第七章第三节

课时提升作业(四十四)
一、选择题
1.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB平面α,CD⊆/平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
(A)平行(B)平行或异面
(C)平行或相交(D)异面或相交
2.下面四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是( )
(A)①②(B)①④(C)②③(D)③④
3.下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内,则a∥α;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点;
④平行于同一平面的两直线可以相交.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.(2013·厦门模拟)a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合平面,现给出六个命题:
①⇒a∥b ②⇒a∥b
③⇒α∥β④⇒α∥β
⑤⇒α∥a ⑥⇒a∥α
其中正确的命题是( )
(A)①②③(B)①④⑤
(C)①④(D)①③⑥
5.(2013·亳州模拟)已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线( )
(A)只有一条,不在平面α内
(B)有无数条,不一定在平面α内
(C)只有一条,在平面α内
(D)有无数条,一定在平面α内
6.平面α与平面β平行的一个必要不充分条件是( )
(A)存在直线a,使得a⊥α,且a⊥β
(B)对于与平面α平行的任意一条直线,都有a∥β
(C)对于平面α内的任意一条直线a,都有a∥β
(D)存在平面γ,使得α⊥γ,且β⊥γ
7.(2013·西安模拟)设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;
②若m∥l,且m∥α,则l∥α;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;
④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.
其中正确的命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
8.如图,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得
到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,
且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( )
(A)EH∥FG
(B)四边形EFGH是矩形
(C)Ω是棱柱
(D)Ω是棱台
9.如图,在正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P为所在棱的中点,
则异面直线MP,AB在正方体的主视图中的位置关系是( )
(A)相交
(B)平行
(C)异面
(D)不确定
10.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,
已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'与A,F重合),则下列命题中正确的
是( )
点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.
(A)①(B)①②(C)①②③(D)②③
11.(能力挑战题)若α,β是两个相交平面,点A不在α内,也不在β内,则过点A且与α和β都平行的直线( )
(A)只有1条(B)只有2条
(C)只有4条(D)有无数条
二、填空题
12.(2013·保定模拟)设互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ,给出下列三个命题:
①若l与m为异面直线,lα,mβ,则α∥β;
②若α∥β,lα,mβ,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为.
13.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD 上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .
14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.
15.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m分别与α,β交于A,C,过点P的直线n分别与α,β交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.
三、解答题
16.(能力挑战题)如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,
PB=PD=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选B.由题知CD∥平面α,故CD与平面α内的直线没有公共点,故只有B正确.
2.【解析】选A.由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MN P.
3.【解析】选∩α=A时,a⊄α,∴①错;
直线l与α相交时,l上有无数个点不在α内,故②错;
l∥α,l与α无公共点,∴l与α内任一直线都无公共点,③正确;长方体中A1C1与B1D1都与平面ABCD平行,∴④正确.
4.【解析】选C.①④正确,②错在a,b也可能相交或异面.
③错在α与β可能相交.⑤⑥错在a可能在α内.
5.【解析】选C.由线面平行的性质可知,C选项正确.
6.【思路点拨】本题主要考查空间面面平行的判定定理和性质定理以及含有量词的命题的判断与充要条件的判断.先把问题转化为充要条件的判断问题,即选项是平面α与平面β平行的一个必要不充分条件,也就是由选项不能推出平面α与平面β平行,而平面α与平面β平行能得到选项.
【解析】选D.选项A,若存在直线a,使得a⊥α,且a⊥β,则α∥β,反之,若α∥β,则任意一条与α垂直的直线都与平面β垂直,所以选项A是α∥β的充要条件;选项B,若与平面α平行的任意一条直线,都有a∥β,则由其中两条相交直线确定的平面γ与平面β平行,也与α平行,所以α∥β,反之,若α∥β,则与α平行的直线可能与β平行,也可能在平面β内,故该选项是α∥β的充分不必要条件;选项C,由两平面平行的判定和性质可知该选项是α∥β的充要条件;选项D,由α⊥γ,且β⊥γ不一定能得到α∥β,这两个平面还可以相交(如墙角),反之,若平面α∥β,则任作一个与平面α垂直的平面都与平面β垂直,故该选项是α∥β的一个必要不充分条件.故选D.
7.【解析】选B.①正确;②中当直线lα时,不成立;③中,还有可能相交一点,不成立;④正确,所以正确的命题有2个,选B.
8.【解析】选D.因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1.
又EH平面BCC1B1,
所以EH∥平面BCC1B1.
又EH平面EFGH,平面EFGH∩平面BCC1B1=FG,所以EH∥FG,故EH∥FG∥B1C1,可知选项A,C正确;又因为A1D1⊥平面ABB1A1,EH∥A1D1,所以EH⊥平面ABB1A1.又EF平面ABB1A1,故EH⊥EF,所以选项B也正确,故选D.
9.【解析】选B.在主视图中AB是正方形的对角线,MP是平行于对角线的三角形的中位线,所以两直线平行.
10.【思路点拨】注意折叠前DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变.
【解析】选C.①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,
∴点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.
②BC∥DE,BC平面A'DE,D E平面A'DE,∴BC∥平面A'DE.③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FED 的体积达到最大.
11.【思路点拨】可根据题意画出示意图,然后利用线面平行的判定定理及性质定理解决.
【解析】选A.据题意,如图,要使过点A的直线m与平面α平行,则据线面
平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行,
同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行,则推出n
∥k,由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行,
即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可,显然这样
的直线有且只有一条.
12.【解析】①中α与β可能相交,故①错;②中l与m可能异面,故②错;由线面平行的性质定理可知,l∥m,l∥n,所以m∥n,故③正确.
答案:1
13.【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
∴MN∥PQ.
∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,AP=,
∴CQ=,从而DP=DQ=,∴PQ= a.
答案: a
【误区警示】本题易忽视平面与平面平行的性质,不能正确找出Q点的位置,从而无法计算或计算出错,造成失分.
14.【解析】因为直线EF∥平面AB1C,EF平面ABCD,且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因为E是AD的中点,所以F是CD的中点,由中位线定理可得EF=AC.又因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2,所以EF=.
答案:
15.【解析】分两种情况考虑,即当点P在两个平面的同一侧和点P在两平面之间两种可能.由两平面平行得交线AB∥CD,截面图如图所示,
由三角形相似可得BD=或BD=24.
答案:或24
16.【证明】存在.证明如下:取棱PC的中点F,线段PE的中点M,连接BD.
设BD与AC交于点O,
连接BF,MF,BM,OE.
∵PE∶ED=2∶1,M是PE的中点,可知E是MD的中点,又F为PC的
中点,
∴MF∥EC,BM∥OE.
∵MF平面AEC,CE平面AEC,BM平面AEC,
OE平面AEC,
∴MF∥平面AEC,BM∥平面AEC.
∵MF∩BM=M,∴平面BMF∥平面AEC. 又BF平面BMF,∴BF∥平面AEC.。