,NF 分别与曲线E 交于C, D 两点，设直线MN ,C D 的斜率分别为k1, k2，求k2 的值.k122.已知椭圆的离心率为，短轴长为4，直线AB 过原点O 交椭圆于A,B，，直线AP,BP 分别交椭圆于C,D，且直线AD,BC交于点M，图中所有直线的斜率都存在.（1）求椭圆方程；（2）求证：;（3）求的值.。
2019-2020学年四川省成都市第七中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市第七中学高二下学期期中数学试题一、单选题1.设集合A = [-1,2], 3 = {＞，卜=疋,"4},则AC\B=( )A. [1,4]B. [1.2]C. [-1,0]D. [0,2]【答案】D【分析】根据题意，求得B = [0,4],结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合A = [-1,2],可得B = {y|y*,“A} = [0,4],所以ADB = [0,2]故选:D2.设复数z满足(l-/)z = 2/,则"()A. -1+iB. -1-iC. 1+iD. 1-i【答案】A【分析】(l—j)z = 2i【详解】由(1-/)Z = 2/ 得ZhMnid+Oh—l+i,故选A.1 —I【考点泄位】本小题主要考查复数的四则运算，复数在髙考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.3.sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10 =( )12【答案】B【分析】利用诱导公式cosl60 =—cos20‘•再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20 cos 10 -cos 160 sin 10=sin20 cos 10 -cos(180 -20 JsinlO=sin 20 cos 10 +cos 20 sin 10 = sin（20 +10 ）1=sin 30 =—故选：B4.抛物线y2= 8x的焦点到宜线V3A->-=0的距离是（）A. VJB. 2>/3 C・ 2 D. 1【答案】A【解析】y2 = 8x的焦点为（2,0）,由点到直线的距离可得：（1 = 半=屯,故选A. 2 5.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是A、石，则下列判断正确的是（）甲乙5 1 11 28 3 12 6 7 46 13 2 53 14A.Xj > x2 ,甲比乙成绩稳定B.斤<£,乙比甲成绩稳定C.斤=£，甲比乙成绩稳定D.斤=£,乙比甲成绩稳定【答案】D【分析】由茎叶图分别求出斤卫，从而得到£ = 由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中，从而得到乙比甲成绩稳泄.【详解】由茎叶图知：一111 + 115 + 123 + 128 + 136+143 ―x = ----------------------------- = 1266—112 + 126 + 127 + 124 + 132 + 135左= ------------------------------- =126- 6所以X]=兀2由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳泄 故选:D【点睹】本题考查的是茎叶图的知识，较简单.6. 已知/(x) = 2sin ；2x + ^j,若将它的图象向右平移｛个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为( )【答案】A【详解】/(A-) = 2sin| 2x + ^],若将它的图象向右平移£个单位,I 6丿 6令2x-— = k7r + — , keZ > 求得x = — + — (k eZ),6 22 3v 7故函数的图象的一条对称轴的方程为兀=故选A.7. 宜线忑x + y-2* =()截圆x 2+ /= 4所得的劣弧所对圆心角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】圆心(0,0)到直线V3A +V -2^ = 0的距离为洋=羽,又圆半径为2,所 以直线J 齐+ .v-2>/3= 0截圆疋+ y 2= 4所得的弦长为2J 百 =2,可知两半径与 弦用成等边三角形，所以所得的劣弧所对圆心角为60。
四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(文)试题答案
成都七中2018～2019学年度上期高2020届数学半期考试试题（文科）参考答案一、选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. 8 14. 2 15. 45 16.2291(0)5y x y +=≠三、解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：x =2,由{x =2 3x +2y =0，得y =−3,∴圆心C 为(2,−3), 又半径r =|AC|=5,∴圆C 的方程为(x −2)2+(y +3)2=25. ……5分（2）直线l 的方程为：2x −3y =0,所以点C 到直线l 的距离为：d =4+9√4+9√13，∴|MN |==4√3，∴S △MCN =12×|MN |×d =12×4√3×√13=2√39. ……10分18.解：（1）由已知得b a =2c =，解得1,a b ==∴双曲线E 的方程为x 2−y 22=1. ……4分（2）设直线l 方程为:y −1=k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{y =kx +(1−2k )x 2−y 22=1 ，得(2−k 2)x 2+2k (2k −1)x −(1−2k)2−2=0 (∗)……6分∴{2−k 2≠0 Δ=4k 2(2k −1)2+4(2−k 2)[(1−2k )2+2]>0…①……8分 ∴x 1+x 2=2k (2k−1)k 2−2，由M(2,1)为AB 的中点，得x 1+x 22=k (2k−1)k 2−2=2，解得k =4，适合①……10分∴直线l 的方程为y −1=4(x −2)，即4x −y −7=0……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验0∆>的学生，扣1分.19.