高考数学总复习 10-7 二项式定理(理)但因为测试 新人教B版

高考数学总复习 10-7 二项式定理(理)但因为测试 新人教B 版1.(2011·三门峡模拟)若二项式(x －2x )n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15[答案] C[解析] ∵T 5＝C 4n (x )n －4·(－2x )4＝24·C 4nx n －122 是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12. 2．(2011·北京模拟)(x 2－1x )n 的展开式中，常数项为15，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] T r ＋1＝C r n(x 2)n －r·(－1x)r ＝(－1)r ·C r n x2n－3r，令2n －3r ＝0得，r ＝2n3，∴n 能被3整除，结合选项，当n ＝3时，r ＝2，此时常数项为(－1)2·C 23＝3，不合题意，当n ＝6时，r ＝4，常数项为(－1)4C 46＝15，∴选D.3．(2011·烟台月考)如果(3x －13x 2)n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21[答案] C[解析] ∵2n ＝128，∴n ＝7，∴T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·(－13x 2)r＝(－1)r ·37－r ·C r 7·x 7－5r 3 ，令7－5r 3＝－3得r ＝6， ∴1x3的系数为(－1)6·3·C 67＝21. 4．(2011·重庆理，4)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] B[解析] 展开式通项：T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r由题意：35C 5n ＝36C 6n 即C 5n ＝3C 6n ，∴n ！5！n －！＝3·n ！6！n －！∴1n －5＝36∴n ＝7.选B.5．(2011·银川模拟)在(x 2－13x )n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28[答案] B[解析] 由条件知n ＝8，∴T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·(－13x )r ＝(－1)r ·2r －8·C r 8·x 8－4r 3 令8－4r3＝0得，r ＝6，∴展开式的常数项为(－1)6·26－8·C 68＝7.6．(2011·河北石家庄一模)多项式x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( )A ．10B ．45C ．－9D ．－45[答案] B[解析] x 10＝[1＋(x －1)]10＝1＋C 110(x －1)＋C 210(x －1)2＋…＋C 1010(x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10对任意实数x 都成立，∴a 8＝C 810＝C 210＝45.7．(2011·广东理，10)x (x －2x )7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)[答案] 84[解析] x 4的系数，即(x －2x )7展开式中x 3的系数，T r ＋1＝C r 7·x 7－r ·(－2x)r＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r，令7－2r ＝3得，r ＝2， ∴所求系数为(－2)2C 27＝84.8．(2011·广东六校联考)若(x －a )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，且a 5＝56，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝________.[答案] 256[解析] (x －a )8的展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·(－a )r ＝(－1)r C r 8·a r ·x 8－r ， 令8－r ＝5，则r ＝3，于是a 5＝(－1)3C 38·a 3＝56，解得a ＝－1，即(x ＋1)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝28＝256.9．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中，x 3的系数为52，则二项式系数最大的项为________． [答案] 52x 3[解析] ∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫1ax r ＝C r 6a －r x 12－3r， 令12－3r ＝3，得r ＝3，∴C 36a －3＝52，解得a ＝2. 故二项式系数最大的项为T 4＝C 36(x 2)3(12x )3＝52x 3. 10．(2011·上海十三校第二次联考)在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3.11.已知xy <0，且x ＋y ＝1，而(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，那么x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，15 B.⎣⎡⎭⎫45，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－45 [答案] B[解析] 由题设条件知，C 19x 8y ≤C 29x 7y 2，∵xy <0，∴x ≥4y ，∵x ＋y ＝1，∴x ≥4(1－x )，∴x ≥45.12．(2011·新课标全国理，8)(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40[答案] D[解析] 因(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数和为2，即令x ＝1时，(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∵(2x －1x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r ，当5－2r ＝－1或1时r ＝3或2，此时展开式为常数项，∴展开式的常数项为(－1)3·25－3·C 35＋(－1)2·25－2·C 25＝40.13．(2011·安徽宣城模拟)在(x －2)5(2＋y )4的展开式中x 3y 2的系数为________． [答案] 480[解析] (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x5－r(－2)r ， 令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数C 25(－2)2＝40； (2＋y )4的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4(2)4－r y r ， 令r ＝2得y 2的系数C 24(2)2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.14．在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． [答案] －15[解析] 从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15.15．(2011·安徽理，12)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. [答案] 0[解析] a 10＝C 1021(－1)11＝－C 1021，a 11＝C 1121(－1)10＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1121－C 1021＝C 1021－C 1021＝0.16．已知数列{a n }满足a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)，是否存在等差数列{b n }，使a n ＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋b 3C 3n ＋…＋b n C nn 对一切正整数n 成立？并证明你的结论．[解析] 假设等差数列{b n }使等式n ·2n －1＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋b 3C 3n ＋…＋b n C nn 对一切正整数n成立，当n ＝1时，得1＝b 1C 11，∴b 1＝1，当n ＝2时，得4＝b 1C 12＋b 2C 22，∴b 2＝2，当n ＝3时，得12＝b 1C 13＋b 2C 23＋b 3C 33，∴b 3＝3，可猜想b n ＝n 时，n ·2n －1＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C nn .∵k C k n＝k ·n ！k ！n －k ！ ＝n ·n －！k －！n －k ！＝n C k －1n －1. ∴C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1.故存在等差数列{b n }(b n ＝n )，使已知等式对一切n ∈N *成立．1．(2010·浙江嘉兴质检)若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 1的值为( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10[答案] A[解析] 由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中x －1的系数为C 4524＝80.2．(2011·辽宁沈阳质检)若(3x －1x )n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为( )A ．－5B ．5C ．－405D ．405[答案] C[解析] 令x ＝1得2n ＝32，所以n ＝5， 于是(3x －1x)5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5(3x )5－r (1x)r ＝(－1)r C r 535－r x 5－2r， 令5－2r ＝3，得r ＝1， 于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)1C 1534＝－405，故选C.3．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 依题意，令x ＋2＝1，等式右边为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11.把x ＝－1代入等式左边，得[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝2×(－1)9＝－2，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.4．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________. [答案] 5[解析] 法1：令x ＝－2得a 0＝－1. 令x ＝0得27＝a 0＋2a 1＋4a 2＋8a 3. 因此a 1＋2a 2＋4a 3＝14.∵C 03(2x )3·30＝a 3·x 3. ∴a 3＝8.∴a 1＋2a 2＋3a 3＝14－a 3＝6. ∴a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6＝5.法2：由于2x ＋3＝2(x ＋2)－1，故(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝8(x ＋2)3－4C 13(x ＋2)2＋2C 23(x ＋2)－1，故a 3＝8，a 2＝－12，a 1＝6，a 0＝－1. 故a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6－24＋24＝5.5．(2010·重庆中学)已知⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 6展开式中x 6项的系数为60，其中a 是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是________．[答案] 1[解析] ⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 6展开式中的第r ＋1项 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 6x 12－3r， 令12－3r ＝6得，r ＝2，∴a 2C 26＝60，∴a 2＝4.∵a <0，∴a ＝－2，令x ＝1得展开式各项系数之和为⎝⎛⎭⎫1＋－216＝1.6．(2010·聊城市模拟)将⎝⎛⎭⎫1－1x 2n (n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，则1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝________.[答案]20091005[解析] 第r ＋1项T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫－1x 2r＝(－1)r C r n x－2r，令－2r ＝－4，∴r ＝2， ∴a n ＝(－1)2C 2n ＝nn －2， ∴1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝21×2＋22×3＋…＋22009×2010＝2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12009－12010 ＝2×⎝⎛⎭⎫1－12010＝20091005.。