解：（1）令抛物线上一点P(x 0,y 0),设E(x,y).由已知得x 0=x,y =12y 0,∵P(x 0,y 0)满足y 2=16x ，∴y 02=16x 0,则4y 2=16x ，即y 2=4x .∴曲线E 的方程为：y 2=4x . ……6分（2）由{y =x −4y 2=4x，可得x 2−12x +16=0， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由于2124160,∆=-⨯> 由韦达定理可知：x 1+x 2=12,x 1x 2=16，y 1y 2=(x 1−4)(x 2−4)=x 1x 2−4(x 1+x 2)+16=−16，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴OA ⊥OB . ……12分20.解：设生产甲种肥料x 车皮，乙种肥料y 车皮，能够产生利润z 万元，目标函数为z =x +0.5y ,其中x ，y 满足以下条件：{4x +y ≤1018x +15y ≤66x ≥0y ≥0……4分 可行域如右图：……6分把z =x +0.5y 变形为y =−2x +2z ，……8分得到斜率为−2，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一族平行直线，当直线y =−2x +2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大，联立方程{4x +y =1018x +15y =66,得M(2,2). ……10分 ∴z max =2+1=3. ……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元. ……12分21.解：（1）设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.∵A ,B ,C 都在圆上,∴ {29+5D −2E +F =09+3E +F =017+4D +E +F =0 , 解得{D =0E =4F =−21. ∴所求圆P 的方程为x 2+y 2+4y −21=0. ……6分（2）由x 2+(y +2)2=25，知圆心P(0,−2)，半径r =5，如右图，由直线l 被圆p 截得的弦长为8，得圆心距d =22=3 ……8分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为：y +3=k(x +3),即kx −y +3k −3=0,∴圆心P 到直线l 距离d =|3k−1|2=3，化简得−6k =8，则k =−43. ∴直线l 方程为：y +3=−43(x +3)，即4x +3y +21=0. ……10分 当直线l ⊥x 轴时，直线l 方程为x =−3，代入圆方程得y 2+4y −12=0，解得y 1=−6，y 2=2，∴弦长仍为8,满足题意. ……11分 综上，直线l 的方程为4x +3y +21=0,或x =−3. ……12分22.解：（1）由2b =4，得b =2.由e =√53=c a ，得a 2−4a 2=59，解得a 2=9. ∴椭圆的方程为x 29+y 24=1. ……3分（2）设A (x 0,y 0),D (x 1,y 1)，则B (−x 0,−y 0).∴{x 029+y 024=1…①x 129+y 124=1…②由①−②得：(x 0−x 1)(x 0+x 1)9+(y 0−y 1)(y 0+y 1)4=0, 即(x 0−x 1)(x 0+x 1)9=−(y 0−y 1)(y 0+y 1)4，−49=(y 0−y 1)(y 0+y 1)(x 0−x 1)(x 0+x 1)， 即k AD ∙k BD =−49. ……7分（3）由（2）知k AD ∙k BD =−49，设A (3cos θ,2sin θ),则B (−3cos θ,−2sin θ).又k BD =k BP =2sin θ1+3cos θ,则k AD =−2(1+3cos θ)9sin θ, ∴直线AD 方程为：y −2sin θ=−2(1+3cosθ)9sinθ(x −3cos θ) …③ 同理k BC ∙k AC =−49,又k AC =k AP =2sin θ3cos θ−1,则k BC =−2(3cosθ−1)9sinθ,∴直线BC 方程为：y +2sin θ=−2(3cos θ−1)9sin θ(x +3cos θ)…④ 由③−④得：−4sin θ=−29sin θ[(1+3cos θ)(x −3cos θ)−(3cos θ−1)(x +3cos θ)],化简得x =9.∴点M 在定直线x =9上. ……12分。
2019-2020学年四川省成都七中高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年四川省成都七中高二（下）期中数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，则A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，点关于yOz平面对称的点的坐标是A. 1，B.C. 1，D.3.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是A. B. C. D.4.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是A. 在区间内是增函数B. 在内是减函数C. 在内是增函数D. 在时取到极小值5.函数在上取得最大值时，x的值为A. 0B.C.D.6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度支持与不支持的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是：有________7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. B. C. D.8.若在上存在单调递增区间，则a的取值范围是A. B. C. D.9.两动直线与的交点轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分10.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类似的不难得到A. B. C. D.11.已知函数的导数满足对恒成立，且实数x，y满足，则下列关系式恒成立的是A. B.C. D.12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为虚数单位的虚部是______．14.已知，则函数的值域是______．15.已知曲线C：为参数且若点P在曲线C上运动，点Q为直线l：上的动点，则的最小值为______．16.已知函数若方程恰有两个实根，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；Ⅱ求过点作曲线的切线方程．18.如图，五面体中，底面是正三角形ABC，四边形是矩形，二面角是直二面角．Ⅰ点D在AC上运动，当点D在何处时，有平面；Ⅱ求点B到平面的距离．19.已知直线l的参数方程为为参数，，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．求圆C的直角坐标方程；若直线l与圆C相交于A、B两点，且，求的值．20.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款年底余额，如表1：年份x20152016201720182019储蓄存款千亿元567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到如表2：时间代号t12345z01235Ⅰ求z关于t的线性回归方程；Ⅱ通过Ⅰ中的方程，求出y关于x的回归方程；Ⅲ用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：对于线性回归方程，其中，21.已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点，离心率为求椭圆P的方程；是否存在过点的直线l交椭圆P于点R，T，且满足若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．22.已知函数．求函数的单调区间；若函数有两个零点，，，证明．答案和解析1.【答案】B{解析}解：复数，则．故选：B．利用复数的共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B{解析}解：在空间直角坐标系中，点关于yOz平面对称的点的坐标是．故选：B．在空间直角坐标系中，点b，关于yOz平面对称的点的坐标是b，．本题考查点关于yOz平面对称的点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D{解析}解：点在直角坐标系下的坐标为，即过点且与x轴平行的直线方程为．即为．故选：D．可将极坐标系下的坐标转化成直角坐标处理，再将结果转化成极坐标方程．极坐标是高中选修的内容，站在高考的角度，对于这方面知识的考查并不难，大多比较基础，学生只要掌握课本中基本的转换，方程，习题等就可以解决绝不多数问题．4.【答案】C{解析}【分析】根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：由图象知当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，则当或函数取得极小值，在时函数取得极大值，故A，B，D错误，正确的是C，故选C．5.【答案】B{解析}解：解得：当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减，函数在上取得最大值时故选B．先求导函数，令导数等于0求出满足条件的x，然后讨论导数符号，从而求出何时函数取最大值．本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．6.【答案】C{解析}解：，有的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”，故选：C．根据K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．7.【答案】D{解析}解：设一段长x，则另一段为，所以两个正三角形面积之和，则时，函数取得最小值，故选：D．设出两段铁丝的长度，由三角形面积公式建立函数关系，结合二次函数性质易求最小值本题考查二次函数应用题，属于基础题．8.【答案】D{解析}解：若在上存在单调递增区间，只需在上有解即可．由已知得，该函数开口向下，对称轴为，故在上递减，所以，解得．故选：D．在上存在单调递增区间，即在上有解，因为的对称轴为，所以在上递减，所以只需即可，由此求出a的范围．已知函数在某区间上存在单调增区间或减区间时，一般转化为导函数在该区间上大于零或小于零有解的问题．属于中档题．9.【答案】A{解析}解：由，得，由，得，则整理得：．两动直线与的交点轨迹是椭圆的一部分．故选：A．把两直线分离参数k，列等式求得关于x，y的函数关系式，则答案可求．本题考查轨迹方程的求法，训练了利用消参法求曲线的轨迹方程，是基础题．10.【答案】C{解析}解：可以令，由解的其值为，故选：C．由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解舍去负根，可得要求的式子本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题11.【答案】D{解析}解：令，则对恒成立，在时单调递增．又由实数x，y满足，即，，故A、B选项错误；令，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故C选项错误；令，则，此时单调递增，又，，，即，故D选项正确．故选：D．先构造函数，对其求导，利用题设条件判断其单调性，得出再逐个选项进行研究，选出正确答案即可．本题主要考查导数在抽象函数单调性中的应用，属于基础题．12.【答案】A{解析}解：，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，故选：A．问题等价于在上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.【答案】{解析}解：，的虚部是．故答案为：．直接利用复数的基本概念得答案．本题考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】{解析}解：因为函数在R上为增函数，且，又，，所以值域为故填：判断出函数单调性，即可求解．本题主要考查了函数单调性和值域问题，考查了学生运算能力，属于基础题．15.【答案】{解析}解：曲线C：为参数且转换为直角坐标方程为：，设点，到直线的距离，由于，所以，故当时，．故答案为：首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.【答案】{解析}解：时，，易知，而，所以在上递减，故，故在上递增，且，当时，．时，，令，得；得；故在上递增，在递减，故时，；时，；时，．由题意，若方程恰有两个实根，只需与恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线在图示，位置时，与有两个交点，所以m的范围是：．故答案为：．研究与时，的单调性、极值情况，画出图象，然后研究与恰有两个交点时a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而结合图象研究函数的零点问题．属于中档题．17.【答案】解：Ⅰ函数的导数为，曲线在点处的切线的斜率为，则切线的方程为，即为，令，可得；，可得．则切线与坐标轴围成的三角形的面积为；Ⅱ由和，可得，即A不在的图象上，可设切点为，则切线的斜率为，切线的方程为，则，解得或，故切线的方程为或．{解析}Ⅰ求得的导数，可得曲线在处切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，分别令，，求得切线与坐标轴的交点，再由三角形的面积公式，计算可得所求值；Ⅱ判断A不在曲线上，设切点为，由切点既在曲线上，又在切线上，结合两点的斜率公式，可得m，n的方程组，解方程可得m，n的值，进而得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区分在某点处的切线和过某点的切线，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：Ⅰ当D为AC中点时，平面，证明如下：连结，交于点O，连结DO，四边形是矩形，为中点，又D为AC中点，，平面，平面，平面．Ⅱ解：设点B到平面的距离为d，，A到平面的距离为：，由，知：，解得点B到平面的距离．{解析}Ⅰ当D为AC中点时，连结，交于点O，连结DO，推导出，由此能证明平面．Ⅱ设点B到平面的距离为d，由，能求出点B到平面的距离．本题考查满足线线平行的点的位置的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：圆C的极坐标方程为．圆C的直角坐标方程为．将直线l的参数方程为为参数，代入到圆C的直角坐标方程中，得到：，直线l与圆C相交于A、B两点，且，，解得或．{解析}由圆C的极坐标方程能求出圆C的直角坐标方程．将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程，得到：，由此利用直线l与圆C相交于A、B两点，且，能求出的值．本题考查圆的直角坐标方程、角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：Ⅰ，，，，，，所以．Ⅱ将，，代入，得，即．Ⅲ因为，所以预测到2022年底，该地储蓄额可达千亿元．{解析}由表中数据计算平均数和回归系数，即可写出z关于t的线性回归方程；把，代入中得到y关于x的回归方程；由知计算时y的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算能力与分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：设椭圆P的方程为，由题意得，，，，，，椭圆P的方程为：．假设存在满足题意的直线易知当直线的斜率不存在时，，不满足题意．故设直线l的斜率为k，，，，由可得，由，解得．，，，，，由、解得，直线l的方程为，故存在直线l：，或，满足题意．{解析}设椭圆P的方程为，由椭圆经过点，离心率为，求得a和b的值，从而求得椭圆P的方程．由可得和的值，可得的值，根据，求出，从而得到直线l的方程．本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出和的值，是解题的关键．22.【答案】解：，当时，由于，故，，所以，的单调递减区间为，当时，由，得，在区间上，，在区间上，．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，综上，当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．函数有两个零点分别为，，不妨设，则，，，要证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得．{解析}求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；表示出a，要证：，只需证：，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．。